河南省洛阳市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 文及答案
已知 F(2,0)为椭圆 C:
x2 a2
y2 b2
1(a
>
0, b
>
0) 的右顶点，动点
M 在椭圆
C 的长轴上，
过点 M 且不与 x 轴重合的直线交椭圆 C 于 A，B 两点.当点 M 与坐标原点 0 重合时，直线
PA
,PB 的斜率乘积为
1
.
4
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)若 AM 2MB ，求△OAB 面积的最大值.
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已知椭圆 C:
x2 a2
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>
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>
0) 的的离心率为
2
，其左，右焦点分别为 F1，
2
F2,点 P 是坐标平面内一点，且| OP |
7 2
, PF1
PF2
3 4
，其中
O
为坐标原点.
(1)求椭圆岡 C 的方程；
(2)过点 S(0, 1 ) •且斜率为 k 的动直线 l 交椭圆于 A，B 两点，求弦 AB 的垂直平分线在 x 3
轴上截距的最大值.
22.(本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) ln x 2x 1, g(x) x2 x .
(1)求函数 y f (x) g(x) 的极值;
(2)若对任意 x＞0 ,都有 f (x) g(x) 0 成立，求整数 m 的最小值。
4
洛阳市!"#$!"!"学年第一学期期末考试
16 84
1
5.在 △ABC 中，已知 A = 60°, a 2 3,b 2 ，则 B =
A. 30°
B.60°
C. 30°或 150° D. 60°或 120°
6.已知函数
f
(x)
x2
3x
lim
1，则 x
0
f
(1
x)
f
(1)
2x
A. 5
5
B.
C.- 5
D. 5
2
2
x 1 0
7.已知 x, y
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显然 ( /"
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A. 3 B.27 C. 54 D. 36 4.双曲线的实半轴长为 4,焦距为 10,则此双曲线的标准方程为
A. x2 y2 1 84 16
B. x2 y2 1 16 9
C. y2 x2 1 或 x2 y2 1 D. x2 y2 1 或 y2 x2 1
16 9
16 9
16 84
满足约束条件 x 2 y 2 x y 4
，若
0
z
y 1
，则
x
z
的取值范围为
A.
[
3
，2]
2
C. [ 1 ,2] 10
B. (, 3] [2,) 2
D. [ 3 , 1 ] 2 10
8.设平面 与平面 相交于直线 m，直线 a 在平面 内，直线 b 在平面 内，且 b m ，
则“ ”是“ a b ”的
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三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤。
17.(本小题满分 10 分）
已知全集 U= R，非空集合 A ={ x | (x 2)[x (3a 1)] < 0 },B = { x | a < x < a2 2 }，
记 p : x A, q : x B ，若 p 是 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围.
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2020
1010
2021
12.已知定义在 R 上的奇函数 f (x) ，其导函数为 f '(x) ，当 x 0 时，恒有
2
x f '(x) f (x) 0 .则不等式 x3 f (x) (1 2x)3 f (1 2x) < 0 的解集为 3
A. { x | 3 < x < -1}
B. { x | 1 < x < - 1 } 3
FA FB 0 , 则△FAB 的内切圆面积为 A. 5 B. 4 C. 2 D. 11.已知等比数列{ an }的各项都为正数，当 n 3 时， a4a2n 4 102n ，设数列{ lg an }的前
n 项和为 Tn ,则 Tn 等于
2020
2019
2019
4040
A.
B.
C.
D.
2021
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高 二 数 学 试 卷 文 答案
一 选 择 题 #/&,)*+)%% '/#"*))*,%##/#!,*
二 填 空 题
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三 解 答 题
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①“若 b= 3，则 b2 = 9”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“c < 1”是“ x2 2x c 0 有实根”的充分不必要条件； ④“若 A B A ，则 A B 的逆否命题.
其中真命题的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D.4
3.设 Sn 是等差数列{ an }的前 n 项和，且 a2 2a7 a4 12, S9
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洛阳市2019-2020学年上学期期末考试高二数学答案(文科)
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洛阳市2019-2020学年数学高二第二学期期末监测试题含解析
洛阳市2019-2020学年数学高二第二学期期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知函数()sin f x a x =且()'2f π=，则a 的值为( ) A ．1B ．2C ．2D ．-22．若集合{}{}201,20A x x B x x x =<<=-<， 则下列结论中正确的是（ ） A ．A B ⋂=∅B ．A B R ⋃=C ．A B ⊆D ．B A ⊆3．已知x ，()0,y ∈+∞，1x y +=，则xy 的最大值为（ ） A ．1B ．12C ．13D ．144．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，1AC ＝AA 1＝BC ＝1．若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为（ ）A ．B ．C ．1D ．5．已知222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，则满足(21)(2)f x f +>成立的x 取值范围是（ ）A ．31(,)22-B ．31(,)(,)22-∞-+∞ C ．1(,)2-∞D ．1(,)2+∞6．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到的数据如下表所示．由表中数据求得y 关于x 的回归方程为0.6ˆ5ˆyx a =+，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线上方的概率为（ ）x4 6 8 10 12y1 2 2.95 6.1A ．5 B ．5 C ．5D ．无法确定7．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为p .某检验员从该生产线上随机抽检50个零件，设其中优等品零件的个数为X .若()8D X =，(20)P X =(30)P X <=，则p =（ ） A ．0.16 B ．0.2C ．0.8D ．0.848．已知双曲线的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．B ．C ．D ．9．2017年1月我市某校高三年级1600名学生参加了全市高三期末联考，已知数学考试成绩()2100,X N σ~（试卷满分150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为 A ．120B ．160C ．200D ．24010．复数z 满足()(2)5z i i ++=，则z =（ ） A ．22i --B ．22i -+C ．22i -D ．22i +11．古有苏秦、张仪唇枪舌剑驰骋于乱世之秋，今看我一中学子论天、论地、指点江山．现在高二某班需从甲、乙、丙、丁、戊五位同学中，选出四位同学组成重庆一中“口才季”中的一个辩论队，根据他们的文化、思维水平，分别担任一辩、 二辩、三辩、 四辩，其中四辩必须由甲或乙担任，而丙与丁不能担任一辩，则不同组队方式有（ ） A ．14种B ．16种C ．20种D ．24种12．若函数()33f x x x a =-+在[)0,2上有2个零点，则a 的取值范围为（ ） A ．()2,2-B ．(]0,2C ．(]2,0-D ．[)0,2二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知集合{}{}1,A x x B y y a =≤=≤，且A B =∅，则实数a 的取值范围是__________．14．已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差为12，则数据21x ，22x ，23x ，24x ，25x 的方差为_______． 15．先后掷骰子（骰子的六个面上分别标有、、、、、个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为,,设事件为“为偶数”，事件为“,中有偶数且”，则概率等于_________.16．若函数1()ln(1)(0,0)1xf x ax x a x-=++≥>+的单调递增区间是[1,)+∞，则a 的值是__________． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车（含电动汽车）销量已跃居全球首位.