第2章 4.1~4.2 平面向量线性运算的坐标表示

§4 平面向量的坐标 4.1 平面向量的坐标表示 4.2 平面向量线性运算的坐标表示学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.知识点一 平面向量的正交分解思考 如果向量a 与b 的夹角是90°，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b .互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？答案 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底. 梳理 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解. 知识点二 平面向量的坐标表示思考1 如图，向量i ，j 是两个互相垂直的单位向量，向量a 与i 的夹角是30°，且|a |＝4，以向量i ，j 为基底，如何表示向量a ?答案 a ＝23i ＋2j .思考2 在平面直角坐标系内，给定点A 的坐标为(1，1)，则A 点位置确定了吗？给定向量a 的坐标为a ＝(1，1)，则向量a 的位置确定了吗？答案 对于A 点，若给定坐标为A (1，1)，则A 点位置确定.对于向量a ，给定a 的坐标为a ＝(1，1)，此时给出了a 的方向和大小，但因为向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a 的位置还与其起点有关，所以不确定.思考3 设向量BC →＝(1，1)，O 为坐标原点，若将向量BC →平移到OA →，则OA →的坐标是多少？A 点坐标是多少？答案 向量OA →的坐标为OA →＝(1，1)，A 点坐标为(1，1). 梳理 (1)平面向量的坐标①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底.对于平面内的任意向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .我们把实数对(x ，y )叫作向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ).②在平面直角坐标平面中，i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，0＝(0，0). (2)点的坐标与向量坐标的区别和联系知识点三 平面向量的坐标运算思考 设i ，j 是分别与x 轴，y 轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa (λ∈R )如何分别用基底i ，j 表示？答案 a ＋b ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ， a －b ＝(x 1－x 2)i ＋(y 1－y 2)j ， λa ＝λx 1i ＋λy 1j .梳理 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y2).1.相等向量的坐标相等.( √ )2.在平面直角坐标系内，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则向量AB →＝(x 1－x 2，y 1－y 2).( × ) 提示 AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1).3.与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量分别为：i ＝(1，0)，j ＝(0，1).( √ )类型一 平面向量的坐标表示例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形.(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标.考点 平面向量的坐标表示 题点 求点或向量的坐标解 (1)如图，作AM ⊥x 轴于点M ，则OM ＝OA ·cos 45°＝4×22＝22， AM ＝OA ·sin 45°＝4×22＝2 2.∴A (22，22)，故a ＝(22，22). ∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°. 又∵OC ＝AB ＝3，∴C ⎝⎛⎭⎫－32，332，∴AB →＝OC →＝⎝⎛⎭⎫－32，332，即b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332.(2)BA →＝－AB →＝⎝⎛⎭⎫32，－332.(3)OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋⎝⎛⎭⎫－32，332＝⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332.反思与感悟 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标的定义求坐标.一般利用不等式思想求解，即把问题条件转化为关于参数的不等式(组)，再解不等式(组)就可以求得参数的取值范围.跟踪训练1 已知边长为2的正三角形ABC ，顶点A 在坐标原点，AB 边在x 轴上，点C 在第一象限，D 为AC 的中点，分别求向量AB →，AC →，BC →，BD →的坐标. 考点 平面向量的坐标表示 题点 求向量的坐标解 如图，正三角形ABC 的边长为2，则顶点A (0，0)，B (2，0)，C (2cos 60°，2sin 60°)，∴C (1，3)，D ⎝⎛⎭⎫12，32.∴AB →＝(2，0)，AC →＝(1，3)， BC →＝(1－2，3－0)＝(－1，3)， BD →＝⎝⎛⎭⎫12－2，32－0＝⎝⎛⎭⎫－32，32.类型二 平面向量的坐标运算例2 已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4).设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值. 考点 平面向量的坐标运算题点 平面向量的坐标运算的综合问题解 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8).(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42). (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝a ＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.反思与感悟 向量坐标运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行. 跟踪训练2 已知a ＝(－1，2)，b ＝(2，1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算解 (1)2a ＋3b ＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7). (2)a －3b ＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1). (3)12a －13b ＝12(－1，2)－13(2，1)＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23. 类型三 平面向量坐标运算的应用例3 已知点A (2，3)，B (5，4)，C (7，10).若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，试求当λ为何值时： (1)点P 在第一、三象限的角平分线上； (2)点P 在第三象限内.考点 平面向量坐标运算的应用题点 利用平面向量坐标运算及向量相等求参数 解 设点P 的坐标为(x ，y )，则AP →＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)，AB →＋λAC →＝(5，4)－(2，3)＋λ[(7，10)－(2，3)]＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ). ∵AP →＝AB →＋λAC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ.(1)若点P 在第一、三象限的角平分线上， 则5＋5λ＝4＋7λ， ∴λ＝12.(2)若点P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<0，4＋7λ<0，∴λ<－1.