平面向量的坐标运算2
4.2 平面向量的坐标运算
(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),
即(-1,2)=(-1-x,-2-y),
1 x 1, x 0, y 4. 2 y 2.
∴D点的坐标为（0，-4）（如图中的D1）.［4分］ （2）若是ADBC，则由AD=CB得 （x，y）-（1，0）=（0，2）-（-1，-2），
中点P的坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 ). 2 2 △ABC中,若A（x 1,y 1）,B（x2 ,y2）,C（x 3,y 3）,则 △ABC的重心G的坐标为 (
x1 x2 x3 y1 y2 y3 , ). 3 3
定时检测
一、填空题
1.（2009·天津汉沽一中模拟）已知平面向量a=
【例4】(14分)已知点A（1，0）、B（0，2）、
C （-1，-2），求以A、B、C为顶点的平行四
边形的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ四个顶点D的坐标.
分析 “以A、B、C为顶点的平行四边形”可以 有三种情况：（1）ABCD；（2）ADBC；
（3）ABDC.
解题示范
解 设D的坐标为（x,y）. (1)若是ABCD，则由AB=DC得
2.借助于向量可以方便地解决定比分点问题.
在处理分点问题,比如碰到条件“若P是线段AB 的分点，且|PA|=2|PB|”时，P可能是AB的内
分点，也可能是AB的外分点，即可能的结论有：
AP=2PB或AP=-2PB. 3.中点坐标公式：P 1 （x 1 ,y 1 ）,P 2 (x 2 ,y 2 ),则P 1 P 2 的
2 1 （1，1），b=(1,-1),则向量 a- b= (-1,2) . 3 2 解析 1 a 3 b 1 (1,1) 3 (1,1) 2 2 2 2 1 1 3 3 ( , ) ( , ) 2 2 2 2 1 3 1 3 ( , ) (1,2). 2 2 2 2
必修四平面向量的坐标运算(附答案)
平面向量的坐标运算[学习目标] 1。
了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．知识点一 平面向量的坐标表示（1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． （2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底,对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i ＋y j ，则有序数对(x ,y ）叫做向量a 的坐标，a ＝(x ，y ）叫做向量的坐标表示．(3）向量坐标的求法：在平面直角坐标系中,若A (x ,y ）,则错误!＝（x ，y )，若A (x 1，y 1)，B (x 2,y 2），则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1）．思考 根据下图写出向量a ，b ，c ，d 的坐标，其中每个小正方形的边长是1。
答案 a ＝（2，3）,b ＝（－2,3）,c ＝（－3,－2），d ＝（3,－3）．知识点二 平面向量的坐标运算（1)若a ＝(x 1，y 1），b ＝(x 2，y 2）,则a ＋b ＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2），即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．（2)若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a－b＝(x1－x2,y1－y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3）若a＝(x,y),λ∈R，则λa＝(λx,λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．（4)已知向量错误!的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2），则错误!＝(x2－x1，y2－y1)．思考已知a＝错误!，b＝错误!,c＝错误!,如下图所示，写出a，b，c的坐标,并在直角坐标系内作出向量a＋b，a－b以及a－3c，然后写出它们的坐标．答案易知:a＝（4，1)，b＝(－5，3），c＝（1，1），错误!＝a＋b＝（－1,4),错误!＝a－b＝（9,－2），错误!＝a－3c＝（1，－2）．题型一平面向量的坐标表示例1已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点,AB边在x轴上，C在第一象限，D 为AC的中点,分别求向量错误!,错误!