工程力学第二章平面汇交力系
合集下载
工程力学第二章平面汇交力系
FF
cos Y Fy
FF 式中 cos和 cos 称为力 F 的方向余弦。
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
【例题 3】试求图中各力在坐标轴上的投影。已知 P1=P2=P4=10kN， P3=P5=15kN， P6=20kN。
第二章 平面汇交力系
工程力学
第二章 平面汇交力系
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
第二章 平面汇交力系
§2–1平面汇交力系合成与平衡的几何法 §2–2平面汇交力系合成与平衡的解析法
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1平面汇交力系 合成与平衡的几何法
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
矢量表达式：R= F1+F2
由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。
由余弦定理：
R F12 F22 2F1F2 cos
合力方向由正弦定理：
F1
R
sin sin(180 )
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
2. 任意个共点力的合成
F1
A F2
F4 F3
F1 B F2
A
R
C
F3
D
F4
E
F1、F2、F3、F4 为平面共点力系：
表达式： R F1 F 2F3 F4
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
力的多边形规则：
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。 加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。
cos Y Fy
FF 式中 cos和 cos 称为力 F 的方向余弦。
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
【例题 3】试求图中各力在坐标轴上的投影。已知 P1=P2=P4=10kN， P3=P5=15kN， P6=20kN。
第二章 平面汇交力系
工程力学
第二章 平面汇交力系
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
第二章 平面汇交力系
§2–1平面汇交力系合成与平衡的几何法 §2–2平面汇交力系合成与平衡的解析法
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1平面汇交力系 合成与平衡的几何法
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
矢量表达式：R= F1+F2
由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。
由余弦定理：
R F12 F22 2F1F2 cos
合力方向由正弦定理：
F1
R
sin sin(180 )
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
2. 任意个共点力的合成
F1
A F2
F4 F3
F1 B F2
A
R
C
F3
D
F4
E
F1、F2、F3、F4 为平面共点力系：
表达式： R F1 F 2F3 F4
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
力的多边形规则：
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。 加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。
工程力学第二章-汇交力系
４.区分力系的主矢和合力是两个不同的概念。 力系中各力矢的矢量和称为力系的主矢。主矢是一个几何量，
有大小和方向，但不涉及作用点问题，可在任意点画出。 合力是一物理量，除了大小和方向，还必须说明其作用点才有
意义。
思考题：:
1.平面汇交力系可合成为个1合力,其作用线通过, 其大小和方向可用力多边形的表示封. 闭边
内的投影与x轴的夹角
z
F
γβ
O
y
α
x
Fx F cos F y F cos Fz F cos
F
γ
O
y
x
Fxy
Fx F sin cos
Fy F sin sin
Fz F cos
如果已知一力在直角坐标轴上的投影分别为 Fx，FY，FZ
z
则该力的大小和方向分别为：
Fz
大小：F Fx2Fy2Fz2
而当坐标轴不相互垂直时，轴向分 力与力的投影在数值上不相等。 o
F
x
结论与讨论
➢ 力在轴上的投影和力沿轴的分量之间的关系