反思与感悟 (1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用.(2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值.跟踪训练3 已知平面上三点的坐标分别为A (－2，1)，B (－1，3)，C (3，4)，求点D 的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点. 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 解 当平行四边形为ABCD 时，设D (x ，y )， 由AB →＝(1，2)，DC →＝(3－x ，4－y )， 且AB →＝DC →，得D (2，2).当平行四边形为ACDB 时，设D (x ，y )， 由AB →＝(1，2)，CD →＝(x －3，y －4)，且AB →＝CD →， 得D (4，6).当平行四边形为ACBD 时，设D (x ，y )，由AC →＝(5，3)，DB →＝(－1－x ，3－y )，且AC →＝DB →，得D (－6，0)，故D 点坐标为(2，2)或(4，6)或(－6，0).1.设平面向量a ＝(3，5)，b ＝(－2，1)，则a －2b 等于( ) A.(7，3) B.(7，7) C.(1，7) D.(1，3) 考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 答案 A2.已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－4，12B.⎝⎛⎭⎫4，－12C.(－8，1)D.(8，1)考点 平面向量的坐标表示 题点 求向量的坐标 答案 A解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(－8，1)， ∴12AB →＝⎝⎛⎭⎫－4，12. 3.已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫2，72B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C.(3，2) D.(1，3) 考点 平面向量的坐标表示 题点 求点的坐标 答案 A解析 设D 点坐标为(x ，y )，则BC →＝(4，3)，AD →＝(x ，y －2)，由BC →＝2AD →，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2(y －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72，∴D ⎝⎛⎭⎫2，72. 4.已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →等于( )A.(－7，－4)B.(7，4)C.(－1，4)D.(1，4) 考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 答案 A解析 AB →＝(3，1)，AC →＝(－4，－3)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4). 5.如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，则x ＋y ＝ .考点 平面向量坐标运算的应用题点 利用平面向量坐标运算及向量相等求参数 答案197解析 建立如图所示的平面直角坐标系，设小方格的边长为1，则可得a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)，c ＝(3，4).∵c ＝x a ＋y b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝x ＋2y ，4＝2x －3y ，解得⎩⎨⎧x ＝177，y ＝27.因此x ＋y ＝197.1.向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据.向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化.2.要区分向量终点的坐标与向量的坐标.由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若A (x A ，y A )，B (x B ，y B )则AB →＝(x B －x A ，y B －y A ).3.向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.一、选择题1.已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(1，0)，那么向量3b －a 的坐标是( ) A.(－4，2) B.(－4，－2) C.(4，2)D.(4，－2)考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 答案 D解析 3b －a ＝3(1，0)－(－1，2)＝(3，0)－(－1，2)＝(3＋1，0－2)＝(4，－2)，故选D. 2.已知a －12b ＝(1，2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( )A.(－2，－2)B.(2，2)C.(－2，2)D.(2，－2) 考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 答案 D3.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，3)，c ＝(3，4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( ) A.－2，1 B.1，－2 C.2，－1 D.－1，2 考点 平面向量坐标运算的应用题点 利用平面向量坐标运算及向量相等求参数 答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1，λ2＝2.4.在▱ABCD 中，已知AD →＝(3，7)，AB →＝(－2，3)，对角线AC ，BD 相交于点O ，则CO →的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，5 B.⎝⎛⎭⎫－12，－5C.⎝⎛⎭⎫12，－5 D.⎝⎛⎭⎫12，5考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 答案 B解析 CO →＝－12AC →＝－12(AB →＋AD →)＝－12×(－2，3)－12×(3，7)＝⎝⎛⎭⎫－12，－5，故选B. 5.如果将OA →＝⎝⎛⎭⎫32，12绕原点O 逆时针方向旋转120°得到OB →，则OB →的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫32，－12C.(－1，3)D.⎝⎛⎭⎫－32，12 考点 平面向量的坐标表示 题点 求向量的坐标 答案 D解析 因为OA →＝⎝⎛⎭⎫32，12所在直线的倾斜角为30°，绕原点O 逆时针方向旋转120°得到OB →所在直线的倾斜角为150°，所以A ，B 两点关于y 轴对称，由此可知B 点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，12，故OB →的坐标是⎝⎛⎭⎫－32，12，故选D.6.若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标.现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a 在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1，2)下的坐标为( ) A.(2，0) B.(0，－2) C.(－2，0)D.(0，2)考点 平面向量坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 答案 D解析 ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2，2)， ∴a ＝－2p ＋2q ＝－2(1，－1)＋2(2，1)＝(2，4). 令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0，2).7.设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2，4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a ，4b －2c ，2(a －c )，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A.