某电动汽车厂新开发了一款电动汽车，并对该电动汽车的电池使用情况进行了测试，其中剩余电量y 与行驶时间x（单位：小时）的测试数据如下：如果剩余电量不足0.7，则电池就需要充电.（1）从10组数据中选出9组作回归分析，设X 表示需要充电的数据组数，求X 的分布列及数学期望； （2）根据电池放电的特点，剩余电量y 与时间x 工满足经验关系式：bxy ae =，通过散点图可以发现x 与y 之间具有相关性.设ln y ω=，利用表格中的前9组数据求相关系数r ，并判断是否有99%的把握认为x与ω之间具有线性相关关系.（当相关系数r 满足0.789r >时，则认为99%的把握认为两个变量具有线性相关关系）；（3）利用x 与ω的相关性及前9组数据求出y 与工的回归方程.（结果保留两位小数） 3.87≈ 2.09≈ 1.56≈， 1.17 3.22e ≈. 前9组数据的一些相关量：相关公式：对于样本()(),1,2,,n i i v u i =.其回归直线u bv a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121niii nii v v uub v v ==--=-∑∑，a u bv =-，相关系数()()niiv v u u r --=∑.18．已知函数32()2f x ax bx x =+-，且当1x =时，()f x 取得极值为56-. （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()6f x x m =--在[2,0]-上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围. 19．（6分）甲、乙两位同学学生参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5项预赛，成绩如下： 甲：78 76 74 90 82 乙：90 70 75 85 80（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均数、方差的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由.20．（6分）如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的多面体中，AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，0//,,60,244AD BC AB CD ABC BC AF AD DE =∠=====．（1）请在图中作出平面α，使得DE α⊂，且//BF α，并说明理由； （2）求直线EF 和平面BCE 所成角的正弦值．21．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ，2C 极坐标方程分别为2sin ρθ=，cos()24ρθπ-=（Ⅰ）1C 和2C 交点的极坐标；（Ⅱ）直线l 的参数方程为33{12x y t ==（t 为参数），l 与x 轴的交点为P ，且与1C 交于A ，B 两点，求||||PA PB +.22．（8分）已知函数()()22f x x x a x R =++-∈． （1）当0a =时，求不等式()7f x ≥的解集；（2）若()24f x x ≤+对任意[]10x ∈-，成立，求实数a 的取值范围． 参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】分析：首先对函数求导，然后结合题意求解实数a 的值即可.详解：由题意可得：()'cos f x a x =，则()'cos 2f a ππ==，据此可知：2,2a a -=∴=-. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查导数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．C 【解析】 【分析】由题意首先求得集合B ，然后逐一考查所给选项是否正确即可． 【详解】求解二次不等式220x x -<可得：02x <<，则{}|02B x x =<<． 据此可知：{}|01A B x x ⋂=<<≠∅，选项A 错误；{}|02A B x x ⋃=<<，选项B 错误；且集合A 是集合B 的子集，选项C 正确，选项D 错误． 本题选择C 选项，故选C ． 【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系的判断等知识，熟记集合的基本运算方法是解答的关键，意在考查学生的转化能力和计算求解能力． 3．D 【解析】 【分析】直接使用基本不等式，可以求出xy 的最大值. 【详解】因为x ，()0,y ∈+∞，1x y +=，所以有2111()24x y xy =+≥⇒≤=，当且仅当12x y ==时取等号，故本题选D. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，掌握公式的特征是解题的关键. 4．A 【解析】如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)，设AD ＝a ，则D 点坐标为(1,0，a)，＝(1,0，a)，＝(0,1,1)，设平面B 1CD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z)． 则⇒，令z ＝－1，得m ＝(a,1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为n(0,1,0)， 则由cos60°＝，得＝，即a ＝，故AD ＝.5．B 【解析】由题意，函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，满足()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，函数()f x 单调递增，当0x <时，函数()f x 单调递减， 又(21)(2)f x f +>，所以212x +>，解得32x <-或12x >，故选B. 6．B 【解析】 【分析】求出样本的中心点，计算出a ，从而求出回归直线方程，5个点中落在回归直线上方的有三个，算出概率即可。
2019-2020洛阳市高二期末质检文数答案
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2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题 含答案
2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题 含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 2. 已知集合，，则 .3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 .4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.5. 不等式的解集是 .6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 .8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 .9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.11. 若，是一二次方程的两根，则 .12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 13. 已知实数、满足，则的取值范围是 .14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D.16. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件17. 则表示复数的点是（ ）18. A. 1个 B. 4个三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2在锐角中，、、分别为内角、（1）求的大小；（2）若，的面积，求的值.B120.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.静安区xx第一学期期末教学质量检测高三年级数学（文科）试卷答案（试卷满分150分 考试时间120分钟） xx.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 解：.2. 已知集合，，则 . 解：.3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 . 解：.4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）. 解：45.5. 不等式的解集是 . 解：.6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .解：256.7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 . 解：.8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 . 解：.9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 解：-2.10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）. 解：（或或）.11. 若，是一二次方程的两根，则 . 解：-3.12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 解：或.13. 已知实数、满足，则的取值范围是 . 解：.14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 . 解：.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 解：D.B 116. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件解：B.17. 则表示复数的点是（ ）解：D.18. A. 1个 B. 4个解：C.三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角中，、、分别为内角、、所对的边长，且满足. （1）求的大小；（2）若，的面积，求的值. 解：（1）由正弦定理：，得，∴ ，（4分） 又由为锐角，得.