高一年级下学期数学期中考试模拟试题
新高一数学下期中模拟试卷及答案
新高一数学下期中模拟试卷及答案一、选择题1．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（ ）A ．4330x y --=B ．3430x y --=C ．3440x y --=D ．4340x y --= 2．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 3．已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为（ ）A ．48πB ．24πC ．16πD ．4．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为3，则球O 的半径为( )A ．3B ．1C ．2D ．45．设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//； ②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③ 6．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A ．B ．CD ．7．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形8．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面1202ABC BAC AP AB ∠=︒==，，，M 是线段BC 上一动点，线段PM P ABC -的外接球的表面积是（ ）A ．92πB ．C ．18πD ．40π9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ）A．1763B．1603C．1283D．3210．若方程21424x kx k+-=-+有两个相异的实根，则实数k的取值范围是（）A．13,34⎛⎤⎥⎝⎦B．13,34⎛⎫⎪⎝⎭C．53,124⎛⎫⎪⎝⎭D．53,12411．如图，平面四边形ABCD中，1AB AD CD===，2BD=，BD CD⊥，将其沿对角线BD折成四面体A BCD'-，使平面A BD'⊥平面BCD，若四面体A BCD'-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πB．3πC．4πD．3π12．如图，在三棱柱111ABC A B C-中，1CC⊥平面ABC，ABC是等腰三角形，BA BC=，123AC CC==，，D是AC的中点，点F在侧棱1A上，若要使1C F⊥平面BDF，则1AFFA的值为( )A ．1B ．12或2C ．22或2D ．13或3 二、填空题13．已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是_________．14．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 为B 1C 1中点，连接A 1B ，D 1M ，则异面直线A 1B 和D 1M 所成角的余弦值为________________________．15．直线与圆交于两点，则________．16．三棱锥P ABC -中，5PA PB ==，2AC BC ==，AC BC ⊥，3PC =，则该三棱锥的外接球面积为________. 17．若直线l ：-3y kx =与直线23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.18．正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上.若163P ABCD V ，则球O 的体积是______． 19．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且三棱锥的最长的棱长为2，则此三棱锥的外接球体积为_____________.20．已知四面体ABCD 的外接球球心O 在棱CD 上，AB=3，CD=2，则A 、B 两点在四面体ABCD 的外接球上的球面距离是________.三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，//AB CD ，且22,22CD AB BC ===，90ABC ∠=︒，M 为BC 的中点．（1）求证：平面PDM ⊥平面PAM ；（2）若二面角P DM A --为30，求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值．22．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ,,E F 是线段AB 上的两点,且DE AB ⊥,CF AB ⊥,12AB =,5AD =,42BC =,4DE =.现将△ADE ,△CFB 分别沿DE ,CF 折起,使两点,A B 重合于点G ,得到多面体CDEFG （1）求证：平面DEG ⊥平面CFG ;（2）求多面体CDEFG 的体积23．如图，在平面直角坐标系xoy 中，点(0,3)A ，直线:24=-l y x ，设圆C 的半径为1， 圆心在l 上.（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程；（2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.24．在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点.（1）求证：1A C //面1AB D ；（2）设M 是棱1CC 上的点，且满足1BM B D ⊥.求证：面1AB D ⊥面ABM .25．如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面，点为的中点.（1）求证：∥平面；（2）求证：. 26．已知以点C （1，﹣2）为圆心的圆与直线x+y ﹣1=0相切．（1）求圆C 的标准方程；（2）求过圆内一点P （2，﹣）的最短弦所在直线的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01tan 2k α==，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率22tan 4tan 21tan 3k ααα===-，又经过点（1,0），所以直线方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=，选D.2．B解析：B【解析】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内.【考点定位】点线面的位置关系3．D解析：D【解析】【分析】根据球的性质可知球心O 与ABC ∆外接圆圆心O '连线垂直于平面ABC ；在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中利用勾股定理构造出关于半径R 和OO '的方程组，解方程组求得R ，代入球的体积公式可得结果.设O '为ABC ∆的外心，如下图所示：由球的性质可知，球心O 与O '连线垂直于平面ABC ，作OE AD ⊥于E设球的半径为R ，OO x '=ABC ∆为等边三角形，且3AB = 3AO '∴=OO '⊥平面ABC ，AD ⊥平面ABC ，OE AD ⊥OO AE x '∴==，3OE AO '==在Rt POE ∆和Rt OO A ∆'中，由勾股定理得：22222OE PE O O O A R ''+=+=，即()222363x x R +-=+= 解得：3x =，3R =∴球的体积为：343233V R ππ== 本题正确选项：D【点睛】本题考查棱锥外接球的体积求解问题，关键是能够确定棱锥外接球球心的位置，从而在直角三角形中利用勾股定理构造方程求得半径.4．C解析：C【解析】【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题．【详解】解：根据题意作出图形：设球心为O ，球的半径r ．SC OA ⊥，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和．2343123S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥，故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．5．B解析：B【解析】【分析】【详解】①a ∥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故①错误；②若a ∥b ，a ⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得b ⊥α，故②正确；③a ⊥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故③错误；④若a ⊥α，b ⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a ∥b ，故④正确．故选B ．6．B解析：B【解析】【分析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可.【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -, 所以圆心为()0,0.()222m m m +-=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=. 又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值. 2223416m,故32m =故选：B【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型.7．A解析：A【解析】【分析】【详解】画出截面图形如图显然A正三角形C正方形：D正六边形可以画出三角形但不是直角三角形；故选A．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．故可选A．8．C解析：C【分析】首先确定三角形ABC 为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积．【详解】解：如图所示：三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面2,2ABC AP AB ==，，M 是线段BC 上一动点，线段PM 3则：当AM BC ⊥时，线段PM 达到最小值，由于：PA ⊥平面ABC ，所以：222PA AM PM +=，解得：1AM =， 所以：3BM =，则：60BAM ∠=︒，由于：120BAC ∠=︒，所以：60MAC ∠=︒则：ABC 为等腰三角形． 所以：23BC =在ABC 中，设外接圆的直径为2324r ==， 则：2r =， 所以：外接球的半径2229222R ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 则：94182S ππ=⋅⋅=， 故选：C ．【点睛】本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用． 9．B【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为4，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是32116042433-⨯⨯=，选B. 点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．10．D解析：D【解析】【分析】由题意可得，曲线22(1)4(1)x y y +-=与直线4(2)y k x -=-有2个交点，数形结合求得k 的范围.【详解】如图所示，化简曲线得到22(1)4(1)x y y +-=，表示以(0,1)为圆心，以2为半径的上半圆，直线化为4(2)y k x -=-，过定点(2,4)A ，设直线与半圆的切线为AD ，半圆的左端点为(2,1)B -，当AD AB k k k <，直线与半圆有两个交点，AD 221k =+，解得512AD k =， 4132(2)4AB k -==--，所以53,124k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故选：D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.11．A解析：A【解析】【分析】设BC 的中点是E ，连接DE ，由四面体A′BCD 的特征可知，DE 即为球体的半径.【详解】设BC 的中点是E ，连接DE ，A′E，因为AB ＝AD ＝1，BD 由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD 为直角三角形所以DE 为球体的半径2DE =243S ππ== 故选A【点睛】 求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.12．B解析：B【解析】【分析】易证1BD C F ⊥，故要使1C F ⊥平面BDF ，只需1C F DF ⊥，然后转化到平面11AAC C 中，根据勾股定理计算，即可得结果.【详解】1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD CC ⊥，又BA BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥，又1AC CC C =，所以BD ⊥平面11AAC C ，1C F 平面11AAC C ，所以1C F BD ⊥，因为DF BD D =，故要使1C F 平面BDF ，只需1C F DF ⊥，在四边形11AAC C 中，1231AC CC AD CD ====，，， 设AF x =，则13FA x =-，由22211C D DF C F =+得()()2219143x x ⎡⎤+=+++-⎣⎦， 即2320x x -+=，解得1x =或2x =，所以112AF FA =或者12AF FA =， 故选：B.【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间中直线与平面的垂直的性质，勾股定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．二、填空题13．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个 解析：相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a 的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：圆的标准方程为222:()(0)M x y a a a +-=>，则圆心为(0,)a ，半径R a =， 圆心到直线0x y +=的距离2d =，圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22222222a a ∴-即24a =，2a =，则圆心为(0,2)M ，半径2R =，圆22:(1)(1)1N x y -+-=的圆心为(1,1)N ，半径1r =，则2MN =3R r +=，1R r -=，R r MN R r ∴-<<+，即两个圆相交．故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a 的值是解决本题的关键．14．【解析】【分析】连接取的中点连接可知且是以为腰的等腰三角形然后利用锐角三角函数可求出的值作为所求的答案【详解】如下图所示：连接取的中点连接在正方体中则四边形为平行四边形所以则异面直线和所成的角为或其 解析：10. 【解析】【分析】 连接1CD 、CM ，取1CD 的中点N ，连接MN ，可知11//A B CD ，且1CD M ∆是以1CD 为腰的等腰三角形，然后利用锐角三角函数可求出1cos CD M ∠的值作为所求的答案．【详解】如下图所示：连接1CD 、CM ，取1CD 的中点N ，连接MN ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D BC ，则四边形11A BCD 为平行四边形， 所以11//A B C D ，则异面直线1A B 和1D M 所成的角为1CD M ∠或其补角，易知1111190B C D BC C CDD ∠=∠=∠=，由勾股定理可得15CM D M ==12CDN 为1CD 的中点，则1MN CD ⊥，在1Rt D MN ∆中，11110cos 5D N CD M D M ∠==， 因此，异面直线1A B 和1D M 所成角的余弦值为105，故答案为105．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，求解异面直线所成的角一般利用平移直线法求解，遵循“一作、二证、三计算”，在计算时，一般利用锐角三角函数的定义或余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．15．22【解析】【分析】首先将圆的一般方程转化为标准方程得到圆心坐标和圆的半径的大小之后应用点到直线的距离求得弦心距借助于圆中特殊三角形半弦长弦心距和圆的半径构成直角三角形利用勾股定理求得弦长【详解】根 解析：【解析】【分析】首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长.【详解】 根据题意，圆的方程可化为， 所以圆的圆心为，且半径是， 根据点到直线的距离公式可以求得， 结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为. 【点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.16．【解析】【分析】由已知数据得两两垂直因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和【详解】∵∴∴又以作长方体则长方体的外接球就是三棱锥的外接球设外接球半径为则球表面积为故答案为：【点睛】本题考查球 解析：7π【解析】【分析】由已知数据得,,CA CB CP 两两垂直，因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和．【详解】 ∵5PA PB ==2AC BC ==3PC =，∴222222,PC CB PB PC CA PA +=+=，∴,PC CB PC CA ⊥⊥，又CA CB ⊥，以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球．设外接球半径为R ，则2222(2)7R CA CB CP =++=，7R =，球表面积为22744()7.2S R πππ==⨯= 故答案为：7π．【点睛】 本题考查球的表面积，解题关键是确定,,CA CB CP 两两垂直，以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球． 17．【解析】若直线与直线的交点位于第一象限如图所示：则两直线的交点应在线段上（不包含点）当交点为时直线的倾斜角为当交点为时斜率直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是故答案为解析：(,)62ππ 【解析】 若直线:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，如图所示：则两直线的交点应在线段AB 上（不包含,A B 点）, 当交点为()0,2A 时，直线l 的倾斜角为2π，当交点为()3,0B 时，斜率(03330k -==-l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 18．【解析】【分析】正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上则棱锥的高等于球的半径由此可由棱锥体积求得球的半径从而得球体积【详解】∵正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上∴球心是正方形对角线交点是棱锥 解析：323π 【解析】【分析】正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，则棱锥的高等于球的半径，由此可由棱锥体积求得球的半径，从而得球体积．【详解】∵正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，∴球心O 是正方形ABCD 对角线交点，PO 是棱锥的高，设球半径为R ，则AB =，22)2ABCD S R ==，211162333P ABCD ABCD V S PO R R -==⨯⨯=，2R =， ∴3344322333V R πππ==⨯=球． 故答案为：323π． 【点睛】本题考查球的体积，考查正四棱锥与半球的截接问题．解题关键是确定球半径与正四棱锥中的线段长之间的关系．19．【解析】【分析】根据题意可得平面所以得出为三棱锥的最长边根据直角三角形的性质边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等所以为球心球直径即为【详解】平面平面平面所以三棱锥中最长边为设中点为在中所以三棱锥的外接 解析：43π 【解析】【分析】根据题意可得，BC ⊥平面PAC ，所以BC PC ⊥，得出PB 为三棱锥的最长边，PA AB ⊥，根据直角三角形的性质，PB 边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等，所以为球心，球直径即为PB .【详解】PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥,,,AC BC PA AC A BC ⊥=∴⊥平面PAC ，BC PC ⊥，,,,,PB BC PB PC PA AC PC AC PC PA ∴>>⊥∴>>，所以三棱锥中最长边为2PB =，设PB 中点为O ，在,Rt PAB Pt PBC ∆∆中，12AO CO PB ==，所以三棱锥的外接球的球心为O ， 半径为41,3V π∴=. 故答案为:43π. 【点睛】 本题考查几何体的“切”“接”球问题，确定球心是解题的关键，考查空间垂直的应用，属于中档题.20．【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点且OA ＝OB ＝OC ＝OD 进而在△A0B 中利用余弦定理求得cos ∠AOB 的值则∠AOB 可求进而根据弧长的计算方法求得答案【详解】解：球心 解析：23π 【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点，且OA ＝OB ＝OC ＝OD ，进而在△A 0B 中，利用余弦定理求得cos ∠AOB 的值，则∠AOB 可求，进而根据弧长的计算方法求得答案．【详解】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O 在CD 中点，则OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝1，再由AB =A 0B 中，利用余弦定理cos ∠AOB 11312112+-==-⨯⨯， 则∠AOB 23π=，则弧AB 23π=•123π=． 故答案为：23π． 【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等，考查了学生观察分析和基本的运算能力． 三、解答题21．（1）详见解析；（2． 【解析】【分析】（1）在直角梯形ABCD 中，由条件可得222AD AM DM =+，即DM AM ⊥．再由PA ⊥面ABCD ，得DM PA ⊥，利用线面垂直的判定可得DM ⊥平面PAM ，进一步得到平面PDM ⊥平面PAM ；（2）由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角为30，求得tan301PA AM =⋅︒=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出PC 的坐标及平面PDM 的一个法向量，由PC 与n 所成角的余弦值可得直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值．【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，由已知可得，1,2,2AB CD BM CM ==== 可得223,6AM DM ==，过A 作AE CD ⊥，垂足为E ，则1,22DE AE ==29AD =，则222AD AM DM =+，∴DM AM ⊥．∵PA ⊥面ABCD ，∴DM PA ⊥，又PA AM A =，∴DM ⊥平面PAM ，∵DM ⊂平面PDM ，∴平面PDM ⊥平面PAM ；（2）解：由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角为30，则tan301PA AM =⋅︒=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,1P ，(22,1,0)D -，(22,1,0)C ，(2,1,0)M ，(22,1,1),(22,1,1),(2,1,1)PC PD PM =-=--=-． 设平面PDM 的一个法向量为(,,)n x y z =， 由22020n PD y z n PM x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1x =，得2321,,22n ⎛= ⎝⎭． ∴直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值为：||230|cos ,|30||||106PC n PC n PC n ⋅<>===⋅⋅． 【点睛】 向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法.22．：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）16【解析】【分析】【详解】（Ⅰ）证明：因为,DE EF CF EF ⊥⊥，所以四边形平面CDEF 为矩形，由5,4GD DE ==，42,4GC CF==得223GE GD CF =-=224GF GC CF =-=，所以5EF =，在EFG 中 ，有222EF GE FG =+，所以EG GF ⊥又因为,CF EF CF FG ⊥⊥，得CF ⊥平面EFG ， 所以CF EG ⊥，所以EG ⊥平面CFG ，即平面DEG ⊥平面CFG ;（Ⅱ）：在平面EGF 中，过点G 作GH EF ⊥于点H ，则125EG GF GH EF ⋅== 因为平面CDEF ⊥平面EFG ， 得GH ⊥平面CDEF ，1163CDEF CDEF V S GH =⋅=23．（1）3y =或34120x y +-=；（2）12[0,]5. 【解析】 【分析】 （1）两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆C 的半径为1，可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可求得直线斜率，进而得切线方程；（2）根据圆C 的圆心在直线l ：24y x =-上可设圆C 的方程为[]22()(24)1x a y a -+--=，由2MA MO =，可得M 的轨迹方程为22(1)4x y ++=，若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，只需两圆有公共点即可.【详解】 （1）由24,{1,y x y x =-=-得圆心()3,2C ， ∵圆C 的半径为1，∴圆C 的方程为：22(3)(2)1x y -+-=，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为3y kx =+，即30kx y -+=． 232311k k -+=+，∴2(43)0k k +=，∴0k =或34k =-． ∴所求圆C 的切线方程为3y =或34120x y +-=． （2）∵圆C 的圆心在直线l ：24y x =-上，所以，设圆心C 为(,24)a a -， 则圆C 的方程为[]22()(24)1x a y a -+--=．又∵2MA MO =，∴设M 为(,)x y =22(1)4x y ++=，设为圆D ． 所以点M 应该既在圆C 上又在圆D 上，即圆C 和圆D 有交点，∴2121-≤+，由251280a a -+≥，得a R ∈， 由25120a a -≤，得1205a ≤≤． 综上所述，a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 考点：1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.【方法点睛】本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题（2）巧妙地将圆C 上存在点M ，使2MA MO =问题转化为，两圆有公共点问题是解决问题的关键所在.24．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）记1A B 与1B A 交于O ，先证明OD //1A C ，根据线面平行的判定定理即可证明A 1C ∥平面AB 1D ；（2）先证明BM ⊥面1AB D ，即可根据面面垂直的判定定理进行证明即可．【详解】（1）设11A B AB O ⋂=，连OD .因为四边形11AA B B 是矩形，∴O 是1A B 的中点. 又D 是BC 的中点，∴1A C //OD .又1AC ⊄面1AB D ，OD ⊂面1AB D ， ∴1A C //面1AB D .（2）因为ABC ∆是正三角形，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥.∵平面ABC ⊥面11BB C C ，又平面ABC ⊥面11BB C C BC =，AD ⊂面ABC . ∴AD ⊥面11BB C C ，∵BM ⊂面11BB C C ，∴AD BM ⊥. 又∵1BM B D ⊥，1AD B D D ⋂=，AD ，1B D ⊂面1AB D ， ∴BM ⊥面1AB D ，又BM ⊂面ABM ， ∴面1AB D ⊥面ABM . 【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 25．（1）详见解析；（2）详见解析。
