2020-2021学年河南省信阳市中考数学模拟试题及答案解析一
最新中考数学模拟试卷（二）
（满分120分，考试时间100分钟）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1.-2的绝对值是【】
A．2 B．-2 C．1
2D．1
2
-
2.下列四个图形：
其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形有【】
A．1个B．2个C．3个D．4个3.下列运算正确的是【】
A．2
527
m m m
+=B．235
22
m m m
-⋅= C．2363
()
a b a b
-=-D．22
(2)(2)4
b a a b b a
+-=-4.如图，有一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是【】
纸巾纸巾纸巾
纸巾
A．B．C．D．
5.下列说法正确的是【】
A．为了解我国中学生的体能情况，应采用普查的方式
B．若甲队的方差是2，乙队的方差是3，说明甲队成绩比乙队成绩稳定
C．明天下雨的概率是99%，说明明天一定会下雨
D．一组数据4，6，7，6，7，8，9的中位数和众数都是6
6.如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这
种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是21
y x
=+，则原抛物线的解析式不可能的是【】
A．21
y x
=-B．265
y x x
=++
C ．244y x x =++
D ．2817y x x =++
7. 如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点F ，且点E 是
AB 的中点，则tan ∠BFE 的值是【 】
A ．12
B ．2 C
D
8.
t 变
化的函数图象是【 】
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（每小题3分，共21分） 9. 分解因式：(a-b)2-4b 2=__________．
10. 将一副三角板按如图所示的方式放置，使含30°角的三角板的短直角边和含
45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数是__________．
1
x
第10题图 第12题图
11. 方程(2)(3)2x x x +-=+的解是_________________．
12. 如图，过原点O 的直线AB 与反比例函数0k
y k x
=>（）的图象交于A ，B 两点，
A
B C
D E
F
点B 的坐标为(-2，m)，过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，OA 的垂直平分线DE 交OC 于点D ，交AB 于点E ．若△ACD 的周长为5，则k 的值为____________． 13. 在269m m □□的“□”中任意填上“+”或“-”号，所得的代数式为完全平
方式的概率为___________．
14. 如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转
90°得到矩形A ′B ′C ′D ′，则点B 经过的路径与BA ，AC ′，C ′B ′所围成封闭图形的面积是___________（结果保留π）．
C′
B′
A′
A
B
C
D (D′ )
第14题图 第15题图
15. 如图，在直角坐标系中，点A(4，0)，点B(0，2)，过点A 的直线l ⊥线段AB ，
P 是直线l 上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，把△ACP 沿AP 翻折180°，使点C 落在点D 处，且以A ，D ，P 为顶点的三角形与△ABP 相似，则所有满足此条件的点P 的坐标是__________________________________． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16. （8分）先化简：22282
()24a a a a a a
+-+÷
--，然后从-2≤a ≤2的范围内选取一个合适的整数作为a 的值代入求值．
17. （9分）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是AE ︵
上一点，BD 与AE 交于点F ．
（1）若BD 平分∠ABE ，求证：2DE DF DB =⋅；
（2）填空：在（1）的条件下，延长ED ，BA 交于点P ，若PA=AO ，DE=2，
则PD 的长为__________，⊙O 的半径为__________
18. （9分）随着互联网、移动终端的迅速发展，数字化阅读越来越普及，公交、
地铁上的“低头族”越来越多．某研究机构针对“您如何看待数字化阅读”问题进行了随机问卷调查（问卷调查表如图1所示）并将调查结果绘制成图2和图3所示的统计图（均不完整）．请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：
图1
E
D C B A 观点
代码其他
内容丰富，比纸质书涉猎更广使得人们成为“低头族”，不利于人际交往价格便宜易得
获取信息方便，可以随时随地观看空格内打“√”，非常感谢您的合作。
查表，请在表格中选择一项您最认同的观点，在其后您好！这是一份关于您如何看待数字化阅读问卷调您如何看待数字化阅读问卷调查表
图3
30%15%
46%
A B C D E 图2
（1）本次接受调查的总人数是__________人． （2）请将条形统计图补充完整．
（3）在扇形统计图中，观点E 的百分比是_________，表示观点B 的扇形的圆心角度数为_____度．
（4）假如你是该研究机构的一名成员，请根据以上调查结果，就人们如何对待数字化阅读提出你的建议．
19. （9分）如图1，某利用风能、太阳能发电的风光互补环保路灯的灯杆顶端
装有风力发电机，中间装有太阳能板，下端装有路灯．该系统工作过程中某一时刻的截面图如图2，已知太阳能板的支架BC 垂直于灯杆OF ，路灯顶端E 距离地面6米，DE=1.8米，∠CDE=60°．且根据我市的地理位置设定太阳能板AB 的倾斜角为43°，AB=1.5米，CD=1米．为保证长为1米的风力发电机叶片无障碍安全旋转，叶片与太阳能板顶端A 的最近距离不少于0.5米，求灯杆OF 至少要多高（利用科学计算器可求得sin43°≈0.6820，cos43°≈0.7314，tan43°≈0.9325，结果保留两位小数）？
F
O E
D
C B
A
图1图2
20.（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=ax+b（a，b为常数，
且a≠0）与反比例函数
2m
y
x
（m为常数，且m≠0）的图象交于A(-2，1)，B(1，n)．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当y
1<y
2
<0时，自变量x的取值范围．
21.（10分）用一段长32m的篱笆和长8m的墙，围成一个矩形的菜园．
图2图1F
B
（1）如图1，如果矩形菜园的一边靠墙AB，另三边由篱笆CDEF围成．
①设DE等于x m，直接写出菜园面积y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
②菜园的面积能不能等于110m2？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由．
（2）如图2，如果矩形菜园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，求菜园面积的最大值．
22.（10分）如图，在△ABC中，AC=BC=5cm，AB=6cm，CD⊥AB于点D．动点
P，Q同时从点C出发，点P沿线CD做依次匀速往返运动，回到点C停止；
点Q沿折线CA—AD向终点D做匀速运动；点P，Q运动的速度都是5cm/s．过点P作PE∥BC，交AB于点E，连接PQ．
当点P，E不重合且点P，Q不重合时，以线段PE，PQ为一组邻边作□PEFQ．设点P运动的时间为t（s），□PEFQ与△ABC重叠部分的面积为S（cm2）．（1）用含t的代数式表示线段PE的长．
（2）当点F在线段AB上时，求t的值．
（3）当点Q在线段AB上运动时，求S与t之间的函数关系式．
Q P
F D E C
B
A
23. （11分）如图，已知一条直线过点(0，4)，且与抛物线2
14
y x
交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标是-2．
（1）求这条直线的函数关系式及点B 的坐标．
（2）在x 轴上是否存在点C ，使得△ABC 是直角三角形？若存在，求出点C
的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N(0，1)，当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值
是多少？。
【3套试卷】信阳市中考第一次模拟考试数学试题含答案
中考第一次模拟考试数学试卷含答案九年级数学试卷2020.3（测试时间：100分钟，满分：150分考生注意1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．3．考试中不能使用计算器．一、选择题（本大题共6题，毎题4分，满分24分） 1．下列实数中，是无理数的是（ ）A ．3.14；B ．13； C D2．下列计算正确的是（ ）A =B ．23a a a +=a ；C ．()3322a a =；D ．632a a a ÷=．3．函数1y kx =-（常数0k <）的图像不经过的象限是（ ） A ．第一象限；B ．第二象限；C ．第三象限；D ．第四象限．4．某校从各年级随机抽取50名学生，每人进行10次投篮，投籃进球次数如下表所示：次数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数18107665412该投篮进球数据的中位数是（ ） A ．2；B ．3；C ．4；D ．55．下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ．等边三角形；B ．平行四边形；C ．菱形；D ．正五边形．6．已知1O e 的半径16r =，2O e 的半径为2r ，圆心距123O O =，如果1O e 与2O e 有交点，那么2r 的取值范围是（ ） A ．23r ≥；B ．29r ≤；C ．239r <<；D ．239r ≤≤．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．因式分解：236x x -=__________． 8．不等式组1023x x x-<⎧⎨+>⎩的解集是__________．9．函数12y x =-的定义域是__________． 10．用换元法解分式方程13101x x x x --+=-时，如果设1x y x-=，将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是__________．11．从1到10的十个自然数中，随意取出一个数，该数为3的倍数的概率是__________． 12．如果关于x 的方程240x k +-=有两个相等的实数根，那么实数k 的值是__________． 13．如果将抛物线221y x x =+-向上平移，使它经过点()1,3A ，那么所得新抛物线的表达式是__________．14．某校组织了主题为“共建生态岛”的电子小报作品征集活动，先从中随机抽取了部分作品，按A ，B ，C ，D 四个等级进行评分，然后根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，那么此次抽取的作品中等级为B 的作品数为__________．15．如图，在ABC △，点D 在AC 边上且:1:2AD DC =，若AB m =u u u r u r ，BD n =u u u r r，那么DC =u u u r__________（用向量m u r 、n r表示）．16．如图，正六边形ABCDEF 的顶点B 、C 分别在正方形AGHI 的边AG 、GH 上，如果4AB =，那么CH 的长为__________．17．如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1:2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为__________．18．如图，Rt ABC △，90BAC ∠=︒，将ABC △绕点C 逆时针旋转，旋转后的图形是A B C ''△，点A 的对应点A '落在中线AD 上，且点A '是ABC △的重心，A B ''与BC 相交于点E ，那么:BE CE =__________．三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 化简：2231642x x x x x x +⎛⎫-÷⎪+--+⎝⎭，并求23x =-时的值． 20．（本题满分10分）1251x x +-=．21．（本题满分10分，第（1）、（2）小题满分各5分）己知圆O 的直径12AB =，点C 是圆上一点，且30ABC ∠=︒，点P 是弦BC 上一动点，过点P 作PD OP ⊥交圆O 于点D ．图1图2（1）如图1，当PD AB P 时，求PD 的长； （2）如图2，当BP 平分OPD ∠时，求PC 的长． 22．（本题满分10分，第（1）、（2）小题满分各5分）小明家买了一台充电式自动扫地机，每次完成充电后，在使用时扫地机会自动根据设定扫地时间，来确定扫地的速度（以使每次扫地结束时尽量把所储存的电量用完），下图是“设定扫地时间”与“扫地速度”之间的函数图像（线段AB ），其中设定扫地时间为x 分钟，扫地速度为x 平方分米/分钟．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）现在小明需要扫地机完成180平方米的扫地任务，他应该设定的扫地时间为多少分钟？ 23．（本题满分12分，第（1）、（2）小题满分各6分）如图，菱形ABCD ，以A 为圆心，AC 长为半径的圆分别交边BC 、DC 、AB 、D 于点E 、F 、G 、H ．（1）求证：CE CF =；（2）当E 为弧»CG中点时，求证：2BE CE CB =⋅． 24．（本题满分12分，其中每小题各4分）如图，已知抛物线22y ax x c =-+经过ABC △的三个顶点，其中点()0,1A ，点()9,10B ，AC x P 轴．（1）求这条抛物线的解析式； （2）求tan ABC ∠的值；（3）若点D 为抛物线的顶点，点E 是直线AC 上一点，当CDE △与ABC △相似时，求点E 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，四边形ABCD 中，90BCD D ∠=∠=︒，E 是边AB 的中点．已知1AD =，2AB =．（1）设BC x =，CD y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （2）当70B ∠=︒时，求AEC ∠的度数； （3）当ACE △为直角三角形时，求边BC 的长．2019学年第二学期3月阶段测试九年级数学试卷2020.3（参考答案）1．C 2．B 3．A 4．B 5．C6．D 7．()32x x - 8．31x -<< 9．2x ≠10．230y y +-=11．31012．4- 13．22y x x =+ 14．4815．22m n +u r r16．6- 17．8或10 18．4:319．22x -20．无解21．（1）（2）3 22．（1）5600y x =-+；（2）60 23．（1）证明略；（2）证明略． 24．（1）21213y x x =-+；（2）12；（3）()4,1或()3,1-25．（1）)3y x =-<<；（2）105︒；（3）2或12+中考模拟考试数学试卷考试时间：100分钟一、单选题1．左边图形通过（）变换可以得到右边图形．A．顺时针旋转90o B．平移C．逆时针旋转90o D．旋转100o2．下列字母中：H、F、A、O、M、W、Y、E，轴对称图形的个数是（）A．5 B．4 C．6 D．73．下面计算正确的是（）A．（m+1）a﹣ma=1 B．a+3a2=4a3C．﹣（a﹣b）=﹣a+b D．2（a+b）=2a+b 4．一个几何体的三视图如图所示，根据图中的相关数据求得该几何体的侧面积为（）A．ΠB．2πC．3πD．4π5．已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，点D从点A到点B沿AB运动，CD=x，则x的取值范围是( ) ．A．125≤x≤3B．125≤x<4 C．125≤x≤4D．125≤x≤56．如图，AB∥CD，∠B=20°，∠D=60°，则∠BED的度数为( )A．40°B．80°C．90°D．l00°7．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为（）A．πB．1 C．23πD．28．下列等式一定成立的是（）A．9-4=5B．∣2-5∣=2-5C．164255=±D．-()24-=-49．一个人做“抛硬币”的游戏，抛10次，正面出现4次，反面出现6次，正确的说法是（）A．出现正面的频率是4 B．出现正面的频数是6C．出现反面的频率是60% D．出现反面的频数是60%10．如图，点A，B，C都在直线a上，下列说法错误的是（）A．点A在射线BC上B．点C在直线AB上C．点A在线段BC上D．点C在射线AB上二、填空题11．若23xy=⎧⎨=-⎩和12xy=⎧⎨=⎩都是关于x、y的方程y＝kx+b的解，则k+b的值是_____．12．单项式﹣232x y的系数是_____，次数是_____．13．若关于x的方程kx2＋3x＋1＝0是一元二次方程，则k______.14．把多项式32333a m a-分解因式的结果是________________．15．若a,b互为相反数，m,n互为倒数，那么______________三、解答题16．某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个．比赛结束后随机抽查部分学生听写结果，图1，图2是根据抽查结果绘制的统计图的一部分．组别听写正确的个数x 人数A 0≤x＜8 10B 8≤x＜16 15C 16≤x＜24 25D 24≤x＜32 mE 32≤x＜40 n根据以上信息解决下列问题：（1）本次共随机抽查了多少名学生，求出m，n的值并补全图2的条形统计图；（2）求出图1中∠α的度数；（3）该校共有3000名学生，如果听写正确的个数少于24个定为不合格，请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数．17．计算：（1）a3•（﹣b3）2+（﹣2ab2）3；（2）（a﹣b）10÷（b﹣a）3÷（b﹣a）3．18．解不等式组3312183(1)xxx x-⎧++⎪⎨⎪+<+-⎩…19．2019年5月以来昆明高温天气创历史新高，市民戏称昆明“春城”变“夏城”，百姓对电风扇的需求量比往年明显增加．某超市销售每台进价分别为160元、120元的A B、两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台4台1200元第二周5台6台1900元（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）（1）求A B 、两种型号的电风扇每台售价各是多少元？（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A 种型号的电风扇最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．20． 如图，在△ABC 中，已知AB=AC ，AD 平分∠BAC ，点M 、N 分别在AB 、AC 边上，AM=2MB ，AN=2NC ，求证：DM=DN21．如图，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点()2,1M --，且()1,2P --为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B .（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式.（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得OBQ △与OAP △的面积相等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由.22．化简：（1）()()222442aa a-⋅-（2）222233242ab a b c cdd --⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭参考答案1．A 2．D 3．C 4．B 5．C 6．B 7．D 8．D 9.D 10．C 11．2 12．32-3 13．≠014．33(1)(1)a m m +- 15．16．（1）用B 组的人数除以百分比即可得出参加比赛的总人数；总人数×30%=D 组人数，总人数×20%=E 组人数； （2）90°;（3）1500名． 17．（1）、-763b a ；（2）、4)(a b -（2）、原式=10)(a b -÷3)(a b -÷3)(a b -=3310)(---a b =4)(a b -.18．不等式组的解集为﹣2＜x≤1．19．（1）A 、B 两种型号的电风扇单价分别200元，150元；（2）A 种型号的电风扇最多能采购37台，采购金额不多于7500元； （3）能，方案如下；当36a =时，采购A 种型号的电风扇36台，B 种型号的电风扇14台； 当37a =时，采购A 种型号的电风扇37台，B 种型号的电风扇13台；20．根据AM=2MB ，AN=2NC ，AB=AC 得出AM=AN ，根据角平分线得出∠MAD=∠NAD ，结合AD=AD 得出△AMD 和△AND 全等，从而得出MD=ND ． 试题解析：∵AM=2MB ∴AM=23AB 同理AN=23AC 又∵AB=AC ∴AM=AN ∵AD 平分∠BAC ∴∠MAD=∠NAD 又∵AD=AD ∴△AMD ≌△AND ∴DM=DN 考点：三角形全等的性质． 21．（1）正比例函数的解析式为12y x =，反比例函数的解析式为2y x=； （2）在直线MO 上存在这样的点()2,1Q 或()2,1--，使得OBQ △与OAP △面积相等.22．（1）83a ；（2）222222498ab d a b cc d中考第一次模拟考试数学试题时间:30分钟 你实际使用 分钟班级 姓名 学号 成绩一、精心选一选1．4的算术平方根是（ ） Ａ．2Ｂ．2±Ｃ．2Ｄ．2±2．计算23()a a b --的结果是（ ） Ａ．3a b --Ｂ．3a b -Ｃ．3a b +Ｄ．3a b -+3．数据1，2，4，2，3，3，2的众数（ ） Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．44．正方形、矩形、菱形都具有的特征是（ ） Ａ．对角线互相平分 Ｂ．对角线相等 Ｃ．对角线互相垂直Ｄ．对角线平分一组对角5．已知数据122-6-1.π-2，，，，，其中负数出现的频率是（ ）Ａ．20%Ｂ．40%Ｃ．60%Ｄ．80%6．如果4张扑克按图11-的形式摆放在桌面上，将其中一张旋转180o 后，扑克的放置情况如图12-所示，那么旋转的扑克从左起是（ ） Ａ．第一张 Ｂ．第二张Ｃ．第三张Ｄ．第四张7．同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子（骰子每一面的点数分别是从1到6这六个数字中的一个），以下说法正确的是（ ） Ａ．掷出两个1点是不可能事件 Ｂ．掷出两个骰子的点数和为6是必然事件 Ｃ．掷出两个6点是随机事件Ｄ．掷出两个骰子的点数和为14是随机事件8．若方程240x x c -+=有两个不相等的实数根，则实数c 的值可以是（ ） Ａ．6 Ｂ．5Ｃ．4Ｄ．3图2正视图左视图9．已知一个物体由x 个相同的正方体堆成，它的正视图和左视图如图2所示，那么x 的最大值是（ ） Ａ．13 Ｂ．12Ｃ．11Ｄ．1010．已知函数222y x x =--的图象如图3所示，根据其中提供的信息，可求得使1y ≥成立的x 的取值范围是（ ） Ａ．13x -≤≤Ｂ．31x -≤≤Ｃ．3x -≥Ｄ．1x -≤或3x ≥二、细心填一填11．绝对值为3的所有实数为 ． 12．方程2650x x -+=的解是． 13．数据8，9，10，11，12的方差2S 为．14．若方程3x y +=，1x y -=和20x my -=有公共解，则m 的取值为．15．如图4，已知点E 在面积为4的平行四边形ABCD 的边上运动，使ABE △的面积为1的点E 共有个．三、开心用一用16．计算：21211a a ++-．答案:一、选择题：每小题3分，共10个小题，满分30分． 1－5． ＡＤＢＡＣ； 6－10．ＢＣＤＣＤ 二、填空题：每小题3分，共6个小题，满分18分． 11．33-，； 12．1215x x ==，ＤＥ图413．2；14．1；15．2；指．三、解答题：16．原式121(1)(1)a a a=+++-12(1)(1)aa a-+=+-11a=-．。