（6分）（2），又∵ ，∴ ，（8分）根据余弦定理：2222cos 7310b a c ac B =+-=+=，（12分） ∴ 222()216a c a c ac +=++=，从而.（14分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式. 解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）（2）14,03() 2.4 6.8,3103.6 5.2,10x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩ . 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.解：（1）∵ 点为面的对角线的中点，且平面，∴ 为的中位线，得，又∵ ，∴ 22MN ND MD ===（2分） ∵ 在底面中，，，∴ ，又∵ ，为异面直线与所成角，（6分） 在中，为直角，，∴ .即异面直线与所成角的大小为.（8分） （2），（9分）1132P BMN V PM MN BN -=⋅⋅⋅⋅，（12分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由. 解：（1）∵ ，∴ 函数的定义域为，（1分）又∵ ()()log )log )0a a f x f x x x +-=+=，∴ 函数是奇函数.（4分） （2）由，且当时，， 当时，，得的值域为实数集. 解得，.（8分）（3）在区间上恒成立，即， 即在区间上恒成立，（11分） 令，∵ ，∴ ， 在上单调递增，∴ ， 解得，∴ .（16分）23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中） （1）求；（2）求数列的通项公式； （3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由. 解：（1）∵ ，令，得，∴ ，（3分）或者令，得，∴ .（2）当时，1111(1)()(1)22n n n n a a n a S ++++-+==，∴ 111(1)22n nn n n n a na a S S ++++=-=-，∴ ， 推得，又∵ ，∴ ，∴ ，当时也成立，∴ （）.（9分） （3）假设存在正整数、，使得、、成等比数列，则、、成等差数列，故（**）（11分） 由于右边大于，则，即， 考查数列的单调性，∵ ，∴ 数列为单调递减数列.（14分） 当时，，代入（**）式得，解得； 当时，（舍）.综上得：满足条件的正整数组为.（16分）（说明：从不定方程以具体值代入求解也可参照上面步骤给分）温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。
洛阳市2019-2020学年上学期期末考试高二数学答案(理科)
洛阳市!"#$ !"!"学年第一学期期末考试高二数学试卷 理 参考答案一 选择题#*(),,--,"""")+#")*.,-.""""##+#!).*二 填空题#&!!*!##""""""#'! )""""#(!##槡!""""#)!槡'&&三 解答题#/!解)5":)"0+#;)"0-#:是;的充分条件#"6"+5-!..!分!#"当&$##$!#即$$#&时#+&'")!#"#&$##(!..&分由+5-得$!!&$##!$!#'!#解得#&#$!&*槡(!!..(分!!"当&$##&!#即$&#&时#+&?#不符合题意#舍去!..)分!&"当&$###!#即$##&时#+&'")&$###"#!(!../分由+5-得$!&$##!!$!#'!#解得*#!!$##&!..$分综上#实数$的取值范围是%*#!##&"6!#&#&*槡(!&!..#"分#0!解)!#"设等比数列'$'(的首项为$##公比为;#由题意知;7##则(&&$#!#*;&"#*;&*)()&$#!#*;)"#*;&*+,'!#..!分从而##;&&*/#即;&&*0#..'分所以;&*!#$#&*!#所以$'&!*!"'#..)分('&!*!"@%#*!*!"'&#*!*!"&*!&%#*!*!"'&!..0分!!"由!#"知#('###('#!&*!&%#*!*!"'##&*!&%#*!*!"'#!&&*!&%!*!*!"'##*!*!"'#!&&*!&%!#!@!*!"'*'@!*!"'&&*'&%#*!*!"'&&!('#..##分所以('###('#('#!成等差数列!..#!分高二数学!理"答案"第#页"!共'页""!!"!"%#"#$!解)!#"在/+-,中#7!&/!##'$!*/$789%+,-!在/+.,中#%!&/!##'$!*/$789%+,.!..!分5"%+,-#%+,.& #"6"789%+,-#789%+,.&"#6"%!#7!&!/!##!$!#"6"/!&#!!%!#7!"*#'$!!..'分5"$!#!%7&'/!#"6"$!#!%7&!%!#!7!*$!#即%!#7!*$!&%7#6"789%-+.&%!#7!*$!!%7&#!!5""#%-+.# #"6"%-+.& &!..)分!!"由$&'#%-+.& &及正弦定理得%9:2-&79:2.&'9:2&&槡0&"%&槡0&&9:2-#7&槡0&&9:2.&槡0&&9:2!! &*-"#..0分6"%#7&槡0&&9:2-#槡0&&9:2!! &*-"&槡0&&!&!9:2-#槡&!789-"&09:2!-# )"..#"分5""#-#! ")#-# )#( )##!#9:2!-# )"!##%#70!'#0&#..##分故/+-.的周长的取值范围是!0##!&!..#!分!"!!#"依题意#可设>的方程为"&/1*!!/7""!由1!&0""&/1*'!得1!*0/1##)&"#..!分则/&)'/!*)'$"#/$#或/#*#!..&分设+!"##1#"#-!"!#1!"#则,!"##*1#"#"6"1##1!&0/#1#1!&#)#..'分直线-,的方程为1*1!&1!#1#"!*"#(!"*"!"#即1*1!&01!*1#(!"*1!!0"!..(分令1&"#得"&1#1!&!#所以直线-,经过点0!!#""!..)分!!"由!#"知#"##"!&!/1#*!"#!/1!*!"&/!1##1!"*'&0/!*'#"#"!&1!#0(1!!0&'..0分5"-.0+&!"#*!#1#"#-.0-&!"!*!#1!"#高二数学!理"答案"第!页"!共'页""!!"!"%#"6"-.0+(-.0-&!"#*!"!"!*!"#1#1!&"#"!*!!"##"!"#'##)&&!*#)/!#..#"分故&!*#)/!&"#解得/&A 槡!!..##分所以>的方程为"#槡!1#!&"或"*槡!1#!&"!..#!分!#!!#"取+-的中点,#连接52#.,#5,#易证四边形52.,为平行四边形#从而528.,!..#分5"底面+-.3侧面++#-#-#底面+-.4侧面++#-#-&+-#.,3+-#.,9底面+-.#6".,3侧面++#-#-#..!分6"523侧面++#-#-!..&分又+-#9侧面++#-#-#"6"+-#352!..'分又侧面++#-#-为菱形#所以+-#3+#-#所以+-#3平面+#52!..(分因为+#29平面+#52#所以+-#3+#2!..)分!!"由!#"知#5235+##5235+#5+35+##以5为原点#建立如图所示的空间直角坐标系5*"1B !5"侧面++#-#-是边长为!的菱形#且%++#-#&)"3#6"5!"#"#""#+!"###""#-#!"#*##""#-!*槡&#"#""#.!*槡&!##!#槡&"#2!"#"#槡&"#-.52&!"#"#槡&"!../分设-.+4& -.+.! $""#得4!*槡&! ##*#! #槡& "#6"-.54&!*槡&! ##*#!#槡& "#"6"-.52--.54&& !..0分5"-.52--.54&)-.52)-)-.54)-789%452&槡&-&' !#!#*#! "!#& 槡!-槡!!#6"槡&-&' !#!#*#! "!#& 槡!-槡!!&&#解得 &#!或 &*#!舍去"#..$分6"4!*槡&'#&'#槡&!"#-#-.-&!*槡&###""#-#-.4&!*槡&'#/'#槡&!"!设平面-#-4的法向量''&!"#1#B "#由-#-.--''&"-#-.4-''&*+,"得*槡&"#1&"*槡&'"#/'1#槡&!B &*+,"#取''&!##槡&#*&"!..#"分而侧面++#-#-的一个法向量&/&!"#"##"!高二数学!理"答案"第&页"!共'页""!!"!"%#"则789#&/#''$&&/-'')/-)-)'-)&*槡&&#&!..##分又二面角4*--#*+的平面角为锐角#6"二面角4*--#*+的余弦值为槡&&#&..#!分!!!解)!#"当4与坐标原点5重合时#+#-关于原点对称#设+!""#1""#-!*""#*1""!5"2!!#""为椭圆的右顶点#"6"$&!!..#分又直线2+#2-的斜率乘积为*#'#"6"C 2+-C 2-&1"!""!*'&*#'!..!分又""!$!#1"!%!&##6"1"!&%!!#*""!$!"&%!'!'*""!"#即1"!""!*'&*%!'..&分6"%!&#!..'分6"椭圆的标准方程为"!'#1!&#!..(分!!"设4!/#""#直线+-的方程为"&D 1#/!D 7""#/0!*!#!"!由"!'#1!&#"&D 1#*+,/得!D !#'"1!#!/D 1#/!*'&"!..)分则 &'/!D !*'!D !#'"!/!*'"&#)!D !#'*/!"$"#设+!"##1#"#-!"!#1!"#则1##1!&*!/D D !#'#1#1!&/!*'D !#'!../分5"-.+4&!-.4-#"6"!/*"##*1#"&!!"!*/#1!"#"6"1#&*!1!#..0分6"/!&'D !##)$D !#'#1!&!/D D !#'..$分5"/+5-的面积(&#!)/)-)1#*1!)&&!)/1!)#6"(!&$'!/1!"!&$'-'D !##)$D !#'-#)D !!$D !#'"!'#D !"&$-#)D !!$D !#'"!#..#"分6"(&#!)D )$D !#'&#!$)D )#')D )!##当且仅当D !&'$#D &A !&时上式取等号!6"/5+-面积的最大值为#!..#!分高二数学!理"答案"第'页"!共'页""!!"!"%#"。
2019-2020洛阳高二理数期末试卷
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2019-2020洛阳高二理数期末(含答案及评分细则)
洛阳市!"#$!"!"学年高二质量检测
数学试卷参考答案 理