2022-2023学年福建省厦门市高一年级下册学期期中考试数学试题【含答案】
福建省厦门市2022—2023学年度第二学期期中考试高一年数学试卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位，复数22iz i +=-，则复数z 的模为（）．A.2B.5C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】根据复数除法运算，先化简z ；再由复数模的计算公式，即可得出结果.【详解】因为复数()222342555i i z ii ++===+-，所以91612525z =+=．故选：C ．2.已知平面向量()1,a m = ，(),2b n = ，()3,6c = ，若a c ∥ ，b c ⊥，则实数m 与n 的和为()A.6B.6- C.2D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据a c ∥ 、b c ⊥分别求出m 和n 即可．【详解】a ∥c，1236mm ∴=⇒=；b c ⊥ ，0b c ∴⋅=，31204n n ∴+=⇒=-；242m n ∴+=-=-．故选：D ．3.已知圆锥PO ，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m ，顶角为2π3的等腰三角形，该圆锥的侧面积为（）A.26πmB.263πm C.233πm D.2123πm 【答案】B 【解析】【分析】运用圆锥侧面积公式计算即可.【详解】如图所示，设圆锥的半径为r ，母线为l ，由题意知，132r OB AB ===，在Rt POB △中，112ππ2233BPO BPA ∠=∠=⨯=，所以323π3sin 32OB l BP ====，所以圆锥侧面积为2ππ32363πm rl =⨯⨯=.故选：B.4.中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n 使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n 足够大时，可以得到π与n 的关系为（）A.360πsin 2n n︒≈B.180πsinn n ︒≈ C.360π21cos n n ︒⎛⎫≈- ⎪⎝⎭ D.180π1cos 2n n︒≈-【答案】A 【解析】【分析】设圆的半径为r ，由题意可得221360πsin2r n r n ︒≈⋅⋅⋅，化简即可得出答案.【详解】设圆的半径为r ，将内接正n 边形分成n 个小三角形，由内接正n 边形的面积无限接近圆的面即可得：221360πsin2r n r n︒≈⋅⋅⋅，解得：360πsin 2n n ︒≈.故选：A .5.在ABC 中，60A ∠=︒，1b =，ABC 的面积为3，则sin aA为（）．A.8381B.2393C.2633D.27【答案】B 【解析】【分析】由已知条件，先根据三角形面积公式求出c 的值，然后利用余弦定理求出a 的值，即可得sin aA的值.【详解】解：在ABC 中，因为60A ∠=︒，1b =，ABC 的面积为3，所以113sin 12223ABC bc A S c ==⨯⨯⨯= ，所以4c =，因为2222212cos 14214132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以13a =，所以13239sin 332a A ==.故选：B.6.已知m ，n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//,//,//m n αβαβ，则//m nB.若//,//,m m n αβαβ⋂=，则//m nC.若//,//αβn n ，则//αβD.若//,m n n α⊂，则//m α【答案】B 【解析】【分析】A ：结合两直线的位置关系可判断//m n 或,m n 异面；B ：结合线面平行的性质可判断//m n ；C ：结合线面的位置关系可判断//αβ或,αβ相交；D ：结合线面的位置关系可判断//m α或m α⊂.【详解】A ：若//,//,//m n αβαβ，则//m n 或,m n 异面，故A 错误；B ：因为//m α，所以在平面α内存在不同于n 的直线l ，使得//l m ，则l //β，从而//l n ，故//m n ，故B 正确；C ：若//,//αβn n ，则//αβ或,αβ相交，故C 错误；D ：若//,m n n α⊂，则//m α或m α⊂，故D 错误.故选：B7.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，棱柱的侧面均为矩形，11AA =，3AB BC ==，1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为（）A.3B.2C.5D.7【答案】D 【解析】【分析】连接1BC ，得11A BC V ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC V 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，再根据两点之间线段最短，结合勾股定理余弦定理等求解AC '即可.【详解】连接1BC ，得11A BC V ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC V 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则有1C AP PC AP PC A '++'=≥，如图，当,,A P C '三点共线时，则AC '即为1AP PC +的最小值.在三角形ABC 中，3AB BC ==，1cos 3ABC ∠=，由余弦定理得：2212cos 332323AC AB BC AB BC B =+-⋅=+-⨯⨯=,所以112A C =，即12A C '=,在三角形1A AB 中，11AA =，3AB =，由勾股定理可得：2211132A B AA AB =+=+=,且160AA B ∠=︒.同理可求：12C B =，因为11112A B BC A C ===，所以11A BC V 为等边三角形，所以1160BA C ∠=︒，所以在三角形1AAC '中，111120AA C AA B BA C ''∠=∠+∠=︒,111,2AA A C '==,由余弦定理得：11421272AC ⎛⎫'=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭.故选：D.8.已知ABC 中，π3A ∠=，D ，E 是线段BC 上的两点，满足BD DC =，BAE CAE ∠=∠，192AD =，635AE =，则BC 长度为（）A.19 B.23 C.7 D.6319-【答案】C 【解析】【分析】由BAE CAE ABCS S S +=△△△可得出56b c bc +=，由1()2AD AB AC =+ 两边平方可求得,,bc b c +然后在ABC 中利用余弦定理可求得答案.【详解】如图，记,,BC a AC b AB c ===,BAE CAE ABC S S S += △△△，π6BAE CAE ∠=∠=，635AE =，1631631sin sin sin 25625623πππc b bc ∴⨯⨯+⨯⨯=，333()104b c bc ∴+=，即56b c bc +=，1()2AD AB AC =+ ，192AD =，()()2222211244AD AB AB AC AC b c bc ∴=+⋅+=++ 2211125119()()4443644b c bc bc bc =+-=⨯-=，即225()366840bc bc --=，(6)(25114)0bc bc -+=，6,5,bc b c ∴=∴+=在ABC 中，2222222cos()32513π87a b c bc b c bc b c bc =+-=+-=+-=-=,7BC a ∴==.故选：C.二、选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球O 与圆台的两个底面和侧面都相切，则（）A.圆台的母线长为4B.圆台的高为4C.圆台的表面积为26πD.球O 的表面积为12π【答案】ACD 【解析】【分析】作出圆台的轴截面，设圆台上、下底面圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，连接,,OD OE OA ，利用平面几何知识得到2123R r r ==，即可逐项计算求解．【详解】设梯形ABCD 为圆台的轴截面，则内切圆O 为圆台内切球的大圆，如图，设圆台上、下底面圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，则12,,O O O 共线，且1212,O O AB O O CD ⊥⊥，连接,,OD OE OA ，则,OD OA 分别平分,DAB ADC ∠∠，故12,r r E AE D ==，,,22ππODA DOA OE D OA A D +∠=∠=⊥∠，故2E O A E DE =⋅，即2123R r r ==，解得3R =，母线长为124r r +=，故A 正确；圆台的高为223R =，故B 错误；圆台的表面积为22π1π3π(13)426π⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确；球O 的表面积为24π12πS R ==，故D 正确.故选：ACD.10.已知1z 与2z 是共轭虚数，则（）A.2212z z < B.2122z z z =C.12R z z +∈ D.12R z z ∈【答案】BC 【解析】【分析】设出复数12,z z ，根据复数的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断.【详解】由题意，复数1z 与2z 是共轭虚数，设1i z a b =+、2i z a b =-，R a b ∈、且0b ≠，对于A 项，22212i z a b ab =-+，22222i z a b ab =--，当0a ≠时，由于复数不能比较大小，故A 项不成立；对于B 项，因为2212z z a b ⋅=+，2222||z a b =+，所以2122||z z z ⋅=，故B 项正确；对于C 项，因为122R z z a +=∈，所以C 选项正确；对于D 项，由222122222()2()(i i i i)i i z a b a b a b abz a b a b a b a b a b ++-===+--+++不一定是实数，故D 项不成立.故选：BC.11.对于ABC ，有如下命题，其中正确的有（）A.若22sin sin A B =，则ABC 为等腰三角形B.若sin cos A B =，则ABC 为直角三角形C.若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC 为钝角三角形D.若3,1,30AB AC B === ，则ABC 的面积为34或32【答案】ACD 【解析】【分析】A.根据条件得到,A B 的关系，由此进行判断；B.利用诱导公式直接分析得到,A B 的关系并判断；C.利用正弦定理得到222,,a b c 的关系，结合余弦定理进行判断；D.先利用正弦定理计算出sin C 的值，由此可求,C A 的值，结合三角形面积公式进行计算并判断.【详解】对于A ：22sin sin ,A B A B ABC =∴=⇒ 是等腰三角形，A 正确；对于B ：sin cos ,2A B A B π=∴-=或,2A B ABC π+=∴ 不一定是直角三角形，B 错误；对于C ：2222222222sin sin 1cos ,sin ,cos 02A B C C a a abb bc C c ++<--==∴+∴<< ，ABC ∴ 为钝角三角形，C 正确；对于D ：由正弦定理，得sin 3sin .2AB B C AC ⋅==而,60AB AC C >∴= 或120,C = 90A ∴= 或30,A =当90,60A C =︒=︒时，131322ABCS =⨯⨯=，当30,120A C =︒=︒时，1311sin12024ABC S =⨯⨯⨯︒=，32ABC S ∴=或3,4D 正确.故选：ACD.12.“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi -regularsolid )，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知2AB =，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（）A.该半正多面体的体积为203B.该半正多面体过,,A B C 三点的截面面积为332C.该半正多面体外接球的表面积为8πD.该半正多面体的顶点数V 、面数F 、棱数E 满足关系式2V F E +-=【答案】ACD 【解析】【分析】根据几何体的构成可判断A ，由截面为正六边形可求面积判断B ，根据外接球为正四棱柱可判断C ，根据顶点，面数，棱数判断D.【详解】如图，该半正多面体，是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的.对于A ，因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为：11202228111323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，故正确；对于B ，过,,A B C 三点的截面为正六边形ABCFED ，所以()2362334S =⨯⨯=，故错误；对于C ，根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为2,侧棱长为2的正四棱柱的外接球，所以该半正多面体外接球的表面积2244(2)8S R πππ==⨯=，故正确；对于D ，几何体顶点数为12，有14个面，24条棱，满足1214242+-=，故正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.i 是虚数单位，已知22i ωω-=-，写出一个满足条件的复数ω．______．【答案】1i ω=+（答案不唯一，满足i a a ω=+（R a ∈）均可）【解析】【分析】运用复数的模的运算公式计算即可.【详解】设i a b ω=+，（,R a b ∈），则22|2||(2)i |(2)a b a b ω-=-+=-+，22|2i ||(2)i |(2)a b a b ω-=+-=+-，因为|2||2i |ωω-=-，所以2222(2)(2)a b a b -+=+-，解得：a b =，所以i a a ω=+，（R a ∈）所以可以取1i ω=+.故答案为：1i ω=+（答案不唯一，满足i a a ω=+（R a ∈）均可）.14.在矩形ABCD 中，已知2AB =，1BC =，点P 是对角线AC 上一动点，则AP BP ⋅的最小值为___________.【答案】45-##0.8-.【解析】【分析】以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求出AP BP ⋅，进而结合二次函数的性质即可求出结果.【详解】以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立直角坐标系，又因为2AB =，1BC =，所以()()()()0,0,2,0,2,1,0,1,A B C D 则直线AC 的方程为12y x =，所以设()2,P m m ，且01m ≤≤，而()()2,,22,AP m m BP m m ==-,所以()2222AP BP m m m ⋅=-+ 254m m=-结合二次函数的性质可知，当25m =时，AP BP ⋅ 有最小值，且最小值为222454555⎛⎫⨯-⨯=- ⎪⎝⎭，故答案为：45-.15.太湖中有一小岛C ，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A 处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km 到达B 处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.【答案】36【解析】【详解】如图所示，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，∠A=15°，∠CBD=75°，AB=1km ，△ABC 中，BC=00sin15sin 60，△CBD 中，CD=BCcos15°=001sin 302sin 60=36km ．故填36．16.如图，平面四边形ABCD 中，其中3os 4c DAB ∠=，BAC DAC ∠=∠，AD AB <，且5AB =，14AC BD ==，若(),R AC AB AD λμλμ=+∈，则λμ+=______．【答案】75##1.4【解析】【分析】运用余弦定理求得AD 的值，在AB 上取点E ，使得2AE AD ==，结合角平分线性质可得AF D E ⊥，再运用向量加法可求得结果.【详解】在ABD △中，由余弦定理得：2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠，即：231425254AD AD =+-⨯⨯，解得：2AD =或112AD =，又因为5AD AB <=，所以2AD =.在AB 上取点E ，使得2AE =，连接DE ，交AC 于点F ，如图所示，又因为AC 为DAB ∠的角平分线，所以AF D E ⊥，F 为DE 的中点，在ADE V 中，由余弦定理得：22232222224DE =+-⨯⨯⨯=，所以2211141()42222AF AE DE AC =-=-==，所以225AC AF AE AD AB AD ==+=+，所以2=5λ，1μ=，所以75λμ+=.故答案为：75.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数z 满足2z z ⋅=，且z 的虚部为-1，z 在复平面内所对应的点在第四象限．（1）求z ；（2）若z ，2z 在复平面上对应的点分别为A ，B ，O 为坐标原点，求∠OAB ．【答案】（1）1i z =-（2）π2OAB ∠=【解析】【分析】（1）运用复数几何意义设出z ，再结合共轭复数定义写出z ，再运用复数乘法运算求得结果.（2）运用复数几何意义、两点间距离公式及勾股定理可求得结果.【小问1详解】由题意知，设i z a =-（0a >），则i z a =+，所以222i 12z z a a ⋅=-=+=，解得：1a =，所以1i z =-.【小问2详解】由（1）知，1i z =-，所以22(1i)2i z =-=-，所以(1,1)A -，(0,2)B -，如图所示，所以(1,1)AO =- ，(1,1)AB =--，22||(1)12AO =-+= ，22||(1)(1)2AB =-+-= ，所以11cos 02||||AO AB OAB AO AB ⋅-∠===.所以π2OAB ∠=.18.如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB PC 、的三等分点（M 靠近B ，N 靠近C ）；（1）求证：//MN 平面PAD ．（2）在PB 上确定一点Q ，使平面//MNQ 平面PAD ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）过点N 作//NE CD ，交PD 于点E ，连接AE ，证得证得四边形AMNE 为平行四边形，得到//MN AE ，结合线面平行的判定定理，即可求解；（2）取PB 取一点Q ，使得13BQ BP =，证得//MQ PA ，得到//MQ 平面PAD ，结合（1）中//MN 平面PAD ，利用面面平行的判定定理，证得平面//MNQ 平面PAD ．【小问1详解】证明：过点N 作//NE CD ，交PD 于点E ，连接AE ，因为N 为PC 的三等分点，可得23NE CD =，又因为M 为AB 的三等分点，可得23AM AB =，因为//AB CD 且AB CD =，所以//AM NE 且AM NE =，所以四边形AMNE 为平行四边形，所以//MN AE ，又由MN ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，所以//MN 平面PAD .【小问2详解】证明：取PB 取一点Q ，使得13BQ BP =，即点Q 为PB 上靠近点B 的三等点，在PAB 中，因为,M Q 分别为,AB PB 的三等分点，可得MB BQAB BP=，所以//MQ PA ，因为MQ ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以//MQ 平面PAD ；又由（1）知//MN 平面PAD ，且MN MQ M ⋂=，,MN MQ ⊂平面MNQ ，所以平面//MNQ 平面PAD ，即当点Q 为PB 上靠近点B 的三等点时，能使得平面//MNQ 平面PAD ．19.如图，在ABC 中，π3BAC ∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13AP t AC AB =+ ，ABC 的面积为332，（1）求t 的值；（2）求AP的最小值.【答案】（1）13t =（2）2【解析】【分析】（1）利用,,C P D 三点共线，可设DP mDC =，推出1(1)2AP mAC m AB =+- ，结合13AP t AC AB =+ ，即可求得t 的值；（2）利用（1）的结论可得2221(2)9A AC AB A PC AB ++=⋅ ，利用三角形面积得出||||6AC AB ⋅=，结合基本不等式即可求得答案.【小问1详解】在ABC 中，D 为AB 中点，则,,C P D 三点共线，设,()DP mDC AP AD m AC AD =∴-=- ,故1(1)(1)2AP mAC m AD mAC m AB =+-=+- ，又13AP t AC AB =+ ，故11(1)23m t m =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得13m t ==，即13t =.【小问2详解】由（1）知1133AP AC AB =+，所以2222211()(2)1339AC AB AC AP AP AB AC AB +=+=+⋅=221(||||2||||cos )9AC AB AC AB BAC =++⋅∠1(2||||2||||cos )9AC AB AC AB BAC ≥⋅+⋅∠ ，当且仅当||||AC AB = 时取等号，又332ABC S =△，则133||||sin 22AC AB BAC ⋅∠= ,即1π33||||sin ,||||6232AC AB AC AB ⋅=∴⋅= ，故21π(2626c 2os )2,93AP AP ≥⨯+⨯=≥∴ ，即AP 的最小值为2，当且仅当||||6AC AB ==时取等号.20.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求C ；（2）若1c =，D 为ABC 的外接圆上的点，2BA BD BA ⋅= ，求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】（1）π6；（2）312+.【解析】【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式化简，即可得出3tan 3C =，进而根据角的范围得出答案；（2）解法一：由已知可推出BC CD ⊥，然后根据正弦定理可求出22R =，进而求出2BD =，3AD =.设BC x =，CD y =，表示出四边形的面积，根据基本不等式即可得出答案；解法二：根据投影向量，推出BC CD ⊥，然后同解法一求得3AD =.设CBD θ∠=，表示出四边形的面积，根据θ的范围，即可得出答案；解法三：同解法一求得3AD =，设点C 到BD 的距离为h ，表示出四边形的面积，即可推出答案；解法四：建系，由已知写出点的坐标，结合已知推得BD 是O 的直径，然后表示出四边形的面积，即可推出答案.【小问1详解】因为π2sin 6b c A ⎛⎫=+⎪⎝⎭，在ABC 中，由正弦定理得，i s n in 2sin πs 6B A C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为()()sin sin πsin B A C A C =--=+，所以()πsin 2s n sin i 6A C A C ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，展开得sin cos cos sin sin sin cos 31222A C A C C A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，即sin cos si 30n sin A C C A -=，因为sin 0A ≠，故cos 3sin C C =，即3tan 3C =.又因为()0,πC ∈，所以π6C =.【小问2详解】解法一：如图1设ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，因为2BA BD BA ⋅= ，所以()0BA BD BA ⋅-= ，即0BA AD ⋅=，所以DA BA ⊥，故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =.在ABD △中，223AD BD AB =-=.设四边形ABCD 的面积为S ，BC x =，CD y =，则224x y +=，ABD CBD S S S =+△△11312222AB BC xyAD CD =+⋅=⋅+2231312222x y +≤+⋅=+，当且仅当2x y ==时，等号成立.所以四边形ABCD 面积最大值为31 2+.解法二：如图1设ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，BD在BA上的投影向量为BAλ，所以()2BA BD BA BA BAλλ⋅=⋅=.又22BA BD BA BA⋅==，所以1λ=，所以BD在BA上的投影向量为BA，所以DA BA⊥.故BD是O的直径，所以BC CD⊥.在ABC中，1c=，122πsin sin6cARBC=∠==，所以2BD=，在ABD△中，223AD BD AB=-=.设四边形ABCD的面积为S，CBDθ∠=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2cosCBθ=，2sinCDθ=，所以ABD CBDS S S=+△△1122BAD CDAB C=⋅⋅+3sin22θ=+，当π22θ=时，S最大，所以四边形ABCD 面积最大值为312+.解法三：如图1设ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，因为2BA BD BA ⋅= ，所以()0BA BD BA ⋅-= ，即0BA AD ⋅= ，所以DA BA ⊥.