，错误!，错误!的坐标．解 如图,正三角形ABC 的边长为2，则顶点A （0，0），B （2,0),C (2cos60°,2sin 60°)，∴C （1，错误!），D (错误!，错误!),∴错误!＝(2，0)，错误!＝（1，错误!），错误!＝(1－2，错误!－0)＝（－1，错误!)，错误!＝（错误!－2，错误!－0）＝（－错误!，错误!）．跟踪训练1 在例1的基础上，若E 为AB 的中点，G 为三角形的重心时,如何求向量错误!,错误!，错误!，错误!的坐标？解 由于B （2,0)，E (1,0），C (1，错误!）,D （错误!，错误!)，G （1，错误!),所以CE →＝（1－1,0－错误!)＝（0，－错误!),错误!＝（1，错误!)，错误!＝(1－2，错误!－0)＝（－1，错误!)，错误!＝（错误!－1，错误!－错误!)＝（－错误!,错误!)．题型二 平面向量的坐标运算例2 已知平面上三点A （2,－4）,B (0，6）,C (－8，10),求（1）错误!－错误!;（2）错误!＋2错误!；(3)错误!－错误!错误!。
4-2第二节 平面向量基本定理及其坐标运算(52张PPT)
T 拓思维· 培能力
拓展提伸 提高能力
易混易错系列 忽视平面向量基本定理的使用条件致误 【典例】 → → → → → 已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，
解析
答案
1 → → → BE＝BC＋CE＝－ a＋b. 2
1 － a＋b 2
Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法
题型一
平面向量基本定理的应用
【例 1】 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 → → → → DC，BC 的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用 c，d 表示AB，AD.
基 础 自 评 → → → 1．若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝( A．(－2，－4) C．(6,10) B．(2,4) D．(－6，－10) )
解析
→ → → BC＝BA＋AC＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．
答案 A
2．若向量 a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则 c＝( A．3a＋b C．－a＋3b B．3a－b D．a＋3b
(3)设向量 d 坐标为(x， y)， 则 d－c＝(x－4， y－1)， a＋b＝(2,4)．
4x－4－2y－1＝0， 由题意，知 2 2 x－4 ＋y－1 ＝5， x＝3， ∴ y＝－1， x＝5， 或 y＝3.
∴向量 d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．
→ → 方法 2：设AB＝a，AD＝b，因为 M，N 分别为 CD，BC 的中 → 1 → 1 点，所以BN＝2b，DM＝2a，于是有 1 c ＝ b ＋ a， 2 d＝a＋1b， 2 2 a ＝ 2d－c， 3 解得 b＝22c－d， 3
→ 2 → 2 即AB＝ (2d－c)，AD＝ (2c－d)． 3 3
5-2新田中学-平面向量的坐标运算
分析：ma＋b＝(2m－1,3m＋2)，a－2b＝(4，－1)， 2m－1 若 ma＋b 与 a－2b 平行，则 4 ＝－3m－2，即 2m－ 1 1＝－12m－8，解之得 m＝－2.故选 B.
答案：B 失分警示：没有理解向量的坐标表示与向量 平行的条件．
→ → 3． 在平面 xOy 内有三向量OA＝(3,12)， ＝(4,5)，→ OB OC ＝(10，k)，若 A、B、C 三点共线，则 k＝________.
三、几个重要结论 1．如图，若a、b为不共线向量，则a＋b， a－b为以a，b为邻边的平行四边形的对角 线的向量． 2 2 2 2
2.a＋b ＋a－b ＝2(a ＋b )．
→ → → 3 ． G 为 △ABC 的 重 心 ⇔ GA ＋ GB ＋ GC ＝ 0 ⇔ x1＋x2＋x3 y1＋y2＋y3 G( ， )[其中 A(x1 ，y1)，B(x2 ，y2)， 3 3 C(x3，y3)]．
→ 解析：∵AB＝(－6,2)， → → AB AB 6 2 ∴± ＝± ＝± (－ ， ) → 2 10 2 10 2 10 |AB| －3 10 10 ＝± ( ， )． 10 10
答案：C
→ → 5．如果向量AB＝i－2j，BC＝i＋mj，其中 i、j 分别是 x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且 A、B、C 三点共线，则 m ＝________.