中考数学一模真题试卷含答案解析
河南省信阳市中考数学一模试卷一、选择题：1．下列各组数中，互为倒数的是（）A．2和﹣2 B．﹣2和C．﹣2和﹣D．﹣和22．下列不是三棱柱展开图的是（）A．B． C．D．3．据统计，今年春节期间（除夕到初五），微信红包总收发次数达321亿次，几乎覆盖了全国75%的网民，数据“321亿”用科学记数法可表示为（）A．3.21×108B．321×108C．321×109D．3.21×10104．如图，把等腰直角三角板的直角顶点放在刻度尺的一边上，若∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行调查，下表是这10户居民4月份用电量的调查结果：居民（户） 1 2 3 4月用电量（度/户） 30 42 50 51那么关于这10户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（）A．中位数是50 B．众数是51 C．方差是42 D．极差是216．一次函数y=kx+b的图象如图，则当0＜x≤1时，y的范围是（）A．y＞0 B．﹣2＜y≤0 C．﹣2＜y≤1 D．无法判断7．如图，▱ABCD中，AE平分∠BAD，若CE=3cm，AB=4cm，则▱ABCD的周长是（）A．20cm B．21cm C．22cm D．23cm8．如图，平面直角坐标系中，直线y=﹣x+a与x、y轴的正半轴分别交于点B和点A，与反比例函数y=﹣的图象交于点C，若BA：AC=2：1，则a的值为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3二、填空题：每小题3分，共21分．9．计算：﹣14+﹣4cos30°=．10．不等式组的解集为．11．某市初中毕业女生体育中招考试项目有四项，其中“立定跳远”、“1000米跑”、“篮球运球”为必测项目，另一项从“掷实心球”、“一分钟跳绳”中选一项测试．则甲、乙、丙三位女生从“掷实心球”或“一分钟跳绳”中选择一个考试项目的概率是．12．如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC=度．13．在平面直角坐标系中，点A（2，3），B（5，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为1：2，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是．14．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交DC于点E，交AD延长线于点F，则图中阴影部分的面积为．15．如图，有一张长为8cm，宽为7cm的矩形纸片ABCD，现要剪下一个腰长为6cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为cm2．三、解答题：本大题8个小题，共75分．16．先化简分式：（），若该分式的值为2，求x的值．17．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆O上的两点，CD∥AB，过点C作CE⊥AD，交AD 的延长线于点E，tanA=．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）猜想四边形AOCD是什么特殊的四边形，并证明你的猜想．18．手机给人们的生活带来了很多的方便，但也出现了过度使用手机的现象，出现了所谓的“手机控”、“低头族”等，某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“初中学生带手机上学”这一现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图．依据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生家长有名，“很赞同”初中生带手机上学的家长所对应的圆心角度数是；（2）请补全报“无所谓”态度的家长所对应的条形统计图（标上柱高数值）；（3）请你对初中生是否应该带手机上学提出一个合理化的建议．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．20．如图1，被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆（俗称“玉米楼”）就坐落在风景如画的如意湖畔，也是来郑观光的游客留影的最佳景点．学完了三角函数后，刘明和王华决定用自己学到的知识测量“玉米楼”的高度．如图2，刘明在点C处测得楼顶B的仰角为45°，王华在高台上测得楼顶的仰角为30°．若高台高DE为5米，点D到点C的水平距离EC为187.5米，A、C、E三点共线，求“玉米楼”AB的高（，结果保留整数）．21．“红星”中学准备为校“教学兴趣小组”购进甲、乙两种学习用具，已知5件甲种学习用具的进价与3件乙种学习用具的进价的和为231元，2件甲种学习用具的进价与3件乙种学习用具的进价的和为141元．（1）求每件甲种、乙种学习用具的进价分别是多少元？（2）如果购进甲种学习用具有优惠，优惠方法是：购进甲种学习用具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x＞0）件甲种学习用具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，学校决定在甲、乙两种学习用具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助学校判断购进哪种学习用具更省钱．22．阅读并完成下面的数学探究：（1）【发现证明】如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，小颖把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．（2）【类比延伸】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足关系时，仍有EF=BE+FD．（3）【结论应用】如图（3），四边形ABCD中，AB=AD=80，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥AD，DF=40（），连E、F，求EF 的长（结果保留根号）．23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=对称，且经过A、C两点，与x轴交于另一点为B．（1）①求点B的坐标；②求抛物线的解析式．（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA、PC，若△PAC的面积是△ABC面积的，求出此时点P的坐标．（3）在抛物线的对称轴上是否存在点D，使△ADC为直角三角形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．河南省信阳市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：1．下列各组数中，互为倒数的是（）A．2和﹣2 B．﹣2和C．﹣2和﹣D．﹣和2【考点】倒数．【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．【解答】解：2×（﹣）=1，故C正确；故选：C．【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．2．下列不是三棱柱展开图的是（）A．B． C．D．【考点】几何体的展开图．【分析】根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．【解答】解：∵三棱柱展开图有3个四边形，2个三角形，∴C选项不是三棱柱展开图，故选：C．【点评】本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．3．据统计，今年春节期间（除夕到初五），微信红包总收发次数达321亿次，几乎覆盖了全国75%的网民，数据“321亿”用科学记数法可表示为（）A．3.21×108B．321×108C．321×109D．3.21×1010【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：321亿=32100000000=3.21×1010，故选D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．如图，把等腰直角三角板的直角顶点放在刻度尺的一边上，若∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【考点】平行线的性质．【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由余角的定义即可得出结论．【解答】解：∵直尺的两边互相平行，∠1=60°，∴∠3=∠1=60°．∵∠3+∠2=90°，∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣60°=30°．故选A．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．5．为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行调查，下表是这10户居民4月份用电量的调查结果：居民（户） 1 2 3 4月用电量（度/户） 30 42 50 51那么关于这10户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（）A．中位数是50 B．众数是51 C．方差是42 D．极差是21【考点】方差；中位数；众数；极差．【专题】计算题．【分析】根据表格中的数据，求出平均数，中位数，众数，极差与方差，即可做出判断．【解答】解：10户居民4月份用电量为30，42，42，50，50，50，51，51，51，51，平均数为（30+42+42+50+50+50+51+51+51+51）=46.8，中位数为50；众数为51，极差为51﹣30=21，方差为[（30﹣46.8）2+2（42﹣46.8）2+3（50﹣46.8）2+4（51﹣46.8）2]=42.96．故选C．【点评】此题考查了方差，中位数，众数，以及极差，熟练掌握各自的求法是解本题的关键．6．一次函数y=kx+b的图象如图，则当0＜x≤1时，y的范围是（）A．y＞0 B．﹣2＜y≤0 C．﹣2＜y≤1 D．无法判断【考点】一次函数的性质．【分析】根据一次函数的图象与两坐标轴的交点直接解答即可．【解答】解：因为一次函数y=kx+b的图象与两坐标轴的交点分别为（1，0）、（0，﹣2），所以当0＜x≤1，函数y的取值范围是：﹣2＜y≤0，故选B【点评】本题考查的是用数形结合的方法求函数的取值范围，解答此题的关键是正确观察函数在平面直角坐标系内的图象，属较简单题目．7．如图，▱ABCD中，AE平分∠BAD，若CE=3cm，AB=4cm，则▱ABCD的周长是（）A．20cm B．21cm C．22cm D．23cm【考点】平行四边形的性质．【分析】由平行四边形的性质得出AD=BC=4cm，AB=DC，AD∥BC，由平行线的性质和角平分线求出BE=AB=4cb，得出BC=7cm，即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=10，AB=DC，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BCD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB=4cm，∴BC=BE+CE=7cm，∴▱ABCD的周长=2（DC+BC）=2（4+7）=22cm；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证出BE=AB是解决问题的关键．8．如图，平面直角坐标系中，直线y=﹣x+a与x、y轴的正半轴分别交于点B和点A，与反比例函数y=﹣的图象交于点C，若BA：AC=2：1，则a的值为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】想办法把C点坐标用a表示出来，然后代入y=﹣即可．【解答】解：作CE⊥x轴于E，∵AO∥CE，BA：AC=2：1，AO=OB=a，∴=，∴EB=，CE=，∴点C坐标（﹣，a），又∵点C在y=﹣上，∴﹣=﹣3，∵a＞0，∴a=2．故选A．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的有关知识，学会用转化的思想解决，把问题变成方程是解题的关键，属于中考常考题型．二、填空题：每小题3分，共21分．9．计算：﹣14+﹣4cos30°=﹣1．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】首先化简二次根式以及利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：﹣14+﹣4cos30°=﹣1+2﹣4×=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．10．不等式组的解集为﹣3＜x＜﹣2．【考点】解一元一次不等式组．【分析】分别求得各不等式的解集，然后求出公共部分即可．【解答】解：，由①得：x＞﹣3，由②得：x＜﹣2，则不等式组的解集为﹣3＜x＜﹣2．故答案为：﹣3＜x＜﹣2．【点评】】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．某市初中毕业女生体育中招考试项目有四项，其中“立定跳远”、“1000米跑”、“篮球运球”为必测项目，另一项从“掷实心球”、“一分钟跳绳”中选一项测试．则甲、乙、丙三位女生从“掷实心球”或“一分钟跳绳”中选择一个考试项目的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先分别用A，B代表“掷实心球”、“一分钟跳绳”，然后根据题意画树状图，继而求得所有等可能的结果与甲、乙、丙三位女生从“掷实心球”或“一分钟跳绳”选择同一个测试项目的情况，利用概率公式即可求得答案．【解答】解：分别用A，B代表“掷实心球”、“一分钟跳绳”，画树状图得：∵共有8种等可能的结果，甲、乙、丙三位女生从“掷实心球”或“一分钟跳绳”中选择一个考试项目的有2种情况，∴其概率是：=．故答案为：．【点评】此题考查了树状图法求概率的知识．注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．12．如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC=52度．【考点】等腰三角形的性质．【分析】设∠ADC=α，然后根据AC=AD=DB，∠BAC=102°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数．【解答】解：∵AC=AD=DB，∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠C，设∠ADC=α，∴∠B=∠BAD=，∵∠BAC=102°，∴∠DAC=102°﹣，在△ADC中，∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∴2α+102°﹣=180°，解得：α=52°．故答案为：52．【点评】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等．13．在平面直角坐标系中，点A（2，3），B（5，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为1：2，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（，﹣1）或（﹣，1）．【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】由以原点O 为位似中心，位似比为1：2，把△ABO 缩小，直接利用位似图形的性质求解即可求得答案．【解答】解：∵以原点O 为位似中心，位似比为1：2，把△ABO 缩小，B （5，﹣2），∴点B 的对应点B ′的坐标是：（，﹣1）或（﹣，1）．故答案为：（，﹣1）或（﹣，1）．【点评】此题考查了位似图形的性质．注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k ．14．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=2，以A 为圆心，AB 的长为半径画弧，交DC 于点E ，交AD 延长线于点F ，则图中阴影部分的面积为 8﹣4+π ．【考点】扇形面积的计算．【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得∠AED=30°，进而求得∠1=60°；由勾股定理求出DE ，再根据阴影FDE 的面积S 1=S 扇形AEF ﹣S △ADE 、阴影ECB 的面积S 2=S 矩形﹣S △ADE ﹣S 扇形ABE 列式计算即可得解．【解答】解：∵在矩形ABCD 中，AB=4，BC=2，∴AB=2DA ，AB=AE （扇形的半径），∴AE=2DA ，∴∠AED=30°，∴∠1=90°﹣30°=60°，∵DA=2∴AB=2DA=4，∴AE=4，∴DE==2，∴阴影FDE 的面积S 1=S 扇形AEF ﹣S △ADE =﹣×2×2=π﹣2．阴影ECB 的面积S 2=S 矩形﹣S △ADE ﹣S 扇形ABE =2×4﹣×2×2﹣=8﹣2﹣π；． 则图中阴影部分的面积为=8﹣2﹣π+π﹣2=8﹣4+π．故答案为：8﹣4+π． 【点评】本题考查了矩形的性质，扇形的面积计算，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并求出∠AED=30°是解题的关键，也是本题的难点．15．如图，有一张长为8cm ，宽为7cm 的矩形纸片ABCD ，现要剪下一个腰长为6cm 的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为 18或3或12 cm 2．【考点】勾股定理；等腰三角形的判定；矩形的性质． 【专题】分类讨论． 【分析】因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分三种情况进行讨论： （1）△AEF 为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；（2）先利用勾股定理求出AE 边上的高BF ，再代入面积公式求解；（3）先求出AE 边上的高DF ，再代入面积公式求解．【解答】解：分三种情况计算：（1）当AE=AF=6时，如图：∴S△AEF=AE•AF=×6×6=18（cm2）；（2）当AE=EF=6时，如图：则BE=7﹣6=1，BF===，∴S△AEF=•AE•BF=×6×=3（cm2）；（3）当AE=EF=6时，如图：则DE=8﹣6=2，DF===4，∴S△AEF=AE•DF=×6×4=12（cm2）；故答案为：18或3或12．【点评】本题主要考查了勾股定理的运用，矩形的性质，三角形的面积，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论，有一定的难度．三、解答题：本大题8个小题，共75分．16．先化简分式：（），若该分式的值为2，求x的值．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再由该分式的值为2，求出x的值即可．【解答】解：原式=•=，∵该分式的值为2，∴=2，即2（x+2）=4，解得x=0，经检验x=0是分式方程的解．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．17．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆O上的两点，CD∥AB，过点C作CE⊥AD，交AD 的延长线于点E，tanA=．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）猜想四边形AOCD是什么特殊的四边形，并证明你的猜想．【考点】切线的判定；菱形的判定．【分析】（1）连接OD，由锐角三角函数得出∠A=60°，证出△OAD是等边三角形，得出∠ADO=∠AOD=60°，再证明△COD是等边三角形，得出∠COD=60°=∠ADO，证出OC∥AE，由已知条件得出CE⊥OC，即可得出结论；（2）由（1）得：△OAD和△COD是等边三角形，得出OA=AD=OD=CD=OC，即可证出四边形AOCD是菱形．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：∵tanA=，∴∠A=60°，∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形，∴∠ADO=∠AOD=60°，∵CD∥AB，∴∠ODC=60°，∵OC=OD，∴△COD是等边三角形，∴∠COD=60°=∠ADO，∴OC∥AE，∵CE⊥AE，∴CE⊥OC，∴CE是⊙O的切线；（2）解：四边形AOCD是菱形；理由如下：由（1）得：△OAD和△COD是等边三角形，∴OA=AD=OD=CD=OC，∴四边形AOCD是菱形．【点评】本题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质、三角函数、菱形的判定；熟练掌握切线的判定方法，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．18．手机给人们的生活带来了很多的方便，但也出现了过度使用手机的现象，出现了所谓的“手机控”、“低头族”等，某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“初中学生带手机上学”这一现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图．