故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =.在ABD △中，223AD BD AB =-=.设四边形ABCD 的面积为S ，点C 到BD 的距离为h ，则ABD CBD S S S =+△△1122AD h AB BD ⋅+⋅=32h =+，当1h R ==时，S 最大，所以四边形ABCD 面积最大值为312+.解法四：设ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，在ABC 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，故ABC 外接圆O 的半径1R =.即1OA OB AB ===，所以π3AOB ∠=.如图2，以ABC 外接圆的圆心为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则13,22A ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，()10B ,.因为C ，D 为单位圆上的点，设()cos ,sin C αα，()cos ,sin D ββ，其中()0,2πα∈，()0,2πβ∈.所以13,22BA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()cos 1,sin BD ββ=- ，代入2BA BD BA ⋅= ，即1BA BD ⋅=，可得113cos sin 1222ββ-++=，即π1sin 62β⎛⎫-= ⎪⎝⎭.由()0,2πβ∈可知ππ11π,666β⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以解得ππ66β-=或π5π66β-=，即π3β=或πβ=.当π3β=时，A ，D 重合，舍去；当πβ=时，BD 是O 的直径.设四边形ABCD 的面积为S ，则1313sin sin 2222ABD CBD S S S BD BD αα=+=⋅+⋅=+△△，由()0,2πα∈知sin 1α≤，所以当3π2α=时，即C 的坐标为()0,1-时，S 最大，所以四边形ABCD 面积最大值为312+.21.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，且60ABC ∠=︒，2AB =，2PA PB ==．M 是棱PD 上的点，O 是棱AB 的中点，PO 为四棱锥P ABCD -的高，且四面体MPBC 的体积为36．（1）证明：PM MD =；（2）若过点C ，M 的平面α与BD 平行，且交PA 于点Q ，求多面体DMC AQB -体积．【答案】（1）证明见解析（2）32【解析】【分析】（1）由题意AD 平面PBC ，求得体积关系：12M PBC D PBC V V --=，即可得出答案；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面α的法向量为n，设()0,,AQ AP λλλ== ，由0n CQ ⋅= 得23λ=，求出ACQ 面积，平面ACQ 的法向量1n ，利用向量法求出M 到平面ACQ 的距离d ，进而求得M ACQ V -，Q ABC V -，M ADC V -，相加即可得出答案.【小问1详解】因为2PA PB ==，2AB =，AB 中点O ，所以PO AB ⊥，1PO =，1BO =.又因为ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，所以CO AB ⊥，3CO =.因为AD BC ∥，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以AD 平面PBC ，所以11131233323A D PBC A PBC P ABC BC V V V P S O ---====⨯⨯⨯⨯=⋅△.因为3162M PBC D PBC V V --==，所以点M 到平面PBC 的距离是点D 到平面PBC 的距离的12，所以PM MD =.【小问2详解】因为PO ⊥平面ABCD ，,BO CO ⊂平面ABCD ，所以PO BO ⊥，PO CO ⊥，又BO CO ⊥，如图，以O 为坐标原点，OC ，OB ，OP的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0B ，()3,0,0C，()3,2,0D-，()0,0,1P ，所以31,1,22M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()3,1,0AC =，()3,1,0BC =-，()3,3,0BD =-，()0,1,1AP = ，31,1,22CM ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面α的法向量为(),,n x y z = ，则00n BD n CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即33031022x y x y z ⎧-=⎪⎨--+=⎪⎩，取1y =，得()3,1,5=n .因为Q AP ∈，设()0,,AQ AP λλλ==，则()3,1,CQ AQ AC λλ=-=-- ，因为3150n CQ λλ⋅=-+-+= ，所以23λ=，23AQ AP =，所以123,,33CQ ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，220,,33AQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()22212423333CQ ⎛⎫⎛⎫=-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222223332AQ ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ACQ 中，2221cos 822422332242233AQC ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯∠==,0πAQC <∠<,2137sin 188AQC ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭，1224237733831sin 22ACQ S AQ CQ AQC =⨯⨯⨯⨯⨯∠⨯==△,设平面ACQ 的法向量为()1111,,n x y z = ，则1100n AQ n CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111112203323033y z y z x ⎧+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩.取11x =，得()11,3,3n =-.设M 到平面ACQ 的距离为d ，又31,1,22CM ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，则()()()()1222131113322133217d CM n n ⎛⎫-⨯+-⨯-+⨯ ⎪===+⋅⎝⎭-+，11219733337M ACQ ACQ V S d -=⨯⨯⨯=⨯=△，∵23AQ AP = ，∴Q 到平面ABC 的距离为2233PO =，又12332ABC S =⨯⨯= ，∴1223339Q ABC ABC V S -=⨯⨯=△,∵PM MD =，∴M 到平面ADC 的距离为1122PO =，又3ADC ABC S S ==△△，∴113326M ADC ADC V S -=⨯⨯=△,多面体DMC AQB -体积为323339962M ACQ Q ABC M ADC V V V V ---=++=++=.22.如图1，某景区是一个以C为圆心，半径为3km 的圆形区域，道路1l ，2l 成60°角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道AB ，点A ，B 分别在1l 和2l 上，修建的木栈道AB 与道路1l ，2l 围成三角地块OAB ．（注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）．（1）当OAB 为正三角形时求修建的木栈道AB 与道路1l ，2l 围成的三角地块OAB 面积；（2）若OAB 的面积103S =，求木栈道AB 长；（3）如图2，设CAB α∠=，①将木栈道AB 的长度表示为α的函数，并指定定义域；②求木栈道AB 的最小值．【答案】（1）2273km（2）3km 3（3）①33π0πtan 3tan 3AB ααα⎛⎫=+<< ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，②63km 【解析】【分析】（1）运用等面积法可求得等边三角形的边长，进而求得等边三角形的面积.（2）方法1：运用内切圆性质及三角形面积公式可求得结果.方法2：运用两个三角形面积公式可得a b c ++，ab 的值，再结合余弦定理可得22()3c a b ab =+-，联立可求得AB 的长.（3）①运用内切圆性质可得π3CBM α∠=-，进而运用直角三角形中的正切公式可表示出AB .②方法1：运用分离常数法、“1”的代换及基本不等式可求得结果.方法2：运用切化弦、和角公式、积化和差公式化简AB 表达式，再结合三角函数在区间上求最值即可.方法3：运用切化弦、和差角公式、二倍角公式、辅助角公式化简，再结合三角函数在区间上求最值即可.【小问1详解】如图所示，设三角地块OAB 面积为S ，等边△OAB 边长为a ，所以由等面积法得：211π33sin 223S a a =⨯⨯=，解得63a =，所以221π3sin (63)273234OAB S a ==⨯=△.故修建的木栈道AB 与道路1l ，2l 围成的三角地块OAB 面积为273平方千米.【小问2详解】方法1：设圆C 分别与OB 、OA 、AB 相切于点N 、E 、M ，如图所示，则3NC =，NC OB ⊥，1π26NOC BOA ∠=∠=，所以在Rt ONC △中，33πtan6NCON ==，所以33OE ON ==，设BM BN m ==，AE AM n ==，所以12(33)31032AOB S m n =⨯⨯++⨯=△，解得：33m n +=，即：33AB =.故木栈道AB 长为3km 3.方法2：设三角地块OAB 面积为S ，OB a =，OA b =，AB c =，3r =，由等面积法可得：()11sin 22S ab BOA r a b c =∠=++，即：()()13103103242433r a b c ab a b c ab =++=⇒=++=，所以3203a b c ++=①，40ab =②，在△OAB 中，由余弦定理得2222222cos 2cos60c a b ab BOA c a b ab ︒=+-∠⇒=+-222()3a b ab a b ab =+-=+-，即：22()3c a b ab =+-③，由①②③解得：33c =.故木栈道AB 长为3km 3.【小问3详解】如图所示，①由题意知，2π3OBA OAB ∠+∠=，由内切圆的性质可知，π3CBA CAB ∠+∠=，设直线AB 和圆C 相切点M ，CAB α∠=，则π3CBM α∠=-，因为00π003CAB CBA αα>⎧∠>⎧⎪⇒⎨⎨∠>->⎩⎪⎩，解得：π03α<<，又因为tan CM AM α=，πtan 3CMBM α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以tan 3AM α=，πn 33ta BM α=⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以33π0πtan 3tan 3AB AM BM ααα⎛⎫=+=+<< ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.即：33π0πtan 3tan 3AB ααα⎛⎫=+<< ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.②方法1：3tan 1312333πtan tan tan 3tan 3tan ta 3331n AB ααααααα⎛⎫+=+=+=+- ⎪ ⎪⎛⎫--⎝⎭- ⎪⎝⎭()143tan 4tan 3tan 3tan 333533tan tan 3tan 3tan αααααααα⎛⎫-⎛⎫⎡⎤=++--=++- ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎝⎭3(54)3363≥⨯+-=，当且仅当π6α=时等号成立，故木栈道AB 的长度最小值为63km .方法2：πππcos()cos sin()sin cos()33333πππtan sin sin()sin sin()33cos tan 333AB αααααααααααα⎛⎫--+- ⎪=+=+=⨯ ⎪⎛⎫ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin[()]sin333333π11ππ1ππcos(2)cos[()]cos[()]cos(2)cos 32233233αααααααα-+=⨯=⨯=⎡⎤⎡⎤-----+---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因为π03α<<，所以πππ2333α-<-<，所以1πcos(2)123α<-≤，所以3363π1cos(2)32AB α=≥--，故木栈道AB 的长度最小值为63km .方法3：πππcos()cos sin()sin cos()33333πππtan sin sin()sin sin()33cos tan 333AB αααααααααααα⎛⎫--+- ⎪=+=+=⨯ ⎪⎛⎫ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin[()]sin333333π13131sin(2)sin (cos sin )sin 2(1cos 2)622244αααααααα-+=⨯=⨯=+----，因为π03α<<，所以ππ5π2666α<+<，所以1πsin(2)126α<+≤，所以3363π1sin(2)62AB α=≥+-，故木栈道AB 的长度最小值为63km .【点睛】方法点睛：解三角形的应用问题的要点（1）从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素；（2）利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解．解三角形中最值（范围）问题的解题策略利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一边的函数或不等式，利用函数的单调性或基本不等式等求最值（范围）．。
江苏省徐州市2023-2024学年度第二学期期中学业水平质量监测高一年级数学试题
2023~2024学年度第二学期期中联校考试高一数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.︒︒-︒︒=cos14cos16cos 76sin16（ ）A. 21B.C. -21 D. 2. 已知(),512a a b ⋅==，，若()2b a b ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）A ．6πB ． 4πC ．3πD ．4π3 3.ABC 中角A,B,C 所对边的长分别为a ，b ，c .向量(p a c b =+,)，(,q b a c a =--).若p q ∥，则角C 的大小为（ ）A ．6π B. 3π C.2π D. 3π2 4. 如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =（ ）A. 31AB AD +44B. 13AB AD +44C. AB AD +21D. 31AB AD +425. 函数⎝⎭ ⎪=+⎛⎫f x x 3sin 21)(在区间π0,2)(内的零点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 56. 已知⎝⎭ ⎪-=-⎛⎫α63cos 1π，则⎝⎭ ⎪+=⎛⎫α6sin 2π（ ） A ．-97B ．97C ．-32D ．32 7. 在ABC 中，若⋅⋅=--c B b CC B cos cos 1cos21cos2，则ABC 的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形8. 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，若动点P 在以AB 为直径的半圆上（正方形ABCD 内部，含边界），则PC PD ⋅的取值范围为（ ）A ．0,4)(B ．0,4][C ．0,2)(D ．0,2][二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A. 已知O 为点A,B,C 所在直线外一点，且0.40.6.OC xOA OB x =+=则，B. 已知非零向量(1,2),(1,1)a b ==，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是⎝⎭⎪-+∞⎛⎫3,5C. 已知向量(23,2AB =)，(1,3AC =--)，则AB 在AC 上的投影向量的坐标为) D. 若点G 为ABC 中线的交点，则0GA GB GC ++=10. 已知=αβtan 2tan ，则（ ）A ．⎝⎭ ⎪∃∈⎛⎫αβ2,0,π，使得=αβ2B ．若=αβ5sin cos 2，则-=αβ5sin 1)( C ．若=αβ5sin cos 2，则+=-αβ25cos 227)(D ．若α，⎝⎭ ⎪∈⎛⎫β20,π，则-αβtan )(的最大值为411. ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且=a 2，23AB AC S ⋅=，下列选项正确的是（ ）A ．=A 6πB ．若=b ABC 只有一解C ．若ABC 为锐角三角形，则b 取值范围是D ．若D 为BC 边上的中点，则AD 的最大值为2三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知⎝⎭ ⎪+=-⎛⎫απαπ2sin 2sin )(，则⎝⎭ ⎪-=⎛⎫απ4tan ．13.圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为36m ，在它们之间的地面上的点M （B M D ,, 三点共线）处测得建筑物顶A 、教堂顶C 的仰角分别是︒45和︒60，在建筑物顶A 处测得教堂顶C 的仰角为︒15，则可估算圣·索菲亚教堂的 高度CD 为 m.14. △ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，点P 是△ABC 所在平面内的动点，满足BC BA OP OB BC BA λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭（>λ0）．射线BP 与边AC 交于点D ．若+-=a A c C b B a C sin sin sin sin ，=BD 2，则角B 的值 为_____________，△ABC 面积的最小值为_____________．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝3，AD ＝2，∠BAD ＝120°.(1) 求AC → 的模；(2) 若AE → ＝13 AB → ，BF → ＝12 BC → ，求AF → ·DE → 的值．16.（15分）已知向量(2sin ,3(cos sin ))222x x m =+x ，(cos ,sin cos )222x x x n =-，且函数f x m n =⋅(). (1)若⎣⎦⎢⎥∈⎡⎤πx 20,，且=f x 32)(，求x sin 的值； (2)若将函数f x )(的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的21，再将所得图像向左平移π4个单位，得到g x )(的图像，求函数g x )(单调增区间．分）记ABC 的内角18.（17分）在直角梯形ABCD 中，已知，AD AB CD AB DC AD ，，，，===⊥AB 213，动点E 、F 分别在线段BC 和DC 上，AE 和BD 交于点M ，且(),1BE BC DF DC λλ==-，∈λR ．(1)当0AE BC ⋅=时，求λ的值；(2)当=λ32时，求MB DM 的值； (3)求1AF AE +2的取值范围．19.（17分）定义函数=+f x m x n x sin cos )(的“源向量”为(,OM m n =)，非零向量(,OM m n =)的 “伴随函数”为=+f x m x n x sin cos )(，其中O 为坐标原点．(1)若向量(1,3OM =)的“伴随函数”为f x )(，求f x )(在∈x π0,][的值域；(2)若函数=+αg x x )()(的“源向量”为OM ，且以O 为圆心，OM 为半径的圆内切于正ABC（顶点C 恰好在y 轴的正半轴上），求证：222MA MB MC ++为定值； (3)在ABC 中，角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，若函数h x )(的“源向量”为(0,1OM =)，且已知==a h A 58,3)(，求AB AC AB AC +-⋅的取值范围．。
2022-2023学年河南省信阳市高一年级下册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年河南省信阳市高一下学期期中数学试题一、单选题1．复平面内表示复数（）的点位于（ ）()z i a i =-a<0A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】先化简复数，即可判断表示的点所在的象限.z 【详解】表示的点为，()1z i a i ai=-=+()1,a 因为，所以点位于第四象限，a<0()1,a 故选：D.2．已知向量，且，则实数等于（ ）()()241a m b ==- ，，，()()a b a b-⊥+ mA ．2B ．C ．8D ．12【答案】D 【分析】根据，由求解.()()a b a b -⊥+()()a b a b +⋅-= 【详解】解：因为向量，()()241a m b ==- ，，，所以，()()2,1,6,1a b m a b m -=-++=-因为，()()a b a b -⊥+ 所以，()()()()()26110a b a b m m +⋅-=-⨯++-=解得，即213=m m =故选：D3．“为第一象限角”是“”的（ ）αtan 0α>A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据正切函数在各个象限的符号，结合充分条件、必要条件的概念，即可得出答案.【详解】若为第一象限角则必有；αtan 0α>反之，若，则为第一或第三象限角.tan 0α>α4．在中，若，，则形状为（ ）ABC3sin b B =cos cos A C =ABC A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】首先利用正弦定理化边为角求出的值，再结合，以及三角形的内角和可求出sin A A C =，进而可得正确选项.B ∠【详解】因为,3sin b B =所以,3sin sin B A B =因为0180B <<所以，sin 0B ≠所以或，sin A =60A =120 又因为，,cos cos A C =0180A <<0180C << 所以A C∠=∠所以，，，60A ∠= 60C ∠= 180606060B ∠=--=所以为等边三角形.ABC 故选：C.5．已知，，则（ ）3π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos α=A ．B ．C ．D ．35-354535±【答案】B 【分析】由的范围判断的符号，再由展开计算即可.π4α+πsin(4α+()ππcos cos 44αα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦【详解】因为，所以，则，3π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ,π44α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πsin 04α⎛⎫+>⎪⎝⎭所以πsin 4α⎛⎫+==⎪⎝⎭所以，ππππππ3cos cos cos cos sin sin 4444445αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦6．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变．再把所得曲线向左平移()y f x =13个单位长度，得到函数的图象，则（ ）π4πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x =A ．B ．πsin 312x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭7πsin 312x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．D ．πsin 312x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭7πsin 312x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据三角函数图象变换规律求解析式.【详解】函数的图象向右平移个单位长度，得到，πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π4πππsin sin 4312y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再把所得的曲线所有点的横坐标伸长到原来的倍，得到.3()πsin 312x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：A.7．八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如）为等腰直角三角形，点为四心，中ACD O 间部分是正方形且边长为2，定点，所在位置如图所示，则的值为（ ）A B AB AO ⋅A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】C【分析】利用转化法得，展开利用向量数量积的定义并代入相关数()()·AB AO AD DB AD DO⋅=++ 据即可.【详解】如图所示：连接，OD因为中间阴影部分是正方形且边长为2，且图中各个三角形为等腰直角三角形，所以可得，，4ADO ODB π∠=∠=||OD = ||4AD = 2ADB π∠=则，()()··AB AO AD DB AD DO =++ 23cos cos44AD AD DO DB AD DB DO ππ=++⋅+.244214⎛=++= ⎝故选：C.8．函数在内恰有两个最小值点，则ω的范围是（ ）()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π7π,44⎛⎫⎪⎝⎭A ．B ．13,47⎛⎤⎥⎝⎦13,37⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．D ．4,43⎛⎤ ⎥⎝⎦4,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】根据正弦型函数的最小值的性质，结合题意进行求解即可.【详解】当时，即时，函数有最小值，π3π2π(Z)42x k k ω+=+∈5π2π4(Z)k x k ω+=∈令时，有，，，，1,0,1,2k =-34πx ω=-5π4x ω=13π4x ω=21π4x ω=因为函数在内恰有两个最小值点，，()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π7π,44⎛⎫⎪⎝⎭0ω>所以有：，π5π4413π7π1334477π21π44ωωωω⎧<⎪⎪⎪<⇒<≤⎨⎪⎪≤⎪⎩故选：B二、多选题9．