(2，6)B.(－2，6)C.(2，－6)D.(－2，－6)考点 平面向量的坐标运算题点 平面向量的坐标运算答案 D解析 由题意知4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，∴d ＝－6a －4b ＋4c ＝－6(1，－3)－4(－2，4)＋4(－1，－2)＝(－6＋8－4，18－16－8)＝(－2，－6).二、填空题8.已知A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →，则x ＋y ＝ .考点 平面向量坐标运算的应用题点 利用平面向量坐标运算及向量相等求参数答案 112解析 ∵AC →＝(－2，0)－(－1，－2)＝(－1，2)，BD →＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)，又∵2BD →＝AC →，即(2x －4，2y －6)＝(－1，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝－1，2y －6＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝4， ∴x ＋y ＝112. 9.已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为 .考点 平面向量的坐标运算题点 求点的坐标答案 (3，3)解析 方法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ).又AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)，所以点P 的坐标为(3，3). 方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y . 又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3，3).10.已知点A (3，－4)与B (－1，2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，则点P 的坐标为 .考点 平面向量的坐标运算题点 平面向量的坐标运算答案 ⎝⎛⎭⎫13，0或(－5，8)解析 设点P 坐标为(x ，y )，|AP →|＝2|PB →|.当点P 在线段AB 上时，AP →＝2PB →，即(x －3，y ＋4)＝2(－1－x ，2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝0. ∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫13，0.当点P 在线段AB 的延长线上时，AP →＝－2PB →.∴(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x ，2－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝8.∴点P 的坐标为(－5，8).综上所述，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫13，0或(－5，8).11.已知A (2，3)，B (1，4)，且12AB →＝(sin α，cos β)，α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β＝ . 考点 平面向量的坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求参数答案 π6或－π2解析 因为12AB →＝12(－1，1)＝⎝⎛⎭⎫－12，12＝(sin α，cos β)， 所以sin α＝－12且cos β＝12， 因为α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝－π6，β＝π3或－π3， 所以α＋β＝π6或－π2. 三、解答题12.已知点A (－1，2)，B (2，8)，且AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 和CD →的坐标. 考点 平面向量的坐标运算题点 平面向量的坐标运算解 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由题意可得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3，6)，DA →＝(－1－x 2，2－y 2)，BA →＝(－3，－6).∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →， ∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3，6)＝(1，2)，(－1－x 2，2－y 2)＝－13(－3，－6)＝(1，2)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧ －1－x 2＝1，2－y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.∴C ，D 的坐标分别为(0，4)和(－2，0)，∴CD →＝(－2，－4).13.已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)，且OP →＝OA →＋tAB →.(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？(2)四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求t 值；若不能，请说明理由.考点 平面向量的坐标运算的应用题点 利用平面向量的坐标运算求参数解 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1，2)＋t (3，3)＝(1＋3t ，2＋3t )，若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23. 若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，∴t ＝－13， 若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，∴－23<t <－13. (2)OA →＝(1，2)，PB →＝OB →－OP →＝(3－3t ，3－3t ).若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解. 故四边形OABP 不能成为平行四边形.四、探究与拓展14.已知M (－2，7)，N (10，－2)，点P 是线段MN 上的点，且PN →＝－2PM →，则点P 的坐标为( )A.(－14，16)B.(22，－11)C.(6，1)D.(2，4) 考点 平面向量的坐标运算题点 求点的坐标答案 D解析 ∵PN →＝－2PM →，∴P ，M ，N 三点共线，且MP →＝13MN →. 又MN →＝(10，－2)－(－2，7)＝(12，－9)，∴OP →＝OM →＋MP →＝OM →＋13MN →＝(－2，7)＋13(12，－9)＝(－2，7)＋(4，－3)＝(2，4).15.如图，已知在△AOB 中，A (0，5)，O (0，0)，B (4，3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标.考点 平面向量的坐标运算题点 求点的坐标解 ∵OC →＝14OA →＝14(0，5)＝⎝⎛⎭⎫0，54，∴C ⎝⎛⎭⎫0，54. ∵OD →＝12OB →＝12(4，3)＝⎝⎛⎭⎫2，32，∴D ⎝⎛⎭⎫2，32. 设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5).∵AD →＝⎝⎛⎭⎫2－0，32－5＝⎝⎛⎭⎫2，－72，A ，M ，D 三点共线， ∴设AM →＝λAD →(λ∈R )，即(x ，y －5)＝λ⎝⎛⎭⎫2，－72， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2λ，y －5＝－72λ.① ∵CM →＝⎝⎛⎭⎫x ，y －54，CB →＝⎝⎛⎭⎫4，74，C ，M ，B 三点共线， ∴设CM →＝μCB →(μ∈R )，即⎝⎛⎭⎫x ，y －54＝μ⎝⎛⎭⎫4，74， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4μ，y －54＝74μ.②联立①②，解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫127，2.。