(1)力的投影是代数量，力的分量是矢量
(2)不论是否为直角坐标系，力的投影都按下式计算：
Fx Fcos
Fy Fcos
α、β分别为力F与、轴的夹角。
(3)分力 Fx,应Fy按平行四边形法则计算
F2
或：
FR Fi
作用点：原力系的汇交点。
注意： １.要选择恰当的长度比例尺和力的比例尺。 ２.作力多边形时，可以任意变换力的次序， 虽然得到形状不同的力多边形，但合成的结 果不改变。
Ｆ３
Ｆ２
Ｆ４
Ｆ１
ＦＲ
Ｆ３
Ｆ２
Ｆ４
Ｆ１
ＦＲ
３.力多边形中诸力应首尾相连，合力的方向则是从第一个力 的起点指向最后一个力的终点。
有大小和方向，但不涉及作用点问题，可在任意点画出。 合力是一物理量，除了大小和方向，还必须说明其作用点才有
意义。
思考题：:
1.平面汇交力系可合成为个1合力,其作用线通过, 其大小和方向可用力多边形的表示封. 闭边
内的投影与x轴的夹角
z
F
γβ
O
y
α
x
Fx F cos F y F cos Fz F cos
F
γ
O
y
x
Fxy
Fx F sin cos
Fy F sin sin
Fz F cos
如果已知一力在直角坐标轴上的投影分别为 Fx，FY，FZ
z
则该力的大小和方向分别为：
Fz
大小：F Fx2Fy2Fz2
而当坐标轴不相互垂直时，轴向分 力与力的投影在数值上不相等。 o
F
x
结论与讨论
➢ 力在轴上的投影和力沿轴的分量之间的关系
(1)力的投影是代数量，力的分量是矢量
(2)不论是否为直角坐标系，力的投影都按下式计算：
Fx Fcos
Fy Fcos
α、β分别为力F与、轴的夹角。
(3)分力 Fx,应Fy按平行四边形法则计算
F2
或：
FR Fi
作用点：原力系的汇交点。
注意： １.要选择恰当的长度比例尺和力的比例尺。 ２.作力多边形时，可以任意变换力的次序， 虽然得到形状不同的力多边形，但合成的结 果不改变。
Ｆ３
Ｆ２
Ｆ４
Ｆ１
ＦＲ
Ｆ３
Ｆ２
Ｆ４
Ｆ１
ＦＲ
３.力多边形中诸力应首尾相连，合力的方向则是从第一个力 的起点指向最后一个力的终点。
工程力学 第2章 汇交力系_2
P
A
a
B
a
C
工 件
解：这是多个物体所组成的系统平衡的问题。系统平衡时， 其中的每一部分也应该是平衡的 P （1）取B点为研究对象
a
a
FN 1
FN 2
第二章 汇交力系
P
A
P
a
B
a
C
工 件
a
FN 1
a
FN 2
Fx 0, FN1 cosa FN 2 cosa 0 FN1 FN 2
Fy 0, FN1 sin a FN 2 sin a P 0
第二章 汇交力系
解题技巧及说明： 1. 投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。 2. 解析法解题时，力的方向可以任意假设，如果求出负值， 说明力方向与假设相反。 3. 对于二力杆件， 一般先设为拉力，如果求出负值，说 明物体受压力。
第二章 汇交力系
例：图示连杆增力机构，P=1kN，α=80，求工件所 受压紧力。
第二章 汇交力系
§2 汇交力系的平衡条件
一、三力平衡汇交定理 定理：当刚体在同一平面内作用线互不平行的三个力作 用下平衡时，这三个力的作用线必汇交于一点。 B FB
FA
A
B FB
FA A
C
FC
C
FC FBC
FC D
FB
FB , FC 合成为力 FBC
因为 FB , FC 不平行，相交于D点
由二力平衡原理得：三力作用线必交于一点
FAC P
第二章 汇交力系
另一种列方程的方法
B
y
FBC
C
x
（坐标轴的方向变化
可以使计算变得简单）
A
a
B
a
C
工 件
解：这是多个物体所组成的系统平衡的问题。系统平衡时， 其中的每一部分也应该是平衡的 P （1）取B点为研究对象
a
a
FN 1
FN 2
第二章 汇交力系
P
A
P
a
B
a
C
工 件
a
FN 1
a
FN 2
Fx 0, FN1 cosa FN 2 cosa 0 FN1 FN 2
Fy 0, FN1 sin a FN 2 sin a P 0
第二章 汇交力系
解题技巧及说明： 1. 投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。 2. 解析法解题时，力的方向可以任意假设，如果求出负值， 说明力方向与假设相反。 3. 对于二力杆件， 一般先设为拉力，如果求出负值，说 明物体受压力。
第二章 汇交力系
例：图示连杆增力机构，P=1kN，α=80，求工件所 受压紧力。
第二章 汇交力系
§2 汇交力系的平衡条件
一、三力平衡汇交定理 定理：当刚体在同一平面内作用线互不平行的三个力作 用下平衡时，这三个力的作用线必汇交于一点。 B FB
FA
A
B FB
FA A
C
FC
C
FC FBC
FC D
FB
FB , FC 合成为力 FBC
因为 FB , FC 不平行，相交于D点
由二力平衡原理得：三力作用线必交于一点
FAC P
第二章 汇交力系
另一种列方程的方法
B
y
FBC
C