已知中，，若三角形有两解，则x 不可能的取值是（ ）ABC ,2,45a x b B ===︒A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5【答案】ACD【分析】若三角形有两解，则，结合正弦定理即可求解,sin 1a b A ><【详解】解：因为中，，且三角形有两解，ABC ,2,45a x b B ===︒所以，,sin 1a b A ><由正弦定理得，sin sin a bA B =所以，解得sin sin 1a B A b ===<x <因为，所以，a b >2x >所以，2x <<故选：ACD10．若复数，则（ ）z i =A ．|z |=2B ．|z |=4C ．z 的共轭复数iD ．z 24z =-【答案】AC【分析】根据复数的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.，故A 选项正确，B 选项错误.2=，C 选项正确.z i =，D 选项错误.)22232z ii ==-+=-故选：AC11．下列关于平面向量的命题正确的是( )A ．若∥，∥，则∥a b b c a cB ．两个非零向量垂直的充要条件是：,a b 0a b ⋅= C ．若向量，则四点必在一条直线上AB CD =,,,A B C D D ．向量与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使()0a a ≠b λb aλ= 【答案】BD【分析】根据向量共线的概念判断A ，根据向量垂直的性质判断B ，根据向量相等和向量概念判断C ，根据向量共线定理判断D ．【详解】对于，当时，不一定成立，A 错误；A 0b =∴对于，两个非零向量，当向量垂直可得，反之也一定有向量垂直，B ,a b ,a b 0a b ⋅= 0a b ⋅= ,a b B 正确；∴对于C ，若向量与方向和大小都相同，但四点不一定在一条直线上，,AB CD AB = CD,,,A B C D 错误；C ∴对于D ，由向量共线定理可得向量与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使()0a a ≠ bλD 正确．,b a λ=∴故选：BD ．12．关于函数 有以下四个选项，正确的是（ ）()()cos sin 0f x x a x a =+≠A ．对任意的都不是偶函数()0a f x ≠，B ．存在使是奇函数0a ≠，()f x C ．存在使0a ≠，()()πf x f x +=D ．若的图像关于对称，则()f x π4x =1a =【答案】AD【分析】根据辅助角公式将函数化简，然后结合正弦型函数的性质，对选项逐一判断即可.()f x【详解】因为，其中，，()()cos sin f x x a x x ϕ=+=+1tan a ϕ=ππ22ϕ-<<对于A ，要使为偶函数，则，且，则无解，()f x ππ,2k k ϕ=+∈Z ππ22ϕ-<<即对任意的a ，都不是偶函数，故正确；()f x 对于B ，要使为奇函数，则，且，又，所以不存在a ，使()f x π,k k ϕ=∈Z ππ22ϕ-<<1tan a ϕ=是奇函数，故错误；()f x对于C ，因为，故错误；()()()()ππf x x x f x ϕϕ+=++=+≠对于D ，若的图像关于对称，则，，()f x π4x =πππ42k ϕ+=+k ∈Z 解得，且，所以，即，故正确.ππ,4k k ϕ=+∈Z ππ22ϕ-<<π4ϕ=π1tan 114a a ==⇒=故选：AD三、填空题13．______．cos112.5︒=【答案】【分析】首先由诱导公式求出，再利用二倍角公式计算可得；cos 225︒【详解】解：因为()cos 225cos 18045cos 45︒=︒+︒=-︒=又()2cos 225cos 2112.52cos 112.51︒=⨯︒=︒-=所以2cos 112.5︒=cos112.5︒=因为，所以90112.5180︒<︒<︒cos112.5︒=故答案为：14．已知函数，若，则=__________________() ³sin 2022f x ax b x =++22021f =（）()2f -【答案】2023【分析】由条件可得，即可算出答案.()()4044f x f x -+=【详解】因为，所以，()3sin 2022f x ax b x -=--+()()4044f x f x -+=因为，所以，22021f =（）()22023f -=故答案为：.202315．如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高气度，先在山脚A 处测得山顶C 处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400m 的M 处（即），观测到山顶C 处的仰400MD =角为15°，山脚A 处的俯角为45°，则山高___________m.BC=【答案】600【分析】确定，，在中，利用正弦定理计算得到AM =45ACM ∠=︒75MAC ∠=︒MAC △答案.【详解】，则，,，45AMD ∠=︒AM ==451560CMA ∠=︒+︒=︒60CAB ∠=︒故，，18060MAC ∠=︒-︒4575-︒=︒180756045ACM ∠=︒-︒-︒=︒在中，由正弦定理得，即MAC △sin sin AC MA AMC ACM =∠∠sin60AC =︒解得.AC =sin60600BC AC =︒=故答案为：60016．在中，若，，则的最大值为__________．ABC ∆3B π=AC =2AB BC +【答案】【详解】设22sin sin 3AB BC A θθπθ====⎛⎫- ⎪⎝⎭22sin ,3AB πθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，最大值为2sin BC θ=()222sin 4sin 3AB BC πθθθϕ⎛⎫∴+=-+=+ ⎪⎝⎭【解析】解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理，三角形内角和将边长用一内角表示，转化为三角函数求最值，只需将三角函数化简为的形式()sin cos a b θθθϕ+=+四、解答题17．已知复数满足：.z i 13iz z +=+(1)求复数；z (2)化简：.61i zz +--【答案】(1)34iz =+(2)97i 22+【分析】（1）设复数，根据复数的模的计算公式结合复数相等的定义，列出方()i ,z m n m n =+∈R 程组，求出，从而可得出答案；,m n （2）根据共轭复数的定义结合复数的模的计算公式及复数的除法运算计算即可得解.【详解】（1）解：设复数，()i ,z m n m n =+∈R，()i i 13im n +=+，i 13i n m +=+则，41,33n n m m =⎧=⇒⎨==⎩⎪⎩；34i z ∴=+（2）解：由（1）得，34i z =+则34i 634i 61i 1i z z ++-=+----()()()()34i 1i 34i1i 1i ++=+---+17i 52-+=+.97i 22=+18．已知向量满足.,a b123a b a b ==-= ，，(1)求向量与向量的夹角；a b(2)求向量在向量方向上的投影的模.ba b - 【答案】(1)2π3【分析】（1）根据向量模的计算公式以及夹角公式即可求出；（2）根据投影向量的求解公式即可解出.【详解】（1）由可得，，3a b -=3a b -==229619a a b b -⋅+= 而，所以，，，而，12a b == ，1a b ⋅=-1cos ,2a b a b a b⋅〈〉==-0,πa b ≤〈〉≤所以，向量与向量的夹角为．a b2π3（2）向量在向量方向上的投影的模为：ba b - cos b b a-,=19．已知.22sin 2sin 12αα=-(1)求的值；sin cos cos 2ααα+(2)若，求的值.1(0,),(0,tan()23παπβαβ∈∈+=-2αβ+【答案】(1)15(2)74π【分析】（1）先根据降幂公式得，再对原式构造齐次式结合即可求解.1tan 2α=-1tan 2α=-（2）先求出，再根据角的范围即可确定的值.tan(2=tan(++)1αβααβ+=-）2αβ+【详解】（1）由已知得，所以2sin cos αα=-1tan 2α=-所以2222sin cos cos sin sin cos cos 2sin cos ααααααααα+-+=+.22tan 1tan 1tan 15ααα+-==+（2）因为tan +tan(+)tan(2=tan(++)11tan tan()ααβαβααβααβ+==--+）又，13tan ,0,24πααπαπ=-<<∴<< 同理33,2242ππαβπαβπ<+<∴<+<所以.724παβ+=20．在①，②这两个条件中任选一个，222cos cos sin sin sin B C A A B --=-sin cos 2sin sin cos C C B A A =-补充在下面的横线上，并解答．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足ABC ______．(1)求角C 的大小；(2)若点D 为边BC 上的一点，且AD =3，，，求的面积．BD =AB ACD 【答案】(1)3C π=【分析】(1)分别选择条件①和②，运用正弦定理和余弦定理即可求解；(2)作图，先求 ，再求 ，运用面积公式即可.ADB ∠DAC ∠【详解】（1）选①，因为，222cos cos sin sin sin B C A A B --=-所以，2221sin (1sin )sin sin sin B C A A B ----=-即，222sin sin sin sin sin A B C A B +-=由正弦定理得，222a b c ab +-=由余弦定理，2221cos 22a b c C ab +-==因为，所以；(0,)C π∈3C π=选②，因为，sin cos 2sin sin cos C C B A A =-所以，(2sin sin )cos sin cos B A C C A -=⋅所以，，sin cos sin cos 2sin cos C A A C B C ⋅+⋅=⋅sin 2sin cos B B C =⋅因为，所以，所以，(0,)B π∈sin 0B ≠1cos 2C =因为，所以；(0,)C π∈3C π=（2）由第一问可知，作图如下：3C π=在 中，由余弦定理，ABD△222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-===⨯∠所以，，34ADB π∠=4ADC π∠=在中，由正弦定理，ADC △sinsin AC AD ADC C =∠∠=解得，，AC =54312DAC ππππ=--=∠，5sin sin sin sin cos cos sin 1243434343ππππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；11sin 322ADC S AD AC DAC =⨯⨯∠=⨯=△综上，，三角形ADC .3C π=21．已知()1sin cos ,2cos ,2sin ,sin 2.2a x x b x θθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ (1)若且 时，与的夹角为钝角，求的取值范围；),4(3c =- ()π,0,π4x θ=∈a c cos θ(2)若函数，求的最小值.π3θ=，()f x a b=⋅ ()fx 【答案】(1)；(1,(-⋃(2)12【分析】（1）根据给定条件，利用向量数量积及共线向量的坐标表示列式，求出范围作答.cos θ（2）利用数量积的坐标表示求出函数，再利用换元法结合二次函数性质求解作答.()f x【详解】（1）当时， ，与的夹角为钝角，π4x =)2cos a θ= a c 于是，且与不共线，0a c ⋅< a c则 ，解得，即，8cos 0a c θ⋅=-< cos θ<()0,πθ∈()cos 1,1θ∈-则有，又当与共线时，，解得1cos θ-<<a c 6cos 0θ=cos θ=因此与不共线时，，a c cos θ≠所以的取值范围是.cos θ(1,(-⋃（2）依题意，当时，π3θ=()()1sin cos ,1sin 2)2f x a b x x x =⋅=+⋅，1sin 2cos )sin cos 2x x x x x x x =+=++令，则，πsin cos [4t x x x =+=+∈21sin cos 2t x x -=于是，而函数在上为增函数，()(2211222t f x t -=+=-(2122y t =+-t ⎡∈⎣则当y 有最小值，t =12所以的最小值为()f x 1222．已知函数的部分图像如图所示，若，()4cos cos 1(0)3f x x x πωωω⎛⎫=⋅-- ⎪>⎝⎭288AB BC π⋅=- B ，C 分别为最高点与最低点．(1)求函数的解析式；()f x (2)若函数在，上有且仅有三个不同的零点，，，（），求实()y f x m =-130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x 3x 123x x x <<数m 的取值范围，并求出的值．123 cos (2)x x x ++【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)，m ⎡∈⎣12【分析】（1）化简函数为，设函数的周期为T ，得到，()2sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x ,24T AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，再根据求解；,42T BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 288AB BC π⋅=- （2）将问题转化为曲线与在上有且仅有三个不同的交点，设，由()y f x =y m =130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦26t x π=+与求解；再由，，得到求解.2sin y t =y m =12t t π+=233t t π+=12324t t t π++=【详解】（1）解：，)()2cos cos 1f x x x x ωωω=+-，2cos 2cos 1x x x ωωω=⋅+-，2cos 2x x ωω=+，2sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭设函数的周期为T ，则，，()f x ,24T AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,42T BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 则，228888T AB BC π⋅=-=- 所以．故，故，T π=22T ππω==1ω=所以．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由题意，函数在上有且仅有三个不同的零点，，，，()y f x m =-130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x 3x 即曲线与在上有且仅有三个不同的交点．()y f x =y m =130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦设，当时，．则，，26t x π=+130,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦7,63t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2sin y t =7,63t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则，，，m ⎡∈⎣12t t π+=233t t π+=所以，即，12324t t t π++=12322224666x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即，123523x x x π++=所以．12351cos(2)cos 32π++==x x x。
2020年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案(共七套)
2020年年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案（共七套）2020年年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案（一）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，有且只有一个选项正确）1．如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角2．①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验．I．简单随机抽样法；Ⅱ．分层抽样法．上述两问题和两方法配对正确的是（）A．①配I，②配ⅡB．①配Ⅱ，②配ⅠC．①配I，②配I D．①配Ⅱ，②配Ⅱ3．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：46810记忆能力x3568识图能力y由表中数据，求得线性回归方程为，=x+，若某儿童的记忆能力为11时，则他的识图能力约为（）A．8.5 B．8.7 C．8.9 D．94．如果如图所示程序执行后输出的结果是480，那么在程序UNTIL 后面的“条件”应为（）A．i＞8 B．i＞=8 C．i＜8 D．i＜=85．若，，则sin（2π﹣α）=（）A． B．C． D．6．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.30 B．0.35 C．0.40 D．0.507．如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A． B． C．D．8．若sinα=，cosα=﹣，则在角α终边上的点是（）A．（﹣4，3）B．（3，﹣4）C．（4，﹣3）D．（﹣3，4）9．记集合A={x，y）|x2+y2≤4}和集合B={（x，y）|x﹣y﹣2≤0，x ﹣y+2≥0}表示的平面区域分别为Ω1、Ω2，若在区域Ω1内任取一点M （x，y），则点M落在区域Ω2内的概率为（）A．B．C． D．10．当x=时，函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，则函数y=f（﹣x）是（）A．奇函数且图象关于直线x=对称B．偶函数且图象关于点（π，0）对称C．奇函数且图象关于（，0）对称D．偶函数且图象关于点（，0）对称二、填空题：（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请将正确的答案填在横线上）11．已知扇形AOB的周长是6，中心角是2弧度，则该扇形的面积为．12．设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则a，b，c三数由大到小关系为．13．高一（9）班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：则统计表中的a•p=．组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25，30）1200.6第二组[30，35）195p第三组[35，40）1000.5第四组[40，45）a0.4第五组[45，50）300.3第六组[50，55）150.314．已知函数f（x）=x+sinπx，则f（）+f（）+f（）+…+f （）的值为．三、解答题：（本大题有3个小题，共30分．请书写完整的解答过程）15．（10分）某中学调查了某班全部50名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团86未参加演讲社团630（I）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（II）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．16．（10分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图示．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；（Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？17．（10分）已知：﹣＜x＜﹣π，tanx=﹣3．（Ⅰ）求sinx•cosx的值；（Ⅱ）求的值．四、选择题：（本大题共2小题，每小题5分，共15分，有且只有一个选项正确）18．现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（）A．B．C．D．19．函数y=，x∈（﹣，0）∪（0，）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．五、填空题：（共5分．请将正确的答案填在横线上）20．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是．六、解答题：（本大题有3个小题，共35分．请书写完整的解答过程）21．（11分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．22．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）．（1）若f（x）的部分图象如图所示，求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数；（3）若f（x）在[0，]上是单调递增函数，求ω的最大值．23．（12分）我们把平面直角坐标系中，函数y=f（x），x∈D上的点P（x，y），满足x∈N*，y∈N*的点称为函数y=f（x）的“正格点”．（Ⅰ）若函数f（x）=sinmx，x∈R，m∈（3，4）与函数g（x）=lgx 的图象有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数．（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的m值，函数f（x）=sinmx，时，不等式log a x＞sinmx恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，有且只有一个选项正确）1．如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角【考点】GC：三角函数值的符号．【分析】根据三角函数的符号，判断θ是哪一象限角即可．【解答】解：∵cosθ＜0，∴θ是第二、第三象限角或x负半轴角，又tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角，∴θ是第三象限角．故选：C．【点评】本题考查了根据三角函数值判断三角函数符号的应用问题，是基础题目．2．①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验．I．简单随机抽样法；Ⅱ．分层抽样法．上述两问题和两方法配对正确的是（）A．①配I，②配ⅡB．①配Ⅱ，②配ⅠC．①配I，②配I D．①配Ⅱ，②配Ⅱ【考点】B3：分层抽样方法；B2：简单随机抽样．【分析】由题意知①的总体中个体明显分层两，用分层抽样，②的总体中个体的数目不大用简单分层抽样．【解答】解：①、总体中个体明显分层两层：来自城镇的学生和来自农村的学生，故用分层抽样来抽取样本；②，总体中个体的数目是100，不是很大，故用简单分层抽样来抽取样本．故选B．【点评】本题的考点是选择抽样方法，即根据总体的特征和抽样方法适用的条件进行选择最佳方法．3．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：46810记忆能力x3568识图能力y由表中数据，求得线性回归方程为，=x+，若某儿童的记忆能力为11时，则他的识图能力约为（）A．8.5 B．8.7 C．8.9 D．9【考点】BK：线性回归方程．【分析】由表中数据计算、，根据线性回归方程过样本中心点求出，写出线性回归方程，利用回归方程计算x=11时的值．【解答】解：由表中数据，计算=×（4+6+8+10）=7，=×（3+5+6+8）=5.5，且线性回归方程=x+过样本中心点（，），∴=5.5﹣×7=﹣0.1=﹣，∴线性回归方程为=x﹣；当x=11时，=×11﹣=8.7，即某儿童的记忆能力为11时，他的识图能力约为8.7．故选：B．【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．4．如果如图所示程序执行后输出的结果是480，那么在程序UNTIL 后面的“条件”应为（）A．i＞8 B．i＞=8 C．i＜8 D．i＜=8【考点】EA：伪代码．【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据S=1×10×8×6=480得到程序中UNTIL后面的条件．【解答】解：因为输出的结果是480，即S=1×10×8×6，需执行3次，所以程序中UNTIL后面的“条件”应为i＜8．故选：C．【点评】本题主要考查了直到型循环语句问题，语句的识别是一个逆向性思维过程，是基础题．5．若，，则sin（2π﹣α）=（）A． B．C． D．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式求得cosα的值，再根据α的范围求得sinα的值，可得要求式子的值．【解答】解：∵=﹣cosα，∴cosα=．又，∴sinα=﹣=﹣，∴sin（2π﹣α）=﹣sinα=，故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．6．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.30 B．0.35 C．0.40 D．0.50【考点】CE：模拟方法估计概率．【分析】由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，分析所给的数据可得表示三天下雨的数据组数，根据概率公式，计算可得结果．【解答】解：根据题意，用随机模拟试验模拟三天中恰有两天下雨的结果，分析可得：20组数据中表示三天中恰有两天下雨的有191、271、932、812、393、027、730，共7组，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为=0.35；故选：B．【点评】本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．7．如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A． B． C．D．【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】根据茎叶图中的数据，求出甲乙两人的平均成绩，再求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，即可得到答案．【解答】解：由已知中的茎叶图得，甲的平均成绩为（88+89+90+91+92）=90；设污损的数字为x，则乙的平均成绩为（83+83+87+99+90+x）=88.4+，当x=9，甲的平均数＜乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩等于甲的平均成绩的概率为，所以，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1﹣﹣=．故选：D．【点评】本题考查了平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式的应用问题，是基础题目．8．若sinα=，cosα=﹣，则在角α终边上的点是（）A．（﹣4，3）B．（3，﹣4）C．（4，﹣3）D．（﹣3，4）【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义有sinα=，cosα=，从而可知选项．【解答】解：由于sinα=，cosα=﹣，根据三角函数的定义：sinα=，cosα=，可知x=﹣4，y=3，故选：A．【点评】本题主要考查了三角函数的定义．考查了学生对三角函数基础知识的掌握．9．记集合A={x，y）|x2+y2≤4}和集合B={（x，y）|x﹣y﹣2≤0，x ﹣y+2≥0}表示的平面区域分别为Ω1、Ω2，若在区域Ω1内任取一点M （x，y），则点M落在区域Ω2内的概率为（）A．B．C． D．【考点】CF：几何概型．