材料力学内力图绘制详解.pdf
材料力学内力图绘制详细讲解
一、由外力直接绘制轴力图例 5.4 力图。
解 根据外力直接绘制轴力图（见图5.18(b)），绘图分析过程及步骤如下。
从左向右绘制，始终取右边部分为研究体。
在截面A 有集中力F 1，使研究体拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 1大小，此时 F N =（0+500）N=500 N ；在AB 段没有外力，故轴力不变；在截面B 有集中力F 2，使研究体受拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 2大小,此时F N =（500+420）N=920 N ；在BC 段没有外力，故轴力不变；在截面C 有集中力F 3，使研究体受压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 3大小，此时F N =(920-280)N=640 N ；在CD 段没有外力，故轴力不变；在截面D 有集中力F 4，使研究体受压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 4大小，此时 F N =(640-800)N =-160 N ；在DE 段没有外力，故轴力不变；在截面E 有集中力，由于轴力曲线与轴线围成封闭图形，故轴力（b ）(a)突变为0。
例5.5有一根阶梯轴受力如图5.19(a)所示，试绘制阶梯轴的轴力图。
图5.19解从右向左绘制，始终取左变部分为研究体。
根据外力直接绘制轴力图（见图5.19(b)），绘图分析过程及步骤如下：在截面A有集中力F1，使研究体压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F1大小,此时F N=（0-10）kN=-10 kN；在AB段有均匀分布载荷，使研究体受拉伸变形，故轴力以斜直线规律向正方向渐变，轴力渐变大小为均匀分布载荷大小，此时F N=（-10+10×2）kN=10 kN；在截面B没有力，故此截面轴力没有变化；在BC段没有外力，故轴力不变；在截面C有集中力F2，使研究体受拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F2大小，此时F N=（10+10）kN=20 kN；在CD段没有外力，故轴力不变；在截面D有集中力，由于轴力曲线与轴线围成封闭图形，故轴力突变为0.二、由外力直接绘制扭矩图外力扭矩图无外力不变集中力F P突变。
材料力学第3讲-绘制梁内力图的基本方法
用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律， 分别称作剪力方程和弯矩方程.
①剪力方程(Shear- force equation)
FS= FS(x)
②弯矩方程(Bending-moment equation)
构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截
面的内力偶矩.
FRAy
m
m
FS M
C
②剪力(Shear force) FS
构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面 的内力.
M C
FS
F B
FRB
F FRB
2）梁的内力的正负号规定 (Sign convention for internal force)
m FS
①剪力的正负号规定
左侧梁段 顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩 逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩
右侧梁段 逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩 顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩
【例题2-3-4】轴的计例算简图如图所示，已知 F1 = F2 = F = 60kN， a = 230mm，b = 100 mm 和c = 1000 mm. 求 C 、D 点处横截面
M= M(x)
2）剪力图和弯矩图(Shear-force & bending-moment diagrams)
以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相
应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图 FS(x)
x O
O
x
FS 图的坐标系
M(x) M 图的坐标系
剪力图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧
材料力学 弯曲内力图(2)
集中力偶
m C
Q
图 特 征
水平直线
Q Q Q
斜直线
Q x x
自左向右突变
Q Q 1 C x
无变化
Q C x
x
Q>0 Q<0
x
斜直线 M M2 图 x 与 x x x x x 特 m 征 M 反 M M1 M M M M 增函数 降函数 坟状 盆状 折向与P反向 向 M1 - M 2 = m
160
kNm
130
210
340
280
4.9 å m = 0
Ai
例题 &
解:(1)求支反力:
m=160kN
P=20kN q=20kN/m
A
ÞLeabharlann D B E
1 R = ( 20 ´ 12 + 20 ´ 10 ´ 7 - 160 ) = 148 kN ( -) B 10 å m Bi = 0 Þ 1 Y = ( 160 + 20 ´ 10 ´ 3 - 20 ´ 2 ) = 72 kN ( -) A 10 校核 : å Y OK ! ) i = Y A + R B - 20 ´ 10 - 20 = 0 (
（+） O
9a / 4
4a 4a
a F By 3
qa
＝ qa 4 当FS = 0时; x = 9a / 4; M max = 81qa 2 / 32
x 3．建立坐标系建立
（）
7qa / 4
O
81 qa 2 / 32
qa
FS－x和M－x坐标系
4．确定控制面上的剪 x 力值，并将其标在 FS－x中。 5．确定控制面上的 弯矩值，并将其标在 M－x中。
材料力学基本第二章 内力与内力图
CB段： BA段：
FN x1 0
FQ x1 F
M x1 Fx1
FN x2 F
FQ x2 0
M x2 F a
0 x1 a
0 x1 a
0 x1 a 0 x2 l
0 x2 l
0 x2 l
2.绘制剪力图和弯矩图
五、平面曲杆的内力图
平面曲杆：轴线为平面曲线的杆件。 内力的符号规定为：弯矩以使曲杆轴线曲率增加者为正，轴力和剪力的符 号规定与前面的相同。
2.6 结论与讨论
结
结论
论 与
• 一个重要概念
讨 论
• 三个微分方程
结
• 一套方法
论
讨论
结
论
与
比较前面三个梁的受力、剪力
讨 论
和弯矩图的相同 之处和不同
之处，从中能得到什么重要结
讨
论？
论
FQ
结
论
与
讨
FQ
论
讨
FQ
论
确定控
结 论 与 讨
制面上剪力 和弯矩有几 种方法？怎
论 样确定弯矩
图上极值点
讨 处的弯矩数
4. 在梁的某一截面上剪力为零，则在这一截面上弯矩有极值。
5. 在梁的某一截面上若作用有集中力，则此处剪力图有突变，突变的值 恰好等于集中力的数值。
6. 在梁的某一截面上若作用有集中力偶，则剪力图不发生变化，但此处 弯矩图会发生突变，突变的值恰好等于集中力偶的数值。
二、剪力、弯矩与载荷集度之间的积分关系
AD段 MeD T3 0
C
d) T3
D
T /Nm
T3 MeD 1018.6 N m e)
1018.6 (+)
材料力学--第2章杆件的内力与内力图
轴力图的画法
画轴力图的步骤：求约束反力、求控制截面上的轴 力、画轴力图。 求任一横截面轴力的简便方法：任一横截面上的轴 力等于该截面一侧杆件上所有外力（包括反力）的代数和； 外力背离截面产生拉力，外力指向截面产生压力。 在分布轴向外力作用下，轴力图为斜直线或曲线。 没有分布轴向外力作用时，整个杆件轴力图为平行于杆件