一 选 择 题 #4& -.00-! ! !)4#"../-/! ! !##4#!0-
二 填 空 题
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2019-2020学年河南省洛阳市高二上学期期末数学(文)试题
2019-2020学年河南省洛阳市高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}22530A x x x =--≥，{}2B x x =<，则A B =I （ ）A ．1< 22x x ⎧⎫-≤⎨⎬⎩⎭B ．{}23x x <-≥或C ．122x x ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭D ．122x x ⎧⎫-<≤-⎨⎬⎩⎭答案D分别化简集合,A B ,再求其交集即可. 解：{}{225303A x x x x =--≥=≥Q 或1}2x ≤-,{}{}222B x x x x =<=-<<,122A B x x ⎧⎫∴⋂=-<≤-⎨⎬⎩⎭故选:D.本题考查集合的运算,考查解不等式,属于简单题. 2．在下列四个命题中：①“若3b =，则29b =”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“1c <”是“220x x c ++=有实根”的充分不必要条件； ④“若A B A ⋃=，则A B ⊆”的逆否命题. 其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案A一一分析每个命题的真假性即可. 解：①原命题的逆命题为“若29b =,则3b =”,是个假命题;②原命题的否命题为“不全等的三角形,它们的面积不相等”,是个假命题;③若220x x c ++=有实根,则4401c c ∆=-≥⇒≤, 所以“1c <”是“220x x c ++=有实根”的充分不必要条件, 故其是个真命题;④若A B A ⋃=,则B A ⊆,故原命题为假命题,则其逆否命题也为假命题; 故选:A.本题考查了命题的真假性判断,结合了集合的相关性质,属于基础题.3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且274212a a a ++=，9S =（ ） A ．3 B ．27C ．54D ．36答案B利用等差中项的性质化简等式可得53a =,从而可以求出9S . 解：274212a a a ++=Q ,5412a ∴=,即53a =,195959()9292722a a a S a +⋅∴====, 故选:B.本题考查了等差中项的应用,属于简单题.4．双曲线的实半轴长为4，焦距为10，则此双曲线的标准方程为（ ）A ．2218416x y -=B ．221169x y -= C ．221169y x -=或221169x y -= D ．2211684x y -=或2211684y x -=答案C根据题意解出4,5a c ==,所以3b =,以此即可得到双曲线的方程. 解：由双曲线的实半轴长为4,焦距为10, 可得4,5a c ==,所以3b =,又双曲线的焦点可能在x 轴上,也有可能在y 轴上,所以双曲线的方程为:221169x y -=或221169y x -=, 故选:C.本题考查求双曲线的标椎方程,属于简单题.解此类题要注意焦点所在坐标轴,不要错写或者漏写方程.5．在ABC V 中，已知60A =︒，a =2b =，则B =（ ） A ．30° B ．60︒C ．30°或150︒D ．60︒或120︒答案A根据正弦定理即可求出sin B ,再利用大边对大角的性质即可确定B 的值. 解：在ABC V 中,由正弦定理sin sin a bA B=21sin sin 2B B=⇒=, 所以30B =o 或150o , 又a b >,所以A B >, 所以30B =o , 故选:A.本题考查正弦定理解三角形,属于基础题.注意出现多解问题时,要检验是否所有答案都满足题意.6．已知函数()231f x x x =++，则()()11lim2x f x f x∆→+∆-=∆（ ）A ．5B ．52 C ．5-D ．52-答案B 化简()()011lim 2x f x f x∆→+∆-∆()112f '=,因此,利用求导公式求出(1)f '即可得解. 解：()231f x x x =++,则()23f x x '=+,(1)5f '=,所以()() 011 lim2xf x fx∆→+∆-∆()()()11115lim1222xf x ffx∆→+∆-'=⋅=⋅=∆,故选:B.本题考查导数的计算,考查瞬时变化率,属于基础题..7．已知x，y满足约束条件102240xx yx yì-?ïï-?íï+-?ïî，若1yzx-=，则z的取值范围为（）A．3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．[)3,2,2⎛⎤-∞+∞⎥⎝⎦U C．1,210⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．31,210⎡⎤--⎢⎥⎣⎦答案A画出可行域,利用目标函数的几何意义,结合图像求解.解：画出满足约束条件的可行域如下图所示:则1yzx-=代表可行域内的点(,)x y与点(0,1)P连线的斜率,结合图像可知,当(,)x y落在A时,斜率最大,联立1040xx y-=⎧⎨+-=⎩,解得(1,3)A,此时max2z=,当(,)x y落在B时,斜率最小,联立10220xx y-=⎧⎨--=⎩,解得1(1,)2B-,此时min32z=-,因此,z的取值范围为3[,2]2-,故选:A.本题主要考查线性规划,考查数形结合思想的运用.此类线性规划问题中,目标函数常代表的几何意义一般有截距,斜率,距离等.8．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分不必要条件答案A解：试题分析：α⊥β， b ⊥m又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a ⊥b ”的充分不必要条件，故选A. 【考点】充分条件、必要条件.9．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1b ca c a b+≥++，则角A 的取值范围是（ ） A ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B ．0,3π⎛⎤⎥⎝⎦C ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭答案B将题设不等式化简得到222b c a bc +-≥,结合余弦定理即可推出A 的范围. 解： 因为1b ca c a b+≥++, 所以222b c a bc +-≥,所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-=≥=,所以在ABC V 中,(0,]3A π∈,故选:A.本题主要考查余弦定理的应用,难度不大.10．已知F 是椭圆22:1167x y M +=的右焦点，,A B 是椭圆M 上关于原点O 对称的两点，若·0FA FB =u u u v u u u v，则FAB ∆的内切圆的面积为（ ） A ．5π B ．4πC ．2πD ．π答案D画图分析焦点三角形的面积再利用等面积法求解即可. 解：如图,设左焦点为1F ,连接11,AF BF ,因为0FA FB =u u u r u u u r g ,故FA FB ⊥u u u r u u u r,故四边形1F AFB 为矩形.故1FAB F FB S S ∆∆==7tan4π7=,又12AB F F =,故FAB ∆的内切圆半径r 满足 ()()1168722FAB S AB AF BF r r ∆=++=⨯+=,解得1r =.FAB ∆的内切圆的面积为π.故选：D本题主要考查了椭圆焦点三角形的面积公式与等面积法求内切圆半径等.属于中等题型.11．已知等比数列{}n a 的各项都为正数，当3n ≥时，242410nn a a -=，设数列{}lg n a 的前n 项和为n S ，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则2020T 等于（ ）A ．20202021B ．20192020C ．20191010D ．40402021答案D根据等比中项的性质化简242410nn a a -=,得到10n n a =,从而可以算出{}lg n a 的通项公式,进而求出其前n 项和,再结合裂项相消法即可得出结论. 解：在各项都为正数的等比数列{}n a 中,当3n ≥时,242410nn a a -=,则有10n n a =,由于数列{}n a 为等比数列,所以110,10a q ==,所以*10()n n a n N =∈,则lg lg10nn a n ==,所以其前n 项和(1)2n n n S +=, 所以12112()(1)1n S n n n n ==-++, 所以2020111112(1)22320202021T =-+-++-L 140402(1)20212021=-=, 故选:D.本题考查等差､等比数列的综合运用,需要学生熟练掌握其性质并灵活应用,属于中档题.12．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x ¢，当0x ≥时，恒有()()03x f x f x '--≤.则不等式()()()331212<0x f x x f x -++的解集为（ ） A ．{}31x x -<<- B ．113x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭C ．113x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或 D ．122x x ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭答案B构造函数3()()g x x f x =,则可推出()g x 的奇偶性与单调性,再利用其单调性解不等式即可. 解：令3()()g x x f x =,则可得232()3()()3[()()]3xg x x f x x f x x f x f x '''=+=+,又当0x ≥时,恒有()()()()033x xf x f x f x f x ''--=+≤, 即0x ≥时,()0g x '≤,所以g (x )在[0,+∞)上单调递减,又f (﹣x )=﹣f (x ),则g (﹣x )=﹣x 3f (﹣x )=g (x ), 所以g (x )为偶函数,所以g (x )在(﹣∞,0)上单调递增,又由()()()331212<0x f x x f x -++可得,g (x )<g (1+2x ), 故12x x >+,即22(12)x x >+,解得113x -<<-,故选:B.