依据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生家长有200名，“很赞同”初中生带手机上学的家长所对应的圆心角度数是36°；（2）请补全报“无所谓”态度的家长所对应的条形统计图（标上柱高数值）；（3）请你对初中生是否应该带手机上学提出一个合理化的建议．【考点】条形统计图；扇形统计图．【分析】（1）根据赞同的人数和所占的百分比求出总人数，再乘以无所谓所占的百分比求出无所谓的人数，用总人数减去其它的人数求出很赞同的人数，然后乘以360°求出“很赞同”初中生带手机上学的家长所对应的圆心角的度数；（2）根据（1）求出无所谓的人数可直接画出条形统计图；（3）根据学生现在正需要好好地学习，不应该带手机，网络这么发达，会影响学习．【解答】解：（1）本次调查的学生家长有=200（名），无所谓的人数是：200×20%=40（人），很赞同的人数是：200﹣50﹣40﹣90=20（人），则“很赞同”初中生带手机上学的家长所对应的圆心角度数是360°×=36°；故答案为：200，36°；（2）根据（1）求出的无所谓的人数是40，补图如下：（3）初中生不应该带手机，影响学习．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．【考点】根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】（1）求出根的判别式，利用偶次方的非负性证明；（2）分△ABC的底边长为2、△ABC的一腰长为2两种情况解答．【解答】（1）证明：△=（k+3）2﹣4×3k=（k﹣3）2≥0，故不论k取何实数，该方程总有实数根；（2）解：当△ABC的底边长为2时，方程有两个相等的实数根，则（k﹣3）2=0，解得k=3，方程为x2﹣6x+9=0，解得x1=x2=3，故△ABC的周长为：2+3+3=8；当△ABC的一腰长为2时，方程有一根为2，方程为x2﹣5x+6=0，解得，x1=2，x2=3，故△ABC的周长为：2+2+3=7．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式、等腰三角形的性质，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．20．如图1，被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆（俗称“玉米楼”）就坐落在风景如画的如意湖畔，也是来郑观光的游客留影的最佳景点．学完了三角函数后，刘明和王华决定用自己学到的知识测量“玉米楼”的高度．如图2，刘明在点C处测得楼顶B的仰角为45°，王华在高台上测得楼顶的仰角为30°．若高台高DE为5米，点D到点C的水平距离EC为187.5米，A、C、E三点共线，求“玉米楼”AB的高（，结果保留整数）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】作DM⊥AB于M，交BC于F，作CG⊥DM于G，设BM=x米，根据题意和正切的定义表示出DM、FM，列出方程，计算即可．【解答】解：作DM⊥AB于M，交BC于F，作CG⊥DM于G，设BM=x米，由题意得，DG=187.5米，CG=5米，∠BFM=45°，∠BDM=30°，则GF=CG=5米，DF=DG+GF=192.5米，FM=BM=x米，∴DM==x，∵DM﹣FM=DF，∴x﹣x=192.5，解得，x=≈275，275+5=280（米）．答：“玉米楼”AB的高约为280米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确理解仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．21．“红星”中学准备为校“教学兴趣小组”购进甲、乙两种学习用具，已知5件甲种学习用具的进价与3件乙种学习用具的进价的和为231元，2件甲种学习用具的进价与3件乙种学习用具的进价的和为141元．（1）求每件甲种、乙种学习用具的进价分别是多少元？（2）如果购进甲种学习用具有优惠，优惠方法是：购进甲种学习用具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x＞0）件甲种学习用具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，学校决定在甲、乙两种学习用具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助学校判断购进哪种学习用具更省钱．【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．【分析】（1）设每件甲种学习用具的进价是a元，每件乙种学习用具的进价是b元，根据花费钱数=单价×数量，结合两种不同购进方式可列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）结合优惠政策对x进行分段考虑，由花费钱数=单价×数量，可得出y关于x的函数关系式；（3）找出购进乙种学习用具x件的花费，令乙种的花费＜甲种的花费找出关于x的一元一次不等式，解出不等式即可得出结论．【解答】解（1）设每件甲种学习用具的进价是a元，每件乙种学习用具的进价是b元，根据题意得：，解得：．答：每件甲种学习用具的进价是30元，每件乙种学习用具的进价是27元．（2）当0＜x≤20时，y=30x；当x＞20时，y=20×30+0.7×30（x﹣20）=21x+180．（3）购买x件乙种学习用具的花费为27x元，购买x件甲种学习用具的花费为（21x+180）元，令27x＜21x+180，解得：x＜30．即：当20＜x＜30时，购进乙种学习用具更省钱；当x=30时，两种学习用具的花费一样；当x＞30时，购买甲种学习用具更省钱．【点评】本题考查了解二元一次方程组、一次函数的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）根据已知列出关于a、b的二元一次方程组；（2）结合优惠政策分段寻找函数解析式；（3）令购买乙种的花费＜购买甲种的花费找出此时的x的取值范围．本题属于中档题，难度不大，解决该类型题目时，把握住数量关系是关键．22．阅读并完成下面的数学探究：（1）【发现证明】如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，小颖把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．（2）【类比延伸】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足关系∠EAF=∠BAD时，仍有EF=BE+FD．（3）【结论应用】如图（3），四边形ABCD中，AB=AD=80，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥AD，DF=40（），连E、F，求EF 的长（结果保留根号）．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据旋转变换的性质和正方形的性质证明△EAF≌△GAF，得到EF=FG，证明结论；（2）把△ABE绕点A逆时针旋转至△ADH，使AB与AD重合，证明△EAF≌△HAF，证明即可；（3）延长BA交CD的延长线于P，连接AF，根据四边形内角和定理求出∠C的度数，得到∠P=90°，求出PD、PA，证明∠EAF=∠BAD，又（2）的结论得到答案．【解答】（1）证明：由旋转的性质可知，△ABE≌△ADG，∴BE=DG，AE=AG，∠BAE=∠DAG，∠ADG=∠ABE=90°，∴G、D、F在同一条直线上，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∴∠EAG=90°，又∠EAF=45°，∴∠FAG=45°，在△EAF和△GAF中，，∴△EAF≌△GAF，∴EF=FG，∴EF=BE+FD；（2）当∠EAF=∠BAD时，仍有EF=BE+FD．证明：如图（2），把△ABE绕点A逆时针旋转至△ADH，使AB与AD重合，则BE=DH，∠BAE=∠DAH，∠ADH=∠B，又∠B+∠D=180°，∴∠ADH+∠D=180°，即F、D、H在同一条直线上，当∠EAF=∠BAD时，∠EAF=∠HAF，由（1）得，△EAF≌△HAF，则EF=FH，即EF=BE+FD，故答案为：∠EAF=∠BAD；（3）如图（3），延长BA交CD的延长线于P，连接AF，∵∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，∴∠C=30°，∴∠P=90°，又∠ADC=120°，∴∠ADP=60°，∴PD=AD×cos∠ADP=40，AP=AD×sin∠ADP=40，∴PF=PD+DF=40，∴PA=PF，∴∠PAF=45°，又∠PAD=30°，∴∠DAF=15°，∴∠EAF=75°，∠BAE=60°，∴∠EAF=∠BAD，由（2）得，EF=BE+FD，又BE=BA=80，∴EF=BE+FD=40（）．【点评】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的四条边都相等、四个角都是直角，旋转变换的旋转角相等、旋转后的三角形与原三角形全等是解题的关键．23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=对称，且经过A、C两点，与x轴交于另一点为B．（1）①求点B的坐标；②求抛物线的解析式．（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA、PC，若△PAC的面积是△ABC面积的，求出此时点P的坐标．（3）在抛物线的对称轴上是否存在点D，使△ADC为直角三角形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）①由直线过点A，可得出点A的坐标，由A、B关于直线x=对称可找出B点的坐标；②由直线经过点C可求出点C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由△PAC的面积是△ABC面积的，结合同底三角形的面积公式即可得出点P到直线AC的距离为点B到直线AC的距离的，设出P点坐标，由点到直线的距离可列出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论；（3）假设存在，设出D点坐标，由两点间的距离公式用n表示出各边长度，结合勾股定理分别讨论即可得出结论．【解答】解：（1）①令y=﹣=0，解得：x=4，即点A的坐标为（4，0）．∵A、B关于直线x=对称，∴点B的坐标为（﹣1，0）．②令x=0，则y=2，∴点C的坐标为（0，2），∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C，∴有，解得：．故抛物线解析式为y=﹣++2．（2）直线AC的解析式为y=﹣，即x+y﹣2=0，。
2020年信阳市数学中考第一次模拟试题附答案
21．电器专营店的经营利润受地理位置、顾客消费能力等因素的影响，某品牌电脑专营店 设有甲、乙两家分店，均销售 A、B、C、D 四种款式的电脑，每种款式电脑的利润如表 1 所示．现从甲、乙两店每月售出的电脑中各随机抽取所记录的 50 台电脑的款式，统计各种 款式电脑的销售数量，如表 2 所示． 表 1：四种款式电脑的利润
越大，波动性越大，反之也成立.
9．A
解析：A 【解析】 【分析】 根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】
A、 30 是最简二次根式；
B、 12 =2 3 ，不是最简二次根式；
C、 8=2 2 ，不是最简二次根式；
D、 0.5 = 2 ，不是最简二次根式； 2
故选：A． 【点睛】 此题考查最简二次根式的概念，解题关键在于掌握（1）被开方数不含分母；（2）被开方 数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
（1）这次调查的学生共有多少名；
（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数；
（3）如果要在这 个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表
法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次Leabharlann 记为 A、B、C、D、E）．
2．B
解析：B 【解析】 【分析】 根据相反数的性质可得结果. 【详解】 因为-2+2=0，所以﹣2 的相反数是 2， 故选 B． 【点睛】 本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键 .
3．C
解析：C 【解析】 【分析】 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10﹣n，与较大数的科学记 数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的 个数所决定． 【详解】 解：0.0007=7×10﹣4 故选 C． 【点睛】 本题考查科学计数法，难度不大．
2021-2022学年度河南省信阳市中考数学一模试卷及答案解析
河南省信阳市中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．﹣5的相反数是（）A．B．5 C．﹣D．﹣52．生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（）A．3.2×107B．3.2×108C．3.2×10﹣7D．3.2×10﹣83．如图是按1：10的比例画出的一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（）A．200 cm2B．600 cm2C．100πcm2D．200πcm24．为了响应学校“书香校园”建设，阳光班的同学们积极捐书，其中宏志学习小组的同学捐书册数分别是：5，7，x，3，4，6．已知他们平均每人捐5本，则这组数据的众数、中位数和方差分别是（）A．5，5，B．5，5，10 C．6，5.5，D．5，5，5．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．6．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝的图象上．若点B在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．27．若关于x的一元一次不等式组的解集是x＜5，则m的取值范围是（）A．m≥5 B．m＞5 C．m≤5 D．m＜58．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y＝x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c＝0（a ≠0）的两根之和（）A．小于0 B．等于0 C．大于0 D．不能确定9．如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为（）A．B．C．D．10．如图，已知A，B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P 从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．计算的结果是．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE的度数是．13．三名运动员参加定点投篮比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场．由于某种原因，要求这三名运动员用抽签方式重新确定出场顺序，则抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率为．14．如图，AC是半圆O的一条弦，以弦AC为折线将弧AC折叠后过圆心O，⊙O的半径为2，则圆中阴影部分的面积为．15．如图，在R△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点M为边AC的中点，点N为边BC上任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为．三、解答题（共75分）16．先化简，再求值：（a+1﹣）÷（﹣），其中a＝2+．17．如图，⊙O的直径AB＝4，点C为⊙O上的一个动点，连接OC，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线交于点D，点E为AD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）填空：①当CE＝时，四边形AOCE为正方形；②当CE＝时，△CDE为等边三角形．18．家庭过期药品属于“国家危险废物”，处理不当将污染环境，危害健康．某市药监部门为了解市民家庭处理过期药品的方式，决定对全市家庭作一次简单随机抽样调査．（1）下列选取样本的方法最合理的一种是．（只需填上正确答案的序号）①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．（2）本次抽样调査发现，接受调査的家庭都有过期药品，现将有关数据呈现如图：①m＝，n＝；②补全条形统计图；③根据调査数据，你认为该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是什么？④家庭过期药品的正确处理方式是送回收点，若该市有180万户家庭，请估计大约有多少户家庭处理过期药品的方式是送回收点．19．如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG ＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D，C，G，E在同一直线上）．（cos80°≈0.018，sin80°≈0.98，≈1.414）（1）此时小强头部E点与地面DK相距多少？（2）小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？20．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为（1，）．（1）求图象过点B的反比例函数的解析式；（2）求图象过点A，B的一次函数的解析式；（3）在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时，请直接写出自变量x 的取值范围．21．某物流公司承接A、B两种货物运输业务，已知5月份A货物运费单价为50元/吨，B货物运费单价为30元/吨，共收取运费9500元；6月份由于油价上涨，运费单价上涨为：A货物70元/吨，B货物40元/吨；该物流公司6月承接的A种货物和B种数量与5月份相同，6月份共收取运费13000元．（1）该物流公司5月份运输两种货物各多少吨？（2）该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且A货物的数量不大于B货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？22．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C 的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．（1）b＝，c＝，点B的坐标为；（直接填写结果）（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．河南省信阳市淮滨县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．【解答】解：﹣5的相反数是5，故选：B．【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．2．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00000032＝3.2×10﹣7；故选：C．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．【分析】首先判断出该几何体，然后计算其面积即可．【解答】解：观察三视图知：该几何体为圆柱，高为2，底面直径为1，侧面积为：πdh＝2×π＝2π，∵是按1：10的比例画出的一个几何体的三视图，∴原几何体的侧面积＝100×2π＝200π，故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体及圆柱的计算，解题的关键是首先判断出该几何体．4．【分析】根据平均数，可得x的值，根据众数的定义、中位数的定义、方差的定义，可得答案．【解答】解：由5，7，x，3，4，6．已知他们平均每人捐5本，得x＝5．众数是5，中位数是5，方差＝，故选：D．【点评】本题考查了方差，利用方差的公式计算是解题关键．5．【分析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．【解答】解：A、＝3，与不是同类二次根式，故此选项错误；B、＝，与，是同类二次根式，故此选项正确；C、＝2，与不是同类二次根式，故此选项错误；D、＝＝，与不是同类二次根式，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键．6．【分析】要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到：＝＝＝2，然后用待定系数法即可．【解答】解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．设点A的坐标是（m，n），则AC＝n，OC＝m，∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∵∠DBO+∠BOD＝90°，∴∠DBO＝∠AOC，∵∠BDO＝∠ACO＝90°，∴△BDO∽△OCA，∴＝＝，∵OB＝2OA，∴BD＝2m，OD＝2n，因为点A在反比例函数y＝的图象上，则mn＝1，∵点B在反比例函数y＝的图象上，B点的坐标是（﹣2n，2m），∴k＝﹣2n•2m＝﹣4mn＝﹣4．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式．7．【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定m的范围．【解答】解：解不等式2x﹣1＞3（x﹣2），得：x＜5，∵不等式组的解集为x＜5，∴m≥5，故选：A．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．8．【分析】设ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，设方程ax2+（b﹣）x+c＝0（a≠0）的两根为m，n再根据根与系数的关系即可得出结论．【解答】解：设ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，∵由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，∴﹣＞0．设方程ax2+（b﹣）x+c＝0（a≠0）的两根为m，n，则m+n＝﹣＝﹣+，∵a＞0，∴＞0，∴m+n＞0．故选：C．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．9．