4.2 时域分析法--直接积分法解析
第3章 时域分析法
第3章 线性系统的时域分析法所谓时域分析法，就是对系统外施一个给定输入信号，通过研究控制系统的时间响应来评价系统的性能。
由于系统的输出量取的是时间t 的函数，故称这种响应为时域响应，它是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确、物理概念清楚的特点，尤其适用于二阶系统。
3.1 时域响应及典型输入信号首先我们给出瞬态响应和稳态响应的定义。
瞬态响应——系统在某一输入信号的作用下其输出量从初始状态到稳定状态的响应过程称为瞬态响应，瞬态响应过程也称为过渡过程。
稳态响应——当某一信号输入时，系统在时间趋于无穷大时的输出状态称为稳态响应，稳态也称为静态。
在分析瞬态响应时，我们往往选择典型输入信号。
所谓典型输入信号，是指很接近实际控制系统，经常遇到的输入信号，并在数学描述上经过理想化处理后，用简单的函数形式表达出来的信号。
选择某些典型函数作为系统输入信号，不仅使问题的数学处理系统化，而且典型输入信号的响应往往可以作为分析复杂输入时系统性能的基础。
常见的典型输入信号如下。
1、 阶跃信号这是指输入变量有一个突然的定量变化，例如输入量的突然加入或突然停止等等，如图3-1所示，其数学表达式为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,00,)(t t a t r （3-1）其中，a 为常数，当a =1时，该信号称为单位阶跃信号。
2、 斜坡信号这是指输入变量是等速度变化的，如图3-2所示，其数学表达式为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,00,)(t t at t r （3-2）其中，a 为常数，当a =1时，该信号称为单位斜坡信号。
图3-1 阶跃信号 图3-2 斜坡信号3、 脉冲信号脉冲信号的数学表达式可表示为⎪⎩⎪⎨⎧><<<=→000/0,00,lim )(0t t t t t t a t r t （3-3）其中，a 为常数，因此当00t t <<时，该信号值为无穷大。
脉冲信号可以表示为如图3-3所示，其脉冲高度为无穷大；持续时间为无穷小；脉冲面积为a ，因此，通常脉冲强度是以其面积a 衡量的。
连续时间系统的时域分析
连续时间系统的时域分析时域分析是对连续时间系统进行分析和研究的一种方法。
通过时域分析，可以了解系统的时间响应特性、稳定性以及系统的动态行为。
本文将从连续时间系统的时域分析方法、常用的时域参数以及时域分析在系统设计中的应用等方面进行详细介绍。
一、连续时间系统的时域分析方法连续时间系统的时域分析方法主要有两种：解析法和数值法。
1. 解析法：通过解析方法可以得到系统的解析表达式，从而分析系统的时间响应特性。
常用的解析方法包括微分方程法、拉普拉斯变换法和傅里叶变换法等。
- 微分方程法：对于线性时不变系统，可以通过设立系统输入和输出之间的微分方程，然后求解微分方程来得到系统的时间响应。
- 拉普拉斯变换法：通过对系统进行拉普拉斯变换，将微分方程转化为代数方程，从而得到系统的传递函数，进而分析系统的时间响应。
- 傅里叶变换法：通过对系统输入和输出进行傅里叶变换，将时域信号转化为频域信号，从而分析系统的频率响应。
2. 数值法：当系统的解析表达式难以获得或无法求解时，可以通过数值方法进行时域分析。
常用的数值方法包括欧拉法、中点法和四阶龙格-库塔法等。
- 欧拉法：通过差分近似，将微分方程转化为差分方程，然后通过计算差分方程的递推关系来得到系统的时间响应。
- 中点法：在欧拉法的基础上，在每个时间步长内，通过计算两个相邻时间点上的导数平均值来改进估计值，从而提高精度。
- 四阶龙格-库塔法：在中点法的基础上，通过对导数进行多次计算和加权平均，从而进一步提高精度。
二、常用的时域参数时域分析除了对系统的时间响应进行分析外，还可以提取一些常用的时域参数来描述系统的性能和特性。
1. 零点：系统的零点是指系统传递函数中使得输出为零的输入值。
2. 极点：系统的极点是指系统传递函数中使得输出无穷大的输入值。
3. 零极点图：零极点图是用来描述系统传递函数中的零点和极点分布情况的图形。
4. 频率响应：频率响应是指系统对不同频率的输入信号的响应。
时域分析法
§ 3.2 一阶系统的时间响应
一、一阶系统的数学模型 数学模型
其中时间常数T＝1 / K
二、一阶系统的单位阶跃响应
对于单位阶跃输入
xi
(t )