总结评述：本题侧重于向量的坐标运算，定 比分点及两个向量垂直的充要条件．通过这 些知识的综合，很好地体现出向量作为工具 解决解析几何的有关问题的作用．
平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3,1)， → → → B(－1,3)，若点 C 满足OC＝αOA＋βOB，其中 α、β∈R 且 α ＋β＝1，则点 C 的轨迹方程为 A．(x－1)2＋(y－2)2＝5 B．3x＋2y－11＝0 C．2x－y＝0 D．x＋2y－5＝0 ( )
2020-2021学年数学新教材人教A版必修第二册作业：6.3.3平面向量的坐标运算(二)
→ OB
＝
→ OA
＋
→ AB
＝(－5,7)或(1，－
5)，故选AB.
二、填空题(每小题5分，共20分) 8．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则实 数λ＝ 6 .
解析：方法1：a＋2b＝(5,5)，3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，由题意 知5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，得λ＝6.
13．(10分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，A→B＝2e1 ＋e2，B→E＝－e1＋λe2，E→C＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值； (2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求B→C的坐标； (3)已知点D(3,5)，在(2)的条件下，若四边形ABCD为平行四边 形，求点A的坐标．
方法2：设c＝a＋2b，d＝3a＋λb，由于a与b不共线，则a与b可 作为一组基底，所以c，d在a，b下的坐标分别为(1,2)，(3，λ)，且c ∥d，则有1·λ＝2×3，得λ＝6.
9．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n ∈R)，则m－n的值为 －3 .
解析：由题意得ma＋nb＝(2m，m)＋(n，－2n)＝(2m＋n，m－2n) ＝(9，－8)，即m2m－＋2nn＝＝－9，8. 解得m＝2，n＝5，所以m－n＝－3.
10．已知平面向量a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,3)且(a＋c)∥(a
3± 17 －b)，则m＝ 2 .
解析：a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,3)．
∴a＋c＝(m＋1，m＋3)，a－b＝(－1，m－5)，
因为(a＋c)∥(a－b)，
∴(m＋1)(m－5)＋m＋3＝0，解得m＝3±2
平面向量共线的坐标运算2
（1）e1=( -1 , 2 ),e2=( 5 , 7 ) （2）e1=( 3 , 5 ),e2=( 6 , 10 ) （3）e1=( 2 , -3 ),e2=( 1/2 , -3/4 )
例1、已知 a=（4，2），b=（6，y）， 且 a//b ，求 y 的值。
例2、已知A（-1，-1），B（1，3），C （2，5），判断A、B、C三点的位置关系。
例3、设点P是线段PP上的一点,P1、P2的坐标分 别是（x1，y1）， （x2，y2）
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时， 求点P的坐标； y （3）当 p1 p2 pp2 ，
点P的坐标是什么？知在△ABC中，A（x1，y1） B（x2，y2） C（x3，y3），求重心G的坐标。
则：AB= (x2-x1 , y2-y1)
a b =(x1-x2 , y1-y2) λ a = (λx1 , λy1)
问题：共线向量如何用坐标来表
示呢？
a与b （b 0）共线定理：
当且仅当存在一个实数 ，使a b 当且仅当x1y2-x2y1=0