本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用,能正确构造函数是解决本题的关键,属于中档题.二、填空题 13．若“0,63x ππ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得0tan x m ≥”是假命题，则实数m 的取值范围为________.答案)+?根据题意,写出原命题的否定,则其是一个真命题,再据此求范围即可. 解： 因为“0,63x ππ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得0tan x m ≥”是假命题, 所以其否定:“,63x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,tan x m <”是真命题,又,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,tan 3x ∈,所以m >故答案为:)+∞.本题考查命题的真假关系,考查三角函数求最值,属于简单题.在解决命题真假性相关问题时,若原命题不好求解,可以考虑与之相关的其他命题,比如命题的否定,逆否命题等.14．在ABC V 中，已知()()()sin sin sin a c A C a b B -+=-，则角C =________. 答案3π 利用正弦定理化简题设等式,再结合余弦定理即可求解. 解：由正弦定理化简()()()sin sin sin a c A C a b B -+=-, 可得()()()a c a c b a b -+=-, 即222a b c ab +-=,所以2221cos 22a cb C ab +-==,因为C 为三角形内角, 所以3C π=,故答案为:3π.本题考查了正,余弦定理在解三角形中的综合运用,需要学生熟悉各类公式并合理应用.15．已知函数()xe f x a x=-有两个零点，则实数a 的取值范围是________.答案(),e +∞对()f x 求导,然后结合导数分析其单调性得出最值,再由函数()f x 有两个零点,可知其最小值小于0,代入求解即可. 解：由()x e f x a x =-,得()2(1)x e x f x x -'=, 令()01f x x '>⇒>,令()01f x x '<⇒<,所以()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,)+∞单调递增, 所以min ()(1)f x f e a ==-,又因为函数()xe f x a x=-有两个零点,所以min ()0f x e a =-<,即a e >,故答案为:(),e +∞.本题考查利用导数研究函数零点问题,难度不大.解决此类问题一般都是先利用导数研究函数的单调性,最值等,再结合具体情况求解.16．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，A 在第一象限，AM l ⊥，BN l ⊥，垂足分别为M ，N ，且MAB △的面积是NAB △的面积的3倍，则直线l 的斜率为________. 答案3利用已知条件画出图形,然后过B 作BD AM ⊥于点D ,再结合抛物线的定义和三角形的面积比找到线段比例关系,从而求解. 解：如图所示:过B 作BD AM ⊥于点D ,则BN MD =,根据抛物线的定义可知:,AM AF BN BF ==, 又MAB △的面积是NAB △的面积的3倍, 则有3,2AM BN AD BN ==,所以4AB AF BF AM BN BN =+=+=,所以22tan 3BDAB AD DAB AD-∠===所以直线l 3故答案为3本题主要考查直线与抛物线的综合运用,结合了直线斜率等相关知识,难度不大.三、解答题17．已知全集U =R ，非空集合{|(2)[(31)]0}A x x x a =--+<，2{|2}B x a x a =<<+,记:,:p x A q x B ∈∈，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.答案111[,)(233-U 讨论集合A 中二次不等式的两根的大小关系进行分类求解,再根据集合间的关系对区间端点进行列式求解即可.解：解：:,:p x A q x B ∈∈Q ,p 是q 的必要条件,A B ∴⊆.(1)当312a +>,即13a >时,{|231}A x x a =<<+.由A B ⊆得22312a a a ≤⎧⎨+≤+⎩,解得1332a <≤. (2)当312a +=,即13a =时,A =∅,不符合题意,舍去. (3)当312a +<,即13a <时,{|312}A x a x =+<<. 由A B ⊆得23122a a a ≤+⎧⎨≤+⎩,解得1123a -≤<.综上,实数a 的取值范围是1113[,)(,2332--U .本题主要考查了分类讨论的思想以及集合间的基本关系,属于中等题型.18．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 20cos C c b A a ++=. （1）求A 的值；（2）若ABC V 外接圆半径为3，b c +=ABC V 的面积.答案（1）23A π=（2(1)由正弦定理,结合两角和的正弦函数公式化简已知等式,再由sin B ≠0,可求得cos A 12=-,结合范围A ∈(0,π),可求A 的值; (2)由正弦定理可得a 的值,由余弦定理可得bc 的值,进而根据三角形的面积公式即可求解.解：(1)由cos 20cos C c b A a ++=及正弦定理得cos sin 2sin 0cos sin C C B A A++=, sin cos cos sin 2cos sin 0A C A C A B ∴++=,从而()sin 2cos sin 0A C A B ++=,即sin 2cos sin 0B A B +=,又ABC V 中,sin 0B >,1cos 2A ∴=-, ()0,A π∈Q ,23A π∴=;(2)由(1)知23A π=,sin A ∴=. ABC QV 外接圆半径为3,由正弦定理得2sin 232a R A ==⨯⨯=, 由余弦定理2222cos abc bc A =+-,得()222a b c bc bc =+-+,b c +=Q 1bc =∴,ABC ∴V 的面积11sin 122S bc A ==⨯=.本题属于解三角形的综合运用,结合了三角恒等变换的相关知识,属于中档题.19．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知36S =-，642S =.(1)求n a ，n S ；(2)证明1n S +，n S ，2n S +是成等差数列.答案（1）()2n n a =-，()2[12]3nn S =---（2）证明见解析 (1)利用基本量法求解首项与公比,进而求得n a ,n S .(2)根据(1)中所得的n S 证明+122n n n S S S +=+即可.解：解：(1)由题意设等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为q ,则1q ≠,则313616(1)61(1)421a q S q a q S q ⎧-==-⎪-⎪⎨-⎪==⎪-⎩, 从而317q +=-,即38q =-,所以2q =-,12a =-,所以()2n n a =-, ()()()()2[12]2[12]123n n n S -⨯--==-----. (2)由(1)知,()()121222[12][12]33n n n n S S +++++=------()()+122[222]3n n +=----- ()()2[22242]3n n =-+⨯--⨯-()4[12]23n n S =---=, 所以1n S +,n S ,2n S +成等差数列．本题主要考查了基本量法求等比数列通项公式的方法以及数列求和等.属于中等题型.20．已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调区间.答案（1）20x y +-=（2）当0a ≤时增区间()0,+∞，当0a >时增区间(),a +∞，减区间()0,a试题分析：（1）当2a =时，()2ln f x x x =-，求得切点为()1,1A ，2()1f x x =-'，求得斜率为()11f '=-，故切线方程为1(1)y x -=--；（2）函数的定义域为()0,+∞，()1a x a f x x x-=-='，当0a ≤时，∵0x >，∴()0f x '>恒成立，函数单调递增，当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增.试题解析：（1）∵2a =，∴()2ln f x x x =-，∴(1)12ln11f =-=，即(1,1)A2()1f x x=-'，(1)121f ='-=-， 由导数的几何意义可知所求切线的斜率(1)1k f '==-，所以所求切线方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=.（2）()1a x a f x x x-=-='， 当0a ≤时，∵0x >，∴()0f x '>恒成立，∴()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '=，得x a =，∵0x >，∴()0f x '>，得x a >；()0f x '<得0x a <<；∴()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增.【考点】导数与切线、单调区间．21．已知椭圆()222210,0:x y a b a C b +=>>的离心率为2，其左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 是坐标平面内一点，且2OP =u u u r 1234PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，其中O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程； （2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的垂直平分线在x 轴上截距的最大值.答案（1）2212x y +=（2 (1)设()P m n ,,根据题意列出对应等式,解方程后即可求得a 和b 的值,得到椭圆方程;(2)设出直线l 的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理求出中点坐标公式,当直线的斜率存在时,利用直线的点斜式方程,求得AB 的垂直平分线方程,令y =0,求得x ,再利用基本不等式即可得解.