x
（坐标轴的方向变化
可以使计算变得简单）
工程力学第二章力系简化与平衡
一、平面任意力系的平衡方程
1 平衡条件
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
即 F 0 M 0
R
o
F R
(
F x
)2
(
F y
)2
M O
M
O
(
F i
)
2 平衡方程
Fx 0
X 0
Fy 0
或 Y 0
M o (F) 0
M o 0
M i
i1
二、 平面任意力系的简化研究
1、力的平移定理
作用在刚体上力F的作用线可等效 地平移到同一刚体上的任意一点，但 须附加一力偶，此附加力偶的矩值等 于原力F对平移点的力矩。
M M (F ) Fd
B
B
２ 力与力偶的合成 是力线平移的逆过程。
3、力线平移定理在简化中的应用
F F
解得 FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
例6 已知：P1 700kN, P2 200kN, 尺寸如图；
求：（1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3； （2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。
解： 取起重机，画受力图。 满载时，FA 0, 为不安全状况
（2）、求合力及其作用线位置。
d
Mo FR'
2355 3.3197m 709.4
x
d
3.514m
cos 900 70.840
（3）、求合力作用线方程
Mo Mo FR x FRy y FRx x FR'y y FR'x
即 2355 x670.1 y 232.9
工程力学(二)第2章 平面汇交力系
例 题 2- 3
重物质量m =10 kg,悬挂在支架铰接点B处，A、C 为固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆件重 量，求重物处于平衡时，AB、BC杆所受的力。
C 。 B FCB 。 30 。 45 FAB y B x mg
60
45
。
A
解：取铰B为研究对象，其上作用有 三个力：重力mg；BC杆的约束力FCB（设为拉力） 及AB杆的约束力FAB（设为压力），列出平衡方程 ∑Fx= 0, -FCB cos30o + FABcos45o =0 ∑Fy= 0, -mg+FCB sin30o +FABsin45o =0
FCB 。 30 。 45 FAB y B x mg
例 题 2- 3
联立上述两方程，解得： FAB=88.0 N， FCB=71.8 N。
例题 2- 3
C 。 B FCB 。 30 。 45 FAB
y B x mg
60
45
。
A
由于求出的FAB和FCB 都是正值，所以原先假设 的方向是正确的，即BC 杆承受拉力，AB 杆承受压 力。若求出的结果为负值，则说明力的实际方向与 原假定的方向相反。
30o
并以铰链A，C与墙连接。如
P
两杆与滑轮的自重不计并忽 略摩擦和滑轮的大小，试求 平衡时杆AB和BC所受的力。
C
例 题 2-4
A
60o
D
B
解：取滑轮B为研究对象，忽 略滑轮的大小，设AB受拉，BC受 压，受力图及坐标如图。 列平衡方程
Fx = 0, − FAB + F1sin 30o − F2sin 60o = 0 ∑ Fy = 0, FBC − F1 cos 30o − F2 cos 60o = 0 ∑
工程力学第2章(汇交力系)
2.力在平面上的投影
FM F cos
⑴ 力在平面上的投影是矢量。 ⑵ α：力与投影平面的夹角。
3. 力在直角坐标轴上的投影 · 一次投影法 Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
·二次投影法
Fx Fxy cos F cos cos Fy Fxy sin F cos sin
合力FR 的大小
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
合力FR 的方向
R
F cos( F ，i )
x
cos( FR，j )
R
F Fy
F
z
F cos( F ，k ) F
二、汇交力系平衡的解析条件
汇交力系平衡的充分且必要条件是力系的合力等于零。
角为60o ，若接触面光滑，试分别求出圆柱给墙面和夹板的压 力。
解:
FA Gtan30o 500 tan30o 288.7N
G 500 FB 577.4N o o cos 30 cos 30
几何法求解汇交力系简化与平衡问题总结：
⑴ 选择研究对象，分析受力情况，画出全部的 已知力和未知力，利用二力平衡、三力平衡汇交等定 律确定某些力作用方向（必须明确力的方向，否则容 易出错）。
Fx 0 : Fy 0 : F
z
FA FC cos 30o sin 0
FB FC cos 30o cos 0 FC sin30o P 0
0:
由几何关系可得 cos 0.8 sin 0.6 解得： FA 10.39kN