【分析】如图，过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE＝DE，OA＝CD＝1，设OE＝x，那么CE＝3﹣x，DE＝x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD＝AB＝3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．【解答】解：如图，过D作DF⊥AF于F，∵点B的坐标为（1，3），∴AO＝1，AB＝3，根据折叠可知：CD＝OA，而∠D＝∠AOE＝90°，∠DEC＝∠AEO，∴△CDE≌△AOE，∴OE＝DE，OA＝CD＝1，设OE＝x，那么CE＝3﹣x，DE＝x，∴在Rt△DCE中，CE2＝DE2+CD2，∴（3﹣x）2＝x2+12，∴x＝，又DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，而AD＝AB＝3，∴AE＝CE＝3﹣＝，∴，即，∴DF＝，AF＝，∴OF＝﹣1＝，∴D的坐标为（﹣，）．故选：A．【点评】此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．10．【分析】结合点P的运动，将点P的运动路线分成O→A、A→B、B→C三段位置来进行分析三角形OMP 面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案．【解答】解：设∠AOM＝α，点P运动的速度为a，当点P从点O运动到点A的过程中，S＝＝a2•cosα•sinα•t2，由于α及a均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S随着t的增大而增大；当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知△OPM的面积为k，保持不变，故本段图象应为与横轴平行的线段；当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，△OPM的高与在B点时相同，故本段图象应该为一段下降的线段；故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象性质、锐角三角函数性质，解题的关键是明确点P在O→A、A→B、B→C三段位置时三角形OMP的面积计算方式．二、填空题（每小题3分，共15分）11．【分析】首先化简，然后根据实数的运算法则计算．【解答】解：＝2﹣＝．故答案为：．【点评】本题主要考查算术平方根的开方及平方根的运算，属于基础题．12．【分析】求出∠ABD，根据两直线平行，内错角相等可得∠BAE＝∠ABD，然后根据∠CAE＝∠BAC+∠BAE 代入数据计算即可得解．【解答】解：∵∠DBC＝20°，∴∠ABD＝60°﹣∠DBC＝60°﹣20°＝40°，∵BD∥AE，∴∠BAE＝∠ABD＝40°，∴∠CAE＝∠BAC+∠BAE＝30°+40°＝70°．故答案为：70°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，熟记性质以及三角板的度数是解题的关键．13．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化有2种情况，∴抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率＝，故答案为：．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．【分析】过点O作OE⊥AC，交AC于D，连接OC，BC，证明弓形OC的面积＝弓形BC的面积，这样图中阴影部分的面积＝△OBC的面积．【解答】解：过点O作OE⊥AC，交AC于D，连接OC，BC，∵OD＝DE＝OE＝OA，∴∠A＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∵OB＝OC＝2，∴△OBC是等边三角形，∴OC＝BC，∴弓形OC面积＝弓形BC面积，∴阴影部分面积＝S△OBC＝×2×＝．故答案为：【点评】本题考查了折叠问题、扇形的面积．解决本题的关键是把阴影部分的面积转化为△OBC的面积．15．【分析】取BC、AB的中点H、G，理解MH、HG、MG．分三种情形：①如图1中，当点C′落在MH 上时；②如图2中，当点C′落在GH上时；③如图3中，当点C′落在直线GM上时，分别求解即可解决问题；【解答】解：取BC、AB的中点H、G，理解MH、HG、MG．如图1中，当点C′落在MH上时，设NC＝NC′＝x，由题意可知：MC＝MC′＝2，MH＝，HC′＝，HN＝﹣x，在Rt△HNC中，∵HN2＝HC′2+NC′2，∴（﹣x）2＝x2+（）2，解得x＝．如图2中，当点C′落在GH上时，设NC＝NC′＝x，在Rt△GMC′中，MG＝CH＝，MC＝MC′＝2，∴GC′＝，∵△HNC′∽△GC′M，∴＝，∴＝，∴x＝．如图3中，当点C′落在直线GM上时，易证四边形MCNC′是正方形，可得CN＝CM＝2．此时点C′在中位线GM的延长线上，不符合题意舍弃．综上所述，满足条件的线段CN的长为或．故答案为为或．【点评】本题考查轴对称、三角形的中位线、勾股定理、相似三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的扇形思考问题，属于中考常考题型．三、解答题（共75分）16．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝÷＝•＝a（a﹣2）＝a2﹣2a，当a＝2+时，原式＝7+4﹣4﹣2＝3﹣2．【点评】此题考查了分式的化简求值，以及分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．【分析】（1）连接AC、OE，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据斜边上的中线性质得到EA＝EC，则可证明△OCE≌△OAE，得到∠OCE＝∠OAE＝90°，于是可根据切线的判定定理得到CE是⊙O的切线；（2）①由C为边BD的中点，而E为AD的中点，则CE为△BAD的中位线，得到CE∥AB，CE＝AB＝OA，则可先判定四边形OAEC为平行四边形，加上∠OAE＝90°，OA＝OC，于是可判断四边形OCEA是正方形，易得CE＝OA＝2；②连接AC，根据等边三角形的性质得∠D＝60°，∠ABD＝30°，在Rt△ABC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC＝AB＝2，然后在Rt△ACD中，利用∠D的正切函数可计算出CD，即可得出CE的长．【解答】（1）证明：连接AC、OE，如图（1），∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴△ACD为直角三角形，又∵E为AD的中点，∴EA＝EC，在△OCE和△OAE中，，∴△OCE≌△OAE（SSS），∴∠OCE＝∠OAE＝90°，∴CE⊥OC，∴CE是⊙O的切线；（2）解：①C在线段BD的中点时，四边形AOCE为正方形．理由如下：当C为边BD的中点，而E为AD的中点，∴CE为△BAD的中位线，∴CE∥AB，CE＝AB＝OA，∴四边形OAEC为平行四边形，∵∠OAE＝90°，∴平行四边形OCEA是矩形，又∵OA＝OC，∴矩形OCEA是正方形，∴CE＝OA＝2，故答案为：2；②连接AC，如图（2），∵△CDE为等边三角形，∴∠D＝60°，∠ABD＝30°，CE＝CD，在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，在Rt△ACD中，∵tan∠D＝，∴CD＝＝＝，∴CE＝，故答案为：．【点评】本题考查了圆的综合题：考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、切线的判定定理、平行四边形的判定、正方形的判定、等边三角形的性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度．18．【分析】（1）根据抽样调查时选取的样本需具有代表性即可求解；（2）①首先根据A类有80户，占8%，求出抽样调査的家庭总户数，再用D类户数除以总户数求出m，用E类户数除以总户数求出n；②用总户数分别减去A、B、D、E、F类户数，得到C类户数，即可补全条形统计图；③根据调査数据，即可知道该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是B类；④用180万户乘以样本中送回收点的户数所占百分比即可．【解答】解：（1）根据抽样调查时选取的样本需具有代表性，可知下列选取样本的方法最合理的一种是③．①在市中心某个居民区以家庭为单位随机抽取；②在全市医务工作者中以家庭为单位随机抽取；③在全市常住人口中以家庭为单位随机抽取．（2）①抽样调査的家庭总户数为：80÷8%＝1000（户），m%＝＝20%，m＝20，n%＝＝6%，n＝6．故答案为20，6；②C类户数为：1000﹣（80+510+200+60+50）＝100，条形统计图补充如下：③根据调査数据，即可知道该市市民家庭处理过期药品最常见的方式是B类；④180×10%＝18（万户）．若该市有180万户家庭，估计大约有18万户家庭处理过期药品的方式是送回收点．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体以及抽样调查的可靠性．19．【分析】（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．求出MF、FN的值即可解决问题；（2）求出OH、PH的值即可判断；【解答】解：（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．∵EF+FG＝166，FG＝100，∴EF＝66，∵∠FGK＝80°，∴FN＝100•sin80°≈98，∵∠EFG＝125°，∴∠EFM＝180°﹣125°﹣10°＝45°，∴FM＝66•cos45°＝33≈46.53，∴MN＝FN+FM≈144.5，∴此时小强头部E点与地面DK相距约为144.5cm．（2）过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H．∵AB＝48，O为AB中点，∴AO＝BO＝24，∵EM＝66•sin45°≈46.53，∴PH≈46.53，∵GN＝100•cos80°≈17，CG＝15，∴OH＝24+15+17＝56，OP＝OH﹣PH＝56﹣46.53＝9.47≈9.5，∴他应向前9.5cm．【点评】本题考查直角三角形的应用，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．20．【分析】（1）由C的坐标求出菱形的边长，利用平移规律确定出B的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）由菱形的边长确定出A坐标，利用待定系数法求出直线AB解析式即可；（3）联立一次函数与反比例函数解析式求出交点坐标，由图象确定出满足题意x的范围即可．【解答】解：（1）由C的坐标为（1，），得到OC＝2，∵菱形OABC，∴BC＝OC＝OA＝2，BC∥x轴，∴B（3，），设反比例函数解析式为y＝，把B坐标代入得：k＝3，则反比例解析式为y＝；（2）设直线AB解析式为y＝mx+n，把A（2，0），B（3，）代入得：，解得：，则直线AB解析式为y＝x﹣2；（3）联立得：，解得：或，即一次函数与反比例函数交点坐标为（3，）或（﹣1，﹣3），则在第一象限内，当一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，自变量x的取值范围为2＜x＜3．【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．21．【分析】（1）设A种货物运输了x吨，设B种货物运输了y吨，根据题意可得到一个关于x的不等式组，解方程组求解即可；（2）运费可以表示为x的函数，根据函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）设A种货物运输了x吨，设B种货物运输了y吨，依题意得：，解之得：．答：物流公司月运输A种货物100吨，B种货物150吨．（2）设A种货物为a吨，则B种货物为（330﹣a）吨，依题意得：a≤（330﹣a）×2，解得：a≤220，设获得的利润为W元，则W＝70a+40（330﹣a）＝30a+13200，根据一次函数的性质，可知W随着a的增大而增大当W取最大值时a＝220，即W＝19800元．所以该物流公司7月份最多将收到19800元运输费．【点评】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式组以及一次函数性质的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出方程组和不等式即可求解．22．【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM＝CE，PN＝BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同（1）的方法得出PM＝BD，PN＝BD，即可得出PM＝PN，同（1）的方法即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大＝AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD ＝14，即可得出结论．【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN＝BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM＝CE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．由旋转知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，利用三角形的中位线得，PN＝BD，PM＝CE，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC，∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，∵∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大＝AM+AN，连接AM，AN，在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，∴AM＝2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝5，∴MN最大＝2+5＝7，∴S△PMN最大＝PM2＝×MN2＝×（7）2＝．方法2：由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD，∴PM最大时，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，∴BD＝AB+AD＝14，∴PM＝7，∴S△PMN最大＝PM2＝×72＝．【点评】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出PM＝CE，PN＝BD，解（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（3）的关键是判断出MN最大时，△PMN的面积最大．23．【分析】（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，然后令y＝0可求得点B的坐标；（2）分别过点C和点A作AC的垂线，将抛物线与P1，P2两点先求得AC的解析式，然后可求得P1C和P 2A的解析式，最后再求得P1C和P2A与抛物线的交点坐标即可；（3）连接OD．先证明四边形OEDF为矩形，从而得到OD＝EF，然后根据垂线段最短可求得点D的纵坐标，从而得到点P的纵坐标，然后由抛物线的解析式可求得点P的坐标．【解答】解：（1）∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：b＝﹣2，c＝﹣3．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．∵令x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3．∴点B的坐标为（﹣1，0）．故答案为：﹣2；﹣3；（﹣1，0）．（2）存在．理由：如图所示：①当∠ACP1＝90°．由（1）可知点A的坐标为（3，0）．设AC的解析式为y＝kx﹣3．∵将点A的坐标代入得3k﹣3＝0，解得k＝1，∴直线AC的解析式为y＝x﹣3．∴直线CP1的解析式为y＝﹣x﹣3．∵将y＝﹣x﹣3与y＝x2﹣2x﹣3联立解得x1＝1，x2＝0（舍去），∴点P1的坐标为（1，﹣4）．②当∠P2AC＝90°时．设AP2的解析式为y＝﹣x+b．∵将x＝3，y＝0代入得：﹣3+b＝0，解得b＝3．∴直线AP2的解析式为y＝﹣x+3．∵将y＝﹣x+3与y＝x2﹣2x﹣3联立解得x1＝﹣2，x2＝3（舍去），∴点P2的坐标为（﹣2，5）．综上所述，P的坐标是（1，﹣4）或（﹣2，5）．（3）如图2所示：连接OD．由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF．根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．由（1）可知，在Rt△AOC中，∵OC＝OA＝3，OD⊥AC，∴D是AC的中点．又∵DF∥OC，∴．∴点P的纵坐标是．∴，解得：．∴当EF最短时，点P的坐标是：（，）或（，）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、矩形的性质、垂线的性质，求得P1C和P2A的解析式是解答问题（2）的关键，求得点P的纵坐标是解答问题（3）的关键．。
2020年河南省信阳市中考数学模拟试卷含解析版
绝密★启用前2020年河南省信阳市中考数学模拟试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上，在试卷上作答无效，选择题需使用2B铅笔填涂一、选择题（每小题3分，共30分）1．实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中最大的是（）A．a B．b C．c D．d2．2018年4月10日，历时四个月的“2018中国茶叶区域公用品牌价值评估”结果出炉，信阳毛尖较去年增加3.61亿元，以63.52亿元蝉联品牌价值排行榜第二名，并被评选为“最具品牌带动力”的三大品牌之一数据63.52亿元用科学记数法表示为（）A．3.61×108B．3.61×107C．63.52×108D．6.352×109 3．如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中“学”字所在的面相对的面上标的字是（）A．我B．是C．优D．生4．下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a3）2＝a9C．D．（sin30°﹣π）0＝15．如图所示是小明在某条道路所统计的某个时段来往车辆的车速情况，下列说法中正确的是（）A．中位数是52.5B．众数是8C．众数是52D．中位数是536．“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作，它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书，这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果．下列四部著作中，不属于我国古代数学著作的是（）A．《九章算术》B．《几何原本》C．《海岛算经》D．《周髀算经》7．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3＝0没有实数根，则整数a的最小值是（）A．0B．1C．2D．38．点P的坐标是（m，n），从﹣5，﹣3，0，4，7这五个数中任取一个数作为m的值，再从余下的四个数中任取一个数作为n的值，则点P（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是（）A．B．C．D．9．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2x，y+1），则y关于x的函数关系为（）A．y＝x B．y＝﹣2x﹣1C．y＝2x﹣1D．y＝1﹣2x10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x＝1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤二、填空题（每小题3分，共15分）11．计算＝．12．如图，在平行线l1，l2之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A，B分别在直线l1，l2上，若∠1＝65°，则∠2的度数是．13．如果不等式组的解集是x＜1，那么m的值是．14．如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点．设PC 的长度为x，PE与PB的长度和为y，图②是y关于x的函数图象，则图象上最低点H 的坐标为．15．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠ABC＝30°，点E是射线DA上一动点，把△CDE沿CE折叠，其中点D的对应点为点D′，若CD′垂直于菱形ABCD的边时，则DE的长为．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝﹣1．17．（9分）雾霾天气严重影响市民的生活质量．在今年寒假期间，某校九年级一班的综合实践小组学生对“雾霾天气的主要成因”随机调查了所在城市部分市民，并对调查结果进行了整理，绘制了下图所示的不完整的统计图表：组别雾霾天气的主要成因百分比A工业污染45%B汽车尾气排放mC炉烟气排放15%D其他（滥砍滥伐等）n请根据统计图表回答下列问题：（1）本次被调查的市民共有多少人？并求m和n的值；（2）请补全条形统计图，并计算扇形统计图中扇形区域D所对应的圆心角的度数；（3）若该市有100万人口，请估计市民认为“工业污染和汽车尾气排放是雾霾天气主要成因”的人数．18．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣2，0），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于B（a，4）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设M是直线AB上一点，过M作MN∥x轴，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点N，若A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．19．（9分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OF⊥AB，交AC于点F，点E在AB的延长线上，射线EM经过点C，且∠ACE+∠AFO＝180°．（1）求证：EM是⊙O的切线；（2）若∠A＝∠E，BC＝，求阴影部分的面积．（结果保留π和根号）．20．