解：(1)由题知22212c e a ==,222a c ∴=, 设()P m n ,,又()1,0F c -,()2,0F c22274OP m n ∴=+=u u u r , ()()222123,,4PF PF c m n c m n m c n ⋅=---⋅--=-+=u u u r u u u u r ,21c ∴=,从而22a =,21b =,故椭圆C 的方程为2212x y +=; (2)设直线l 的方程为13y kx =-,()11,A x y ,()22,B x y , 联立方程:221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,消去y 得:()2241621039k x kx +--=, 显然>0∆,又()1224321k x x k +=+,()12216921x x k =-+, ()()()2121222242233321321k y y k x x k k -∴+=+-=-=++, 则AB 的中点坐标为()()2221,321321k k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭, 当AB 的斜率k 为零时,AB 的垂直平分线为y 轴,横截距为0;当0k ≠时,AB 垂直平分线的方程为:()()22112321321k y x k k k ⎛⎫ ⎪+=-- ⎪++⎝⎭, 令0y =,()211133212k x k k k==⋅++当k 0<时,()20321k x k =<+, 当0k >时,12k k +≥那么11132x k k=⋅≤+, 当且仅当12k k =,即k =,所以当2k =时,弦AB 的垂直平分线在x 轴上的截距有最大值,. 本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的综合应用,属于中档题.在直线与圆锥曲线的综合题中,常用基本不等式,二次函数或对勾函数的性质等求最值.22．已知函数()ln 21f x x x =++，()2g x x x =+.（1）求函数()()y f x g x =-的极值；（2）若对任意0x >，都有()()0f x mg x -≤成立，求整数m 的最小值. 答案（1）极大值为1（2）2(1)设()()()x f x g x ϕ=-,然后对()x ϕ求导,再结合导数分析其单调性得出极值情况即可;(2)设()()()h x f x mg x =-,则0x >时都有()0≤h x 成立,因此分情况求出()h x 的最大值即可得解.解：(1)令()()()22ln 21ln 1x f x g x x x x x x x x ϕ=-=++--=-++()0x > 则()()()221112121x x x x x x x x xϕ-+--++'=-+==()0x > 令()0x ϕ'>,解得01x <<;令()0x ϕ'<,解得1x >,所以函数()x ϕ在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减,故()x ϕ的极大值为()11ϕ=,∴当1x =时,()()y f x g x =-的极大值为1,无极小值;(2)设()()()()2ln 21h x f x mg x x x m x x =-=++-+, 则()()()()2221211122mx m x x mx h x mx m x x x-+-+-+-'=-+-==, ①当0m ≤时,0x Q >,10mx -<,210x +>,()0h x '∴>,故()h x 在()0,∞+上单调递增,而()1320h m =->,不满足题意,舍去;②当0m >时,令()0h x '=,解得1x =所以()max 2112111ln 1ln h x h m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫==++-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 令()()1ln 0t m m m m=->,显然()t m 在()0,∞+上单调递减, ()110t =>Q ,()12ln 202t =-<. 故当2m ≥时,()0t m <满足题意,故整数m 的最小值为2.本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,极值和最值,属于中档题.在解决含参问题时,常有两种解题思路,一是分离参数,二是分类讨论.。
19-20学年河南省洛阳市高二上学期期末数学试卷 (含答案解析)
19-20学年河南省洛阳市高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 不等式的解集是(13,12)，则a +b 的值是( ) A. −2 B. 2 C. 12 D. 222. S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3+a 11=12，则S 13=( )A. 60B. 78C. 156D. 不确定3. 设a 、b ∈R ，若a −|b|>0，则下列不等式中正确的是( )A. b −a >0B. a 3+b 3<0C. a 2−b 2<0D. b +a >04. 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD =( ) m ．A. 100√3B. 100√6C. 100D. 100√25. 已知非零向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 则“a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ”是“b ⃗ =c ⃗ ”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，若线段PF 1的中点在y 轴上，∠PF 1F 2=30°，则椭圆的离心率为( )A. √33B. √36C. 13D. 16 7. 已知x ，y 满足约束条件{y ≤1x +y +4≥0x −y ≤0，则z =x +2y 的最小值是( )A. −8B. −6C. −3D. 3 8. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线被圆x 2+y 2−6x +5=0截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为( )A. √62B. 32C. √6D. 29. 在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，若AB =√2BB 1，则AB 1与BC 1所成角的大小为( )A. π6B. π3C. 5π12D. π210. F 1，F 2是椭圆x 29+y 25=1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2=60°，则△AF 1F 2的面积为( ) A. 7√32 B. 5√32 C. 72D. 7√52 11. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=4且S n =12a n+1+2，则S 10=( )A. 2×(310−1)B. 2×(310+1)C. 2×(39+1)D. 2×(39−1)12. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，已知点A(1,0，3)，C(3,2，−1)，则这个正方体的棱长为( )A. √3B. 2C. 2√3D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知命题“∃x ∈R ，使2x 2+(a −1)x +12≤0”是假命题，则实数a 的范围是______．14. △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2=b 2+c 2+bc,，则角A =______．15. 太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组{x 2+y 2≤4x ≤0x 2+(y +1)2≥1或x 2+(y −1)2≤1来表示，设(x,y)是阴影中任意一点，则z =x +y 的最大值为______．16. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线AB 的斜率为______；三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设集合A ={x|x ⩽−2或x ⩾3}，集合B ={x|(x −2a)(x +a)>0}(其中a <0).(1)求集合B ；(2)设p:x ∈A ，q:x ∈B ，且q 是p 的充分不必要条件，求a 的取值范围．18.设{a n}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S n，且a5，a3，a4成等差数列．(Ⅰ)求数列{a n}的公比；(Ⅱ)证明：对任意k∈N∗，S k+2，S k，S k+1成等差数列．19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC+cosAcosB=2cosAsinB．(1)求tan B；(2)若b=2√5，AB边上的中线CD=√17，求△ABC的面积．20.已知直线l经过抛物线x2=4y的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，(1)若|AF|=4，求点A的坐标；(2)若直线l的倾斜角为45°，求线段AB的长．21.如图，四棱锥P−ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AD=2BC=2，∠BAD=∠ABC=90∘．(Ⅰ)证明：PC⊥BC；(Ⅱ)若直线PC与平面PAD所成角为30∘，求二面角B−PC−D的余弦值．22.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为√22，过点B(0,−2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点为F2．(1)求椭圆的方程；(文科)(2)求弦长CD．(理科)(2)求△CDF2的面积．