外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横截面上 的内力──扭矩，圆轴两端受外加扭力矩Me作用时，横截 面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心 的合力矩，称为扭矩（twist moment），用Mx表示。
Me Me
Me
Mx
n
－ 右手螺旋定则
第2章 杆件的内力和内力图
◎ 扭矩与扭矩图
如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线 方向所有横截面上的扭矩都是相同的，并且都等于作用在 轴上的外力偶矩。 当轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴
D
E
2
FA
40kN
FN2
F
x
0， FN2 FA 40 0， FN2 50kN(拉)
第2章 杆件的内力和内力图
求CD段内的轴力
◎ 轴力与轴力图
FA
A
40kN B
55kN
25kN
20kN
C
3
D
E
FN3
25kN
20kN
F
x
0， FN3 25 20 0， FN3 5kN(压)
第2章 杆件的内力和内力图
同理，求得AB、 BC、CD段内力分 别为： FN2 B FB FN3 C FC C FC FN4 FN 2F 5F
◎ 轴力与轴力图
任务十五梁的内力图绘制
任务十五
梁的内力图绘制
任务十五
梁的内力图绘制
3、利用内力方程画内力图
AB段：坐标原点取在左端A点处，距原点A为x1处的任意截面， 其剪力方程和弯矩方程为
Q(x1)=RA－qx1=1.5qa-qx1(0<x1<4a) M(x1)=RAx1-qx21/2=3qa/2x1-q/2x12 (0≤x1≤4a) BC段：坐标原点取在右端C点处，距原点C为x2处的任意截面， 其剪力方程和弯矩方程为 Q(x2)=qx2(0≤x2<2a)
x=a，MC=Pab/l
x=l，MB=0
任务十五
梁的内力图绘制
3、利用内力方程画内力图
从所作的内力图知，若a>b，则在CB段任一截面上的剪力值都 相等且比AC段的要大，其值｜Qmax｜=Pa/l，最大弯矩发生在集中力 P作用的截面上，其值｜Mmax｜=Pab/l 如果集中力P作用在梁的跨中，即a=b=l/2 ｜Qmax｜=P/2 ｜Mmax｜=Pl/4
为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴的变化规律，把剪 力方程和弯矩方程用其图像表示，称为剪力图和弯矩图。 剪力图和弯矩图的画法与轴力图、扭矩图很相似，用平 行于梁轴的横坐标x表示梁横截面的位置，用垂直于梁轴 的纵坐标表示相应截面的剪力和弯矩。 在土建工程中，习惯上将正剪力画在x轴上方，负剪 力画在x轴的下方；正弯矩画在x轴下方，负弯矩画在x轴 的上方，即把弯矩图画在梁受拉的一侧。
材料力学第4讲-利用微分关系绘制梁内力图
在CD和DB段，剪力为负值，弯矩图
1.7 为向下倾斜的直线.
最大弯矩发生在剪力改变正、负号的 C
截面处.说明剪力图和弯矩图是正确的.
27 +
例题3-4-2 一简支梁受均布荷载作用，其集度 q=100kN/m ,如图 所示.试用简
易法作此梁的剪力图和弯矩图. 解：（1） 计算梁的支反力
FRA FRB 0.5 100 1.6 80kN
（1）梁的载荷集度函数、剪力函数和弯矩函数之间的 微分关系
（2）利用微分关系的绘制简单梁的内力图 （3）利用微分关系绘制多跨静定的内力图 （4）根据梁的内力图反推梁的荷载图 2.5 应用叠加原理绘制梁的内力图（待学习） 2.6 刚架和组合变形杆件的内力分析（待学习）
2.4 利用微分关系绘制梁的内力图
dFS ( x) q( x) dx
dM ( x) dx
FS
(
x)
（3）内力的极值点位置的判断 1）最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧;或
发生在剪力图有转折的截面处或杆件的端部.
2）梁上最大弯矩 Mmax可能发生在均布荷载作用区段 内FS(x) = 0 的截面上; 或发生在杆件中部弯矩发生
转折或突变处，或发生在杆件的端部。
将梁分为 AC、CD、DB 三段.
AC和DB上无荷载，CD 段有向下的
均布荷载.