（9分）茗阳阁位于河南省信阳市河区茶韵路一号，建成于2007年4月29日，是一栋由多种中国古建筑元素，由雕栏飞檐、勾心斗角、斗拱图腾等多种形式的中国古建筑元素汇聚而成，具有浓郁地方古建筑特色的塔式阁楼茗阳阁是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一，同时茗阳阁旁的风景也是优美至极．某数学课外兴趣小组为了测量建在山丘DE上的茗阳阁CD的高度，在山脚下的广场上A处测得建筑物点D（即山顶）的仰角为20°，沿水平方向前进20米到达B点，测得建筑物顶部C点的仰角为45°，已知山丘DE高37.69米．求塔的高度CD．（结果精确到1米，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）21．（10分）每年的6月5日为世界环保日，为了提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新设备，现有甲、乙两种型号的设备可供选购，经调查：购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元．（1）求甲、乙两种型号设备的价格；（2）该公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超过110万元，你认为该公司有哪几种购买方案；（3）在（2）的条件下，已知甲型设备的产量为240吨/月，乙型设备的产量为180吨/月，若每月要求总产量不低于2040吨，为了节约资金，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案．22．（10分）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，则BC＝．23．（11分）如图所示，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），与直线y＝x﹣4交于B，D两点（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，直接写出点Q的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．【解答】解：由数轴可得：a＜b＜c＜d，故选：D．2．【解答】解：将63.52亿元用科学记数法表示为6.352×109元．故选：D．3．【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“是”与“秀”是相对面，“优”与“学”是相对面，“我”与“生”是相对面．故选：C．4．【解答】解：A．a2•a3＝a5，此选项错误；B．（a3）2＝a6，此选项错误；C．＝4，此选项错误；D．（sin30°﹣π）0＝1，此选项正确；故选：D．5．【解答】解：因为本次调查的车辆总数为2+5+8+6+4+2＝27辆，所以中位数为第14个数据，即中位数为52，众数为52，故选：C．6．【解答】解：A、《九章算术》是中国古代数学专著，作者已不可考，它是经历代各家的增补修订，而逐渐成为现今定本的；B、《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作；C、《海岛算经》是中国学者编撰的最早一部测量数学著作，由刘徽于三国魏景元四年所撰；D、《周髀算经》原名《周髀》，是算经的十书之一，中国最古老的天文学和数学著作；故选：B．7．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3＝0没有实数根，∴a﹣1≠0且△＜0，∴a≠1且△＝4﹣4×3×（a﹣1）＜0，∴a＞且a≠1，∴整数a的最小值是2．故选：C．8．【解答】解：画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中点P（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的结果数为4，所以点P（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的概率＝＝．故选：B．9．【解答】解：由作图可知，点P在第二象限的角平分线上，横坐标与纵坐标互为相反数，∵P（2x，y+1），∴2x+y+1＝0，∴y＝﹣2x﹣1，故选：B．10．【解答】解：①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，故正确；②∵对称轴x＝﹣＝1，∴2a+b＝0；故正确；③∵2a+b＝0，∴b＝﹣2a，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故错误；④根据图示知，当m＝1时，有最大值；当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．故正确．⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故错误．故选：A．二、填空题（每小题3分，共15分）11．【解答】解：＝4﹣2＝2故答案为：2．12．【解答】解：如图，过点C作CD∥l1，则∠1＝∠ACD．∵l1∥l2，∴CD∥l2，∴∠2＝∠DCB．∵∠ACD+∠DCB＝90°，∴∠1+∠2＝90°，又∵∠1＝65°，∴∠2＝25°．故答案为：25°．13．【解答】解：解不等式2x﹣1＞3x﹣3得，x＜2，∵不等式组的解集是x＜1，∴m＝1．故答案为：1．14．【解答】解：如图，连接PD．∵B、D关于AC对称，∴PB＝PD，∴PB+PE＝PD+PE，∴当D、P、E共线时，PE+PB的值最小，如下图：观察图象可知，当点P与A重合时，PE+PB＝3，∴AE＝EB＝1，AD＝AB＝2，在Rt△AED中，DE＝，∴PB+PE的最小值为，∴点H的纵坐标为，∵AE∥CD，∴＝2，∵AC＝2，∴PC＝2×＝，∴点H的横坐标为，∴H（，）．故答案为：（，）．15．【解答】解：分4种情况：①当D'C⊥AD时，如图1，设DE＝D'E＝x，由折叠得：CD＝CD'＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠D＝∠B＝30°，∴∠D＝∠D'＝30°，Rt△CFD中，CF＝CD＝1，∴D'F＝CD'﹣CF＝2﹣1＝1，Rt△D'FE中，cos30°＝，∴，∴DE＝D'E＝；②当CD'⊥AB时，如图2，过E作EF⊥CD于F，∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠B＝30°，∴∠BCD'＝60°，∠DCD'＝150°﹣60°＝90°，由折叠得∠ECD＝∠DCD'＝45°，∴△ECF是等腰直角三角形，设CF＝EF＝x，则ED＝2x，DF＝x，∵CD＝CF+DF＝2，∴x+x＝2，x＝﹣1，∴DE＝2x＝2﹣2；③当CD'⊥BC时，如图3，延长D'C交AD于F，则D'C⊥ED，Rt△CFD中，∠D＝30°，CD＝2，∴CF＝1，DF＝，Rt△D'EF中，D'F＝3，∠D'＝30°，∴EF＝，∴DE＝EF+DF＝2；④当D'C⊥CD时，如图4，延长D'C交DE于F，∵∠DCD'＝90°，∴∠FCD＝90°，∵CD＝2，∠FDC＝30°，∴CF＝，DF＝2FC＝，由折叠得：∠ECD＝∠ECD'＝＝135°，∴∠DEC＝∠D'EC＝15°，∴∠FEB＝∠FD'E＝30°，∴EF＝D'F＝+2，∴DE＝EF+DF＝2+2，综上所述，DE的长为或2或2﹣2或2+2．故答案为为或2或2﹣2或2+2．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．【解答】解：原式＝＝a+1，把a＝﹣1代入a+1＝．17．【解答】解：（1）本次被调查的市民共有：90÷45%＝200人，∵C组的人数是200×15%＝30（人）、D组的人数是200﹣90﹣60﹣30＝20（人），∴m＝×100%＝30%，n＝×100%＝10%；（2）补全的条形统计图如下图所示：扇形区域D所对应的圆心角的度数为：360°×10%＝36°；（3）100×（45%+30%）＝75（万）．∴若该市有100万人口，市民认为“工业污染和汽车尾气排放是雾霾天气主要成因”的人数约为75万人．18．【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣2，0），∴0＝﹣2+b，得b＝2，∴一次函数的解析式为y＝x+2，∵一次函数的解析式为y＝x+2与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于B（a，4），∴4＝a+2，得a＝2，∴4＝，得k＝8，即反比例函数解析式为：y＝（x＞0）；（2）∵点A（﹣2，0），∴OA＝2，设点M（m﹣2，m），点N（，m），当MN∥AO且MN＝AO时，四边形AOMN是平行四边形，||＝2，解得，m＝2或m＝+2，∴点M的坐标为（﹣2，）或（，2+2）．19．【解答】解：（1）连接OC，∵OF⊥AB，∴∠AOF＝90°，∴∠A+∠AFO+90°＝180°，∵∠ACE+∠AFO＝180°，∴∠ACE＝90°+∠A，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACE＝90°+∠ACO＝∠ACO+∠OCE，∴∠OCE＝90°，∴OC⊥CE，∴EM是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCE+∠BCO＝90°，∴∠ACO＝∠BCE，∵∠A＝∠E，∴∠A＝∠ACO＝∠BCE＝∠E，∴∠ABC＝∠BCO+∠E＝2∠A，∴∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，∴△BOC是等边三角形，∴OB＝BC＝，∴阴影部分的面积＝﹣××＝﹣．20．【解答】解：设CD＝x米．在Rt△BCE中，∵∠CEB＝90°，∠CBE＝45°，∴EC＝BE＝（x+37.69）米，在Rt△ADE中，∵tan20°＝，∴0.36＝，解得x≈17.64．答：塔的高度CD为17.64米．21．【解答】解：（1）设甲，乙两种型号设备每台的价格分别为x万元和y万元，由题意得：，解得：，则甲，乙两种型号设备每台的价格分别为12万元和10万元．（2）设购买甲型设备m台，乙型设备（10﹣m）台，则：12m+10（10﹣m）≤110，∴m≤5，∵m取非负整数∴m＝0，1，2，3，4，5，∴有6种购买方案．（3）由题意：240m+180（10﹣m）≥2040，∴m≥4∴m为4或5．当m＝4时，购买资金为：12×4+10×6＝108（万元），当m＝5时，购买资金为：12×5+10×5＝110（万元），则最省钱的购买方案为，选购甲型设备4台，乙型设备6台．22．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，∴EG＝EC，∴四边形CEGF是正方形；②由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，∴＝，GE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）连接CG，由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝、＝cos45°＝，∴＝＝，∴△ACG∽△BCE，∴＝＝，∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE；（3）∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，∴∠BEC＝135°，∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC＝∠BEC＝135°，∴∠AGH＝∠CAH＝45°，∵∠CHA＝∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴＝＝，设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝a，则由＝得＝，∴AH＝a，则DH＝AD﹣AH＝a，CH＝＝a，∴＝得＝，解得：a＝3，即BC＝3，故答案为：3．23．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点坐标是A（﹣2，0）、B （4，0），∴设该抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），将点C（0，﹣8）代入函数解析式代入，得a（0+2）（0﹣4）＝﹣8，解得a＝1，∴该抛物线的解析式为：y＝（x+2）（x﹣4）或y＝x2﹣2x﹣8．联立方程组：，解得（舍去）或，即点D的坐标是（﹣1，﹣5）；（2）如图所示：过点P作PE∥y轴，交直线AB与点E，设P（x，x2﹣2x﹣8），则E（x，x﹣4）．∴PE＝x﹣4﹣（x2﹣2x﹣8）＝﹣x2+3x+4．∴S△BDP＝S△DPE+S△BPE＝PE•（x p﹣x D）+PE•（x B﹣x E）＝PE•（x B﹣x D）＝（﹣x2+3x+4）＝﹣（x﹣）2+．∴当x＝时，△BDP的面积的最大值为．∴P（，﹣）．（3）设直线y＝x﹣4与y轴相交于点K，则K（0，﹣4），设G点坐标为（x，x2﹣2x﹣8），点Q点坐标为（x，x﹣4）．∵B（4，0），∴OB＝OK＝4．∴∠OKB＝∠OBK＝45°．∵QF⊥x轴，∴∠DQG＝45°．若△QDG为直角三角形，则△QDG是等腰直角三角形．①当∠QDG＝90°时，过点D作DH⊥QG于H，∴QG＝2DH，QG＝﹣x2+3x+4，DH＝x+1，∴﹣x2+3x+4＝2（x+1），解得：x＝﹣1（舍去）或x＝2，∴Q1（2，﹣2）．②当∠DGQ＝90°，则DH＝QH．∴﹣x2+3x+4＝x+1，解得x＝﹣1（舍去）或x＝3，∴Q2（3，﹣1）．综上所述，当△QDG为直角三角形时，点Q的坐标为（2，﹣2）或（3，﹣1）．。
河南省信阳市,2020~2021年中考数学压轴题精选解析
河南省信阳市，2020~2021年中考数学压轴题精选解析河南省信阳市中考数学压轴题精选~~第1题~~(2020信阳.中考模拟) 如图，抛物线y ＝ax +bx+c 经过A （﹣1，0）、C （0，3）、B （2，3）（1） 求抛物线的解析式；（2） 线段AB 上有一动点P ，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点Q ，求线段PQ 的最大值；（3） 抛物线的对称轴上是否存在点M ，使△ABM 为直角三角形？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，说明理由（4个坐标）.~~第2题~~(2020潢川.中考模拟) 如图，抛物线 与直线AB 交于点A(－1，0)，B(4， ).点D 是抛物线A ，B 两点间部分上的一个动点（不与点A ，B 重合），直线CD 与y 轴平行，交直线AB 于点C ，连接AD ，BD.（1） 求抛物线的解析式；（2） 设点D 的横坐标为m ，则用m 的代数式表示线段DC 的长；（3） 在（2）的条件下，若△ADB 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出当S 取最大值时的点C 的坐标；（4） 当点D 为抛物线的顶点时，若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线AB 上的动点，判断有几个位置能使以点P ，Q ，C ，D 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标.~~第3题~~(2020淮滨.中考模拟) 如图，直线与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，抛物线经过A，B.（1） 求抛物线解析式；（2） E （m ，0）是x 轴上一动点，过点E 作轴于点E ，交直线AB 于点D ，交抛物线于点P ，连接PB.①点E 在线段OA 上运动，若△PBD 是等腰三角形时，求点E 的坐标；②点E 在x 轴的正半轴上运动，若 ，请直接写出m 的值. 2~~第4题~~(2020商城.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝kx﹣ 与抛物线y ＝ax +bx+ 交于点A 、C ，与y 轴交于点B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的横坐标为﹣8.（1） 请直接写出直线和抛物线的解析式；（2） 点D 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A 、C 重合），作DE ⊥AC 于点E.设点D 的横坐标为m.求DE 的长关于m 的函数解析式，并写出DE 长的最大值；（3） 平移△AOB ，使平移后的三角形的三个顶点中有两个在抛物线上，请直接写出平移后的点A 对应点A′的坐标.~~第5题~~(2019信阳.中考模拟) 如图所示，已知抛物线y=ax +bx+c （a≠0）经过点A （﹣2，0）、B （4，0）、C （0，﹣8），与直线y=x ﹣4交于B ，D 两点（1） 求抛物线的解析式并直接写出D 点的坐标；（2） 点P 为直线BD 下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3） 点Q 是线段BD 上异于B 、D 的动点，过点Q 作QF ⊥x 轴于点F ，交抛物线于点G ，当△QDG 为直角三角形时，直接写出点Q 的坐标.~~第6题~~(2018信阳.中考模拟) 如图，在矩形OABC 中，点O 为原点，边OA 的长度为8，对角线AC=10，抛物线y=x+bx+c 经过点A 、C ，与AB 交于点D ．（1） 求抛物线的函数解析式；（2） 点P 为线段BC 上一个动点（不与点C 重合），点Q 为线段AC 上一个动点，AQ=CP ，连接PQ ，设CP=m ，△CP Q 的面积为S ．①求S 关于m 的函数表达式并求出S 最大时的m 值；②在S 最大的情况下，在抛物线y= x +bx+c 的对称轴上，若存在点F ，使△DFQ 为直角三角形，请直接写出所有符2222合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．~~第7题~~(2017信阳.中考模拟) 如图，抛物线y=ax +bx ﹣4与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心做菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1） 求抛物线的解析式；（2） 当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ，试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由．（3） 当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．~~第8题~~(2017信阳.中考模拟) 如图，已知抛物线y= （x+2）（x ﹣4）与x 轴交于点A ，B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ，CD ∥x 轴交抛物线于点D ，M 为抛物线的顶点．（1） 求点A ，B ，C 的坐标；（2） 设动点N （﹣2，n ），求使MN+BN 的值最小时n 的值；（3） P 是抛物线上一点，请你探究：是否存在点P ，使以P ，A ，B 为顶点的三角形与△ABD 相似（△PAB 与△ABD 不重合）？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．~~第9题~~(2017罗山.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC 的三个顶点A （0，10），B （8，10），C （8，0），过O 、C 两点的抛物线y=ax +bx+c 与线段AB 交于点D ，沿直线CD 折叠矩形OABC的一边BC ，使点B 落在OA 边上的点E 处．22（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．请问当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形？（3）若点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M、N、C、E为顶点四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．河南省信阳市中考数学压轴题答案解析~~第1题~~答案：解析：~~第2题~~答案：解析：~~第3题~~答案：解析：答案：解析：~~第5题~~答案：解析：答案：解析：~~第7题~~答案：解析：答案：解析：答案：解析：。
2021年河南省信阳市中考数学一模试卷含解析
2021年河南省信阳市中考数学一模试卷含解析2021年河南省信阳市中考数学一模试卷一、多项选择题（每个子题3分，共30分，每个子题只有一个选项符合主题要求）1。
（3分）23的相反数字是（）A.8B。
8.c．6d．62.（3点）碳纳米管的硬度与金刚石相同，但它们具有良好的柔韧性，可以拉伸。
在中国，1纳米=0.000000001米。
美国国家物理研究所的研究小组已经开发出直径为0.5nm 的碳纳米管，0.5nm表示为（）a．0.5×109米b．5×108米c．5×109米d．5×1010米3．（3分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）a、不列颠哥伦比亚省。
4．（3分）下列计算正确的是（）a．a6÷a2=a3b、 a？a4=a4c.（a3）4=a7d．（2a）2=5.（3点）如图所示，它是一块边长为10厘米的方形铁皮。
在两个顶点上切一个三角形。
在以下四种切割方法中，切割线长度（单位：cm）标记的数据不正确（）a．b．c．d．6.（3分）专卖店专营某一品牌的衬衫。
店主上周对不同尺码衬衫的销售统计如下：尺码平均每天销售数量/件39104012412042124312该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（）a、平均B.方差c．众数d、中位数7．（3分）如图，有甲、乙两种地板样式，如果小球分别在上面自由滚动，设小球在甲种地板上最终停留在黑色区域的概率为p1，在乙种地板上最终停留在黑色区域的概率为p2，则（）a、 P1＞P2b。
P1＜P2C。
P1=P2D。
以上都是可能的8．（3分）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①ab=bc，②∠abc=90°，③ac=bd，④ac⊥bd中选两个作为补充条件，使?abcd为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）答。
①②b。
②③c。
①③d。
2020年河南省信阳市中考数学一模试卷