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，是基础题．根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求得a 、b 的值，再求a +b ． 解：不等式ax 2+bx +2<0的解集是(13,12)，∴方程ax 2+bx +2=0的实数根为13和12，由根与系数的关系知{2a =13×12−b a =13+12, 解得a =12，b =−10，∴a +b =2．故选B ．2.答案：B解析：解：由等差数列{a n }的性质可得：a 3+a 11=12=a 1+a 13，则S 13=13(a 1+a 13)2=13×122=78．故选：B ．利用等差数列{a n }的性质可得：a 3+a 11=12=a 1+a 13，再利用等差数列的前n 项和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式的性质及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.答案：D解析：本题考查不等关系的应用及判断，不等式的性质，属于基础题．由题意结合不等式性质可得a >0及−a <b <a ，从而判断b +a >0．解：当a =1，b =0时，A ，B ，C 都不正确；∵a−|b|>0，∴|b|<a，∴a>0，∴−a<b<a，∴b+a>0，D正确，故选D．4.答案：B解析：解：设此山高ℎ(m)，则BC=√3ℎ，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB= 600．根据正弦定理得√3ℎsin30°=600sin45∘，解得ℎ=100√6(m)故选：B．设此山高ℎ(m)，在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．5.答案：B解析：解：非零向量a⃗，b⃗ ，c⃗则“a⃗⋅b⃗ =a⃗⋅c⃗”不一定推出“b⃗ =c⃗”，也可能是“b⃗ =−c⃗”，反之，一定成立，所以非零向量a⃗，b⃗ ，c⃗则“a⃗⋅b⃗ =a⃗⋅c⃗”是“b⃗ =c⃗”的必要而不充分条件．故选：B．若p⇒q，则p是q的充分条件；若p⇐q，则p是q的必要条件．由此可判断充要条件．本题考查了向量数量积、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：A解析：本题考查椭圆的离心率的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质的灵活运用．由已知条件推导出PF2⊥x轴，|PF2|=12|PF1|，|PF2|=23a，从而得到ac=√3，由此能求出椭圆的离心率．解：∵线段PF1的中点在y轴上设P的横坐标为x，F1(−c,0)，∴−c+x=0，∴x=c；∴P与F2的横坐标相等，∴PF2⊥x轴，∵∠PF1F2=30°，∴|PF2|=12|PF1|，∵|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF2|=23a，tan∠PF1F2=|PF2||F1F2|=2a32c=√33，∴ac=√3，∴e=ca =√33．故选A．7.答案：B解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y得y=−12x+12z，利用数形结合即可的得到结论．解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A(1,1)，B(−2,−2)，C(−5,1)，z=x+2y，则y=−12x+12z，当直线y=−12x+12z过点B(−2,−2)时z取到最小值，所以z=x+2y的最小值是−2+2×(−2)=−6，故选：B．解析：解：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±ba x ， 圆x 2+y 2−6x +5=0即为(x −3)2+y 2=4，圆心为(3,0)，半径为2，圆心到渐近线的距离为d =|3b|√a 2+b 2，由弦长公式可得2=2√4−9b 2a 2+b 2， 化简可得a 2=2b 2，即有c 2=a 2+b 2=32a 2，则e =c a =√62． 故选：A ．求出圆的标准方程，求得圆的圆心和半径，求得双曲线的方程的渐近线方程，运用点到直线的距离公式和弦长公式，解方程可得a 2=2b 2，由a ，b ，c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值． 本题考查双曲线离心率的计算，主要是渐近线方程的运用，考查直线和圆相交的弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题．9.答案：D解析：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中利用向量法将空间直线夹角转化为向量夹角是解答的关键．利用向量加法的三角形法则，可将AB 1与C 1B 的方向向量分别用三棱柱的棱对应的向量表示，进而设BB 1=1，AB =√2，分析出两向量数量积为0，进而得到两直线互相垂直．解：∵AB =√2BB 1，设BB 1=1，AB =√2，∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ ， =0+√2×√2×cos 2π3+1+0=0．∴直线AB 1与BC 1所成角为π2．10.答案：B解析：求出F1F2的长度，由椭圆的定义可得AF2=6−AF1，由余弦定理求得AF1，从而求得三角形AF1F2的面积．本题考查椭圆的定义、标准方程，简单性质，以及余弦定理的应用，求出AF1的值，是解题的关键．由题意可得a=3，b=√5，c=2，故F 1F2=2×2=4，AF1+AF2=6，AF2=6−AF1，∵AF22=AF12+F1F22−2AF1⋅F1F2cos60°=AF12−4AF1+16，∴(6−AF1)2=AF12−4AF1+16，∴AF1=52，故三角形AF1F2的面积S=12×52×4×√32=5√32．故选B．11.答案：C解析：解：数列{a n}的前n项和为S n，若a1=4且S n=12a n+1+2，可得a1=S1=12a2+2，即a2=4，n≥2时，a n=S n−S n−1，S n=12a n+1+2，S n−1=12a n+2，两式相减可得a n=12a n+1−12a n，即为a n+1=3a n，可得a n=a2q n−2=4⋅3n−2，n≥2，则S10=12a11+2=2×39+2=2×(39+1)，故选：C．由数列的递推式：n=1时，a1=S1，n≥2时，a n=S n−S n−1，结合等比数列的通项公式，可得a n，即可得到所求和．本题考查数列的递推式的运用：求通项，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12.答案：C解析：本题考查空间直角坐标系及空间两点间的距离公式，属于基础题．由AC距离即可求棱长．解：易知AC=√(1−3)2+(0−2)2+(3+1)2=2√6，设正方体的棱长为a，√a2+a2=2√6，得a=2√3，故选C．13.答案：(−1,3)解析：由命题的否定与原命题真假相反，可得到∀x∈R，使2x2+(a−1)x+12>0成立，然后根据一元二次不等式恒成立问题的解决办法即可解出结果，属于基础题．解：由已知得：∀x∈R，使2x2+(a−1)x+12>0，∴△=(a−1)2−4×2×12<0，解得：−1<a<3．故答案为(−1,3)．14.答案：2π3解析：本题考查余弦定理的应用，属于基础题．直接利用余弦定理求出A的余弦值，推出A的值即可．解：在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若a2=b2+c2+bc,由余弦定理可知cosA=b2+c2−a22bc =−12，因为A是三角形内角，所以A=2π3．故答案为2π3．15.答案：1+√2解析：解：依题意，z=x+y，所以y=−x+z，z表示直线y=−x+z在y轴上的截距，所以当直线y=−x+z与圆x2+(y−1)2=1切于如图的点A时，z最大(z>1)，因为直线y=−x+z与圆相切，所以点(0,1)到直线x+y−z=0的距离为1，即1=|1−z|√2，因为z>1，所以z−1√2=1，解得z=1+√2．故答案为：1+√2．平移直线z=x+y，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值．本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力．16.答案：±√3解析：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．设出直线方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及向量等式列式求解．解：抛物线y2=2px的焦点为F(p2,0)，由题意可知直线AB的斜率存在，设直线方程为y=k(x−p2)．联立{y2=2pxy=k(x−p2)，得ky2−2py−kp2=0．设A(x1,y1)，B(x2,y2).则y1+y2=2pk，y1y2=−p2．由AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得y 1y 2=−3． ∴(y 1+y 2)2y 1y 2=y 1y 2+y 2y 1+2 =−3−13+2=4p 2k 2−p 2=−4k 2， 解得：k =±√3．故答案为：±√3．17.答案：解：(1)关于x 的不等式(x −2a )(x +a )>0的解集为B(其中a <0).解得x <2a 或x >−a ．∴集合，a <0．(2)设p:x ∈A ，q:x ∈B ，且q 是p 的充分不必要条件，∴{2a ⩽−23⩽−a a <0，等号不能同时成立．解得a ⩽−3．∴a 的取值范围是．解析：本题考查集合关系中的参数取值问题，不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(1)关于x 的不等式(x −2a)(x +a)>0的解集为B(其中a <0)，利用一元二次不等式的解法即可得出．(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，根据B ⫋A 可以得出结论．18.答案：(Ⅰ)解：设数列{a n }的公比为q(q ≠0,q ≠1)，由a 5，a 3，a 4成等差数列，得2a 3=a 5+a 4，即2a 1q 2=a 1q 4+a 1q 3，由a 1≠0，q ≠0得q 2+q −2=0，解得q =−2或1(舍去)，所以q =−2．