FB 13.85kN FC 20kN
F2 = 4kN，F3 = 5kN，求三个力的合力。 解:
工程力学电子教案第二章
栓A和B乊间的距离l=0.2m。求两个螺栓所叐到的水平力。
解：以工件为研究对象。其叐三个 力偶及两个螺栓水平力的作用，处于平
衡状态。根据力偶系平衡条件，两螺栓
对工件的约束反力必定组成力偶才能不 三个力偶平衡。约束反力FA、FB的方向 如图所示。 建立方程如下： ∑M=0， FA l-M1-M2-M3=0
M1=F1d1,M2=-F2d2。保证力偶矩丌发前提下，改发力的大小 和力偶臂长短，公用一个力偶臂d，于是有新的等效力偶（F3，
F3 ′ ）、（F4，F4 ′ ）。
其中：F3= F4=
F1 d 1 d F2 d 2 d
，
F3 、F4分别作用于A和B两点，且AB=d，将力偶转动，使力
偶臂重合，如图2-18b。FR=F3-F4 ; FR ′=F3 ′-F4 ′ 合力偶（FR、FR ′），用Mo表示。 Mo=FRd=(F3-F4)d =F1d1-F2d2=M1+M2 若有n个力偶，则Mo= M =∑M
单位是Nm。
以力F为底边、矩心为顶点组成一个三角 形（阴影部分），则乘积Dd正好是这个三角 形面积A△的两倍。 即MO（F）= ±2 A△
适用于任何物体，矩心可以是转动点戒固定点，且可以是物 体上戒物体外的任意一点。
重点：
由力矩定义可知：
（1） 当力通过矩心时，此力对于该矩心的力矩为零。 （2） 当力沿作用线秱动时丌改发力对任一点的力矩。
FBC=1.366P=13.66kN FAB为负值，说明假设方向不实际方向相反。
2.2 力矩及平面力偶系的平衡 2.2.1 力矩及合力矩定理
重点：
1、力矩的概念：平面内力F使物体绕点O转动的效应。
用MO（F）表示。 MO（F）= ±Fd
工程力学第二章(力系的平衡)
6m
F 3m 1m
E
G
6m
MAF 0,
A
FAx
FBy 12 m G 1 m
FAy
F 9m G 11 m 0
B
FBx
FBy
得： FBy= 47.5 kN
例7 如图所示为一悬臂梁，A 为固定端，设
梁上受强度为 q 的均布载荷作用，在自由端B 受一集中力 F 和一力偶 M 作用，梁的跨度为l， 求固定端的约束力。
M
F
q
45
B
A
l
解：1、 取梁为研究对象，受力分析如图
2、 选取坐标系，列平衡方程
q
M
F
45
Fx 0, FAx F cos 45o 0
第二章 力系的平衡
本章重点：
1、力系平衡方程及其应用 2、物体系统平衡问题分析 3、桁架内力分析
§2-1 力系的平衡方程
F2
z
F1
MO
z
FR′
y o
y o
x
Fn
x
空间任意力系向任意点O简化为： 主矢 FR′=∑Fi 主矩 MO=∑MO（Fi )
平衡的充分必要条件： FR' 0 Mo 0
注意：对任意一点的主矩为零。
联立求解得 FB 750 N
例2 利用铰车绕过定
滑轮B的绳子吊起一货 物重G = 20 kN，滑轮 由两端铰接的水平刚 杆AB和斜刚杆BC支持 于点B 。不计铰车的 自重，试求杆AB和BC 所受的力。
A
30°
B
30°
C
G
a
A 30° B
30°
C
G
a
解：1、取滑轮 B 轴销为研究
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0 80 . 34 在第四象限 即
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
（四）平 衡 由几何法知：平面汇交力系平衡的必要和充分条件 是该力系的合力为零，即 R 0 而R 则
( X ) 2 ( Y ) 2 0
X 0， Y 0
Fy Fy1 Fy 2 Fyn Fyi
Fx Fx1 Fx 2 Fxn Fxi
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
y
D
这个定理也可很直观地理解，如下图表示
F3
o
F2
F3
C
F
A
B
F1
F2
x
F1
o
b d c X1 ab, X 2 bc, X 3 cd, RX ad
矢量表达式：R= F1+F2
由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。 由余弦定理：
R F F2 2F向由正弦定理：
第二章 平面汇交力系
F R 1 sin sin( 180 )
湖南工业大学土木工程学院
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
a
因 ad ab bc cd ,故 同理可得
第二章 平面汇交力系
RX X1 X 2 X 3
RY Y1 Y Y3
湖南工业大学土木工程学院
§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
（三）合成 当应用合力投影定理求出力系的合力的投影Rx、Ry后， 可用下式求出合力的大小和方向