1(t ),
Xi
(s)
1 s
故系统单位阶跃响应象函数为
1
1 s
s
T
1
A s
s
B 1
1 s
s
1
1
T
T
T
取拉氏反变换得系统单位阶跃响应为
1t
xo (t) 1 e T
，为闭环极点的实部； ，为闭环极点的虚部；
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应的象函数为
。
将上式进行拉氏反变换，单位阶跃响应为
(3.33)
x0 (t) 1
e n t
1 2
(n
1 2 n
cosdt sin dt)
1
ent
1 2
(sin
c osd t
cos
sin d t )
1
e nt
1
2
sin(
则
Xo
s
Xo Xi
s s
X
i
s
1 1 Ts 1
1
T
s
1 T
进行拉氏反变换
x0
(t
)
1 T
t
eT
四、响应之间的关系 对线性定常系统，输入之间存在微积分关系，其响
应间也存在相应微积分关系。
作用：在测试系统时，可由一种信号推断几种信号的相应响应。
§ 3.3 二阶系统的时间响应
一、典型二阶系统的数学模型
决定。
在稳态下，输出 x0 (t) 和输入 xi (t) 之间不存在误差，即系统
时域分析法
o
t
A=1时称为单位阶跃函数, 其数学表达式为
0 t 0 r (t ) 1 (t ) 1 t 0
1 R(s) s
二．斜坡函数
r (t )
0 r (t ) At
t0 t0
A R( s) 2 s o
t
A=1时称为单位斜坡函数,其数学表达式为
0 r (t ) t
c (t ) 1 e
n t
1 2 n t e t cos d t e sin d t 1 sin d t arctan 2 d 1
n n
结论
阶跃响应 c(t ) 1
e nt 1
调节时间 ts 上升时间tr
t
3.2 一阶系统的时域分析
3.2.1 一阶系统的数学模型
微分方程： T
dc( t ) c( t ) r ( t ) dt
R(s) s平面 j R(s) E(s) C(s) 1/Ts
结构图(a)
C ( s) 1 传递函数: R( s ) Ts 1
1 1 Ts
2
sin(d t ) (t0)
由稳态和瞬态两部分组成，稳态部分等于1，表明不存在 稳态误差，瞬态部分是阻尼振荡，阻尼的大小由 n (即特 征根实部n =σ ）决定； d为阻尼振荡频率,由阻尼比ζ和自然频率n决定；
衰减系数：
阶跃响应性能指标
%
c(t p ) c() c ( )
100%
稳态性能：由稳态误差ess描述。
动态性能指标定义1
c(t)
A 超调量σ% = A 100% B
+0.05 -0.05
自动控制原理-第3章-时域分析法
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
时域分析方法时域分析方法
1．第一列所有系数均不为零的情况，这时，劳斯判据指出，系统极点实部为正 实数根的数目等于劳斯表中第一列的系数符号改变的次数。系统极点全部在复平 面的左半平面的充分必要条件是方程的各项系数全部为正值，并且劳斯表的第一 列都具有正号。
2．某行第一列的系数等于零，而其余项中某些项不等于零的情况。在计算劳斯 表中各元素的数值时，如果某行的第一列的数值等于零，而其余的项中某些项不 等于零，那么可以用一有限小的数值 ε 来代替为零的那一项，然后按照通常方 法计算阵列中其余各项。如果零（ε）上面的系数符号与零（ε）下面的系数符 号相反，表明这里有一个符号变化。如果零（ε）上面的系数符号与零（ε）下 面的系数符号相同，则有一对共轭虚根存在，系统也属不稳定。
3.2.1、时域分析方法：
所谓时域分析法，就是通过求解控制系统的时间响应，来分析系统的稳定性、快 速性和准确性。它是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准 确、物理概念清楚的特点，尤其适用于二阶系统。
自动控制系统暂态响应性能指标
暂态响应性能指标是以系统在单位阶跃输入作用下的衰减振荡过程（或称欠阻尼 振荡过程）为标准来定义的。系统在其它典型输入作用下定义的暂态响应性能指 标，均可以直接或间接求出与这一指标的关系。用来表述单位阶跃输入时暂态响 应的典型性能指标通常有：最大超调量、上升时间、峰值时间和调整时间。图 3.11 说明一个线性控制系统的典型单位阶跃响应。上述指标就是用系统阶跃响 应来定义的。
=
K
p (1 + Td s)
=
K
p
+
KDs
PD 有助于增加系统的稳定性.