【分析】分别求出集合A，B对应区域的面积，根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：区域Ω1对应的面积S1=4π，作出平面区域Ω2，则Ω2对应的平面区域如图，则对应的面积S=2π+4，则根据几何概型的概率公式可知若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2的概率为P==．故选；D【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键．10．当x=时，函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，则函数y=f（﹣x）是（）A．奇函数且图象关于直线x=对称B．偶函数且图象关于点（π，0）对称C．奇函数且图象关于（，0）对称D．偶函数且图象关于点（，0）对称【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；H2：正弦函数的图象．【分析】由题意可得sin（+φ）=﹣1，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，从而可求y=f（﹣x）=﹣Asinx，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：由x=时函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，∴﹣A=Asin（+φ），可得：sin（+φ）=﹣1，∴+φ=2kπ﹣，k∈Z，解得：φ=2kπ﹣，k∈Z，∴f（x）=Asin（x﹣），∴y=f（﹣x）=Asin（﹣x﹣）=﹣Asinx，∴函数是奇函数，排除B，D，∵由x=时，可得sin取得最大值1，故C错误，图象关于直线x=对称，A正确；故选：A．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了数形结合能力，属于基础题．二、填空题：（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请将正确的答案填在横线上）11．已知扇形AOB的周长是6，中心角是2弧度，则该扇形的面积为．【考点】G8：扇形面积公式．【分析】由已知中，扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是2弧度，我们可设计算出弧长与半径的关系，进而求出弧长和半径，代入扇形面积公式，即可得到答案【解答】解：∵扇形圆心角2弧度，可得扇形周长和面积为整个圆的．弧长l=2πr•=2r，故扇形周长C=l+2r=4r=6，∴r=，扇形面积S=π•r2•=．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是扇形面积公式，弧长公式，其中根据已知条件，求出扇形的弧长及半径，是解答本题的关键，属于基础题．12．设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则a，b，c三数由大到小关系为c＞b＞a．【考点】GA：三角函数线．【分析】分别作出三角函数线，比较可得．【解答】解：∵a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，作出三角函数线结合图象可得c＞b＞a，故答案为：c＞b＞a．【点评】本题考查三角函数线，数形结合是解决问题的关键，属基础题．13．高一（9）班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：则统计表中的a•p= 65．组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25，30）1200.6第二组[30，35）195p第三组[35，40）1000.5第四组[40，45）a0.4第五组[45，50）300.3第六组[50，55）150.3【考点】B8：频率分布直方图．【分析】由频率=，得第一组人数为200，由频率分布直方图得第一组的频率为0.2，从而n=1000，进而a=1000×0.02×5=100，第二组人数为1000×[1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5]=300，求出P==0.65，由此能求出a•P．【解答】解：由频率=，得第一组人数为：=200，由频率分布直方图得第一组的频率为：0.04×5=0.2，n==1000，∴a=1000×0.02×5=100，第二组人数为1000×[1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5]=300，∴P==0.65，∴a•P=100×0.65=65．故答案为：65．【点评】本题考查频率率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意频率=及频率分布直方图的合理运用．14．已知函数f（x）=x+sinπx，则f（）+f（）+f（）+…+f （）的值为4033．【考点】3O：函数的图象；3T：函数的值．【分析】根据题意，求出f（2﹣x）的解析式，分析可得f（x）+f（2﹣x）=2，将f（）+f（）+f（）+…+f（）变形可得[f（）+f（）]+[f（）+f（）]+…[f（）+f（）]+f （1），计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=x+sinπx，f（2﹣x）=（2﹣x）+sin[π（2﹣x）]=（2﹣x）﹣sinx，则有f（x）+f（2﹣x）=2，f（）+f（）+f（）+…+f（）=[f（）+f（）]+[f （）+f（）]+…[f（）+f（）]+f（1）=4033；故答案为：4033．【点评】本题考查了利用函数的对称性求函数值的应用问题，关键是依据函数的解析式确定函数的对称中心．三、解答题：（本大题有3个小题，共30分．请书写完整的解答过程）15．（10分）（2017春•台江区校级期中）某中学调查了某班全部50名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团86未参加演讲社团630（I）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（II）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有50﹣30=20（人），利用古典概率计算公式即可得出．（Ⅱ）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有15个根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，利用古典概率计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有50﹣30=20（人），所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P=．（4分）（Ⅱ）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个．…（6分）根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．…（8分）因此，A1被选中且B1未被选中的概率为．…（10分）【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式、列举法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（10分）（2017春•黄山期末）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图示．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；（Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由直方图的性质能求出直方图中x的值．（Ⅱ）由频率分布直方图能求出月平均用电量的众数和中位数．（Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有25户，月平均用电量为[240，260）的用户有15户，月平均用电量为[260，280）的用户有10户，由此能求出月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取的户数．【解答】（本小题10分）解：（Ⅰ）由直方图的性质，可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1得：x=0.0075，所以直方图中x的值是0.0075．…（3分）（Ⅱ）月平均用电量的众数是=230．…（4分）因为（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5得：a=224，所以月平均用电量的中位数是224．…（6分）（Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有0.0125×20×100=25户，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15户，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10户，…（8分）抽取比例==，所以月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．…（10分）【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．17．（10分）（2017春•台江区校级期中）已知：﹣＜x＜﹣π，tanx=﹣3．（Ⅰ）求sinx•cosx的值；（Ⅱ）求的值．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用；GI：三角函数的化简求值．【分析】（Ⅰ）利用“切化弦”及其平方关系可得sinx•cosx的值；（Ⅱ）根据诱导公式化简，利用“弦化切”可得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵tanx=﹣3，即=﹣3，且﹣＜x＜﹣π，sin2x+cos2x=1，∴cosx=﹣，sinx=．那么：sinx•cosx=．（Ⅱ）原式====﹣3．【点评】本题考查了“弦化切”及同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题．四、选择题：（本大题共2小题，每小题5分，共15分，有且只有一个选项正确）18．现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】基本事件总数n=23=8，设两道题分别为A，B题，利用列举法求出满足恰有一男一女抽到同一题目的事件个数，由此能求出其中恰有一男一女抽到同一道题的概率．【解答】解：现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，基本事件总数n=23=8，设两道题分别为A，B题，所以抽取情况共有：AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB，其中第1个，第2个分别是两个男教师抽取的题目，第3个表示女教师抽取的题目，一共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有：ABA，ABB，BAA，BAB，共4种，故其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为p=．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．函数y=，x∈（﹣，0）∪（0，）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可．【解答】解：因为y=是偶函数，排除A，当x=1时，y=＞1，排除C，当x=时，y=＞1，排除B、C，故选D．【点评】本题考查了三角函数的图象问题，注意利用函数图象的寄偶性及特殊点来判断．五、填空题：（共5分．请将正确的答案填在横线上）20．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是[，] ．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）=2cos （2x﹣）；再利用条件以及余弦函数的单调性，求得a的范围．【解答】解：将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）=2cos（2x﹣）的图象，若函数g（x）在区间和上均单调递增，∴a＞0．由2kπ﹣π≤0﹣≤2kπ，且2kπ﹣π≤2•﹣≤2kπ，k∈Z，求得k=0，﹣π≤a≤①．由2nπ﹣π≤4a﹣≤2nπ，且2nπ﹣π≤2•﹣≤2nπ，求得n=1，≤a≤②，由①②可得，≤a≤，故答案为：．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．六、解答题：（本大题有3个小题，共35分．请书写完整的解答过程）21．（11分）（2017春•黄山期末）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．【考点】CF：几何概型；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）分a=1，2，3，4，5 这五种情况来研究a＞0，且≤1的取法共有16种，而所有的取法共有6×6=36 种，从而求得所求事件的概率．（Ⅱ）由条件可得，实验的所有结果构成的区域的面积等于S△OMN=×8×8=32，满足条件的区域的面积为S△POM=×8×=，故所求的事件的概率为P=，运算求得结果．【解答】解：要使函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a ＞0且，即a＞0且2b≤a．（Ⅰ）所有（a，b）的取法总数为6×6=36个，满足条件的（a，b）有（1，﹣2），（1，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，1），（3，﹣2），（3，﹣1），（3，1），（4，﹣2），（4，﹣1），（4，1），（4，2），（5，﹣2），（5，﹣1），（5，1），（5，2）共16个，所以，所求概率．…（6分）（Ⅱ）如图，求得区域的面积为．由，求得所以区域内满足a＞0且2b≤a的面积为．所以，所求概率．【点评】本题考查了等可能事件的概率与二次函数的单调区间以及简单的线性规划问题相结合的问题，画出实验的所有结果构成的区域，Ⅰ是古典概型的概率求法，Ⅱ是几何概型的概率求法．22．（12分）（2017春•台江区校级期中）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）．（1）若f（x）的部分图象如图所示，求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数；（3）若f（x）在[0，]上是单调递增函数，求ω的最大值．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H5：正弦函数的单调性．【分析】（1）根据函数f（x）的部分图象，求出A、T、ω和φ的值，即可写出f（x）的解析式；（2）根据函数图象平移法则，写出f（x）左移m个单位后的函数解析式，根据函数y是偶函数，求出m的最小正数；（3）根据f（x）在[0，]上是单调递增函数，得出﹣≤φ≤ω+φ≤，求出ω≤﹣，再根据φ的取值范围求出ω的最大值．【解答】解：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，\A=3，=﹣=，∴T=π，ω==2；根据五点法画图知，2×+φ=，解得φ=﹣，∴f（x）=3sin（2x﹣）；（2）f（x）=3sin（2x﹣），函数f（x）的图象向左平移m个单位后，所对应的函数是y=3sin[2（x+m）﹣]=3sin（2x+2m﹣）的图象，又函数y是偶函数，∴2m﹣=+kπ，k∈Z，解得m=+，k∈Z，∴m的最小正数是；（3）f（x）=Asin（ωx+φ）在[0，]上是单调递增函数，A＞0，ω＞0，∴﹣≤φ≤ω+φ≤，解得ω≤﹣；又﹣π＜φ＜0，∴﹣≤φ＜0，∴0＜﹣≤，∴ω≤+=3，即ω的最大值为3．【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，是综合题．23．（12分）（2017春•台江区校级期中）我们把平面直角坐标系中，函数y=f（x），x∈D上的点P（x，y），满足x∈N*，y∈N*的点称为函数y=f（x）的“正格点”．（Ⅰ）若函数f（x）=sinmx，x∈R，m∈（3，4）与函数g（x）=lgx 的图象有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数．（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的m值，函数f（x）=sinmx，时，不等式log a x＞sinmx恒成立，求实数a的取值范围．【考点】3O：函数的图象．【分析】（I）根据正弦函数的性质可知正格点交点坐标为（10，1），从而求出m的值，根据图象判断交点个数．（II）令y=log a x的最小值大于f（x）的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）若y=sinmx与函数y=lgx的图象有正格点交点，则此交点必为（10，1），∴sin10m=1，即10m=+2kπ，m=+，k∈Z．∵m∈（3，4），∴．作出y=sinmx与y=lgx的函数图象，如图所示：根据图象可知：两个函数图象的所有交点个数为10个．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x∈（0，]，i）当a＞1时，不等式log a x＜0，而sin＞0，故不等式log a x＞sinmx 无解．ii）当0＜a＜1时，由图函数y=log a x在上为减函数，∵关于x的不等式log a x＞sinmx在（0，]上恒成立，∴log a＞1，解得：．综上，．【点评】本题考查了方程的解与函数图象的关系，函数恒成立问题与函数最值计算，属于中档题．2020年年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案（二）一、选择题1、集合A={x|3x+2＞0}，B={x| ＜0}，则A∩B=（）A、（﹣1，+∞）B、（﹣1，﹣）C、（3，+∞）D、（﹣，3）2、已知a，b，c为实数，且a＞b，则下列不等式关系正确的是（）A、a2＞b2B、ac＞bcC、a+c＞b+cD、ac2＞bc23、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若b= ，a=2，B= ，则c=（）A、B、C、2D、4、在数列{a n}中，已知a1=0，a n+2﹣a n=2，则a7的值为（）A、9B、15C、6D、85、在下列函数中，最小值为2的是（）A、y=2x+2﹣xB、y=sinx+ （0＜x＜）C、y=x+D、y=log3x+ （1＜x＜3）6、若点A（4，3），B（2，﹣1）在直线x+2y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A、（0，10）B、（﹣1，2）C、（0，1）D、（1，10）7、在等比数列{a n}中，3a5﹣a3a7=0，若数列{b n}为等差数列，且b5=a5，则{b n}的前9项的和S9为（）A、24B、25C、27D、288、若实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A、9B、4C、6D、39、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若（a+c+b）（b+a﹣c）=3ab，则C=（）A、150°B、60°C、120°D、30°10、在等差数列{a n}中，a1=﹣2012，其前n项和为S n，若﹣=2002，则S2017=（）A、8068B、2017C、﹣8027D、﹣201311、设x＞0，y＞0，满足+ =4，则x+y的最小值为（）A、4B、C、2D、912、已知数列{a n}满足a1=4，a n+1=a n+2n，设b n= ，若存在正整数T，使得对一切n∈N*，b n≥T恒成立，则T的最大值为（）A、1B、2C、4D、3二、填空题13、在△ABC中，若a=18，b=24，A=30°，则此三角形解的个数为________．14、设关于x的不等式x+b＞0的解集为{x|x＞2}，则关于x的不等式＞0的解集为________．15、若△ABC的内角A，C，B成等差数列，且△ABC的面积为2 ，则AB边的最小值是________．16、某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为4万元、3万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元甲乙原料限额A（吨） 2 5 10B（吨） 6 3 18三、解答题17、如图，在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=4，AC=2 ，DC=2(1)求cos∠ADC(2)求AB．18、已知数列{a n}是等差数列，{b n}是各项均为正数的等比数列，满足a1=b1=1，b2﹣a3=2b3，a3﹣2b2=﹣1。
2022-2023学年河北省张家口市高一年级下册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年河北省张家口市高一下学期期中数学试题一、单选题1．下列与42α=︒终边相同的角为（）A ．318︒B ．318-︒C ．342︒D ．342-︒【答案】B【分析】利用终边相同角的定义即可求出结果.【详解】与42α=︒终边相同的角为42360k ︒+⋅︒()k ∈Z ，当1k =-时，可得318-︒.故选：B ．2．若1sin 2α=-，且角α的终边经过点()2,M y ，则y =（）A ．223±B ．233±C ．223-D ．233-【答案】D【分析】根据三角函数的定义，列出方程21sin 024y y α==-<+，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，24r OM y ==+，根据三角函数的定义可得21sin 024y y ry α===-<+，所以，0y <，且22144y y =+，所以，233y =-.故选：D ．3．如图，在ABC 中，D 为BC 上靠近B 点的三等分点，若M 为AD 上一点，且15BM BA BC λ=+ ，则λ=（）A ．25B ．25-C ．35D ．35-【答案】A【分析】取向量,BA BC 作基底，结合向量线性运算表示BM，再利用平面向量基本定理求解作答.【详解】由A ，M ，D 三点共线，令AM AD μ=，又13AD BD BA BC BA =-=- ，于是1)(1)33(BM BA AM BA AD BA BC BA BA BC μμμμ=+=+=+-=-+ ，因此()1BM BA μ=-+ 135BC BA BC μλ=+ ，则1135μλμ-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得35μ=，2=5λ，所以2=5λ.故选：A4．已知向量(),2a m = ，()9,2b m = ，()1,3c m =-- ，满足a 与b 共线，且a c ⊥，则m =（）A ．0B ．3C ．－3D ．±3【答案】B【分析】由a 与b 共线，解出m 的值，验证是否满足a c ⊥即可.【详解】∵向量(),2a m = ，()9,2b m = ，//a b，∴2218m =，解得3m =±．当3m =时，∵()3,2a = ，()2,3c =- ，∵()32230a c ⋅=⨯+⨯-= ，∴a c ⊥；当3m =-时，∵()3,2a =- ，()4,3c =-- ，()()()342360a c ⋅=-⨯-+⨯-=≠ ，∴a 与c不垂直，不满足条件．综上，3m =.故选：B ．5．已知菱形ABCD 的边长为2，M 为DC 的中点，则AM BM ⋅=（）A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】D【分析】由基向量法求解两向量的数量积即可.【详解】已知M 为DC 的中点，∵12AM AD DC =+，1122BM BC CD AD DC =+=- ，∴2214134AM BM AD DC ⋅=-=-= ，故选：D ．6．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC 为（）A ．等腰三角形B ．等腰或直角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】已知等式利用正弦定理边化角，由三角恒等变换求得sin A ，可判断三角形形状.【详解】cos cos sin b C c B a A +=，由正弦定理，得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，∴()2sin sin B C A +=，即2sin sin A A =．∵()0,πA ∈，∴sin 0A >，∴sin 1A =，即π2A =.故选：C ．7．如图，已知扇形的周长为6，当该扇形的面积取最大值时，弦长AB =（）A ．3sin1B ．3sin 2C ．3sin1︒D ．3sin 2︒【答案】A【分析】设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，可得出62l r =-，利用基本不等式可求得扇形面积的最大值及其对应的r 的值，进而可求出l 、α，然后线段AB 的中点E ，可得出OE AB ⊥，进而可求得线段AB 的长.【详解】设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，则26l r +=，62l r =-，由0620r l r >⎧⎨=->⎩可得03r <<，所以，扇形的面积为()21393224r r S lr r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+==-≤=，当且仅当3r r -=，即32r =时，扇形的面积S 最大，此时623l r =-=．因为l r α=，则扇形的圆心角3232l r α===，取线段AB 的中点E ，由垂径定理可知OE AB ⊥，因为OA OB =，则112122AOE AOB ∠=∠=⨯=，所以，22sin13sin1AB AE OA ===.故选：A.8．已知函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的取值范围为（）A ．(]0,1B ．[]1,2C ．24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．33,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】根据周期范围，求出ω的大致范围，再根据x 的取值范围，求出π6x ω+的取值范围，根据ω的范围求出左端点的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，求解即可.【详解】设函数()f x 的最小正周期为T ，由题意得ππ22T ≥-，即πT ≥，又2πT ω=，所以2ππωω⎧≥⎪⎨⎪>⎩，解得02ω<≤,又π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππππ,π6266x ωωω⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，所以πππ7π6266ω≤+≤，要使函数()f x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则πππ226π3ππ62ωω⎧≤+⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得2433ω≤≤.故选：C.二、多选题9．下列选项说法错误的是（）A ．若a ，b ，c均为非零向量，则()()a b c a c b⋅=⋅ B ．已知向量a ，b满足1a = ，4b = ，则a b - 的取值范围是[]3,5C ．已知非零向量AB，DC 满足2AB DC = ，则A ，B ，C ，D 四点构成一个梯形D ．若()()0a b a b +⋅-= ，则a b=【答案】ACD【分析】通过分析不同情况下的向量的特点，即可得出结论.