即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两个 坐标轴中上的投影之代数和均等于零。 由于提供的独立的方程有两个，故可以求解两个未知量。
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
【例题 5】重物A质量m=10kg,悬挂在支架铰接点 B 处，A、 C 为固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆件重量，求 重物处于平衡时，AB 、BC 杆的内力。
平面汇交力系合成与平衡的几何法
平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。 研究方法：几何法，解析法。
例：起重机的挂钩。
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、合成的几何法 1.两个共点力的合成
cos( 180 ) cos
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
此题也可用力多边形方法用比例尺去量。
几何法解题步骤：①选研究对象；②作出受力图； ③作力多边形，选择适当的比例尺； ④求出未知数 几何法解题不足： ①精度不够，误差大 ②作图要求精度高；
③不能表达各个量之间的函数关系。
下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法： 解析法。
a
b
x
即力在某轴上的投影等于力的模乘以力与该轴的正向间夹 角的余弦。这样当 、 为锐角时, X、Y 均为正值； 为钝角时， X、Y可能为负值。 当 、 故力在坐标轴上的投影是个代数量。力的分量是矢量
第二章 平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院
§2-2
应注意
平面汇交力系合成与平衡的解析法
A
和外力 P构成一平衡力系。 由平衡的
几何条件，力多边形封闭，故
FBC FAC P
FBC P 2 FAC FAC FBC P sin 10 2 5 2 (kN )
湖南工业大学土木工程学院
由作用力和反作用力的关系，AC、BC杆受力等于5 2 kN 。
第二章 平面汇交力系
注意： 1、由于矢量相加满足交换律，故画力多边形时，各力的次序是 可以任意的。改变力的次序，只影响力的多边形的形状，不 影响最后合力的大小和方向；
F1
A B
F2
C
2、各分力矢量必须首尾相连
3、合力矢量的方向则是，从第一个力 起点指向最后一个力的终点
第二章 平面汇交力系
F3
D
R
E
Fn
湖南工业大学土木工程学院
2. 任意个共点力的合成
F1 A F2 F4 F3
A B
F1
F2
C
F3
D
R
E
F4
F1、F2、F3、F4 为平面共点力系：
表达式： R F1 F 2 F3 F4
第二章 平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
力的多边形规则：
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。 加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。
第二章 平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院
§2-2平面汇交力系 合成与平衡的解析法
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
（一）力在坐标轴上投影
y
y
A
o
B
b1 Y a1
b
x o
Fy
A
F
X
B
Fx
图 a 平行光线照射 下物体的影子
第二章 平面汇交力系
解力三角形： 又：
N F cos
R2 (R h)2 1 cos h(2R h) R R
F R N h ( 2 R h)
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
再研究球，受力如图： 作力三角形 解力三角形：
P N sin 又sin R h R
T
o
30
o
P 0
如
P
(b)
x
N
P
(c)
N
(a)
X 0
T cos300 N cos600 0
X 0
T P cos600 0
这样建立坐标系 T 和N相互藕合
第二章 平面汇交力系
可求得 T =？
湖南工业大学土木工程学院
§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
【例题6】起重机支架的AB、AC杆用铰链支承在立柱上,重物 P=20KN,滑轮尺寸和杆自重不计,求平衡时AB和AC所受的力。
Y
X
讲解过程中，应该重点强调： 1. TAD的大小为多少。 TAD 2· 对象选取（为什么是A点）。 3· 图示坐标轴的建立（原因是什么）.