2020年河南省信阳市中考数学一模试卷一、选择题（10小题，每题3分，共30分）1．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．赵爽弦图B ．笛卡尔心形线C ．科克曲线D ．斐波那契螺旋线2．（3分）如图为某同学网上答题的结果，他做对的题数是( ) ①21()93--=②|3|3--= ③382= ④01()02=⑤科学记数法表示0.00123米31.2310-=⨯ A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．（3分）?把不等式组23130x x +>⎧⎨-⎩的解集表示在数轴上，正确的是( )A ．B ．C ．D ．4．（3分）将一副三角板按照如图所示的位置摆放在同一水平面上，两条斜边互相平行，两个直角顶点重合，则1∠的度数是( )A．30o B．45o C．75o D．105o5．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O．将菱形沿EF折叠，使点C与点O重合．若在菱形ABCD内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A．23B．35C．34D．586．（3分）如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是()A．60πB．65πC．120πD．130π7．（3分）如图，在ABC∆中，AB AC=，AD是高，AM是ABC∆外角CAE∠的平分线．以点D为圆心，适当长为半径画弧，交DA于点G，交DC于点H．再分别以点G、H为圆心，大于12GH的长为半径画弧，两弧在ADC∠内部交于点Q，连接DQ并延长与AM交于点F，则ADF∆的形状是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形8．（3分）如图，一束光线从点(4,4)A出发，经y轴上的点C反射后经过点(1,0)B，则点C 的坐标是()A．1(0,)2B．4(0,)5C．(0,1)D．(0,2)9．（3分）如图1，在矩形ABCD中，AB BC<，点E为对角线AC上的一个动点，连接BE，DE，过E作EF BC⊥于F．设AE x=，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的()A．线段BE B．线段EF C．线段CE D．线段DE10．（3分）如图，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折ABC∠、ADC∠，使两个直角顶点重合于对角线BD上一点P，EF、GH分别是折痕，设(02)AE x x=<<，给出下列判断：①当1x=时，点P是正方形ABCD的中心；②当12x=时，EF GH AC+>；③当02x<<时，六边形AEFCHG面积的最大值是114；④当02x<<时，六边形AEFCHG周长的值不变．其中错误的是()A．②③B．③④C．①④D．①②二、填空题（5小题，每题3分，共15分）11．（3分）已知变量y与x满足函数关系，且其图象经过原点．请写出一个满足上述要求的函数关系式．12．（3分）历代数学家称《九章算术》为“算经之首”．书中有这样一道题的记载，译文为：今有5只雀、6只燕，分别聚集在一起称重，称得雀重，燕轻．若将一只雀、一只燕交换位置，则重量相等；将5只雀、6只燕放在一起称量，则总重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？若设雀每只重x 斤，燕每只重y 斤，则可列方程组为 ．13．（3分）等腰三角形的边长是方程2680x x -+=的解，则这个三角形的周长是 ． 14．（3分）已知双曲线2y x=与O 在第一象限内交于A ，B 两点，45AOB ∠=︒，则扇形OAB 的面积是 ．15．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，C 为直角顶点，20ABC ∠=︒，O 为斜边的中点，将OA 绕着点O 逆时针旋转(0180)θθ︒<<至OP ，当BCP ∆恰为轴对称图形时，θ的值为 ．三、解答题（8小题，共75分） 16．已知分式211(1)11m m m -÷+--． （1）请对分式进行化简；（2）如图，若m 从13m -中取一个合适的整数，则该分式的值对应的点落在数轴上的第 段上．（填写序号即可）17．在“创全国文明城市”活动中，某社区为了了解居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．其中A 、B 两小区分别有500名居民，社区从中各随机抽取50名居民进行相关知识测试，并将成绩进行整理得到部分信息：【信息一】A小区50名居民成绩的频数直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）；【信息二】图中，从左往右第四组的成绩如下7575797979798080 8182828383848484【信息三】A、B两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率(80分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺）:小区平均数中位数众数优秀率方差A75.17940%277B75.1777645%211根据以上信息，回答下列问题：（1）求A小区50名居民成绩的中位数．（2）请估计A小区500名居民中能超过平均数的有多少人？（3）请尽量从多个角度比较、分析A，B两小区居民掌握垃圾分类知识的情况．18．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60︒时，箱盖ADE落在AD E''的位置（如图2所示）．已知96EC=厘米．DE=厘米，42AD=厘米，28（1）求点D'到BC的距离；（2）求E、E'两点的距离．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)ky x x=>的图象与直线2y x =-交于点(3,)A m ．（1）求k 、m 的值；（2）已知点P 在直线(0)y x x =>上运动，设P 点坐标为(,)n n ，过点P 作平行于x 轴的直线，交直线2y x =-于点M ，过点P 作平行于y 轴的直线，交函数(0)ky x x=>的图象于点N ．①当1n =时，判断线段PM 与PN 的数量关系，并说明理由； ②若PN PM ，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围．20．如图，在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，O 是ABC ∆的外接圆，过点A 作O 的切线，交CO 的延长线于点M ，CM 交O 于点D ． （1）求证：AM AC =； （2）填空：①若6AC =，MC = ；②连接BM ，当AMB ∠的度数为 时，四边形AMBC 是菱形．21．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．（1）今年A型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）（2）该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，已知A型车每辆进价为1100元，B型车每辆进价为1400元，B型车售价为每辆2000元，应如何进货才能使这批车获利最多？22．【问题】如图1，在Rt ABCEDF∠=︒，=，过点C作直线l平行于AB．90∠=︒，AC BCACB∆中，90点D在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D移动到使点P 与点C重合时，通过推理就可以得到DP DB=，请写出证明过程；【数学思考】（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、)C，受（1）的启发，这个小组过点D作DG CD=，请完成证明过程；⊥交BC于点G，就可以证明DP DB【拓展引申】（3）如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A、)B，N是射线BD 上一点，且AM BN=，连接MN与BC交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大．若4==，请你直接写出BQ的最AC BC大值．23．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线3:4l y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点(0,1)B -，抛物线212y x bx c =++经过点B ，且与直线l 的另一个交点为(4,)C n ．（1）求n 的值和抛物线的解析式；（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为(04)t t <<．//DE y 轴交直线l 于点E ，点F 在直线l 上，且四边形DFEG 为矩形（如图2)．若矩形DFEG 的周长为p ，求p 与t 的函数关系式以及p 的最大值；（3）M 是平面内一点，将AOB ∆绕点M 沿逆时针方向旋转90︒后，得到△111AO B ，点A 、O 、B 的对应点分别是点1A 、1O 、1B ．若△111AO B 的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点1A 的横坐标．2020年河南省信阳市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（10小题，每题3分，共30分）1．（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．赵爽弦图B ．笛卡尔心形线C ．科克曲线D ．斐波那契螺旋线【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C ．2．（3分）如图为某同学网上答题的结果，他做对的题数是( ) ①21()93--=②|3|3--= 382= ④01()02=⑤科学记数法表示0.00123米31.2310-=⨯ A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】根据负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质、立方根的定义、零指数幂、科学记数法-表示较小的数的方法即可求解． 【解答】解：①21()93--=是正确的；②|3|3--=-，原来的计算错误； ③382=是正确的；④01()12=，原来的计算错误；⑤科学记数法表示0.00123米31.2310-=⨯米是正确的． 故选：B ．3．（3分）?把不等式组23130x x +>⎧⎨-⎩的解集表示在数轴上，正确的是( )A ．B ．C ．D ．【分析】先求出不等式组的解集并在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可． 【解答】解：23130x x +>⎧⎨-⎩①②由①得1x >-，由②得3x ， 故此不等式组的解集为13x -<， 在数轴上的表示如选项B 所示． 故选：B ．4．（3分）将一副三角板按照如图所示的位置摆放在同一水平面上，两条斜边互相平行，两个直角顶点重合，则1∠的度数是( )A ．30oB ．45oC ．75oD ．105o【分析】直接利用平行线的性质结合已知角得出答案．【解答】解：作直线OE 平行于直角三角板的斜边，可得：45A AOE ∠=∠=︒，30C EOC ∠=∠=︒，故1∠的度数是：453075︒+︒=︒．故选：C ．5．（3分）如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ．将菱形沿EF 折叠，使点C 与点O 重合．若在菱形ABCD 内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A ．23B ．35C ．34D ．58【分析】根据菱形的对角线互相平分求出OC ，再根据翻折的定义判断出EF 是BCD ∆的中位线，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EF ，最后根据阴影部分的面积等于两个菱形的面积的差列式计算即可得解．【解答】解：在菱形ABCD 中，12OC AC =， 将菱形沿EF 折叠，使点C 与点O 重合，EF ∴是BCD ∆的中位线，12EF BD ∴=， ∴阴影部分的面积113228AC BD OC EF AC BD =-=． ∴此点取自阴影部分的概率338142AC BD AC BD ==， 故选：C ．6．（3分）如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是( )A ．60πB ．65πC ．120πD ．130π【分析】根据三视图易得此几何体为圆锥，圆锥的高为12，底面直径为10，再根据圆锥侧面积公式=底面周长⨯母线长12⨯可计算出结果． 【解答】解：根据图形可知圆锥的高为12，底面直径为10，则母线长为：2212513+=，圆锥侧面积公式=底面周长⨯母线长1110136522ππ⨯=⨯⨯=， 故选：B ．7．（3分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是高，AM 是ABC ∆外角CAE ∠的平分线．以点D 为圆心，适当长为半径画弧，交DA 于点G ，交DC 于点H ．再分别以点G 、H 为圆心，大于12GH 的长为半径画弧，两弧在ADC ∠内部交于点Q ，连接DQ 并延长与AM 交于点F ，则ADF ∆的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【分析】根据画图过程可得：DF 平分ADC ∠，ADF CDF ∠=∠，根据AB AC =，得B ACB ∠=∠，由AM 是ABC ∆外角CAE ∠的平分线，证得EAF B ∠=∠，得//AF BC ，进而证明ADF ∆的形状．【解答】解：根据画图过程可知：DF 平分ADC ∠，ADF CDF ∴∠=∠，AB AC =，B ACB ∴∠=∠， AM 是ABC ∆外角CAE ∠的平分线，EAM CAM ∴∠=∠，EAC B ACB ∠=∠+∠，EAF B ∴∠=∠，//AF BC ∴，AFD FDC ∴∠=∠，AFD ADF ∴∠=∠，AF AD ∴=， AD 是高，90ADB ∴∠=︒，90FAD ADB ∴∠=∠=︒，ADF ∴∆的形状是等腰直角三角形．故选：D ．8．（3分）如图，一束光线从点(4,4)A 出发，经y 轴上的点C 反射后经过点(1,0)B ，则点C 的坐标是( )A ．1(0,)2B ．4(0,)5C ．(0,1)D ．(0,2)【分析】延长AC 交x 轴于点D ，利用反射定律，推出等角，再证()COD COB ASA ∆≅∆，已知点B 坐标，从而得点D 坐标，利用A ，D 两点坐标，求出直线AD 的解析式，从而可求得点C 坐标．【解答】解：如图所示，延长AC 交x 轴于点D ．这束光线从点(4,4)A 出发，经y 轴上的点C 反射后经过点(1,0)B ，∴设(0,)C c ，由反射定律可知，1OCB ∠=∠OCB OCD ∴∠=∠CO DB ⊥于OCOD BOC ∴∠=∠∴在COD ∆和COB ∆中OCD OCB OC OCCOD COB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()COD COB ASA ∴∆≅∆1OD OB ∴==(1,0)D ∴-设直线AD 的解析式为y kx b =+，则将点(4,4)A ，点(1,0)D -代入得440k b k b =+⎧⎨=-+⎩∴4545k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线AD 为4455y x =+ ∴点C 坐标为4(0,)5．故选：B ．9．（3分）如图1，在矩形ABCD中，AB BC<，点E为对角线AC上的一个动点，连接BE，DE，过E作EF BC⊥于F．设AE x=，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的()A．线段BE B．线段EF C．线段CE D．线段DE【分析】根据各个选项中假设的线段，可以分别由图象得到相应的y随x的变化的趋势，从而可以判断哪个选项是正确的．【解答】解：A、由图1可知，若线段BE是y，则y随x的增大先减小再增大，而由由大变小的距离小于由小变大的距离，在点A的距离是BA，在点C时的距离是BC，BA BC<，故选项A错误；B、由图1可知，若线段EF是y，则y随x的增大越来越小，故选项B错误；C、由图1可知，若线段CE是y，则y随x的增大越来越小，故选项C错误；D、由图1可知，若线段DE是y，则y随x的增大先减小再增大，而由由大变小的距离大于由小变大的距离，在点A的距离是DA，在点C时的距离是DC，DA DC>，故选项D 正确；故选：D．10．（3分）如图，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折ABC∠、ADC∠，使两个直角顶点重合于对角线BD上一点P，EF、GH分别是折痕，设(02)AE x x=<<，给出下列判断：①当1x=时，点P是正方形ABCD的中心；②当12x=时，EF GH AC+>；③当02x<<时，六边形AEFCHG面积的最大值是114；④当02x<<时，六边形AEFCHG周长的值不变．其中错误的是()A ．②③B ．③④C ．①④D ．①②【分析】（1）由正方形纸片ABCD ，翻折B ∠、D ∠，使两个直角的顶点重合于对角线BD 上一点P ，得出BEF ∆和DGH ∆是等腰直角三角形，所以当1AE =时，重合点P 是BD 的中点，即点P 是正方形ABCD 的中心；（2）由BEF BAC ∆∆∽，得出34EF AC =，同理得出14GH AC =，从而得出结论． （3）由六边形AEFCHG 面积=正方形ABCD 的面积EBF -∆的面积GDH -∆的面积．得出函数关系式，进而求出最大值．（4）六边形AEFCHG 周长()()()AE EF FC CH HG AG AE CH FC AG EF GH =+++++=+++++求解．【解答】解：（1）正方形纸片ABCD ，翻折B ∠、D ∠，使两个直角的顶点重合于对角线BD 上一点P ，BEF ∴∆和DGH ∆是等腰直角三角形，∴当1AE =时，重合点P 是BD 的中点，∴点P 是正方形ABCD 的中心；故①结论正确，（2）正方形纸片ABCD ，翻折B ∠、D ∠，使两个直角的顶点重合于对角线BD 上一点P ， BEF BAC ∴∆∆∽， 12x =， 13222BE ∴=-=， ∴BE EF AB AC=，即32222， 322EF ∴= 同理，122GH =EF GH AC ∴+==故②错误．（3）六边形AEFCHG 面积=正方形ABCD 的面积EBF -∆的面积GDH -∆的面积． AE x =，∴六边形AEFCHG 面积222111124(2)(2)22(1)32222BE BF GD HD x x x x x x x =--=-⨯---=-++=--+， ∴六边形AEFCHG 面积的最大值是3，故③结论错误，（4）EF GH AC +=， 六边形AEFCHG 周长()()()222AE EF FC CH HG AG AE CH FC AG EF GH =+++++=+++++=++42=+故六边形AEFCHG 周长的值不变，故④结论正确．故选：A ．二、填空题（5小题，每题3分，共15分）11．（3分）已知变量y 与x 满足函数关系，且其图象经过原点．请写出一个满足上述要求的函数关系式 y x =（答案不唯一） ．【分析】根据题意，可以写出一个符合题意的函数，本题得以解决．【解答】解：函数y x =的图象经过原点，故答案为：y x =（答案不唯一）．12．（3分）历代数学家称《九章算术》为“算经之首”．书中有这样一道题的记载，译文为：今有5只雀、6只燕，分别聚集在一起称重，称得雀重，燕轻．若将一只雀、一只燕交换位置，则重量相等；将5只雀、6只燕放在一起称量，则总重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？若设雀每只重x 斤，燕每只重y 斤，则可列方程组为 45561x y y x x y +=+⎧⎨+=⎩．【分析】设雀每只重x斤，燕每只重y斤，根据“今有5只雀、6只燕，若将一只雀、一只燕交换位置，则重量相等”，列出一个关于x和y的二元一次方程，根据“将5只雀、6只燕放在一起称量，则总重量为1斤”，列出一个关于x和y的二元一次方程，两方程联立，即可得到答案．【解答】解：设雀每只重x斤，燕每只重y斤，4只雀1只燕和5只燕1只雀的重量相等，45x y y x∴+=+，将5只雀、6只燕放在一起称量，则总重量为1斤，561x y∴+=，综上可知：可列方程组为：45561x y y xx y+=+⎧⎨+=⎩，故答案为：45561x y y xx y+=+⎧⎨+=⎩．13．（3分）等腰三角形的边长是方程2680x x-+=的解，则这个三角形的周长是10或6或12．【分析】由等腰三角形的底和腰是方程2680x x-+=的两根，解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰与底边的长，注意需要分当2是等腰三角形的腰时与当4是等腰三角形的腰时讨论，然后根据三角形周长的求解方法求解即可．【解答】解：2680x x-+=，(2)(4)0x x∴--=，解得：2x=或4x=，等腰三角形的底和腰是方程2680x x-+=的两根，∴当2是等腰三角形的腰时，224+=，不能组成三角形，舍去；当4是等腰三角形的腰时，244+>，则这个三角形的周长为24410++=．当边长为2的等边三角形，得出这个三角形的周长为2226++=．当边长为4的等边三角形，得出这个三角形的周长为44412++=．∴这个三角形的周长为10或6或12．故答案为：10或6或12．14．（3分）已知双曲线2yx=与O在第一象限内交于A，B两点，45AOB∠=︒，则扇形OAB的面积是 2π ．【分析】设O 的半径OA OB r ==，连接AB ，作直线y x =，与AB 交于点C ，示、过A 作AD y ⊥轴于点D ，过B 作BE x ⊥轴于点E ，过A 作AF OB ⊥于点F ．由圆与双曲线的对称性得AOD AOC BOC BOE ∆≅∆≅∆≅∆，进而由反比例函数的比例系数的几何意义得AOB ∆的面积，再由三角形的面积公式求得圆的半径，最后由扇形的面积公式求得结果．【解答】解：设O 的半径OA OB r ==，连接AB ，作直线y x =，与AB 交于点C ，示、过A 作AD y ⊥轴于点D ，过B 作BE x ⊥轴于点E ，过A 作AF OB ⊥于点F ．O 在第一象限关于y x =对称，2(0)y k x=>也关于y x =对称， AOC BOC ∴∠=∠，OC AB ⊥，AOD BOE ∠=∠，45AOB ∠=︒，22.5AOD AOC BOC BOE ∴∠=∠=∠=∠=︒，由对称性知，AOD AOC BOC BOE ∆≅∆≅∆≅∆，由反比例函数的几何意义知，1212AOD BOE S S ∆∆==⨯=， 1AOC BOC S S ∆∆∴==， 112AOB S ∆∴=+=，45AOB ∠=︒，22AF OF OA r ∴===， 12AOB S OB AF ∆=， 1222r r ∴=⨯ 242r ∴=，24542245360OAB r S πππ⨯⋅∴===扇形． 故答案为2π． 15．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，C 为直角顶点，20ABC ∠=︒，O 为斜边的中点，将OA 绕着点O 逆时针旋转(0180)θθ︒<<至OP ，当BCP ∆恰为轴对称图形时，θ的值为 40︒或100︒或70︒ ．【分析】如图1，连接AP ，根据直角三角形的判定和性质得到90APB ∠=︒，当BC BP =时，得到BCP BPC ∠=∠，推出AB 垂直平分PC ，求得25ABP ABC ∠=∠=︒，于是得到22040θ=⨯︒=︒，当BC PC =时，如图2，连接CO 并延长交PB 于H ，根据线段垂直平分线的性质得到CH 垂直平分PB ，求得90CHB ∠=︒，根据等腰三角形的性质得到250100θ=⨯︒=︒，当PB PC =时，如图3，连接PO 并延长交BC 于G ，连接OC ，推出PG 垂直平分BC ，得到90BGO ∠=︒，根据三角形的内角和得到70BOG θ=∠=︒．