【详解】由题意，选项A ，()a b c ⋅ 与c 共线，()a c b ⋅ 与b共线，∴()()a b c a c b ⋅=⋅ 不一定成立，∴选项A 错误；选项B ，a 与b的方向相同时，a b - 取得最小值3，a 与b的方向相反时，a b - 取得最大值5，∴选项B 正确；选项C ，A ，B ，C ，D 四点共线时不能构成一个梯形，∴选项C 错误；选项D ，22a b = ，ab = ，方向不确定，∴选项D 错误，故选：ACD ．10．为了得到函数cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将sin y x =图像上的所有点（）A ．先向左平移3π个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍B ．先向左平移3π个单位长度，再将横坐标缩短到原来的12C ．先将横坐标缩短到原来的12，再向左平移3π个单位长度D ．先将横坐标缩短到原来的12，再向左平移6π个单位长度【答案】BD【分析】首先将cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭化成sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后利用先平移后伸缩与先伸缩后平移两种方法得到答案.【详解】cos 2cos 2cos 2sin 2632233y x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，把sin y x =的图像上所有点的横坐标缩短到原来的12，得到函数sin 2y x =的图像，再把得到的曲线向左平移6π个单位长度，得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像；或者把sin y x =的图像上所有点向左平移3π个单位长度，得到函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短到原来的12，得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，故选：BD ．11．已知函数()()tan 0,02f x x ωϕωϕπ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，其图象的两个相邻的对称中心间的距离为π4，且()303f =，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为π4B ．函数()f x 的定义域ππ,N 124k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C ．函数()f x 的图象的对称中心为()ππ,0Z 412k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭D ．函数()f x 的单调递增区间为()ππππ,Z 2326k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【答案】CD【分析】对于A ，由题意可得π24T =，从而可求出其最小正周期，对于B ，由()303f =可求出ϕ，从而可求出()tan 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由ππ2π,Z 62x k k +≠+∈可求出定义域，对于C ，由()ππ2Z 62k x k +=∈可求出对称中心的横坐标，对于D ，由()ππππ2πZ 262k x k k -<+<+∈可求出其单调增区间.【详解】由已知，函数()f x 满足π24T =，所以函数()f x 的最小正周期为π2，所以选项A 错误；而ππ2T ω==，因为0ω>，所以2ω=，此时函数()()tan 2f x x ϕ=+，因为()303f =，所以()ππZ 6k k ϕ=+∈，又π02ϕ<<，所以π6ϕ=，故()πtan 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由ππ2π,Z 62x k k +≠+∈，得ππ,Z 62k x k ≠+∈，所以()f x 的定义域为ππ,Z 62k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，所以选项B 错误；由()ππ2Z 62k x k +=∈，()ππZ 124k x k =-+∈，故()f x 的图象的对称中心为()ππ,0Z 412k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以选项C 正确；由()ππππ2πZ 262k x k k -<+<+∈，解得()ππππZ 2326k k x k -<<+∈，故()f x 的单调递增区间为()ππππ,Z 2326k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以选项D 正确，故选：CD ．12．在ABC 中，下列说法正确的是（）A ．若点H 满足HA HB HB HC HA HC ⋅=⋅=⋅，则点H 是ABC 的外心B ．若()0AB AC AP AB AC λλ⎛⎫ ⎪=+> ⎪⎝⎭，则AP 所在直线经过ABC 的内心C ．若OA OB OC OP === ，2AB AC ==uuu r uuu r ，120A =︒，则AP AB ⋅的范围为[]2,6-D ．若1133AO AB AC =+ ，4AB =uuu r ，5BC = ，6AC = ，则556BO BC ⋅=【答案】BCD【分析】利用三角形外心、内心、垂心的几何特征，结合向量运算的几何意义，对选项的结论进行判断.【详解】对于A ，由HA HB HB HC ⋅=⋅，得()0HA HC HB =⋅- ，即0CA HB ⋅= ，所以AC HB ⊥；同理可得AB HC ⊥，BC HA ⊥，所以点H 是ABC 的垂心，故A 错误；对于B ，AB AC AP AB AC λ⎛⎫⎪=+⎪ ⎪⎝⎭，因为AB AB，AC ACuuu r uuu r 分别是与AB，AC 方向相同的单位向量，则AB ACAB AC +所在直线为BAC ∠的平分线，所以点P 在BAC ∠的平分线上，故B 正确；对于C ，因为OA OB OC OP ===，所以O 为ABC 的外心，且P 为ABC 外接圆上一动点，又2AB AC ==uuu r uuu r，120A =︒，∴ABC 外接圆的半径12sin1202BC r =⨯=，如图，作PD AB ⊥，垂足为D，则cos 2cos AP AB AP AB PAD AP PAD ⋅=⋅∠=∠，∴当PD 与圆相切时AP AB ⋅取最值，即P 在1P 处取最大值6，在2P 处取小值－2，故C 正确；对于D ，设D 为BC中点，如图所示，()1122333AO AB AC AD AD =+=⨯=，∴O 为ABC 的重心，∴1133BO BA BC =+ ，BO BC ⋅= 21133BA BC BC ⋅+．∵4AB =uuu r ，5BC = ，6AC = ，由余弦定理可知，2222221cos 24584562AB BC AC A B B B C+-=+-===⨯⋅⨯，∴BA BC ⋅= 154582⨯⨯=，所以21515553236BO BC ⋅=⨯+⨯= ，D 正确.故选：BCD ．三、填空题13．已知πsin 2sin 2αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2sin sin cos ααα-=．【答案】25/0.4【分析】由已知条件可得tan 2α=，利用同角三角函数的关系化简变形222tan tan sin sin cos tan 1αααααα--=+，然后代值求解即可.【详解】由题知πsin 2sin 2αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即sin 2cos αα=，∴tan 2α=，且cos 0α≠，∴2222sin sin cos sin sin cos sin cos αααααααα--=+22tan tan tan 1ααα-=+22222215-==+，故答案为：2514．已知三个不共线的平面向量a ，b ，c两两所成的角相等，1a = ，2b = ，3c = ，则2a b c +-=.【答案】5【分析】由平面向量,,a b c两两所成角相等可得两两所成角为120︒，再利用数量积运算性质即可得出.【详解】由题知三个不共线的平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是120︒，因为1a = ，2b = ，3c =，所以222224442a b c a b c a b a c b c+-=+++⋅-⋅-⋅449412cos120413cos120223cos12025=+++⨯⨯⨯︒-⨯⨯⨯︒-⨯⨯⨯︒=，所以25a b c +-= .故答案为：515．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且4a =，60A =︒，符合条件的三角形有两个，则b 的取值范围是．【答案】834,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【分析】由题意可得sin b A a b <<，从而可求出b 的取值范围.【详解】在ABC 中，4a =，60A =︒，因为符合条件的三角形有两个，所以sin b A a b <<，所以sin 6044b b ︒<⎧⎨<⎩，解得8343b <<，故b 的取值范围是834,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．故答案为：834,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 3sin sin A B C =，则b cc b+的最大值为．【答案】7/127【分析】利用余弦定理和正弦定理将所求式子转化为3sin 2cos b cA A c b+=+，再利用辅助角公式即可求出结果.【详解】由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，则2222cos b c a bc A +=+，22222cos 2cos b c b c a bc A a A c b bc bc bc +++===+，由正弦定理可得22sin sin sin a A bc B C=，又因为sin 3sin sin A B C =，所以22sin 3sin sin sin a A A bc B C ==，所以()3sin 2cos 7sin b cA A A c bϕ+=+=+，其中2sin 7ϕ=，3cos 7ϕ=，当3sin 7A =，2cos 7A =时，原式取最大值7．故答案为：7．四、解答题17．如图，在ABC 中，D 是AB 边上的一点，3cos 5A =，6AD =，5AC =．(1)求CD 的长；(2)若π6B =，求BC 的长．【答案】(1)5(2)8【分析】（1）由余弦定理即可求出CD 的长；（2）计算出CDB ∠的正弦值，利用正弦定理即可求出BC 的长.【详解】（1）由题意，在ABC 中，3cos 5A =，6AD =，5AC =由余弦定理得，2222232cos 65265255CD AD AC AC AD A =+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，解得：5CD =．（2）由题意及（1）得，在ACD 中，5AC CD ==，3cos 5A =∴CDA A ∠=∠，∴5cos cos 3CDA A ∠=∠=，∴3os 5c CDB ∠=-，24sin 1cos 5CDB CDB ∠=-∠=．在CBD △中，π6B =，由正弦定理得，sin sin BC CD BDC B =∠，∴455812BC ⨯==．18．已知向量()2,1a = ，()1,b m =- ．(1)若()2a a b ⊥- ，求a 在b 上的投影向量；(2)若a 与b 的夹角为钝角，求实数m 的取值范围．【答案】(1)29,1717⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)11,,222⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .【分析】（1）由题意得()20a a b ⋅-= ，代入坐标运算即可求得m 的值，然后求出a 在b 上的投影向量即可；（2）因为a 与b 的夹角为钝角，所以0a b ⋅< ，且a 与b 不反向共线，可求出实数m 的取值范围.【详解】（1）()()()22,121,4,12a b m m -=--=- ，因为()2a a b ⊥- ，所以()241120m ⨯+⨯-=，解得92m =，∴91,2b ⎛⎫ ⎪⎝=-⎭ ．故a 在b 上的投影向量为991,22922,1717858522a b b bb⎛⎫--+ ⎪⋅⎛⎫⎝⎭⋅=⋅=- ⎪⎝⎭ ．（2）因为a 与b 的夹角为钝角，所以0a b ⋅< ，且a 与b 不反向共线，故20210m m -+<⎧⎨+≠⎩，解得2m <，且12m ≠-，所以实数m 的取值范围为11,,222⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .19．已知25cos 5α=，()10cos 10αβ+=，其中α，()0,πβ∈．(1)求β；(2)求()sin 2αβ-．【答案】(1)π4β=(2)210【分析】（1）根据已知条件，利用同角三角函数的关系求出sin α和()sin αβ+，由两角差的余弦公式求cos β，可得β的值．（2）由已知条件，利用倍角公式、同角三角函数的关系、两角和的正弦公式求值.【详解】（1）∵()0,π∈αβ,，25cos 5α=，()10cos 10αβ+=，∴π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴5sin 5α=，()310sin 10αβ+=．()()()102531052cos cos cos sin sin 1051cos 052βαβααβααβα=+-=+++=⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦，∵()0,πβ∈，∴π4β=．（2）5254sin 22sin cos 2555ααα==⨯⨯=，23cos212sin 5αα=-=，∴()423222sin 2cos cos 2sin 5252s n 10i αβαβαβ-=-=⨯-⨯=．20．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 23cos A a A b =．(1)求B ；(2)若2a c =，ABC 的面积为932，求b ．【答案】(1)π3B =或2π3(2)37b =【分析】（1）根据正弦定理即可求出结果；（2）利用面积公式和余弦定理即可求出结果.【详解】（1）由题干条件可知，cos 0A ≠，由正弦定理得2sin cos 3sin cos sin A A A A B=，∵0πA <<，∴sin 0A ≠，∴3sin 2B =．∵0πB <<，∴π3B =或2π3．（2）∵3sin 2B =，∴11393sin 22222ABC S ac B c c ==⨯⨯⨯=△，解得3c =，∴6a =．当π3B =时，由余弦定理得2222cos 27b a c ac B =+-=，∴33b =．又222a b c =+，∴π2A =，则cos 0A =，与题干矛盾，舍去．当2π3B =时，由余弦定理得2222cos 63b a c ac B =+-=，∴37b =．综上，37b =．21．已知函数()224sin cos 3cos sin 1f x x x x x =-++．(1)求函数()f x 在()0,π上的单调递减区间；(2)若函数()()g x f x t =-在7π,π12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上有两个零点，求实数t 的取值范围．【答案】(1)3π7π,88⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)()22,2--【分析】（1）化简函数，即可求出函数在()0,π上的单调递减区间；（2）构造函数()πsin 24h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将零点问题转化为()h x 与直线24y t =的交点个数问题，求出()h x 的单调区间，即可求出实数t 的取值范围.【详解】（1）由题意，()0,πx ∈在()224sin cos 3cos sin 1f x x x x x =-++中，()π2sin 22cos 222sin 24f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令π24m x =-，()0,πx ∈，则π7π,44m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．在sin y m =中，函数在区间π7π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调递减区间为π3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴π3π,22m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即3π7π,88x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 在()0,π上的单调递减区间为3π7π,88⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）由题意及（1）得，在()()g x f x t =-中，函数()g x 在7π,π12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的零点个数，等价于函数()πsin 24h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象与直线24y t =的交点个数，∵7π,π12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，∴π11π7π2,4124x ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，令π3π242x -=，可得7π8x =，∴()h x 在7π7π,128⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在7π,π8⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，∵()min 1h x =-，()7π622π1242h h -⎛⎫=>=- ⎪⎝⎭，∴22142t -<<-，解得：222t -<<-，∴实数t 的取值范围为()22,2--．22．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径作扇形ABD ，P 是弧BD 上的一个动点，可设PAB θ∠=，过P 作PE CB ⊥于E ，过P 作PF DC ⊥于F ，令AE AC λ=⋅ ，AF AC μ=⋅ ．(1)用θ表示λ和μ，并求λμ的取值范围；(2)求213AF λ- 的最小值．【答案】(1)44sin λθ=+，4cos 4μθ=+，32,24162+⎡⎤⎣⎦(2)1【分析】（1）利用坐标运算表示出向量的数量积,把λ和μ用θ表示，结合三角函数的性质求λμ的取值范围；（2）所示算式用θ表示，利用三角函数的性质结合基本不等式,求最小值.【详解】（1）以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()2cos ,2sin P θθ，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，由题可知()0,0A ，()2,0B ，()0,2D ，()2,2C ，()2,2sin E θ，()2cos ,2F θ，44sin AE AC λθ=⋅=+ ，4cos 4AF AC μθ=⋅=+ ，所以，()()()16cos 1sin 116cos sin sin cos 1λμθθθθθθ=++=+++，令cos s 1in 2t θθ⎡⎤+=∈⎣⎦,，则21cos sin 2t θθ-=，()281t λμ=+，所以，当1t =时，λμ的最小值为32，当2t =时，λμ的最大值为24162+，所以λμ的取值范围是32,24162+⎡⎤⎣⎦．（2）()()()2222134cos 41394cos 4sin 544sin 4sin 14sin 1AF θθθλθθθ-+--+===+++ ，令sin 1m θ+=，[]1,2m ∈，则sin 1m θ=-，原式2489992221444m m m m m m m-+==-+≥⋅-=，当且仅当32m =时，即1sin 2θ=时，等号成立，所以213AFλ-的最小值为1．。
2022-2023学年黑龙江省大庆市学高一年级下册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年黑龙江省大庆市高一下学期期中数学试题一、单选题1．2023πsin=6（）A ．12B ．32C ．12-D ．32-【答案】C【分析】根据诱导公式，结合特殊角的正弦值进行求解即可.【详解】2023ππππ1sin sin 336ππsin πsin 66662⎛⎫⎛⎫=++=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C2．已知向量()2,3a =- ，()1,2b = ，()9,4c = ，若c ma nb =+，则m n +=（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】由向量的坐标运算计算即可.【详解】由题意，得()()2,329,4c m n m n =+-+= ，所以29324m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得25m n =⎧⎨=⎩，所以7m n +=.故选：C.3．若在△ABC 中，AB a =，BC b = ，且||||1a b == ，||2a b += ，则△ABC 的形状是（）A ．正三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．等腰直角三角形【答案】D【分析】利用向量加法的几何意义和模长之间的关系即可判定其为等腰直角三角形.【详解】由于||||1AB a == ，||||1BC b == ，||||2AC a b =+=，则222||a b a b +=+ ，即222||||AB BC AC += ，所以△ABC 为等腰直角三角形．故选：D ．4．在ABC 中，角A B C ､､的对边分别为a b c ､､，若::3:2:1A B C =，则::a b c =（）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．1:3:2：D ．2:3:1【答案】D 【分析】由题知πππ,,236A B C ===，再根据::sin :sin :sin a b c A B C =求解即可.【详解】解：因为在ABC 中，::3:2:1A B C =，πA B C ++=所以，πππ,,236A B C ===，所以，由正弦定理得31::sin :sin :sin 1::2:3:122a b c A B C ===故选：D5．已知复数z 满足()1i 1i z +=-，则2320231...z z z z +++++等于（）A ．－1B ．0C ．1D ．2【答案】B【分析】根据复数的除法运算可求得i z =-，再结合i n 的周期性运算求解.【详解】由题意可得：()()()21i 1i i 1i 1i 1i z --===-++-，可得：44142431,i,1,i,N k k k k z z z z k +++==-=-=∈，则44142430,Nk k k k z z z z k ++++++=∈故()()220232202020212022223031...1...0z z zz z z z z z z ++++++++=++++=．故选：B ．6．在ABC ∆中，若1()3OA OB OC OG ++=，则点G 是ABC ∆的（）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心【答案】D【分析】化简已知得0GA GB GC ++=，即得解.【详解】因为1()3OA OB OC OG ++=，所以3OG GA OG GB OG GC OG +++++= ，化简得0GA GB GC ++=，故点G 为三角形ABC 的重心故选：D【点睛】本题主要考查向量的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．已知向量()2,1a = ，()3,4b =- ，则向量a 在b方向上的投影向量为（）A ．68,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．68,2525⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．68,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．68,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】求出,||b b a ⋅的值，根据投影向量的定义即可求得答案.【详解】由向量()2,1a = ，()3,4b =- ，可得()()222,|2,13|)4,4(35b a b =-=-=⋅=-+⋅ ，故向量a在b 方向上的投影向量为2(3,4)68,552525||||b b a b b -⎛⎫⋅=-⋅=-⎝⋅ ⎪⎭，故选：D8．设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan 2A a b c =+，tan 2B ba c=+，则△ABC 是（）．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】若三角形各边长为a 、b 、c 且内切圆半径为r ，法一：由内切圆的性质有tan2A a b c =+、tan 2B ba c=+，根据边角关系可得a b =或222+=a b c ，注意讨论所得关系验证所得关系的内在联系；法二：由半角正切公式、正弦定理可得A B =或π2A B +=，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角形的形状.【详解】设()12P a b c =++，△ABC 的内切圆半径为r ，如图所示，法一：∴tan2A r a p a b c ==-+①；tan 2B r b p b a c==-+②.①÷②，得：p b a a cp a b c b -+=⋅-+，即()()()()22p b a a c p a b b c -+=-+．于是()()()()b b c c a b a a c b c a ++-=++-，232232ab b bc a b a ac -+=-+，()()2220a b a b c -+-=，从而得a b =或222+=a b c ，∴A B ∠=∠或90C ∠=︒．故△ABC 为等腰三角形或直角三角形，（1）当a b =时，内心I 在等腰三角形CAB 的底边上的高CD上，2211224ABCc S AB CD a c =⋅=-⋅△，从而得22242c c a S r a b c a c⋅-==+++．又()1122p a b c a c -=+-=，代入①式，得()224122c c a a a b c a ca c c ⋅-==+++⋅，即2242a c a a c a c-=++，上式两边同时平方，得：()2222a c a a c a c -=++，化简2220c a -=，即2c a =．即△ABC 直角三角形，∴△ABC 为等腰直角三角形．（2）当222+=a b c 时，易得()12r a b c =+-．代入②式，得()()1212a b c b a c a c b +-=++-，此式恒成立，综上，△ABC 为直角三角形．法二：利用sin tan21cos A A A =+，sin tan 21cos B BB=+及正弦定理和题设条件，得sin sin 1cos sin sin A A A B C =++①，sin sin 1cos sin sin B BB A C=++②.∴1cos sin sin A B C +=+③；1cos sin sin B A C +=+④.