FAB A
FAC
第二章 平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院
P
§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
【例题 7】求当F力达到多大时，球离开地面？已知P、R、h 解：研究块,受力如图，
工程力学
第二章 平面汇交力系
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
第二章
平面汇交力系
§2–1平面汇交力系合成与平衡的几何法
§2–2平面汇交力系合成与平衡的解析法
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1平面汇交力系 合成与平衡的几何法
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1
R
Rx Ry
Ry Rx
2
2
( X ) 2 ( Y ) 2
t an
Y X
式中 表示合力 F 与 x 轴间所夹的锐角。合力指向 由 Rx、Ry的正负号用图判定。这种运用投影求 合力的方法，称为解析法。 y F R
Fy
2
RY
R
RX
用图可表示为：
F3
Fn
F1
Fx
o
第二章 平面汇交力系
平面汇交力系合成与平衡的解析法
【例题 3】试求图中各力在坐标轴上的投影。已知
P1=P2=P4=10kN， P3=P5=15kN， P6=20kN。
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
（二） 合力投影定理
定义：合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投 影的代数和。即
第二章 平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院
由于求出的FBA和 FBC都是正值，所以原先假设的方
§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
应注意： 为避免解联立方程，可把一个轴放在垂直于一个未知 力的作用线上，这个未知力在轴上的投影为零，这个投影方程 就只有一个未知数，不必解联立方程。如在下例中 y y T x
F
i 1
n
i
F 0
第二章 平面汇交力系
R0
湖南工业大学土木工程学院
指导学生学习19页的思考题2.1
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
【例题 1】刚架如图所示。已知水平力P， 不计刚架自重， 求支座A、B的反力。
P D A 2a
C a B
P D RB
C
RA
A
解：刚架受三力作用平衡。根据三力平衡汇交定理，A点约束反 力的作用线必交于P与RB的交点C，作出自行封闭的力矢三角形。
（1）力的投影是代数量，而力的分量是矢量；
（2）力投影无所谓作用点，而分力必须作用在 原力的作用点。
F X 2 Y 2
X Fx cos F F
Y Fy cos F F
式中 cos和 cos 称为力 F 的方向余弦。
第二章 平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院
§2-2
C
60
0
y
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
（四）平 衡 由几何法知：平面汇交力系平衡的必要和充分条件 是该力系的合力为零，即 R 0 而R 则
( X ) 2 ( Y ) 2 0
X 0， Y 0
Fy Fy1 Fy 2 Fyn Fyi
Fx Fx1 Fx 2 Fxn Fxi
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
y
D
这个定理也可很直观地理解，如下图表示
F3
o
F2
F3
C
F
A
B
F1
F2
x
F1
o
b d c X1 ab, X 2 bc, X 3 cd, RX ad
矢量表达式：R= F1+F2
由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。 由余弦定理：
R F F2 2F向由正弦定理：
第二章 平面汇交力系
F R 1 sin sin( 180 )
湖南工业大学土木工程学院
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
a
因 ad ab bc cd ,故 同理可得
第二章 平面汇交力系
RX X1 X 2 X 3
RY Y1 Y Y3
湖南工业大学土木工程学院
§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
（三）合成 当应用合力投影定理求出力系的合力的投影Rx、Ry后， 可用下式求出合力的大小和方向
即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两个 坐标轴中上的投影之代数和均等于零。 由于提供的独立的方程有两个，故可以求解两个未知量。
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
【例题 5】重物A质量m=10kg,悬挂在支架铰接点 B 处，A、 C 为固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆件重量，求 重物处于平衡时，AB 、BC 杆的内力。
平面汇交力系合成与平衡的几何法
平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。 研究方法：几何法，解析法。
例：起重机的挂钩。
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、合成的几何法 1.两个共点力的合成
cos( 180 ) cos
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
此题也可用力多边形方法用比例尺去量。
几何法解题步骤：①选研究对象；②作出受力图； ③作力多边形，选择适当的比例尺； ④求出未知数 几何法解题不足： ①精度不够，误差大 ②作图要求精度高；
③不能表达各个量之间的函数关系。
下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法： 解析法。