【解答】解：BCP ∆恰为轴对称图形，BCP ∴∆是等腰三角形，如图1，连接AP ，O 为斜边中点，OP OA =，BO OP OA ∴==，90APB ∴∠=︒，当BC BP =时，BCP BPC ∴∠=∠，90BCP ACP BPC APC ∴∠+∠=∠+∠=︒， ACP APC ∴∠=∠， AC AP ∴=，AB ∴垂直平分PC ，20ABP ABC ∴∠=∠=︒， 22040θ∴=⨯︒=︒，当BC PC =时，如图2，连接CO 并延长交PB 于H ， BC CP =，BO PO =， CH ∴垂直平分PB ， 90CHB ∴∠=︒， OB OC =，20BCH ABC ∴∠=∠=︒， 70CBH ∴∠=︒， 50OBH ∴∠=︒， 250100θ∴=⨯︒=︒；当PB PC =时，如图3，连接PO 并延长交BC 于G ，连接OC ， 90ACB ∠=︒，O 为斜边中点， OB OC ∴=， PG ∴垂直平分BC ， 90BGO ∴∠=︒， 20ABC ∠=︒， 70BOG θ∴=∠=︒，综上所述：当BCP ∆恰为轴对称图形时，θ的值为40︒或100︒或70︒， 故答案为：40︒或100︒或70︒．三、解答题（8小题，共75分） 16．已知分式211(1)11m m m -÷+--． （1）请对分式进行化简；（2）如图，若m 从13m -中取一个合适的整数，则该分式的值对应的点落在数轴上的第 ② 段上．（填写序号即可）【分析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得； （2）根据分式有意义的条件得出m 可取的值，从而得出答案． 【解答】解：（1）原式211111m m m m -+=-÷--11(1)(1)m m m m m -=-+-111m =-+ 111m m +-=+ 1mm =+；（2）原式1mm =+，m 为整数且1m ≠±，0， 所以m 可取2，3，∴该分式的值应落在数轴的②处，故答案为：②．17．在“创全国文明城市”活动中，某社区为了了解居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．其中A 、B 两小区分别有500名居民，社区从中各随机抽取50名居民进行相关知识测试，并将成绩进行整理得到部分信息：【信息一】A 小区50名居民成绩的频数直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）；【信息二】图中，从左往右第四组的成绩如下【信息三】A 、B 两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率(80分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺）:根据以上信息，回答下列问题：（1）求A 小区50名居民成绩的中位数．（2）请估计A 小区500名居民中能超过平均数的有多少人？（3）请尽量从多个角度比较、分析A ，B 两小区居民掌握垃圾分类知识的情况．【分析】（1）因为有50名居民，所以中位数落在第四组，中位数为75；（2）A小区500名居民成绩能超过平均数的人数：2450020060⨯=（人)；（3）从平均数看，两个小区居民对垃圾分类知识掌握情况的平均水平相同；从方差看，B 小区居民对垃圾分类知识掌握的情况比A小区稳定；从中位数看，B小区至少有一半的居民成绩高于平均数．【解答】解：（1）因为有50名居民，所以中位数落在第四组，中位数为75，故答案为75；（2）2450024050⨯=（人)，答：A小区500名居民成绩能超过平均数的人数240人；（3）从平均数看，两个小区居民对垃圾分类知识掌握情况的平均水平相同；从方差看，B小区居民对垃圾分类知识掌握的情况比A小区稳定；从中位数看，B小区至少有一半的居民成绩高于平均数．18．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60︒时，箱盖ADE落在AD E''的位置（如图2所示）．已知96AD=厘米，28DE=厘米，42EC=厘米．（1）求点D'到BC的距离；（2）求E、E'两点的距离．【分析】（1）过点D'作D H BC'⊥，垂足为点H，交AD于点F，利用旋转的性质可得出96AD AD '==厘米，60DAD ∠'=︒，利用矩形的性质可得出90AFD BHD ∠'=∠'=︒，在Rt △AD F '中，通过解直角三角形可求出D F '的长，结合FH DC DE CE ==+及D H D F FH '='+可求出点D '到BC 的距离；（2）连接AE ，AE '，EE '，利用旋转的性质可得出AE AE '=，60EAE ∠'=︒，进而可得出AEE ∆'是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出EE AE '=，在Rt ADE ∆中，利用勾股定理可求出AE 的长度，结合EE AE '=可得出E 、E '两点的距离．【解答】解：（1）过点D '作D H BC '⊥，垂足为点H ，交AD 于点F ，如图3所示． 由题意，得：96AD AD '==厘米，60DAD ∠'=︒． 四边形ABCD 是矩形， //AD BC ∴，90AFD BHD ∴∠'=∠'=︒．在Rt △AD F '中，sin 96sin 60D F AD DAD '='∠'=⨯︒=（厘米）． 又42CE =厘米，28DE =厘米， 70FH DC DE CE ∴==+=厘米，70)D H D F FH ∴'='+=厘米．答：点D '到BC 的距离为70)厘米． （2）连接AE ，AE '，EE '，如图4所示． 由题意，得：AE AE '=，60EAE ∠'=︒，AEE ∴∆'是等边三角形， EE AE ∴'=．四边形ABCD 是矩形， 90ADE ∴∠=︒．在Rt ADE ∆中，96AD =厘米，28DE =厘米，100AE ∴==（厘米）， 100EE ∴'=厘米．答：E 、E '两点的距离是100厘米．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)ky x x=>的图象与直线2y x =-交于点(3,)A m ．（1）求k 、m 的值；（2）已知点P 在直线(0)y x x =>上运动，设P 点坐标为(,)n n ，过点P 作平行于x 轴的直线，交直线2y x =-于点M ，过点P 作平行于y 轴的直线，交函数(0)ky x x=>的图象于点N ．①当1n =时，判断线段PM 与PN 的数量关系，并说明理由； ②若PN PM ，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围．【分析】（1）将A 点代入2y x =-中即可求出m 的值，然后将A 的坐标代入反比例函数中即可求出k 的值．（2）①当1n =时，分别求出M 、N 两点的坐标即可求出PM 与PN 的关系；②由题意可知：P 的坐标为(,)n n ，由于PN PM ，从而可知2PN ，根据图象可求出n 的范围．【解答】解：（1）将(3,)A m 代入2y x =-， 321m ∴=-=，(3,1)A ∴，将(3,1)A 代入ky x=， 313k ∴=⨯=，（2）①当1n =时，(1,1)P ， 令1y =，代入2y x =-， 21x -=， 3x ∴=，(3,1)M ∴，2PM ∴=，令1x =代入3y x=， 3y ∴=， (1,3)N ∴， 2PN ∴=PM PN ∴=，②(,)P n n ，0n > 点P 在直线y x =上，过点P 作平行于x 轴的直线，交直线2y x =-于点M ， (2,)M n n +，2PM ∴=， PN PM ，即2PN ， 3||PN n n=-， 3||2n n- 01n ∴<或3n ．20．如图，在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，O 是ABC ∆的外接圆，过点A 作O 的切线，交CO 的延长线于点M ，CM 交O 于点D ． （1）求证：AM AC =； （2）填空：①若6AC =，MC = 63 ；②连接BM ，当AMB ∠的度数为 时，四边形AMBC 是菱形．【分析】（1）连接OA ，根据圆周角定理求出120AOC ∠=︒，得到OCA ∠的度数，根据切线的性质求出AMO ∠的度数，根据等腰三角形的性质得到答案；（2）①作AG CM ⊥于G ，根据直角三角形的性质求出AG 的长，根据勾股定理求出CG ，得到答案．②连接OA ，作OB BM '⊥于B '，证()OB M OAM AAS '≅∆，得出OB OA OB '==，B M AM '=，则B '与B 重合，得出BM AM AC ==，进而得出结论． 【解答】（1）证明：连接OA ，如图1，AM 是O 的切线，90OAM ∴∠=︒， 60ABC ∠=︒，2120AOC ABC ∴∠=∠=︒， OA OC =，30OCA OAC ∴∠=∠=︒， 60AOM ∴∠=︒， 30AMO ∴∠=︒， OCA AMO ∴∠=∠， AM AC ∴=；（2）解：①作AG CM ⊥于G ，如图2:30OCA ∠=︒，6AC =， 132AG AC ∴==， 333CG AG ∴=，则263MC CG == 故答案为：63②当AMB ∠的度数为60︒时，四边形AMBC 是菱形；理由如下： 连接OA ，作OB BM '⊥于B '，如图3:则90OB M OAM '∠=∠=︒，由（1）得：AM AC =，30OCA AMO ∠=∠=︒，180120MAC AMC OCA ∠=︒-∠-∠=︒， 60AMB ∠=︒，180MAC AMB ∴∠+∠=︒， //AC BM ∴，30BMO OCA ∴∠=∠=︒， AMO BMO ∴∠=∠，在△OB M '和OAM ∆中，B OM AMO OB M OAM OM OM '∠=∠⎧⎪'∠=∠⎨⎪=⎩，∴△()OB M OAM AAS '≅∆，OB OA OB '∴==，B M AM '=，B '∴与B 重合，BM AM AC ∴==，又//AC BM ，∴四边形AMBC 是平行四边形，AM AC =，∴四边形AMBC 是菱形．；故答案为：60︒．21．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A 型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．（1）今年A 型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）（2）该车行计划新进一批A 型车和新款B 型车共60辆，且B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，已知A 型车每辆进价为1100元，B 型车每辆进价为1400元，B 型车售价为每辆2000元，应如何进货才能使这批车获利最多？【分析】（1）设今年A 型车每辆售价x 元，则去年售价每辆为(400)x +元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；（2）设今年新进A 型车a 辆，则B 型车(60)a -辆，获利y 元，由条件表示出y 与a 之间的关系式，由a 的取值范围就可以求出y 的最大值．【解答】解：（1）设今年A 型车每辆售价x 元，则去年售价每辆为(400)x +元，由题意，得 5000050000(120%)400x x-=+， 解得：1600x =，经检验，1600x =是原方程的根； 答：今年A 型车每辆售价1600元；（2）设今年新进A 型车a 辆，则B 型车(60)a -辆，获利y 元，由题意，得 (16001100)(20001400)(60)y a a =-+--， 10036000y a =-+，B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍， 602a a ∴-， 20a ∴．1000k =-<， y ∴随a 的增大而减小． 20a ∴=时，y 最大34000=元．B ∴型车的数量为：602040-=辆．∴当新进A 型车20辆，B 型车40辆时，这批车获利最大．22．【问题】如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过点C 作直线l 平行于AB ．90EDF ∠=︒，点D 在直线l 上移动，角的一边DE 始终经过点B ，另一边DF 与AC 交于点P ，研究DP 和DB 的数量关系．【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D 移动到使点P 与点C 重合时，通过推理就可以得到DP DB =，请写出证明过程；【数学思考】（2）如图3，若点P 是AC 上的任意一点（不含端点A 、)C ，受（1）的启发，这个小组过点D 作DG CD ⊥交BC 于点G ，就可以证明DP DB =，请完成证明过程； 【拓展引申】（3）如图4，在（1）的条件下，M 是AB 边上任意一点（不含端点A 、)B ，N 是射线BD 上一点，且AM BN =，连接MN 与BC 交于点Q ，这个数学兴趣小组经过多次取M 点反复进行实验，发现点M 在某一位置时BQ 的值最大．若4AC BC ==，请你直接写出BQ 的最大值．【分析】【探究发现】（1）由等腰直角三角形的性质可得45CAB CBA ∠=∠=︒，由平行线的性质可得45CBA DCB ∠=∠=︒，即可证DB DP =；【数学思考】（2）通过证明CDP GDB ∆≅∆，可得DP DB = 【拓展引申】（3）过点M 作MH MN ⊥交AC 于点H ，通过证明AMH BNQ ∆≅∆，可得AH BQ =，通过证明ACM BMQ ∆∆∽，可得AC AM BM BQ =，可得2(22)2AM BQ --=+，由二次函数的性质可求BQ 的最大值． 【解答】证明：【探究发现】 （1）90ACB ∠=︒，AC BC = 45CAB CBA ∴∠=∠=︒ //CD AB。
2022年河南省信阳市中考数学一模试题及答案解析 (1)
2022年河南省信阳市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列各数：−4，−2.8，0，|−4|，其中比−3小的数是( )A. −4B. |−4|C. 0D. −2.82. 如图，将一个圆柱体放置在长方体上，其中圆柱体的底面直径与长方体的宽相平，则该几何体的左视图是( )A. B. C. D.3. 我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口为4.4×109人，4.4×109的原数是( )A. 440000000B. 44000000000C. 440000000000D. 44000000004. 下列运算一定正确的是( )A. a2+a2=a4B. a2⋅a4=a8C. (a2)4=a8D. (a+b)2=a2+b25. 如图，已知直线AD、BE、CF相交于点O，OG⊥AD，且∠BOC=35°，∠FOG=30°，则∠DOE的度数为( )A. 30°B. 35°C. 15°D. 25°6. 下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A. x2+9=0B. x2−2x+2=0C. x2+6x+9=0D. x2+5x−1=07. 在4张完全相同的卡片上分别标上2，3，4，5这四个数字，任意抽取两张卡片并将所标数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是( )A. 13B. 14C. 512D. 7128. 如图，点A在双曲线y═k(x>0)上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为xOA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点圆心，大于12F(0,2)，连接AC.若AC=1，则k的值为( )A. 2B. 3225C. 4√35D. 2√5+259. 如图，平面直角坐标系中，A(4,0)，点B为y轴上一点，连接AB，tan∠BAO=2，点C，D为OB，AB的中点，点E为射线CD上一个动点．当△AEB为直角三角形时，点E的坐标为( )A. (4,4)或(2√5+2,4)B. (4,4)或(2√5−2,4)C. (12,4)或(2√5+2,4)D. (12,4)或(2√5−2,4)10. 如图，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6.将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为( )A. 6π−9√3 B. 6π−9√3 C. 12π−92√3 D. 9π42二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11. 比较大小：2√6______ 5(选填“>”、“=”、“<”)．12. 如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠COB内一点，OE⊥AB，∠AOC=35°，则∠EOD 的度数是______．13. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均为小正方形的顶点，且点B 在AC⏜上，则阴影部分的面积为______．14. 如图1.在平面直角坐标系中，直线y=−1x+m(m>0)与直线y=2x交于点A，与x轴2交于点B，O为坐标原点，点C在线段OB上，且不与点B重合，过点C作垂直于x轴的直线，交直线AB于点D，将△BCD以CD为对称轴翻折．得到△CDE.设点C的坐标为(x,0)，△CDE与△AOB重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示，则m=______．15. 如图(1)，在等腰直角三角形纸片ABC中，∠B=90°，AB=2√2+2，点D，E分别为AB，BC上的动点．将纸片沿DE翻折，点B的对应点B′恰好落在边AC上，如图(2)，再将纸片沿B′E 翻折，点C的对应点为C′，如图(3).当△DB′E，△B′C′E的重合部分(即阴影部分)为直角三角形时，CE的长为______．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。
2020年河南省信阳市中考数学模拟试卷含答案解析
2020年河南省信阳市中考数学模拟试卷一、选择题(每小题3分，共24分)1．﹣的倒数是（）A．﹣7 B．7 C．D．﹣2．如图，直线a∥b，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，则∠1的度数是（）A．22.5° B．36°C．45°D．90°3．下面平面图形中能围成三棱柱的是（）A．B．C．D．4．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（）A．众数 B．方差 C．平均数D．中位数5．如果关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜1 B．k≠0 C．k＜1且k≠0 D．k＞16．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为（）A．B．C．D．8．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题3分，共21分）9．分解因式：2x2﹣8=．10．计算：（）﹣1﹣|﹣2+tan45°|=．11．在六张卡片上分别写有π，，1.5，﹣3，0，六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是．12．如图，抛物线y1=a（x+2）2+m过原点，与抛物线y2=（x﹣3）2+n交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．下列结论：①两条抛物线的对称轴距离为5；②x=0时，y2=5；③当x＞3时，y1﹣y2＞0；④y轴是线段BC的中垂线．正确结论是（填写正确结论的序号）．13．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC=60°，弦AD平分∠BAC，若AD=6，那么AC=．14．如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是（结果保留π）．15．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为．三、解答题（本题有8个小题，共75分）16．先化简，再求值：+1，其中整数x与2、3构成△ABC的三边．17．如图，AD∥BC，∠BAD=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE，垂足为F．（1）线段BF与图中现有的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明．结论：BF=．（2）连结CE，如果BC=10，AB=6，求sin∠ECF的值．18．考试前，同学们总会采用各种方式缓解考试压力，以最佳状态迎接考试．某校对该校九年级的部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类．学校收集整理数据后，绘制了图1和图2两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题：（1）这次抽样调查中，一共抽查了多少名学生？（2）请补全条形统计图；（3）请计算扇形统计图中“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数；（4）根据调查结果，估计该校九年级500名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数．19．小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼．为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°，测得办公大楼底部点B的俯角为60°，已知办公大楼高46米，CD=10米．求点P到AD的距离（用含根号的式子表示）．20．已知关于x的一元二次方程ax2﹣（a+2）x+2=0．（1）不解方程，判别方程的根的情况；（2）方程有两个不相等的正整数根时，求整数a的值．21．在绿化某县城与高速公路的连接路段时，需计划购买罗汉松、雪松两种树苗共400株，罗汉松树苗每株60元，雪松树苗每株70元．相关资料表明：罗汉松、雪松树苗的成活率分别为70%、90%．（1）若购买这两种树苗共用去26500元，则罗汉松、雪松树苗各购买多少株？（2）绿化工程在来年一般都要将死树补上新树苗，现要使这两种树苗在来年共补苗不多于80株，则罗汉松树苗至多购买多少株？（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？请求出最低费用．22．菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，∠MON+∠BCD=180°，∠MON绕点O旋转，射线OM交边BC于点E，射线ON交边DC于点F，连接EF．（1）如图1，当∠ABC=90°时，△OEF的形状是；（2）如图2，当∠ABC=60°时，请判断△OEF的形状，并说明理由；（3）在（1）的条件下，将∠MON的顶点移到OA的中点O′处，∠MO′N绕点O′旋转，仍满足∠MO′N+∠BCD=180°，射线O′M交直线BC于点E，射线O′N交直线CD于点F，当BC=4，且=时，直接写出线段CE的长．23．如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），B，与y 轴相交于点C，tan∠ABC=2．（1）抛物线的解析式为，其顶点D的坐标为；（2）设置点CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF总有公共点，试探究：抛物线最多可以向上平移多少个单位长度？