由③和④得：1cos sin 1cos sin A B B A +-=+-，即sin cos sin cos A A B B +=+，ππsin sin 44A B ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为,A B 为三角形内角，∴ππ44A B +=+或πππ44A B +=--，即A B =或π2A B +=．（1）若A B =，代入③得：1cos sin sin A B C +=+⑤又ππ2C A B A =--=-，将其代入⑤，得：1cos sin sin 2A A A +=+．变形得()()2sin cos sin cos 0A A A A ---=，即()()sin cos sin cos 10A A A A ---=⑥，由A B =知A 为锐角，从而知sin cos 10A A --≠．∴由⑥，得：sin cos 0A A -=，即π4A =，从而π4B =，π2C =．因此，△ABC 为等腰直角三角形．（2）若π2A B +=，即π2C =，此时③④恒成立，综上，△ABC 为直角三角形．故选：B二、多选题9．下列说法中正确的是（）A ．对任一非零向量a，a a是一个单位向量B ．两个非零向量a 、b ，若a b a b -=+ ，则a 与b 共线且反向C ．若//a b r r，则存在唯一实数λ使得a b λ= D ．若P 是三角形ABC 的重心，则0PA PB PC ++=【答案】ABD【分析】利用单位向量的定义可判断A 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断B 选项；取0a ≠ ，0b =，可判断C 选项；利用重心的几何性质可判断D 选项.【详解】对于A 选项，对任一非零向量a ，11a a a a=⋅=，即a a 是一个单位向量，A 对；对于B 选项，两个非零向量a 、b，若a b a b -=+ ，则()()22a ba b-=+ ，可得222222a b a b a b a b +-⋅=++⋅，所以，a b a b ⋅=-⋅ ，则cos ,1a b a b a b⋅==-⋅，因为0,πa b ≤≤ ，所以，,πa b = ，故a 与b共线且反向，B 对；对于C 选项，若//a b r r，且0a ≠ ，0b = ，对任意的R λ∈，0b λ= ，则a b λ≠ ，C 错；对于D 选项，若P 为ABC 的重心，延长AP 交BC 于点D ，则D 为BC 的中点，如图所示：则2AP PD = ，因为()()2PB PC PD DB PD DC PD AP PA +=+++===- ，所以，0PA PB PC ++=uur uur uuu r r，D 对.故选：ABD.10．在ABC 中，角A B C ､､的对边分别为a b c ､､，下列说法正确的是（）A ．若45,2,22A a b === ，则ABC 只有一解B ．若0AC AB ⋅>，则ABC 是锐角三角形C ．若sin sin A B >，则a b >.D ．若cos cos a b c B c A -=⋅-⋅，则ABC 的形状是等腰或直角三角形【答案】ACD【分析】对于A ，利用正弦定理及特殊角三角函数值直接求解即可；对于B ，利用向量的数量积的定义即可求解；对于C ，利用正弦定理直接进行判断；对于D ，利用正弦定理及两角和的正弦展开式化简计算求解.【详解】对于A ，由正弦定理222sin45sin B=，则sin 1B =，因为0<180B < ，所以90B = ，ABC 只有一解，故A 正确；对于B ，若0AC AB ⋅>，则,cos 0AC AB > ，则A 为锐角，B C ，无法确定，ABC 不一定是锐角三角形，故B 错误；对于C ，由正弦定理2sin sin a b R A B==，又sin sin A B >，可得a b >，故C 正确；对于D ，已知cos cos a b c B c A -=⋅-⋅，由正弦定理可得sin sin sin cos sin cos A B C B C A -=-，因为πA B C ++=，所以()()sin sin sin cos sin cos B C A C C B C A +-+=-，即sin cos sin cos 0B C A C -=，则()cos sin sin 0C B A -=，解得cos 0C =或sin sin A B =，所以90C = ，或A B =，所以ABC 的形状是等腰或直角三角形，故D 正确.故选：ACD.11．下列关于平面向量的说法中正确的是（）A ．已知()()2,3,4,3AB -，点P 在直线AB 上，且32AP PB = ，则P 的坐标为16,15⎛⎫- ⎪⎝⎭；B ．若O 是ABC 的外接圆圆心，则212AB AO AB ⋅= C ．若()c a b ⊥- ，且0c ≠ ，则a b= D ．若点P 是ABC 所在平面内一点，且PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC 的垂心.【答案】BD【分析】对于A ，设(),P x y ，由题意可得32AP PB = 或32AP PB =-，再根据平面向量的坐标表示计算即可；对于B ，如图，设D 为AB 的中点，根据数量积的定义即可得解；对于C ，当,c a c b ⊥⊥时，再根据数量积的运算律即可判断；根据数量积的运算律即可判断D.【详解】对于A ，设(),P x y ，则()()2,3,4,3AP x y PB x y =--=---，因为点P 在直线AB 上，且32AP PB = ，所以32AP PB = 或32AP PB =- ，则()()32,34,32x y x y --=---或()()32,34,32x y x y --=----，所以()()32423332x x y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩或()()32423332x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩，解得16535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或815x y =⎧⎨=-⎩，所以163,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭或()8,15P -，故A 错误；对于B ，如图，设D 为AB 的中点，则OD AB ⊥，则2c 1os 2AB AO AB A B AB A O O ⋅==∠ ，故B 正确；对于C ，当,c a c b ⊥⊥时，()0c a b a c b c ⋅-=⋅-⋅= ，满足()c a b ⊥- ，则a 与b不一定相等，故C 错误；对于D ，因为PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，所以()0PA PB PB PC PB PA PC PB CA ⋅-⋅=⋅-=⋅= ，所以PB AC ⊥，同理可得,PA BC PC AB ⊥⊥，所以P 是ABC 的垂心，故D 正确.故选：BD.12．已知P 为ABC 所在的平面内一点，则下列命题正确的是（）A ．若P 为ABC 的垂心，2AB AC ⋅= ，则2AP AB ⋅= B ．若P 为锐角ABC 的外心，AP xAB yAC =+且21x y +=，则AB BC=C ．若()R sin sin AB AC AP AB B AC C λλ⎛⎫ ⎪=+∈ ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹经过ABC 的重心D ．若111122cos cos AP AB AC AB B AC C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点P 的轨迹经过ABC 的内心【答案】ABC【分析】根据0AB PC ⋅= ，AC AP PC =+计算可判断A ；设D 为AC 中点，则根据题意得,,B P D 三点共线，且PD AC ⊥，进而得AB BC =判断B ；设BC 中点为E ，进而结合正弦定理得2sin AP AE AB B λ= 可判断C ；设BC 中点为E ，根据题意计算AP BC ⋅ 得0AP BC AE BC ⋅⋅-= ，进而得0EP BC =⋅可判断D.【详解】解：对于A 选项，因为AC AP PC =+ ，2AB AC ⋅=，又因为P 为ABC 的垂心，所以0AB PC ⋅=，所以()2AB AC AB AP PC AB AP AB PC AB AP ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅= ，故正确；对于B 选项，因为AP xAB yAC =+且21x y +=，所以()12AP y AB y AC =-+，整理得：(2)AP AB y AC AB -=- ，即()BP y BC BA =+ ，设D 为AC 中点，则2BP yBD =，所以,,B P D 三点共线，又因为PD AC ⊥，所以BD 垂直平分AC ，故AB BC =，正确；对于C 选项，由正弦定理sin sin AC AB BC=得sin sin AC C AB B = ，所以()sin sin sin AB AC AP AB AC AB B AC C AB B λλ⎛⎫ ⎪=+= ⎪⎝⎭+，设BC 中点为E ，则2AB AC AE += ，所以2sin AP AE AB Bλ= ，所以,,A P E 三点共线，即点P 在边BC 的中线上，故点P 的轨迹经过ABC的重心，正确；对于D 选项，因为111122cos cos AP AB AC AB B AC C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11cos cos 12AB AC AB AC AB B AC C =+++ ，设BC 中点为E ，则2AB AC AE += ，所以11cos cos AP AB AC AE AB B AC C+=+，所以11cos cos AP BC AB BC AC BC AE BC AB B AC C ⋅+⋅⋅=+⋅ BC BC AE BC AE BC =-=++⋅⋅，所以0AP BC AE BC ⋅⋅-=，即()0AP AE BC -=⋅ ，所以0EP BC =⋅，故P 在BC 中垂线上，故点P 的轨迹经过ABC 的外心，错误.故选：ABC三、填空题13．若()()2i 2i z a a =+-为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a 的值为．【答案】0【分析】利用复数的乘法化简复数z ，利用复数的概念可得出关于实数a 的等式与不等式，解之即可.【详解】因为()()()()2222i 2i 24i 2i 44i z a a a a a a a =+-=+--=+-为纯虚数，所以，24040a a =⎧⎨-≠⎩，解得0a =.故答案为：0.14．边长为12的正三角形ABC 中，E 为BC 的中点，F 在线段AC 上且12AF FC =，则AE BF ⋅=．【答案】72-【分析】以,AB AC 为基底可表示出,AE BF，由向量数量积定义和运算律可求得结果.【详解】()12AE AB AC =+ ，13BF AF AB AC AB =-=- ，()221112123233AE BF AB AC AC AB AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅-=-⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111212cos 601212121272326=-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯=- .故答案为：72-.15．已知(sin ,4),(1,cos )a b αα==，且a ⊥b ，则2sin 22sin αα+=．【答案】2417【分析】利用a b ⊥得到=0a b ⋅ ，可得tan 4α=-，再通过倍角公式以及同角之间三角函数关系变形22222sin cos 2sin sin 22sin sin cos ααααααα++=+，然后“弦化切”即可得出答案。
河南省南阳市高一下学期期中数学试题(解析版)
高一下学期期中数学试题一、单选题 1．（ ） 14πsin 3=A B ．C ．D 12-12【答案】D【分析】根据给定条件，利用诱导公式结合特殊角的三角函数值计算作答.【详解】14π2π2πππsin sin(4πsin sin(π)sin 33333=+==-==故选：D2．在中，内角的对边分别为，且，，则满足条件的三角形有ABC ,,A B C ,,a b c 30A =︒3,4a b ==（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．无数个【答案】C【分析】根据与的大小判断可得. sin b A ,a b 【详解】因为，，， 30A =︒3,4a b ==1sin 422b A =⨯=所以，所以满足条件的三角形有2个. sin b A a b <<故选：C3．若为第三象限角且 ，则（ ）α()3sin π5α-=-πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．45-35-3545【答案】B【分析】利用诱导公式化简可得所求代数式的值.【详解】因为，则.()3sin πsin 5αα-==-π3cos sin 25αα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭故选：B.4．下列说法正确的是（ ）A ．斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．若向量满足且同向，则,a b a b > ,a b a b >C ．若三点满足则三点共线P A B ，，3OP OA OB =+，P A B ，，D ．将钟表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数为 π3【答案】A【分析】根据象限角的概念判断A ，利用向量的定义以及共线定理判断B,C ，利用任意角的定义判断D.【详解】因为斜三角形的内角是锐角或钝角，且锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，所以A 正确； 因为两个向量不能比较大小，所以B 错误； 由可得，3OP OA OB =+ ，1341+=≠根据向量的共线定理可知，三点不共线，所以C 错误； P A B ，，将钟表的分针拨快10分钟，则顺时针旋转了， 60 所以分针转过的角的弧度数为，所以D 错误，π3-故选:A.5．将函数的图象沿轴向左平移 个单位后，得到的函数的图象关于原点对称，()cos 3y x φ=+x 12π则的一个可能值为（ ） ϕA ． B ． C ．D ．712π-4π-4π512π【答案】C【分析】先求平移后的函数解析式，然后根据对称性求解可得. 【详解】将函数的图象沿轴向左平移个单位后的函数为()cos 3y x φ=+x 12π，因为的图像关于原点对称，所以cos 3()cos(3)124y x x ϕϕππ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭cos(3)4y x ϕπ=++，即，当时，.π42k ππϕ+=+π4k πϕ=+0k =4πϕ=故选：C6．已知函数，的部分图象如图，则 （ ）()()tan f x A x ωϕ=+π02ϕϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭,()y f x =7π24f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．BC ．D ．2【答案】C【分析】由图象可求得，.然后根据，结合的取值即可推出，根据π2T =2ω=3π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ϕπ4ϕ=，求出，即可得出.然后将代入，即可得出答案.()01f =1A =()πtan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7π24x =【详解】由图象可知，，所以.3πππ8842T -==π2T =由可得，，所以. ππ2T ω==2ω=()()tan 2f x A x ϕ=+又，所以，3π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3πtan 04A ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以，所以.3ππ,4k k ϕ+=∈Z 3ππ,4k k ϕ=-+∈Z 因为，所以，.π2ϕ<π4ϕ=()πtan 24f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又，所以，所以，()01f =πtan 14A A ⎛⎫== ⎪⎝⎭1A =所以，()πtan 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以. 7π7ππ5πtan 2tan242446f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C.7．在中，．P 为边上的动点，则的取值范围是（ ）ABC 1,90AC BC C ==∠=︒AB PB PC ⋅A ．B ．C ．D ．1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,28⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】以为坐标原点建立合理直角坐标系，求出直线所在直线方程为，设C AB 1y x =-+，得到，利用二次函数的性质即可求出其值域.(),1P t t -+231248PB PC t ⎛⎫⋅=-- ⎪⎝⎭ 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立直角坐标系，C CA CB x y则，直线所在直线方程为，()()0,1,1,0A B AB 1y x =-+设，，则，，(),1P t t -+[]0,1t ∈()1,1PB t t =--(),1PC t t =-- ，()()223111248PB PC t t t t ⎛⎫⋅=--+-=-- ⎪⎝⎭ 当时，，当时，，0=t ()max1PB PC ⋅= 3t 4=()min18PB PC⋅=-故其取值范围为，1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：B.8．在锐角三角形ABC 中，下列结论正确的是（ ） A ． B ． ()()cos cos cos sin C B >()()cos sin cos cos A B >C ． D ．()()cos sin cos cos C B >()()cos sin cos cos A A >【答案】A【分析】利用，即，结合余弦函数的单调性可判断ABC ，取特值可判2B C π+>022C B ππ<-<<断D.【详解】因为为锐角三角形，所以，ABC 2B C π+>所以，所以022C B ππ<-<<1sin sin()cos 02B C C π>>-=>所以，故A 正确；()()cos cos cos sin C B >同理，，所以，故B 错误； 1sin cos 0A B >>>cos(sin )cos(cos )A B <同上，，所以，故C 错误； 1sin cos 0C B >>>()()cos sin cos cos C B <又时，，故D 错误. 4A π=cos(sin )cos(cos 44ππ=故选：A二、多选题9．下列四个命题为真命题的是（ ）A ．若向量、、，满足，，则a b c//a b r r //b c //a c B ．若向量，，则、可作为平面向量的一组基底()1,3a =- ()2,6b = a bC ．若向量，，则在上的投影向量为()5,0a = ()4,3b = a b 1612,55⎛⎫⎪⎝⎭D ．若向量、满足，，，则mn 2m = 3n = 3m n ⋅= m n +=【答案】BC【分析】取，可判断A 选项；利用基底的概念可判断B 选项；利用投影向量的概念可判断C 0b =选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若且，，则、不一定共线，A 错；0b = //a b r r //b c a c对于B 选项，若向量，，则，则、不共线， ()1,3a =- ()2,6b = ()1623⨯≠⨯-a b所以，、可作为平面向量的一组基底，B 对；a b对于C 选项，因为向量，，()5,0a =()4,3b = 所以，在上的投影向量为 a b ()2220cos ,4,325b a b a b a a b a b b b a b b⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅，C 对； 1612,55⎛⎫= ⎪⎝⎭对于D 选项，因为向量、满足，，， mn 2m = 3n = 3m n ⋅= 则D 错.m n +===故选：BC.10．已知函数，则下面结论正确的是（ ） ()()11sin cos sin cos 22f x x x x x =+--A ．的对称轴为 ()f x ()ππ4x k k =+∈Z B ．的最小正周期为()f x 2πC ．，最小值为()f x 1-D ．在上单调递减()f x π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABC【分析】化简函数的解析式，作出函数的图象，逐项判断可得出合适的选项.()f x ()f x 【详解】因为，πsin cos 4x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭当时，即当时，()π2π2ππ4k x k k ≤-≤+∈Z ()π5π2π2π44k x k k +≤≤+∈Z ，即，sin cos 0x x -≥sin cos x x ≥此时，； ()()()11sin cos sin cos cos 22f x x x x x x =+--=当时，即当时， ()π2ππ2π4k x k k -≤-≤∈Z ()3ππ2π2π44k x k k -≤≤+∈Z，即，sin cos 0x x -≤sin cos x x ≤此时，. ()()()11sin cos cos sin sin 22x x x x f x x =+--=所以，. ()()3ππsin ,2π2π44π5πcos ,2π2π44x k x k f x k x k x k ⎧-≤≤+⎪⎪=∈⎨⎪+<<+⎪⎩Z 作出函数的图象如下图中实线所示：()fx对于A 选项，由图可知，函数的图象关于直线、、对称， ()f x 3π4x =-π4x =5π4x =对任意的，k ∈Zπ1ππ1ππ2πsin 2πcos 2πsin 2πcos 2π2222222f k x k x k x k x k x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-++--+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ()()()1111cos sin cos sin sin cos sin cos 2222x x x x x x x x f x =+--=+--=所以，函数的对称轴为，A 对； ()f x ()ππ4x k k =+∈Z 对于B 选项，对任意的， x ∈R ()()()()()112πsin 2πcos 2πsin 2πcos 2π22f x x x x x +=+++-+++⎡⎤⎣⎦， ()()11sin cos sin cos 22x x x x f x =+--=结合图象可知，函数为周期函数，且最小正周期为，B 对； ()f x 2π对于C 选项，由A 选项可知，函数的对称轴为，且该函数的最小正周期为()f x ()ππ4x k k =+∈Z ，2π要求函数的最大值和最小值，只需求出函数在上的最大值和最小值，()f x ()f x π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦因为函数在上单调递减，在上单调递增，()f x π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，当时，，π5π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()min πcos π1f x f ===-因为ππsin 44f ⎛⎫== ⎪⎝⎭5π5ππsin sin 444f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭所以，，()max π4f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭因此，，最小值为，C 对；()f x 1-对于D 选项，由C 选项可知，函数在上单调递减，在上单调递增，D 错.()f x π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题考查函数的基本性质，解题的关键在于化简函数解析式，结合函数的图象进行判断.11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，O ABC 、、的面积分别为、、，则.设是锐角BOC AOC AOB A S B S C S 0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=O 内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）ABC BAC ∠ABC ∠ACB ∠ABCA ．若，则230OA OB OC ++=::1:2:3A B C S S S =B ．，，，则2OA OB == 5π6AOB ∠=2340OA OB OC ++= 92ABC S = C ．若为的内心，，则O ABC 3450OA OB OC ++= π2C ∠=D ．若为的重心，则 O ABC 0OA OB OC ++=【答案】ACD【分析】利用“奔驰定理”可判断A 选项；求出，结合“奔驰定理”可判断B 选项；利用“奔驰定C S 理”可得出的值，结合勾股定理可判断C 选项；利用重心的几何性质结合“奔驰定理”可判断::a b c D 选项.【详解】对于A 选项，因为，由“奔驰定理”可知，A 对； 230OA OB OC ++=::1:2:3A B C S S S =对于B 选项，由 ，，可知， 2OA OB == 5π6AOB ∠=1225π6in1s 2C S =⨯⨯⨯=又，所以， 2340OA OB OC ++=::2:3:4A B C S S S =由可得，，， 1C S =12A S =34B S =所以，B 错； 1391244C ABC A B S S S S ++==++= 对于C 选项，若为的内心，，则， O ABC 3450OA OB OC ++=::3:4:5A B C S S S =又（为内切圆半径）， 111::::::222A B C ar br cr a b c S S S ==r ABC 所以，，故，C 对； 222a b c +=π2C ∠=对于D 选项，如下图所示，因为为的重心，延长交于点，则为的中点，O ABC CO AB D D AB 所以，，，且，，2OC OD =12AOD BOD C S S S ==△△12AOD B S S =△12BOD A S S =△所以，，由“奔驰定理”可得，D 对. A B C S S S ==0OA OB OC ++=故选：ACD.12．已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的()()sin (0)f x x ωϕω=+>()f x 2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭有（ ）A ．的最小正周期是()f x π3B ．若，则2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．若的图象与的图象重合，则满足条件的有且仅有1个π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x ωD ．若，则的取值范围是π6ϕ=-ω[]221,24,5⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦【答案】BCD【分析】利用单调区间长度不超过周期的一半，求出周期范围即可判断A ；根据中心对称求值即可判断B ；利用函数平移求出，再结合A 选项即可判断C ；结合已知单调区间得出6k ω=()k ∈Z ω范围后即可判断D ．