下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所 有向量的基底，正确的有（ ）
1, 任一向量a 的坐标表示：
Y y
a xi y j
a ( x, y)
y
a
A(x,y) x
2, 特殊向量 OA 的坐标表示： A(x,y) OA xi y j 3, 平面向量的坐标运算：
a b=(x1+x2 , y1+y2)
j
O
i
x
X
若：A(x1,y1) , B(x2,y2)
平面向量数量积的坐标运算公式
平面向量数量积的坐标运算公式在咱们的数学世界里，平面向量数量积的坐标运算公式可是个相当重要的家伙！咱先来说说啥是平面向量。
想象一下，在一个平面上，有两个箭头，它们有自己的长度和方向，这就是平面向量啦。
那平面向量数量积又是个啥呢？简单说，就是两个向量之间的一种“亲密程度”的度量。
而平面向量数量积的坐标运算公式，就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们轻松算出这种“亲密程度”。
假设两个向量 a = (x₁, y₁)，b = (x₂, y₂)，那它们的数量积 a·b 就等于 x₁x₂ + y₁y₂。
我给您举个例子哈。
比如说有个向量 a = (3, 4)，另一个向量 b = (1, 2)，那它们的数量积 a·b 就是 3×1 + 4×2 = 3 + 8 = 11 。
是不是一下子就清楚多啦？前几天我在给学生们讲这部分内容的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这公式到底有啥用啊？”我就跟他们说：“同学们，你们想想，如果要计算两个力在某个方向上做的功，是不是就可以用这个公式？还有在物理学中，计算电场力做功，也能派上大用场呢！”这公式在解决实际问题的时候可厉害啦！比如说，在一个平面直角坐标系中，有两个物体沿着不同的方向运动，要计算它们相互作用的力的大小，用这个公式就能轻松搞定。
而且啊，这公式在解析几何里也经常出现。
比如判断两条直线是垂直还是平行，都可能用到它。
再想想，如果要设计一个机器人的运动轨迹，或者规划无人机的飞行路线，也得靠它来帮忙算出相关的数据。
总之，平面向量数量积的坐标运算公式虽然看起来可能有点复杂，但只要咱们好好理解，多做几道题练练手，就能发现它的妙处，用它解决好多难题，就像拥有了一件超级厉害的武器！希望大家都能把这个公式掌握得牢牢的，在数学的海洋里畅游无阻！。
《平面向量》第2讲 向量的基本定理和坐标运算
向量的基本定理与坐标运算
一、坐标运算
【例题1】已知在□ABCD中，AC 为一条对角线，
＝(2,4)， AC ＝(1,3)，则向量 BD 的 AB
坐标为________.
[训练1]向量a＝(2,4)，b＝(1,3)，则3a+b＝_____.
一、坐标运算
[训练2]已知A(2,3)，B(6,-3).二、平面 Nhomakorabea量基本定理
[例题3].已知向量 a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)， 求满足 c＝ma ＋nb 的实数m，n.
[训练3].已知向量e1 ，e2不共线， 要使a= e1+2e2 ， b= 2e1+λe2能成为平面内所有向量的一组基底， 则实数λ的取值范围是 .
二、平面向量基本定理
即：物理学上力的合成与分解.
3. 两个向量平行与垂直的向量表示.
若 AD AB AC ，则x =_____，y =_____.
例题与训练
【训练2】给定两个长度为1的平面向量 OA, OB ，它们 的夹角为120°,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动． 若 OC xOA yOB , 则x+y的最大值是 ____.
小结
1. 坐标运算.
2. 平面向量的基本定理.
[例题2]如图,平面内有三个向量 OA， OB ， OC ，其中
OA与 OB的夹角为 OA 与 OB 的夹角为120°，
30°，且
OA OB 1, OC 2 3
，
若 OC OA OB , 则λ＋μ的值为____．
例题与训练
【训练1】如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，
① 线段AB的中点坐标为 . .