（2）剪力图 AC段 水平直线
FSA右 FRA 80kN
CD段 向右下方的斜直线
FRA
A C
0.2 1
FS
(kN)
80
q
FRB
B
D
1.6
2
+
FSC FRA 80kN
FSD FRB 80kN
材料力学内力图绘制详解
一、由外力直接绘制轴力图例 5.4 如图 5.18(a)所示为一绳子受力图，右端固定，试绘制该绳的轴力图。
解 根据外力直接绘制轴力图（见图5.18(b)），绘图分析过程及步骤如下。
从左向右绘制，始终取右边部分为研究体。
在截面A 有集中力F 1，使研究体拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 1大小，此时 F N =（0+500）N =500 N ；在AB 段没有外力，故轴力不变；在截面B 有集中力F 2，使研究体受拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 2大小,此时F N =（500+420）N =920 N ；在BC 段没有外力，故轴力不变；在截面C 有集中力F 3，使研究体受压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 3大小，此时F N =(920-280)N =640 N ；在CD 段没有外力，故轴力不变；在截面D 有集中力F 4，使研究体受压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F 4大小，此时 F N =(640-800)N =-160 N ；在DE 段没有外力，故轴力不变；在截面E 有集中力，由于轴力曲（b ）(a)线与轴线围成封闭图形，故轴力突变为0。
例5.5有一根阶梯轴受力如图5.19(a)所示，试绘制阶梯轴的轴力图。
图5.19解从右向左绘制，始终取左变部分为研究体。
根据外力直接绘制轴力图（见图5.19(b)），绘图分析过程及步骤如下：在截面A有集中力F1，使研究体压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F1大小,此时F N=（0-10）kN=-10 kN；在AB段有均匀分布载荷，使研究体受拉伸变形，故轴力以斜直线规律向正方向渐变，轴力渐变大小为均匀分布载荷大小，此时F N=（-10+10×2）kN=10 kN；在截面B没有力，故此截面轴力没有变化；在BC段没有外力，故轴力不变；在截面C有集中力F2，使研究体受拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F2大小，此时F N=（10+10）kN=20 kN；在CD段没有外力，故轴力不变；在截面D有集中力，由于轴力曲线与轴线围成封闭图形，故轴力突变为0.二、由外力直接绘制扭矩图制其内力图。
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(a)
F1=500N F2=420N
A
B
F3=280N C
F4=800N DE
FN （b）
920 640
500
A
B
C
x DE
-160 图 5.18
解 根据外力直接绘制轴力图（见图5.18(b)），绘图分析过程及步骤如下。
从左向右绘制，始终取右边部分为研究体。在截面A有集中力F1，使研究体拉伸变形，
故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力F1大小，此时
2
二、由外力直接绘制扭矩图
外力 无外力
扭矩图 不变
集中力FP
突变。 方向：右手螺旋法则，四指指向外力偶方向，拇指离开为正； 大小：集中力偶大小 FP
均布力偶 Mq
在分布力的起始和终止截面，扭矩没有突变。 以斜直线渐变。
方向：右手螺旋法则，四指指向外力偶方向，拇指离开为正；
大小：Mq
例5.7 如图5.24（a）所示圆轴，左端固定、右端自由，受到三个集中力偶作用，试绘
例5.11 如图5.29(a)所示外伸梁，试计算其内力并画出内力图。
图5.29
解 （1）先求支座反力。取整段梁研究，其受力如图5.29(a)，由平衡条件得
中力偶M3大小 M x = (−1+ 3) = 2 kN • m ；在CD段有无外载荷，故扭矩不变；在截面D有集
中力，由于扭矩曲线与轴线围成封闭图形，故扭矩突变为零。扭矩图如图5.25（b）所示。
3
三、由外力直接绘制剪力图和弯矩图
载荷 无外力
集中力
剪力、弯矩与分布载荷间的关系
Fe图
M图
FQ=0，M不变；FQ≠0，M 以斜
直线变化，从起始点到终点，大
不变
小为FQ与x轴围成的面积，变化方 向FQ为正，向正向渐变，否则向
负向渐变
突变，方向与FP相同, 大小为FP
无变化
集中力偶M
均布载荷 q
不变
突变，突变大小为M，突变方向
力偶
(顺时针方向时)为
正向；力偶
（逆时针方向
时）为负向
以斜直线渐变，方向 以抛物线渐变，FQ=0处，为极值，
一、由外力直接绘制轴力图
外力 无外力
轴力图 不变
集中力FP
均布载荷 q
突变。 方向：拉正压负； 大小：集中力大小 FP
在分布力的起始和终止截面，轴力没有突变。 以斜直线渐变。 方向：拉正压负； 大小：qL.