【详解】对于A ，因为函数在区间上单调递减，所以， ()f x 2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭5π2ππ2636T ≥-=所以的最小正周期，即的最小正周期的最小值为，故A 错误；()f x π3T ≥()f x π3对于B ，由，则的图像关于点对称，所以，故B 正2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 3π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭确；对于C ，由的图象与的图象重合，则为函数的周期或周期的倍数，π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x π3()f x 所以，所以，再结合A 选项知，所以， 2ππ3k ω⨯=6k ω=()k ∈Z π3T ≥2π6T ω=≤又，所以，所以，即满足条件的有且仅有1个，故C 正确；0ω>06ω<≤6ω=ω对于D ，由题意可知为单调递减区间的子集，2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以，其中，解得， 2πππ2π3625ππ3π2π662k k ωω⎧-≥+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩k ∈Z 123125k k ω+≤≤+()k ∈Z 当时，，当时，， 0k =12ω≤≤1k =2245ω≤≤故的取值范围是，故D 正确．ω22[1,2]4,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：BCD ．【点睛】思路点睛：本题考查正弦型函数的奇偶性、单调性、周期性等知识的综合应用；求解此类问题的基本思路是采用整体对应的方式，将看作一个整体，对应正弦函数的图象和性质来研x ωϕ+究正弦型函数的性质．三、填空题13．请写出终边落在射线上的一个角___________ (用弧度制表示). y =()0x ≥【答案】（满足即可，答案不唯一）π3π2π,3k k +∈Z 【分析】写出射线上一点，根据三角函数的定义，可求得，进而即可求得答案. tan θ=【详解】设的终边落在射线上，则为第一象限角，θy =()0x ≥θ取上的一个点， y =()0x≥(A 根据三角函数的定义可得， tan θ==又为第一象限角， θ所以，取，可得. π2π,3k k θ=+∈Z 0k =π3θ=故答案为：. π314．在平行四边形中，点为的中点，点在上，三点共线，若ABCD M AB N BD M N C ，，，则_______________.DN NB λ=λ=【答案】2【分析】由已知可推得，.结合图象及已知，用表示出11NB DB λ=+,AB AD 以及.然后根据三点共线，得出，有111211MN AB AD λλ⎛⎫ ⎪++⎝⎭=-+ 12MC AB AD =+ μ∃∈R .然后列出方程组，即可求出答案.MN MC μ=【详解】取基底， {},AB AD 由图可知，DB AB AD =-因为，所以，DN NB λ=()1B D DN N B B N λ=++= 所以，显然. 11NB DB λ=+1λ≠-又是的中点，所以，M AB 12MB AB = 所以MN MB BN MB NB =+=- ()11112211AB DB AB AB AD λλ=-=-+-+112111AB AD λλ=⎛⎫ ⎪++⎝⎭-+.又， 12MC MB BC AB AD =+=+三点共线，所以，有，M N C ，，μ∃∈R MN MC μ=即. 1112211AB AD AB AD λμμλ-⎫+⎛ ⎪++⎝+⎭= 因为不共线，所以有，解得.,AB AD 1121211μλμλ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩213λμ=⎧⎪⎨=⎪⎩故答案为：.215．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数s (6)6co y a A x π⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦（x =1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为___________℃. 【答案】20.5/412【分析】根据题意列出方程组，求出，A ，求出年中12个月的平均气温与月份的关系，将x ＝10a 代入求出10月份的平均气温值．【详解】据题意得 ， 28A a =+18A a =-+解得 ，5A =23a =所以235cos (6)6y x π⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦令 得 . 10x =2235cos (106)235cos20.563y ππ⎡⎤=+-=+=⎢⎥⎣⎦故答案为：20.5四、双空题16．为所在平面内一点，且满足H ABC 222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ |则点为的_________心.若,，，则 ___________H ABC 7AB = 5AC =u u u r π3C =AH AC ⋅= 【答案】垂5【分析】由平面向量数量积的运算性质可得出，同理可得，，结合垂HC AB ⊥HA BC ⊥HB AC ⊥心的定义可得出结论；由平面向量数量积的运算性质可求出的值，再利用垂心的几何性质AB AC ⋅u u u r u u u r结合平面向量数量积的运算性质可求得的值. AH AC ⋅【详解】因为， 222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ 则，即，2222HA CB HB CA +=+ 2222HA HB CA CB -=- 即，()()()()HA HB HA HB CA CB CA CB -⋅+=-⋅+ 即，()()BA HA HB BA CA CB ⋅+=⋅+ 即， ()()20BA HA CA HB CB BA HA AC HB BC BA HC ⋅-+-=⋅+++=⋅= 所以，，同理可得，， HC AB ⊥HA BC ⊥HB AC ⊥故点为的垂心，H ABC 因为()222222π22cos 3AB CB CACB CA CA CB CB CA CA CB =-=+-⋅=+-⋅ ，即，252549CB CB =-+= 25240CB CB --=因为，解得， 0CB ≥8CB = 因此，，()222224925264CB AB ACAB AC AB AC AB AC =-=+-⋅=+-⋅=解得，5AB AC ⋅=因此，. ()5AH AC AB BH AC AB AC BH AC AB AC ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=故答案为：垂；.5五、解答题17．已知向量，满足，. a b2a = 3b = (1)若，求;//a ba b ⋅ (2)若与的夹角为，求.a b60︒()()2a b a b -⋅+ 【答案】(1)或 66-(2)2【分析】（1）分为，方向相同，以及方向相反，分别计算，即可得出答案；a b（2）根据数量积的定义求出，然后根据数量积的运算律，展开即可得出答案.3a b ⋅=【详解】（1）若，方向相同，则； a b236a b a b ⋅=⋅=⨯= 若，方向相反，则. a b236a b a b ⋅=-⋅=-⨯=- （2）由已知可得，，1cos 602332a b a b ⋅=⋅=⨯⨯︒= 所以.()()22222222332a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=⨯+-= 18．某同学用“五点作图法”画函数在某一个周期内的图象时，列()()(sin >0)2f x A x πωϕωϕ=+<，表并填入了部分数据，如表：(1)请将上表数据补充完整，并求出函数的解析式；()f x (2)若在上有两根，求的取值范围.()()f x m m =∈R 0,2π⎡⎤⎢⎣⎦m【答案】(1)表格见解析，()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)【分析】（1）根据表格数据可得A 和周期，然后可得，带点可得； ωϕ（2）令，将问题转化为在上有两个根，然后根据正弦函数的性质求24t x π=+sin t =[,]44t π5π∈解可得.【详解】（1）补充表格:最小值为可知又，故 A =12522882T ωππππ=⋅=-=2ω=再根据五点作图法，可得，得 282ϕππ⋅+=4πϕ=，故()2.4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)令，则 24t x π=+[,]44t π5π∈所以=在上有两个根.()f x m t m =[,44t π5π∈即上有两个根.sin t =[,]44t π5π∈由在, sin y t =[,]44t π5π∈1≤<所以1m ≤<故实数的取值范围为m 19．已知向量，．()1,2cos a x =()sin ,cos b x x = (1)求的取值范围；a r (2)求的最大值．a b ⋅【答案】(1)⎡⎣(2) 178【分析】（1）依题意先求出，再结合的二次式即可求得的取值范围；a = cos x a r （2）依题意先求出，再结合的二次式即可求得的最大值．21172sin 48a b x ⎛⎫⋅=--+ ⎪⎝⎭ sin x a b ⋅ 【详解】（1）因为，所以，()1,2cos a x = a == 又，则，所以， cos 1x ≤20cos1x ≤≤2114cos 5x ≤+≤所以．a ⎡=⎣ （2）因为，，()1,2cos a x =()sin ,cos b x x = 则，222117sin 2cos 22sin sin 2sin 48a b x x x x x ⎛⎫⋅=+=-+=--+ ⎪⎝⎭ 所以当时，取得最大值，且最大值为．1sin 4x =a b ⋅ 17820．的内角，，的对边分别为，，. ABC A B C 3a =5b =7c =（1）求的三个角中最大角的大小；ABC （2）秦九韶是我国古代最有成就的数学家之一，被美国著名科学史家萨顿赞誉“秦九韶是他那个民族，他那个时代，并且确实也是那个时代最伟大的数学家之一”.他的数学巨著《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是有世界意义的重要贡献；他提出的三斜求积术.试用余弦定理推导该公式，并用该公S =式求的面积.ABC 【答案】（1）；（2. 120︒【解析】（1）根据大边对大角得到C 为最大角，利用余弦定理求出cos C 的值，即可确定出C 的度数；（2）利用三角形面积公式，以及，且，从而证明1sin 2S ac B =22sin cos 1B B +=222cos 2a c b B ac+-=结论的成立，代入、、即可求出三角形ABC 面积． 3a =5b =7c =【详解】（1）∵、、∴角最大.由余弦定理得：3a =5b =7c =C，又角为内角，2222223571cos 22352a b c C ac +-+-===-⨯⨯C ABC ∴.120C =︒（2）在中， ABC 1sin 2S ac B =∵，且22sin cos 1B B +=222cos 2a c b B ac+-=∴111sin 222S ac B ===. =当、、时，3a =5b =7c =， S ===即. ABC 【点睛】此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题.21．已知的内角，，所对的边分别为，，．向量，，ABC A B C a b c (),e b c =()sin ,sin f C B = ．(),g c a b a =--(1)若，求证：为等腰三角形； e fABC (2)若，，求的面积．e g ⊥ 2a =π3A =ABC 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据题意得到，再根据正弦定理可得到，进而即可证明结论； sin sin b B c C =²²b c =（2）根据题意化简整理可得到，再根据余弦定理即可得到，进而即可求得的bc b c =+4bc =ABC 面积．【详解】（1）因为，，且，所以， (),e b c = ()sin ,sin f C B = e fsin sin b B c C =由正弦定理可得，所以，所以为等腰三角形． 22b c b c R R⋅=⋅²²b c =ABC （2）因为，，且 ，(),e b c = (),g c a b a =-- e g ⊥所以， ()()(),,20b c c a b a bc a b c ⋅--=-+=又，则， 2a =bc b c =+因为， ，2a =π3A =则由余弦定理可得，解得， 22π42cos3b c bc =+-4bc =所以的面积为ABC 11sin 422ABC S bc A ==⨯=22．已知函数 请在下面的三个条件中任选两个解答问()()π2cos 202f x x ωϕωϕ=+<<<<，题.①函数的图像过点；②函数的图像关于点 对称；③函数相邻()f x (0()f x 12⎛ ⎝()f x 两个对称轴之间距离为. 2(1)求函数的解析式；()f x (2)当时，是否存在实数满足不等式？若存在，求出的范围，若不存()2,0a ∈-a ()322f a f a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭a 在，请说明理由.【答案】(1)()ππ2cos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)存在，35,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】对于小问(1)，由图像过可以求的值，由函数相邻两个对称轴之间距离可以(0ϕ()f x求的值，结合上述两个条件之一，再由函数的图像关于点对称可以求或的值.对ω()f x 12⎛ ⎝ωϕ于小问(2)，由轴对称的性质把不等式转化为进行求解.()322f a f a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭()221124a a ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭【详解】（1）选择①②:因为函数的图像过点， ()f x (0所以， ()02cos f ϕ==cos ϕ=因为 所以 π02ϕ<<，π4ϕ=，因为函数的图像关于点对称，则 ()f x 12⎛ ⎝()1πππZ 242k k ω⨯+=+∈，可得，因为，所以，()π2πZ 2k k ω=+∈02ω<<π02k ω==，所以.()ππ2cos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭选择①③:若函数的图像过点()f x (所以，因为所以 ()02cos f ϕ==cos ϕ=02πϕ<<，4πϕ=，因为函数相邻两个对称轴之间距离为， ()f x 2所以，所以，解得：.22T =2π44T ω==，π2=ω所以.()ππ2cos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭选择②③:因为函数相邻两个对称轴之间距离为， ()f x 2所以，所以，解得：.22T =2π44T ω==，π2=ω若函数的图像关于点对称，则()f x 12⎛ ⎝()π1ππZ 222k k ϕ⨯+=+∈可得，因为 所以，()ππZ 4k k ϕ=+∈02πϕ<<，π04k ϕ==，所以.()ππ2cos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)当时，，()2,0a ∈-3532,222a ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭令，则，记，53,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()πππ,π24x +∈-ππ24x m +=则()12π3πππ3ππ2πππ,π,2242444m a a m a ⎛⎫⎛⎫=++=+∈-=+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为在轴对称，()322cos 2f a f a y m ⎛⎫+>= ⎪⎝⎭，()π,πm ∈-所以，即，m m <₁₂ππππ24a a +<+所以，即， ()221124a a ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭()()21228150,23650a a a a ++<++<解得： 3526a -<<-所以实数的范围是：.a 35,26⎛⎫-- ⎪⎝⎭。
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x y O x y O x y O xyO高一数学必修5，2期中模拟试题（二）班级 姓名 学号一、选择题：1．直线210x -=的倾斜角是( )A ．30︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒2已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =- , 则它的公差为 ( ) A .2 B .3 C. 2- D.3- 3在ABC ∆中，bc c b a ++=222，则A 等于( )A ︒︒︒︒30.45.60.120.D C B4已知,,a b c R ∈,则下列推证中正确的是 ( )A.22a b am bm >⇒> B.a ba b c c>⇒> C.3311,0a b ab a b >>⇒< D.2211,0a b ab a b>>⇒<5.在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是( )A.一解B.两解C.一解或两解D.无解 6.在等比数列}{n a 中, ,8,1641=-=a a 则=7a ( )A.4-B.4±C. 2-D. 2± 7.若,1>a 则11-+a a 的最小值是( ) A. 2 B. a C. 3 D.1-a a2 8. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．9. 等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A 、B 、C ，则 ( )A ．A+B=CB ．B 2=AC C ．(A+B)-C=B 2D ．A 2+B 2=A(B+C)10.在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-，若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则a 的取值范围为( ) A ．11<<-a B ．20<<aC ．2123<<-a D ．2321<<-a 二 填空：11．已知3),(5,23)A B ，直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的两倍，则直线l 的斜率为_____________。
12．已知(1,1),(2,2)A B -，若直线l 过点(0,1)P -，且对线段AB 相交，则直线l 的斜率K 取值范围是_____________。
13.等比数列{}n a 中，若0n a >且3764a a =，5a 的值为14. 已知x ＞0，y ＞0，且x+y ＝1，求21x y+的最小值是＿＿＿＿＿＿＿＿ 15. 已知△ABC 中，a ＝8，b ＝4，38=∆ABC S ，则∠C 等于__________;16.设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为17．把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设,i j a （i 、j ∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如4,2a ＝8．则63,54a 为 三、 解答题：18．在锐角ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知22sin 3A =，（1）求)cos(C B +的值； （2）若2a =，2ABC S =△b 的值.19. 已知不等式2230x x --<的解集为A ，不等式2450x x +-<的解集为B ， （1）求A U B ；（2）若不等式20x ax b ++<的解集是A U B ，求20ax x b ++<的解集.20. 本公司计划2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、12 34567 8 9 10乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？。
21．在ABC △中，已知高AN 和BM 所在的直线方程分别为：530x y +-=和10x y +-=，边AB 所在的直线方程为310x y +-=，求直线BC CA ，和AB 边上的高所在的直线方程．22. 设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的n N +，都有2)2(8+=n n a S 。
（1）写出数列{a n }的前3项；（2）求数列{a n }的通项公式(写出推证过程)； （3）设14+⋅=n n n a a b ，n T 是数列{b n }的前n 项和，求使得20mT n <对所有n N +都成立的最小正整数m 的值。
x y O x y O x y O xyO高一数学必修5，2期中模拟试题（二）参考答案一、选择题：1．直线210x -=的倾斜角是( C )A ．30︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒2已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =- , 则它的公差为 ( C ) A .2 B .3 C. 2- D.3- 3在ABC ∆中，bc c b a ++=222，则A 等于 ( A )A ︒︒︒︒30.45.60.120.D C B4已知,,a b c R ∈,则下列推证中正确的是 ( C )A.22a b am bm >⇒> B.a ba b c c>⇒> C.3311,0a b ab a b >>⇒< D.2211,0a b ab a b>>⇒<5.在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是 ( B )A.一解B.两解C.一解或两解D.无解 6.在等比数列}{n a 中, ,8,1641=-=a a 则=7a ( A )A.4-B.4±C. 2-D. 2± 7.若,1>a 则11-+a a 的最小值是 ( C ) A. 2 B. a C. 3 D. 1-a a2 8. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ C ）A ．B ．C ．D ．9. 等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A 、B 、C ，则 ( D )A ．A+B=CB ．B 2=AC C ．(A+B)-C=B 2D ．A 2+B 2=A(B+C)10.在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-，若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则a 的取值范围为 ( D ) A ．11<<-a B ．20<<aC ．2123<<-a D ．2321<<-a 二 填空：11．已知3),(5,23)A B ，直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的两倍，则直线l 的斜率K 为3。
12．已知(1,1),(2,2)A B -，若直线l 过点(0,1)P -，且对线段AB 相交，则直线l 的斜率取值范围是_______322K ≤-≥或K ______。
13.等比数列{}n a 中，若0n a >且3764a a =，5a 的值为 814. 已知x ＞0，y ＞0，且x+y ＝1，求21x y+的最小值是＿＿322+＿＿＿ 15. 已知△ABC 中，a ＝8，b ＝4，38=∆ABC S ，则∠C 等于___︒60或︒120__;16.设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 1817．把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设,i j a （i 、j ∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如4,2a ＝8．则63,54a 为 2007 三、 解答题：18．在锐角ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知22sin 3A =，（1）求)cos(C B +的值； （2）若2a =，2ABC S =△b 的值.解：（1）因为锐角△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，22sin 3A =，所以cosA ＝13，所以31cos )cos(-=-=+A C B （2）32221sin 212⨯===∆bc A bc S ABC ，则3=bc 将2=a ，31cos =A ，bc 3=代入余弦定理：222a b c 2bccos A ＝＋－中得42b 6b 90－＋＝解得b 319. 已知不等式2230x x --<的解集为A ，不等式2450x x +-<的解集为B ， （1）求A U B ；（2）若不等式20x ax b ++<的解集是A U B ，求20ax x b ++<的解集. （1）解：解不等式2230x x --<，得{}|13A x x =-<<解不等式2450x x +-<，得{}|51B x x =-<<{}|53A B x x ∴=-<<U（2）由20x ax b ++<的解集是（－5,3） ∴2550930a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得215a b =⎧⎨=-⎩22150x x ∴+-< 解得解集为5|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭20. 本公司计划2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？。
解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别12 34567 8 9 10为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得3005002009000000.x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，≥目标函数为30002000z x y =+． 联立30052900.x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得100200x y ==，．∴点M 的坐标为(100200)，．max 30002000700000z x y ∴=+=（元） 答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．21．在ABC △中，已知高AN 和BM 所在的直线方程分别为：530x y +-=和10x y +-=，边AB 所在的直线方程为310x y +-=，求直线BC CA ，和AB 边上的高所在的直线方程．解：因为BC AN ⊥，直线AN 斜率为15-，故BC 的斜率5BC k =，又由31010x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，，解得点(10)B ，，故直线BC 的方程为550x y --=． 同理，可得AC 的斜率1AC k =．由530310.x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得(21)A -，．故直线CA 的方程为30x y -+=．AB 边上的高所在的直线的斜率3CH k =． 由30550.x y x y -+=⎧⎨--=⎩，得(25)C ，，所以AB 边上的高所在直线方程为310x y --=．22. 设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的n N +，都有2)2(8+=n n a S 。