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算一、平面向量的坐标表示平面向量是有大小和方向的量，可以用坐标来表示。
在平面直角坐标系中，以原点为起点，终点为点(x,y)的向量可以表示为：AB = xi + yj其中，i和j分别为x轴和y轴的单位向量。
x和y分别为该向量在x轴和y轴的投影长度。
二、平面向量的运算1. 向量的加法设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的和为：AB + CD = (a1 + b1)i + (a2 + b2)j即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相加得到新向量的x轴分量和y轴分量。
2. 向量的减法设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的差为：AB - CD = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相减得到新向量的x轴分量和y轴分量。
3. 向量的数量乘法设有一个向量AB = ai + bj，k为实数，则数量乘法的结果为：k * AB = (k * a)i + (k * b)j即将向量的x轴分量和y轴分量都乘以数k得到新向量的x轴分量和y轴分量。
4. 向量的点积设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的点积为：AB · CD = a1b1 + a2b2即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相乘，然后再相加得到一个数。
5. 向量的叉积设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的叉积为：AB × CD = (a1b2 - a2b1)k其中，k为垂直于平面的单位向量。
三、平面向量的应用平面向量的坐标表示与运算在几何学、力学、电磁学等领域中有着广泛的应用。
1. 几何学中，平面向量的坐标表示可以简化向量的计算，方便求解几何问题，如求解两条直线之间的夹角、判断两个向量是否垂直等。
2. 在力学中，平面向量的坐标表示与运算常用于描述物体的受力情况。
2.3.2平面向量的坐标表示及坐标运算
若两个不共线向量互相垂直时
λ2 a2
a
把一个向量分解为两个互相垂 直的向量,叫做把向量正交分解
λ1a1
F1 G
F2
正交分解
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基 底时，会为我们研究问题带来方便。
我们知道，在平面直角坐标系， 每一个点都可用一对有序实数（即它 的坐标）表示，对直角坐标平面内的 每一个向量，如何表示？
2 1 -4 -3 c 2i 3 j -2 -1
O
A 2 3 4
x
1 i -1
j
( 2, 3)
c
-2
d
d 2i 3 j (2, 3)
a的坐标等于AB的终边坐标减去起点坐标。
问 1 :设 a AB, a 的坐标与 A、B 的坐标有何关系? 若 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 则 AB ( x2 x1, y2 y1 )
1
O
-1 -2
2
4
6
x
-3
-4
例5：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标 分别是（- 2，1）、（- 1，3）、（3，4），求 y 顶点D的坐标. 解：设顶点D的坐标为（x, y) C
AB (1 (2),3 1) (1,2)
B D x A DC (3 x,4 y) O 有AB DC得：（ ， 3-x, 4 y) 1 2）（
(2)设点P在第三象限, 求λ的范围.
解: (1) 设P(x, y)，则 (2) 由已知
(x－2, y－3)=(3, 1)+λ(5, 7),5λ+5<0,7λ+4<0 ,
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备课札记
翔宇教育集团数学专用作业纸
班级
高一（）
姓名
学号
课题
2、向量的坐标运算法则
二、平面向量的坐标表示：
1、平行向量充要条件的坐标表达式（推导略）
指出三条等价条件的等价性
2、应用
例4、1、设a=（4，2），b=（6，y），若a∥b，求y
2、设A（-2，-3），B（2，1），C（1，4），D（-7，-4）问： 与 是否共线？方向如何？
3、设A（-1，-1），B（1，3），C（2，5）求证A，B，C共线
例8、ΔABC中，A（2，-1）B（-3，2）C（0，-4）三边
BC 、AB 、AC中点依次是D、E、F，且EF交AD于M，求 的坐标
四、小结：1、向量平行的充要条件的坐标表达式
2、利用共线（相等）条件列方程求参数
3、用坐标法证几何问题
作业另附，课外作业P149，12，13，15，16，17
教学过程
三、综合应用
例5、设a=（2x-y+1，x+y-2），b=（2，-2）x，y为何值时，（1）a=b，（2）a∥b
例6设a=（2，-4），b=（-1，3），c=（6，5），
p=a+2b-c，（1）求p的坐标
（2）若以a、b为基底，求p的表达式
例7、如果 =i-2j， =i+mj，（m∈R），求m值使A、B、C三点共线
总 课 题
平面向量的坐标运算
总课时
2
第 2 课时
课 题
平面向量的坐标运算
课 型
新授课
教学目标
1、进一步掌握向量的坐标运算
2、掌握向量平行的充要条件（坐标式），并能用来解决有关问题
3、学习坐标法解决问题的思想方法
教学重点
平行的充要条件及其应用
教学难点
应用坐标法解有关综合题ຫໍສະໝຸດ 教学过程教学内容备课札记
一、复习：1、向量的坐标公式