PD 增加了一个零点 z = − K p ,提高了系统的阻尼,可改善暂态性能. KD
第四章 时域分析法.
2. 斜坡函数（等速度函数）
定义：
r (t)
r(t)=
1 R(S)=L[r(t)]= 单位斜坡函数拉氏变换式为： S2 在实际系统中等同于一个随时间以恒定速度增长的作 用施加于系统（如跟踪通讯卫星的天线控制系统）。
r(t)
Rt 0
t 0 t<0
0
t
3. 抛物线函数（等加速度函数） R 1 2 2 Rt t 0 定义： r(t)= 2 0 t<0 0 1 t 1 单位加速度函数拉氏变换式为： R(S)=L[r(t)]= 3 S 在实际系统中等同于一个随时间以等加速度变化的作 用施加于系统（如宇宙飞船控制系统）。
2 n
• 对上式进行拉氏反变换， 得
c(t ) 1 e
即
n t
cos d t
2
1 2
e nt sin d t
4. 单位脉冲函数（冲击函数）
定义：
r(t)
r(t)= (t) = 0
∫
t=0 t0
0 t
(t)dt=1
单位脉冲函数拉氏变换式为：R(S)=L[(t)]=1
说明：单位脉冲函数只是数学上的概念
5. 正弦信号函数 定义： r(t)=ASint A 正弦函数的拉氏变换为： R(S)=L[r(t)]= S2+2
特点：
属于直接分析方法
能提供系统时间响应的全部信息 直观、准确 从数学角度：利用拉氏反变换法求出系统的输出量的 表达式，提供系统输出响应的全部信息。
不足 ：1）实际控制系统较复杂，高阶微分方程求解计算量大 仅通过微分方程不容易区分影响系统运动规律的主要因素和次要 因素 2）从工程角度：并非简单求取一个既定系统的运动， 而是需要选择系统中某些参数，甚至改变系统的结构以获取较好 的控制性能。 对时域分析法的要求：
直接积分法PPT课件
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Newmark β法计算过
程
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5.3 wilsonθ法
• 同Newmark β法一样，wilsonθ法也是结构振动分析的常用计算方法之一。 • wilsonθ法的基本假定是在时间间隔θ Δt（θ≧1.0）内加速度响应线形变化 。
5.1 概述
• 数值积分法是根据已知的位移、速度、加速度和
荷载条件，计算下一时刻振动响应的方法。
u
u i ui+1
O
ti ti1 t
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显式积分、隐式积分
•
显 式
式 的
积分是在第i步
计算方法。
计
算
中
状态ti
满足运动
方
程
ui1 ui Δ t f ti ,ui
• 用显式积分法计算结构响应时，为了提高计算
感谢您的观看！
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2. 平均加速度法
假定加速度在ti- ti+1区间内
为平均值：
速度、位移为：
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• 在时刻ti+1结构振动响应应满足运动方程： • 得到ti+1时刻的加速度为： • 进一步计算ti+1时刻的速度、位移。
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3. Newmark β法统一的表达式
线性加速度结果
当θ≧1.37时Wilsonθ法为无条件稳定的计算方法
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wilsonθ法的计算过程
1. 计算常数
a0
6 τ2
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fs
fD
f D / x c tg
[C ], [ K ] 为时变矩阵 非线性问题：
x (t )
x (t )
fD
fs
x (t )
x (t )
2.增量平衡方程
f I (t ) f D (t ) fs (t ) P(t )
t t 时刻：
（1）
f I (t t ) f D (t t ) f s (t t ) P(t t ) f I (t ) f D (t ) f s (t ) P(t )
fI (t ) f I (t t ) f I (t ) [M ]x(t t ) x(t ) [M ]x(t )