例 5.4 如 图 5.18(a) 所 示 为 一 绳 子 受 力 图 ， 右 端 固 定 ， 试 绘 制 该 绳 的 轴 力 图 。
AB段无外载荷，故扭矩不变；在截面B有集中力偶M2，变形方向由右手螺旋法则判断，拇指 指向截面，故扭矩在此截面向负方向发生突变，扭矩突变大小为集中力偶 M2大小此时
Mx=1-2=-1 kN • m ；在BC段无外载荷，故扭矩不变；在截面C有集中力偶M3，变形方向由
右手螺旋法则判断，拇指背离截面，故扭矩在此截面向正方向发生突变，扭矩突变大小为集
与q一致，大小为ql
按面积计算M值变化大小
例5.10 如图5.28(a)所示，简支梁AB，在C点承受集中载荷F=6 kN作用,跨度l=3 m，
a = 2 m ，试绘制梁的内力图。
4
解 （1）求支座反力。取整段梁为研究对象，受力分析如图5.28(b)，由平衡条件得
MA (F) = 0 FB l − F a = 0
FA • a = 4 kN • m ；在截面C有一向下的集中载荷F，故在此截面剪力向下突变F，弯矩
没有变化；在CB段没有外力，故剪力在该段没有变化，由剪力小于零，则该段弯矩以斜直
5
线规律 向负向变化，从截面 C到 截面B弯矩变化大小为 CB段剪力与 x轴围成的 面积即
FB • (l − a) = 4 kN • m 变为0。
FN=(640-800)N=-160 N；在DE段没有外力，故轴力不变；在截面E有集中力，由于轴力曲
1
线与轴线围成封闭图形，故轴力突变为0。 例5.5 有一根阶梯轴受力如图5.19(a)所示，试绘制阶梯轴的轴力图。
图 5.19 解 从右向左绘制，始终取左变部分为研究体。根据外力直接绘制轴力图（见图 5.19(b)），绘图分析过程及步骤如下： 在截面A有集中力F1，使研究体压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突 变大小为集中力F1大小,此时FN=（0-10）kN=-10 kN；在AB段有均匀分布载荷，使研究体 受拉伸变形，故轴力以斜直线规律向正方向渐变，轴力渐变大小为均匀分布载荷大小，此时 FN=（-10+10×2）kN=10 kN；在截面B没有力，故此截面轴力没有变化；在BC段没有外力， 故轴力不变；在截面C有集中力F2，使研究体受拉伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突 变，轴力突变大小为集中力F2大小，此时FN=（10+10）kN=20 kN；在CD段没有外力，故轴 力不变；在截面D有集中力，由于轴力曲线与轴线围成封闭图形，故轴力突变为0.
FN=
（0+500）N=500 N；在AB段没有外力，故轴力不变；在截面B有集中力F2，使研究体受拉 伸变形，故轴力在此截面向正方向发生突变，轴力突变大小为集中力 F2大小,此时FN= （500+420）N=920 N；在BC段没有外力，故轴力不变；在截面C有集中力F3，使研究体受
压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力F3大小，此时 FN=(920-280)N=640 N；在CD段没有外力，故轴力不变；在截面D有集中力F4，使研究体 受压缩变形，故轴力在此截面向负方向发生突变，轴力突变大小为集中力 F4大小，此时
制其内力图。
图5.25 解 从右向左绘制，始终取左部分为研究体。根据外力偶直接绘制扭矩图，绘制分析过 程及步骤如下： 在截面A有集中力偶M1，变形方向由右手螺旋法则判断，拇指背离截面，故扭矩在此截
面向正方向发生突变，扭矩突变大小为集中力偶M1大小，此时 Mx = (0 +1) =1 kN• m ；在
解得
FB = 4 kN
Fy = 0 FA + FB − F = 0
解得
FA = 2 kN
（2）由外力直接绘制内力图。 从A截面开始，有一向上的集中力FA，故在此截面剪力向上突变，突变大小等于FA,弯 矩没有变化；AC段没有外力，故剪力在该段没有变化，由于剪力大于零，故在该段弯矩以 斜直线规律向正向变化，从截面A到截面C弯矩变化大小为AC段剪力与x轴围成的面积即