(Ⅱ)证明：对任意k ∈N ∗，S k+2+S k+1−2S k =(S k+2−S k )+(S k+1−S k )=a k+1+a k+2+a k+1=2a k+1+a k+1·(−2)=0，所以，对任意k ∈N ∗，S k+2，S k ，S k+1成等差数列．解析：本题主要考查了等比数列和等差数列的性质，属于基础题．(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q(q ≠0,q ≠1)，由a 5，a 3，a 4成等差数列，进而求得答案；(Ⅱ)证明：对任意k ∈N ∗，S k+2+S k+1−2S k =(S k+2−S k )+(S k+1−S k )=a k+1+a k+2+a k+1=2a k+1+a k+1·(−2)=0，进而求得答案．19.答案：解：(1)由cosC +cosAcosB =2cosAsinB ，得cos[π−(A +B)]+cosAcosB =2cosAsinB ，即−cosAcosB +sinAsinB +cosAcosB =2cosAsinB ，∴sinAsinB =2cosAsinB ，∵sinA ≠0，∴sinA =2cosA ，则tanA =2．(2)由(1)得，cosA =√55，sinA =2√55， 在△ACD 中，CD 2=b 2+(c 2)2−2⋅b ⋅c 2⋅cosA ，代入条件得c 2−8c +12=0，解得c =2或6，当c =2时，S △ABC =12bcsinA =4；当c =6时，S △ABC =12bcsinA =12．解析：本题考查三角形的解法，考查余弦定理的应用，是基础题．(1)将C =π−(A +B)代入化简求值即可；(2)在△ACD 中，由余弦定理解得c =2或6，利用面积公式求解即可．20.答案：解：由x 2=4y ，得p =2，其准线方程为y =−1，焦点F(0,1)．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).(1)由抛物线的定义可知，|AF|=y 1+p 2，从而y 1=3．代入x 2=4y ，解得．∴点A 的坐标为(2√3,3)或(−2√3,3)．(2)直线l 的方程为y −1=x ，与抛物线方程联立，得{y =x +1x 2=4y， 消x ，整理得y 2−6y +1=0，其两根为y 1，y 2，且y 1+y 2=4．由抛物线的定义可知，|AB|=y 1+y 2=4+p =6+2=8，所以，线段AB 的长是8．解析：(1)由x2=4y，得p=2，其准线方程为y=−1，焦点F(0,1).设A(x1,y1)，B(x2,y2).由抛物线的定义可知，|AF|=4，从而y1=3.由此能得到点A的坐标．(2)直线l的方程为y−1=x.与抛物线方程联立可得y2−6y+1=0，其两根为y1，y2，且y1+y2=4..由抛物线的定义可知线段AB的长．本题考查直线和抛物线的位置关系，解题时要认真审题，合理地进行等价转化，注意抛物线性质的合理运用．21.答案：解：(Ⅰ)取AD 的中点为O ，连接PO,CO，∵ΔPAD为等边三角形，∴PO⊥AD，底面ABCD 中，可得四边形ABCO 为矩形，∴CO⊥AD，∵PO∩CO=O，∴AD⊥平面POC ，∵PC⊂平面POC ，∴AD⊥PC，又AD//BC，所以PC⊥BC；(Ⅱ)由平面PAD⊥平面ABCD ，PO⊥AD知，∴PO⊥平面ABCD ，OP,OD,OC两两垂直，直线PC与平面PAD所成角为30∘，即∠CPO=30∘，由AD=2,知PO=√3,得CO=1，分别以OC→,OD→,OP→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O−xyz，则P(0,0,√3),D(0,1,0),C(1,0,0),B(1,−1,0)，BC →=(0,1,0)，PC →=(1,0,−√3)，CD →=(−1,1,0) ，设平面PBC 的法向量为n →=(x,y,z)，∴{y =0x −√3z =0，则n →=(√3,0,1)， 设平面PDC 的法向量为m →=(x,y,z)，∴{−x +y =0x −√3z =0，则n →=(√3,√3,1)， ∴cos⟨m →,n →⟩=m →·n →|m →||n →|=2√7=2√77， ∴由图可知二面角B −PC −D 的余弦值−2√77.解析：本题直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．(Ⅰ)取AD 的中点为O ，连接PO ，CO ，说明PO ⊥AD.证明CO ⊥AD ，然后证明AD ⊥平面POC ，推出PC ⊥BC ．(Ⅱ)证明PO ⊥平面ABCD ，分别以OC →，OD →，OP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O −xyz ，求出平面PBC 的法向量，平面PDC 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B −PC −D 的余弦值．22.答案：解：(1)由题意可得：b =1，c a =√22，a 2=b 2+c 2，联立解得b =1，a =√2，c =1． 可得椭圆方程为x 22+y 2=1．(2)∵F 1(−1,0)，∴直线BF 1的方程为y =−2x −2，由{y =−2x −2x22+y2=1得9x 2+16x +6=0． ∵△=162−4×9×6=40>0，∴直线与椭圆有两个公共点，(文科)设为C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，x 1+x 2=−169，x 1⋅x 2=23．∴|CD|=√1+(−2)2|x 1−x 2|=√5⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√5⋅√25681−4×23=109√2，(理科)设为C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，x 1+x 2=−169，x 1⋅x 2=23．∴|CD|=√1+(−2)2|x 1−x 2|=√5⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√5⋅√25681−4×23=109√2，又点F 2到直线BF 1的距离d =4√55， 故S △CDF 2=12|CD|⋅d =49√10．解析：(1)由题意可得：b =1，c a =√22，a 2=b 2+c 2，联立解出即可得出． (2)F 1(−1,0)，可得直线BF 1的方程为y =−2x −2，与椭圆方程联立可得：9x 2+16x +6=0.设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，利用根与系数的关系可得：|CD|=√1+(−2)2|x 1−x 2|.=√5⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2.求出点F 2到直线BF 1的距离d ，可得S △CDF 2=12|CD|⋅d ．本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长与面积问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
河南省洛阳市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试卷Word版含答案
河南省洛阳市2019-2020学年上学期期末考试高二数学（文）试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至 4 页。
共 150分，考试时间120分钟。
第I 卷(选择题，共60分）注意事项：1，答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写答题卡上。
2.考试结束，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题＞0sin ),,0(:x x p π∈∀的否定为A. 0sin ),,0(≤∈∀x x πB. 0＜sin ),,0(x x π∈∀C. 0sin ),,0(00≤∈∃x x πD. 0＜sin ),,0(00x x π∈∃2.已知拋物线准线方程2-=x ，则其标准方程为A. y x 82=B. y x 82-=C. x y 82=D. x y 82=3.已知数列{a n }为等比数列，16,252==a a ,则公比为A. 4B.3C.2D. 14.在 △ABC 中所对的边分别为 a ，b ，c ，若 C A B C A sin sin 3sin sin sin 222=-+，则 B =A. 6πB. 3π C. 32π D. 65π 5. 已知数列{a n }的前项和n n S n 32-=, 则它的第4项等于A. 8B.4C.2D. 16.巳知双曲线C: 12222=-by a x (a>0.b>0)的一条渐近线方程为x y 22=，则该曲线的离心率为A. 21B. 23 C. 22 D. 26 7.曲线x x x y cos sin sin +=在4π=x 处的切线的斜率为 A. 21- B . 21 C. 22- D. 22 8.设数列{a n }为等差数列，则“32＜a a "是数列{a n }为递增数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分条件D.既不充分也不必要条件9.在△ABC 中，10103cos ,21tan ==B A ，若△ABC 的最长边长为1，则其最短边长为 A. 554 B. 553 C. 552 D. 5510.已知2)-y ＞lg(3x )4lg(+++y x ,若 λ＜y x -恒成立，则λ的取值范围是A. (-∞,10)B. (-∞,10]C.[lO ，-∞）D. (10，-∞） 11.已知拋物线C: x y 82=与点（-2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于 A ，B 两点，若090=∠AMB ，则k 的值为 A. 21 B. 22 C. 2 D.2 12.已知函数)(x f 的定义域为R ，导函数为)('x f ，且满足对)('＞)(x f x f 对R x ∈∀恒成立，e 为然对数的底数，则A. )2017(＜)2018(20182017f e f eB. )2017()2018(20182017f e f e= C. )2017(＞)2018(20182017e f eD. )2017()2018(20182017f e f e 与的大小不能确定 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4个小题,每小题5分，共20分。