f D (t ) f D (t t ) f D (t ) [C (t )]x(t )
----增量方程(3)
•
•
显式方法(explicit)在方程求解过程中只涉及到历史的第i和i－1步的信 息，而当前的第i＋1步的信息（比如空间上的其他点）不会涉及到,而 隐式方法(implicit)在求解当前点(第i＋1步)时，会涉及到其他已知点 的第i+1步信息,所以需要迭代。
显式求解与隐式在数学上说主要是在求解的递推公式一个是用显式方 程表示，一个是用影视方程来表示。比如a(n)=a(n-1)+b(n-1),后一次 迭代可以由前一次直接求解，这就是显示方程，如果a(n)=a(n1)+f[a(n)]，f[a(n))为a(n)的函数，此时a(n)不能用方程显示表示， 及数学上的隐函数，一般很难直接求解，多用迭代试算法间接求解。
f D (t ) f D (t t ) f D (t ) [C (t )]x(t )
df c t D dx t
f D (t t )
fD
斜率c(t )
f D (t )
x
x (t )
f D
df D x dx
f s (t ) f s (t t ) f s (t ) [ K (t )]x(t )
4.2 时域分析法——直接积分法 （时程分析）
4.2.1 概述
• 数值积分法是根据已知的初始时刻的位移、速度、加速
度和荷载条件，计算下一时刻振动响应的方法。 • 数值积分法属 于初值问题， 也称步步积分 法或时程分析 法。
u
ui+1 ui
O
ti
t
ti 1
时程分析法基本概念
因此，时程分析法是对结构物的运动微分方程直接进行 逐步积分求解的一种动力分析方法。由时程分析可得到各 质点随时间变化的位移、速度和加速度动力反应，并进而 可计算出构件内力的时程变化关系。由于此法是对运动方 程直接求解，又称直接动力分析法。 直接动力分析包括确定性动力分析与非确定性动力分 析两大类，即确定性动力分析中的时程分析法与非确定性 分析的随机振动分析法，这里主要介绍时程分析法。 《抗震规范》规定，重要的工程结构，例如：大跨桥 梁，特别不规则建筑、甲类建筑，高度超出规定范围的高 层建筑应采用时程分析法进行补充计算。
显式积分、隐式积分
• 显式积分是在第i步计算中状态ti满足运动方程式的
计算方法。
ui1 ui Δ t f ti , ui
•当前时刻的位移只与前一时刻的加速度和位移有关，这就意味着当前 时刻的位移求解无需迭代过程。 另外，只要将运动方程中的质量矩阵 和阻尼矩阵对角化（线性无关），前一时刻的加速度求解无需解联立 方程组，从而使问题大大简化，这就是所谓的显式求解法。
df k t s dx t
x (t ) x(t t )
df s x dx
f s 斜率k (t )
f s (t t ) f s (t )
x
x (t )
f s
结构在t时刻的刚度矩阵 由t时刻结构各构件的切线刚度确定
x(t t )
x (t )
[M ]x(t ) [C(t )]x(t ) [ K (t )]x(t ) P(t )
1.运动方程
[M ]x(t ) [C(t )]x(t ) [ K (t )]x(t ) [ M ]1 xg
f I (t ) f D (t ) fs (t ) P(t )
[C ], [ K ] 为常数矩阵 线性问题：
（1 ）
f s / x k tg
（2 ）
将(1),(2)两式相减：
令
x t x t t x t x t x t t x t
{x t } {x(t t )} {x(t )}
P(t ) P(t t ) P(t )
df c t D dx
f D (t t )
fD
斜率c(t )
f D (t )
x
x (t )
f D
df D x dx
x (t ) x(t t )
f I (t ) f D (t ) f s (t ) P(t ) fI (t ) f I (t t ) f I (t ) [M ]x(t t ) x(t ) [M ]x(t )
• 用显式积分法计算结构响应时，为了提高计算精
度，时间间隔Δt必须十分小，否则，随着计算步 数的增加，误差不断积累、出现发散的现象。
显式积分、隐式积分
• 隐式积分是满足ห้องสมุดไป่ตู้i+Δt时刻运动方程式的计算方法。
这种算法由于函数f包含未知的结构响应（求解 ti+Δt时刻的反应，但函数f却含有待求的ti+Δt时刻 的结构响应），因此，需要通过反复迭代的方法 计算ti+Δt时刻的响应，它是一个非线性计算的过 程。隐式积分归结为求解非线性方程组。