a
b
x
即力在某轴上的投影等于力的模乘以力与该轴的正向间夹 角的余弦。这样当 、 为锐角时, X、Y 均为正值； 为钝角时， X、Y可能为负值。 当 、 故力在坐标轴上的投影是个代数量。力的分量是矢量
第二章 平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院
§2-2
应注意
平面汇交力系合成与平衡的解析法
A
和外力 P构成一平衡力系。 由平衡的
几何条件，力多边形封闭，故
FBC FAC P
FBC P 2 FAC FAC FBC P sin 10 2 5 2 (kN )
湖南工业大学土木工程学院
由作用力和反作用力的关系，AC、BC杆受力等于5 2 kN 。
第二章 平面汇交力系
注意： 1、由于矢量相加满足交换律，故画力多边形时，各力的次序是 可以任意的。改变力的次序，只影响力的多边形的形状，不 影响最后合力的大小和方向；
F1
A B
F2
C
2、各分力矢量必须首尾相连
3、合力矢量的方向则是，从第一个力 起点指向最后一个力的终点
第二章 平面汇交力系
F3
D
R
E
Fn
湖南工业大学土木工程学院
2. 任意个共点力的合成
F1 A F2 F4 F3
A B
F1
F2
C
F3
D
R
E
F4
F1、F2、F3、F4 为平面共点力系：
表达式： R F1 F 2 F3 F4
第二章 平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
力的多边形规则：
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。 加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。
第二章 平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院
§2-2平面汇交力系 合成与平衡的解析法
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
（一）力在坐标轴上投影
y
y
A
o
B
b1 Y a1
b
x o
Fy
A
F
X
B
Fx
图 a 平行光线照射 下物体的影子
第二章 平面汇交力系
解力三角形： 又：
N F cos
R2 (R h)2 1 cos h(2R h) R R
F R N h ( 2 R h)
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
再研究球，受力如图： 作力三角形 解力三角形：
P N sin 又sin R h R
T
o
30
o
P 0
如
P
(b)
x
N
P
(c)
N
(a)
X 0
T cos300 N cos600 0
X 0
T P cos600 0
这样建立坐标系 T 和N相互藕合
第二章 平面汇交力系
可求得 T =？
湖南工业大学土木工程学院
§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
【例题6】起重机支架的AB、AC杆用铰链支承在立柱上,重物 P=20KN,滑轮尺寸和杆自重不计,求平衡时AB和AC所受的力。
Y
X
讲解过程中，应该重点强调： 1. TAD的大小为多少。 TAD 2· 对象选取（为什么是A点）。 3· 图示坐标轴的建立（原因是什么）.
FAB A
FAC
第二章 平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院
P
§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
【例题 7】求当F力达到多大时，球离开地面？已知P、R、h 解：研究块,受力如图，
工程力学
第二章 平面汇交力系
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
第二章
平面汇交力系
§2–1平面汇交力系合成与平衡的几何法
§2–2平面汇交力系合成与平衡的解析法
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1平面汇交力系 合成与平衡的几何法
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1
R
Rx Ry
Ry Rx
2
2
( X ) 2 ( Y ) 2
t an
Y X
式中 表示合力 F 与 x 轴间所夹的锐角。合力指向 由 Rx、Ry的正负号用图判定。这种运用投影求 合力的方法，称为解析法。 y F R
Fy
2
RY
R
RX
用图可表示为：
F3
Fn
F1
Fx
o
第二章 平面汇交力系
平面汇交力系合成与平衡的解析法
【例题 3】试求图中各力在坐标轴上的投影。已知
P1=P2=P4=10kN， P3=P5=15kN， P6=20kN。
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
（二） 合力投影定理
定义：合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投 影的代数和。即
第二章 平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院
由于求出的FBA和 FBC都是正值，所以原先假设的方
§2-2
平面汇交力系合成与平衡的解析法
应注意： 为避免解联立方程，可把一个轴放在垂直于一个未知 力的作用线上，这个未知力在轴上的投影为零，这个投影方程 就只有一个未知数，不必解联立方程。如在下例中 y y T x
F
i 1
n
i
F 0
第二章 平面汇交力系
R0
湖南工业大学土木工程学院
指导学生学习19页的思考题2.1
§2-1
平面汇交力系合成与平衡的几何法
【例题 1】刚架如图所示。已知水平力P， 不计刚架自重， 求支座A、B的反力。
P D A 2a
C a B
P D RB
C
RA
A
解：刚架受三力作用平衡。根据三力平衡汇交定理，A点约束反 力的作用线必交于P与RB的交点C，作出自行封闭的力矢三角形。
（1）力的投影是代数量，而力的分量是矢量；
（2）力投影无所谓作用点，而分力必须作用在 原力的作用点。
F X 2 Y 2
X Fx cos F F
Y Fy cos F F
式中 cos和 cos 称为力 F 的方向余弦。
第二章 平面汇交力系 湖南工业大学土木工程学院
§2-2
C
60
0
y