（3）在线段OB的处置平分线上是否存在点P，是的经过点P的直线PM垂直于直线CD，且与直线OP的夹角为75°，若存在直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2020年河南省信阳市中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题(每小题3分，共24分)1．﹣的倒数是（）A．﹣7 B．7 C．D．﹣【考点】倒数．【分析】直接根据倒数的定义求解．【解答】解：﹣的倒数是﹣7，故选A．2．如图，直线a∥b，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，则∠1的度数是（）A．22.5° B．36°C．45°D．90°【考点】平行线的性质．【分析】根据等腰直角三角形定义可知∠B=45°，再由平行线性质得出∠1与∠B相等，由此得出∠1也是45°．【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠B=45°，∵a∥b，∴∠1=∠B=45°，故选C．3．下面平面图形中能围成三棱柱的是（）A．B．C．D．【考点】展开图折叠成几何体．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【解答】解：A、能围成三棱柱，故选项正确；B、折叠后有两个面重合，不能围成三棱柱，故选项错误；C、不能围成三棱柱，故选项错误；D、折叠后有两个侧面重合，不能围成三棱柱，故选项错误．故选：A．4．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（）A．众数 B．方差 C．平均数D．中位数【考点】统计量的选择．【分析】9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【解答】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．故选：D．5．如果关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜1 B．k≠0 C．k＜1且k≠0 D．k＞1【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．【解答】解：由题意知：k≠0，△=36﹣36k＞0，∴k＜1且k≠0．故选：C．6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．【解答】解：由3x﹣1≤2（x+1），得x≤3，由＞，得x＞﹣2，不等式组的解集是﹣2＜x≤3，故选：B．7．某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为（）A．B．C．D．【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】设原计划每天生产x个，则实际每天生产（x+4）个，根据题意可得等量关系：（原计划20天生产的零件个数+10个）÷实际每天生产的零件个数=15天，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：设原计划每天生产x个，则实际每天生产（x+4）个，根据题意得：=15，故选：A．8．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD中，AD边的中点处有一动点P，动点P沿P→D→C→B→A→P运动一周，则P点的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】将动点P的运动过程划分为PD、DC、CB、BA、AP共5个阶段，分别进行分析，最后得出结论．【解答】解：动点P运动过程中：①当0≤s≤时，动点P在线段PD上运动，此时y=2保持不变；②当＜s≤时，动点P在线段DC上运动，此时y由2到1逐渐减少；③当＜s≤时，动点P在线段CB上运动，此时y=1保持不变；④当＜s≤时，动点P在线段BA上运动，此时y由1到2逐渐增大；⑤当＜s≤4时，动点P在线段AP上运动，此时y=2保持不变．结合函数图象，只有D选项符合要求．故选：D．二、填空题（每小题3分，共21分）9．分解因式：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．【考点】因式分解-提公因式法．【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．10．计算：（）﹣1﹣|﹣2+tan45°|=1+．【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】分别进行负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简等运算，然后合并．【解答】解：原式=3+（﹣2+）=1+．故答案为：1+．11．在六张卡片上分别写有π，，1.5，﹣3，0，六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是．【考点】概率公式；无理数．【分析】由π，，1.5，﹣3，0，六个数中，无理数为：π，，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵π，，1.5，﹣3，0，六个数中，无理数为：π，，∴从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是：=．故答案为：．12．如图，抛物线y1=a（x+2）2+m过原点，与抛物线y2=（x﹣3）2+n交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．下列结论：①两条抛物线的对称轴距离为5；②x=0时，y2=5；③当x＞3时，y1﹣y2＞0；④y轴是线段BC的中垂线．正确结论是①③④（填写正确结论的序号）．【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】把点A坐标与原点坐标代入y1，求出a、m的值，即可得到函数解析式，把点A 坐标代入y2，求出n的值，即可得到函数解析式，再判定①；令x=0，求出y2与y轴的交点，判定②；令y=3，求出A、B、C的横坐标，然后求出AB、AC的长，判定④．【解答】解：∵抛物线y1=a（x+2）2+m与抛物线y2=（x﹣3）2+n的对称轴分别为x=﹣2，x=3，∴两条抛物线的对称轴距离为5，故①正确；∵y1=a（x+2）2+m经过点A（1，3）与原点，∴，解得，∴y1=（x+2）2﹣，∵y2=（x﹣3）2+n经过点A（1，3），∴（1﹣3）2+n=3，解得n=1，∴y2=（x﹣3）2+1，当x=0时，y=（0﹣3）2+1=5.5，故②错误；由图象得，当x＞1时，y1＞y2，故③正确；∵过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C，∴令y=3，则（x+2）2﹣=3，整理得，（x+2）2=9，解得x1=﹣5，x2=1，∴AB=1﹣（﹣5）=6，∴A（1，3），B（﹣5，3）；令y=3，则（x﹣3）2+1=3，整理得，（x﹣3）2=4，解得x1=5，x2=1，∴C（5，3），∴AC=5﹣1=4，∴BC=10，∴y轴是线段BC的中垂线，故④正确．故答案为①③④．13．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC=60°，弦AD平分∠BAC，若AD=6，那么AC=．【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】首先连接BD，由AB是⊙O的直径，可得∠C=∠D=90°，然后由∠BAC=60°，弦AD平分∠BAC，求得∠BAD的度数，又由AD=6，求得AB的长，继而求得答案．【解答】解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠C=∠D=90°，∵∠BAC=60°，弦AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=30°，∴在Rt△ABD中，AB===4，∴在Rt△ABC中，AC=AB•cos60°=4×=2．故答案为：2．14．如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是3﹣π（结果保留π）．【考点】扇形面积的计算；平行四边形的性质．【分析】过D点作DF⊥AB于点F．可求▱ABCD和△BCE的高，观察图形可知阴影部分的面积=▱ABCD的面积﹣扇形ADE的面积﹣△BCE的面积，计算即可求解．【解答】解：过D点作DF⊥AB于点F．∵AD=2，AB=4，∠A=30°，∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB﹣AE=2，∴阴影部分的面积：4×1﹣﹣2×1÷2=4﹣π﹣1=3﹣π．故答案为：3﹣π．15．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为3+．【考点】二次函数综合题．【分析】连接AC，BC，有抛物线的解析式可求出A，B，C的坐标，进而求出AO，BO，DO的长，在直角三角形ACB中，利用射影定理可求出CO的长，进而可求出CD的长．【解答】解：连接AC，BC，∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，∴点D的坐标为（0，﹣3），∴OD的长为3，设y=0，则0=x2﹣2x﹣3，解得：x=﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0）∴AO=1，BO=3，∵AB为半圆的直径，∴∠ACB=90°，∵CO⊥AB，∴CO2=AO•BO=3，∴CO=，∴CD=CO+OD=3+，故答案为：3+．三、解答题（本题有8个小题，共75分）16．先化简，再求值：+1，其中整数x与2、3构成△ABC的三边．【考点】分式的化简求值；三角形三边关系．【分析】原式第一项约分后，三项通分并利用同分母分式的加减法则计算得到最简结果，由题意确定出x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=•++1=++1=+1=+1=，∵整数x与2，3构成△ABC三边，∴3﹣2＜x＜3+2，即1＜x＜5，即x=2，3，4，由分母x﹣2≠0，x+2≠0，x≠0，x﹣3≠0，得到x≠0，﹣2，2，3，即x=4，则原式=2．17．如图，AD∥BC，∠BAD=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE，垂足为F．（1）线段BF与图中现有的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明．结论：BF=AE．（2）连结CE，如果BC=10，AB=6，求sin∠ECF的值．【考点】全等三角形的判定与性质；作图—复杂作图；解直角三角形．【分析】（1）BF=AE，理由为：由AD与BC平行得到一对内错角相等，再由一对直角相等，且BE=CB，利用AAS得到三角形AEB与三角形FBC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证；（2）连接CE，如图所示，由（1）的全等三角形得到对应边相等，进而求出EF与EC的长，利用锐角三角函数定义求出sin∠ECF的值即可．【解答】解：（1）BF=AE，理由为：∵CF⊥BE，∴∠A=∠BFC=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠FBC，在△AEB和△FBC中，，∴△AEB≌△FBC（AAS），∴BF=AE；故答案为：AE；（2）连接AE，如图所示，∵△AEB≌△FBC，∴BF=AE，CF=AB=6，BE=BC=10，根据勾股定理得：AE=BF=8，∴EF=BE﹣BF=10﹣8=2，在Rt△EFC中，根据勾股定理得：EC==2，则sin∠ECF==．18．考试前，同学们总会采用各种方式缓解考试压力，以最佳状态迎接考试．某校对该校九年级的部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类．学校收集整理数据后，绘制了图1和图2两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题：（1）这次抽样调查中，一共抽查了多少名学生？（2）请补全条形统计图；（3）请计算扇形统计图中“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数；（4）根据调查结果，估计该校九年级500名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）利用“流谈心”的人数除以所占的百分比计算即可得解；（2）用总人数乘以“体育活动”所占的百分比计算求出体育活动的人数，然后补全统计图即可；（3）用360°乘以“享受美食”所占的百分比计算即可得解；（4）用总人数乘以“听音乐”所占的百分比计算即可得解．【解答】解：（1）一共抽查的学生：8÷16%=50人；（2）参加“体育活动”的人数为：50×30%=15，补全统计图如图所示：（3）“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数为：360°×=72°；（4）该校九年级500名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数为：500×=120人．19．小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼．为了测量点P到对面办公大楼上部AD 的距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°，测得办公大楼底部点B的俯角为60°，已知办公大楼高46米，CD=10米．求点P到AD的距离（用含根号的式子表示）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】连接PA、PB，过点P作PM⊥AD于点M；延长BC，交PM于点N，将实际问题中的已知量转化为直角三角形中的有关量，设PM=x米，在Rt△PMA中，表示出AM，在Rt△PNB中，表示出BN，由AM+BN=46米列出方程求解即可．【解答】解：连接PA、PB，过点P作PM⊥AD于点M；延长BC，交PM于点N则∠APM=45°，∠BPM=60°，NM=10米设PM=x米在Rt△PMA中，AM=PM×tan∠APM=xtan45°=x（米）在Rt△PNB中，BN=PN×tan∠BPM=（x﹣10）tan60°=（x﹣10）（米）由AM+BN=46米，得x+（x﹣10）=46解得，=18﹣8，∴点P到AD的距离为米．20．已知关于x的一元二次方程ax2﹣（a+2）x+2=0．（1）不解方程，判别方程的根的情况；（2）方程有两个不相等的正整数根时，求整数a的值．【考点】根的判别式．【分析】（1）由一元二次方程的定义可得出a≠0，再利用根的判别式△=b2﹣4ac，套入数据即可得出△=（a﹣2）2≥0，由此即可得出结论；（2）结合（1）的结论可得出a≠2且a≠0，设方程的两个根分别为x1、x2，利用根与系数的关系可得出x1•x2=，再根据x1、x2均为正整数，a为整数，即可得出结论．【解答】解：（1）∵方程ax2﹣（a+2）x+2=0是关于x的一元二次方程，∴a≠0．∵△=（a+2）2﹣4a×2=（a﹣2）2≥0，∴当a=2时，方程有两个相等的实数根，当a≠2且a≠0时，方程有两个不相等的实数根．（2）∵方程有两个不相等的正整数根，∴a≠2且a≠0．设方程的两个根分别为x1、x2，∴x1•x2=，∵x1、x2均为正整数，∴为正整数，∵a为整数，a≠2且a≠0，∴a=1．21．在绿化某县城与高速公路的连接路段时，需计划购买罗汉松、雪松两种树苗共400株，罗汉松树苗每株60元，雪松树苗每株70元．相关资料表明：罗汉松、雪松树苗的成活率分别为70%、90%．（1）若购买这两种树苗共用去26500元，则罗汉松、雪松树苗各购买多少株？（2）绿化工程在来年一般都要将死树补上新树苗，现要使这两种树苗在来年共补苗不多于80株，则罗汉松树苗至多购买多少株？（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？请求出最低费用．【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．【分析】设购买罗汉松树苗x株，雪松树苗y株，（1）根据两种树苗的株数和费用列出二元一次方程组，然后求解即可；（2）根据罗汉松树苗的株数表示出雪松树苗为株，然后根据成活的两种树苗数列出不等式，求解即可；（3）表示出两种树苗的费用数，然后根据一次函数的增减性求出费用最小值即可．【解答】解：（1）设购买罗汉松树苗x株，雪松树苗y株，则据题意可得，解得，答：购买罗汉松树苗150株，雪松树苗250株；（2）设购买罗汉松树苗x株，则购买雪松树苗株，由题意得，70%x+90%≥，解得x≤200，答：罗汉松树苗至多购买200株；（3）设罗汉松树苗购买x株，购买树苗的费用为W元，则有W=60x+70=﹣10x+28000，显然W是关于x的一次函数，∵﹣10＜0，∴W随x的增大而减小，故当x取最大值时，W最小，∵0＜x≤200，=﹣10×200+28000=26000．∴当x=200时，W取得最小值，且W最小答：当选购罗汉松树苗200株，雪松树苗200株时，总费用最低，为26000元．22．菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，∠MON+∠BCD=180°，∠MON绕点O旋转，射线OM交边BC于点E，射线ON交边DC于点F，连接EF．（1）如图1，当∠ABC=90°时，△OEF的形状是等腰直角三角形；（2）如图2，当∠ABC=60°时，请判断△OEF的形状，并说明理由；（3）在（1）的条件下，将∠MON的顶点移到OA的中点O′处，∠MO′N绕点O′旋转，仍满足∠MO′N+∠BCD=180°，射线O′M交直线BC于点E，射线O′N交直线CD于点F，当BC=4，且=时，直接写出线段CE的长．【考点】四边形综合题．【分析】（1）△OEF是等腰直角三角形，只要证明△OBE≌△OCF即可．（2））△OEF是等边三角形，如图2所示：过点O作OG⊥BC与G，作OH⊥CD与H．先证明△OGE≌△OHF，得OE=OF，证明∠EOF=60°即可解决问题．（3）CE=3+3或3﹣3．见如图3中两种情形，作O′G⊥BC于G，O′H⊥CD于H，只要证明△OGE≌△OHF推出△EOF是等腰直角三角形，求出EG即可解决问题．【解答】解：（1）结论：△OEF是等腰直角三角形．理由：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD为正方形．∴OB=OC，∠OBE=∠OCN=45°，∠BOC=90°，∠BCD=90°．又∵∠MON+∠BCD=180°，∴∠EOF=90°．∴∠EOC+COF=90°．∵∠BOE+∠EOC=90°，∴∠BOE=∠COF．在△OBE和△OCF中，∴△OBE≌△OCF，∴OE=OF．∴△OEF为等腰直角三角形．故答案为等腰直角三角形．（2）结论：△OEF是等边三角形，证明：如图2所示：过点O作OG⊥BC与G，作OH⊥CD与H．过O作OG⊥BC于G，OH⊥CD于H，∴∠OGE=∠OGC=∠OHC=90°∵四边形ABCD是菱形，∴CA平分∠BCD，∠ABC+∠BCD=180°，∴OG=OH，∠BCD=180°﹣60°=120°，∵∠GOH+∠OGC+∠BCD+∠OHC=360°，∴∠GOH+∠BCD=180°，∵∠MON+∠BCD=180°，∴∠EOF=∠GOH=180°﹣∠BCD=60°，∴∠EOF﹣∠GOF=∠GOH﹣∠GOF，∴∠EOG=∠FOH，在△EOG和△FOH中，，∴△OGE≌△OHF，∴OE=OF，∵∠EOF=60°，∴△EOF是等边三角形．（3）CE=3+3或3﹣3．理由：如图3中，∵菱形ABCD中，∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形，=，作O′G⊥BC于G，O′H⊥CD于H，∴∠O′GC=∠O′HC=∠GCH=90°，∴四边形O′GCH是矩形，∴O′G∥AB，O′H∥AD，∴===，∵AB=BC=CD=AD=4，∴O′G=O′H=3，∴四边形O′GCH是正方形，∴CG=O′G=3，∠GO′H=90°，∵∠MO∠′N+∠BCD=180°，∠BCD=90°，∴∠EO′F=90°，∴∠EO′F=∠GO′H=90°，∴∠EO′G=∠FO′H，在△EO′G和△FO′H中，，∴△EO′G≌△FO′H，∴O′E=O′F，∴△O′EF是等腰直角三角形，∵S△ABC=×4×4=16，=，∴S△OEF=36，在RT△O′EG中，EG==3，∴CE=EG+CG=3+3，根据对称性可知，当∠MON旋转到如图所示位置时，CE′=E′G﹣CG=3﹣3．综上所述CE=3+3或3﹣323．如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），B，与y 轴相交于点C，tan∠ABC=2．（1）抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+9，其顶点D的坐标为（1，9）；（2）设置点CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF总有公共点，试探究：抛物线最多可以向上平移多少个单位长度？（3）在线段OB的处置平分线上是否存在点P，是的经过点P的直线PM垂直于直线CD，且与直线OP的夹角为75°，若存在直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据正切函数，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；（2）根据待定系数法，可得CD的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得E．F 点坐标，根据函数图象向上平移加，可得平移后的解析式，根据抛物线与线段有交点，可得抛物线的函数值小于E、F的纵坐标，可得答案；（3）根据四边形的内角和，可得∠MPN的度数，根据角的和差，可得∠OPN，根据三角函数，可得PN的长，可得P点坐标．【解答】解：（1）当x=0时，y=8，即C（0，8），由tan∠ABC=2，得B（4，0）．将A、B点坐标代入函数解析式，得，解得，y=﹣x2+2x+8，配方，得y=﹣（x﹣1）2+9，顶点D（1，9），故答案为：y=﹣（x﹣1）2+9，（1，9）；（2）设直线CD的解析式为y=kx+8，将D（1，9）代入函数解析式，得k=1，直线CD的解析式为y=x+8，当y=0时，x=﹣8，即E（﹣8，0），当x=4时，y=4+8=12，即F（4，12）．设抛物线向上平移m各单位长度（m＞0）后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+9+m，当x=﹣8时，y=m﹣72，当x=4时，y=m，∵抛物线向上平移后与线段EF总有公共点，∴m﹣72≤0或m≤12，∴0＜m≤72，抛物线最多向上平移72个单位；（3）存在符合条件的P点，P点坐标为（2，）或（2，2）；由（2）得点E（﹣8，0），OC=OE=8，∠CEB=45°，在四边形EMPN中，∠MPN=180°﹣∠CEB=135°（∠PME，∠PNO都是直角）①当∠OPM=75°时，∠OPN=135°﹣75°=60°在Rt△OPN中，ON=OB=2，sin∠PON==，PN=ON=，即P（2，）；②当∠OPQ=75°时，∠OPN=135°+75°﹣180°=30°，在Rt△OPN中ON=OB=2，PN=2，综上所述，存在符合条件的点P，（2，）或（2，2）．2020年8月27日。