材料力学-杆件内力分析
材料力学内力和截面法
〔3〕平衡。
可看出：杆件任一横截面上的内力，其作用线 均与杆件的轴线重合，因而称之为轴力用符号 FN表示。
3.轴力符号的规定
引起伸长变形的 轴力为正--拉力 〔背离截面〕；
引起压缩变形的 轴力为负--压力 〔指向截面〕。
4.轴力图
假设用平行于杆轴线的坐标表示横截 面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横 截面上轴力的数值，所绘出的图线可以说 明轴力与截面位置的关系，称为轴力图。
材料力学内力和截面法
课程导入：
工程实例
1.内力
内力--由于物体受外力作用而引起的内部各 质点间互相作用的力的改变量。
根据可变形固体的连续性假设可知，物 体内部相邻局部之间的作用力是一个连续分 布的内力系，我们所说的内力是该内力系的 合成〔力或力偶〕
2.截面法
求内力的一般方法------截面法 步骤： 〔1〕截开；
注意： 用截面法求内力的过程中，在截面取别离
前，作用于物体上的外力〔荷载〕不能任意移 动或用静力等效的相当力系替代。
5.例题
试作图示杆的轴力图。
布的内力系，我们所说的内力是该内力系的 横截面3-3：此时取截面3-3右边为别离体方便， 横截面1-1：注意假设轴力为拉力 体内部相邻局部之间的作用力是一个连续分 体内部相邻局部之间的作用力是一个连续分 前，作用于物体上的外力〔荷载〕不能任意移 体内部相邻局部之间的作用力是一个连续分 内力--由于物体受外力作用而引起的内部各 解：求支反力 FR=10kN 内力--由于物体受外力作用而引起的内部各 布的内力系，我们所说的内力是该内力系的 可看出：杆件任一横截面上的内力，其作用线 体内部相邻局部之间的作用力是一个连续分
解：求支反力 F =10kN 内力--由于物体受外力作用而引起的内部各
第四章 杆件的内力与内力图
第四章 杆件的内力与内力图一、选择题1．各向同性假设认为，材料沿各个方向具有相同的（ ） A ．应力 B ．变形 C ．位移 D ．力学性质2．关于截面法下列叙述中正确的是（ ） A ．截面法是分析杆件变形的基本方法 B ．截面法是分析杆件应力的基本方法 C ．截面法是分析杆件内力的基本方法D ．截面法是分析杆件内力与应力关系的基本方法 3.下列结论正确的是（ ）。
A.杆件某截面上的内力是该截面上应力的代数和B.杆件某截面上的应力是该截面上内力的平均值C.应力是内力的集度D.内力必大于应力4．常用的应力单位是兆帕（MPa ），1Mpa ＝（ ） A ．103N ／m 2 B ．106 N ／m 2 C ．109 N ／m 2D ．1012 N ／m 25．长度为l 的简支梁上作用了均布载荷q ，根据剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系，可以确定（ ）A ．剪力图为水平直线，弯矩图是抛物线B ．剪力图是抛物线，弯矩图是水平直线C ．剪力图是斜直线，弯矩图是抛物线D ．剪力图是抛物线，弯矩图是斜直线6.如图所示悬臂梁，A 截面上的内力为（ ）。
A.Q ＝ql ，M ＝0B.Q ＝ql ，M ＝21ql 2C.Q ＝－ql ，M ＝21ql 2D.Q ＝－ql ，M ＝23ql 27.AB 梁中C 截面左，右的剪力与弯矩大小比较应为（ ）。
A.Q c 左=Q c 右，M c 左<M c 右B.Q c 左=Q c 右，M c 左>M c 右C.Q c 左<Q c 右，M c 左=M c 右D.Q c 左>Q c 右，M c 左=M c 右8、为保证构件有足够的抵抗变形的能力，构件应具有足够的( ) A.刚度 B.硬度 C.强度 D.韧性 9.内力和应力的关系（ ）A 内力小于应力B 内力等于应力的代数和C 内力为矢量，应力为标量D 应力是单位面积上的内力 10、图示简支梁中间截面上的内力为（ ）。
材料力学--第2章杆件的内力与内力图
轴力图的画法
画轴力图的步骤：求约束反力、求控制截面上的轴 力、画轴力图。 求任一横截面轴力的简便方法：任一横截面上的轴 力等于该截面一侧杆件上所有外力（包括反力）的代数和； 外力背离截面产生拉力，外力指向截面产生压力。 在分布轴向外力作用下，轴力图为斜直线或曲线。 没有分布轴向外力作用时，整个杆件轴力图为平行于杆件
外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横截面上 的内力──扭矩，圆轴两端受外加扭力矩Me作用时，横截 面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心 的合力矩，称为扭矩（twist moment），用Mx表示。
Me Me
Me
Mx
n
－ 右手螺旋定则
第2章 杆件的内力和内力图
◎ 扭矩与扭矩图
如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线 方向所有横截面上的扭矩都是相同的，并且都等于作用在 轴上的外力偶矩。 当轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴
D
E
2
FA
40kN
FN2
F
x
0， FN2 FA 40 0， FN2 50kN(拉)
第2章 杆件的内力和内力图
求CD段内的轴力
◎ 轴力与轴力图
FA
A
40kN B
55kN
25kN
20kN
C
3
D
E
FN3
25kN
20kN
F
x
0， FN3 25 20 0， FN3 5kN(压)
第2章 杆件的内力和内力图
同理，求得AB、 BC、CD段内力分 别为： FN2 B FB FN3 C FC C FC FN4 FN 2F 5F
◎ 轴力与轴力图
杆件的内力分析
第2章构件的内力分析思考题2-1 判断题(1) 梁在集中力偶的作用处，剪力F S图连续，弯矩M图有突变。
(对)(2) 思2-1(1)图示的两种情况下，左半部的内力相同。
思2-1(1)图(3) 按静力学等效原则，将梁上的集中力平移不会改变梁的内力分布。
(4) 梁端铰支座处无集中力偶作用，该端的铰支座处的弯矩必为零。
(5) 若连续梁的联接铰处无载荷作用，则该铰的剪力和弯矩为零。
(6) 分布载荷q(x)向上为负，向下为正。
(7) 最大弯矩或最小弯矩必定发生在集中力偶处。
(8) 简支梁的支座上作用集中力偶M，当跨长l改变时，梁内最大剪力发生改变，而最大弯矩不改变。
(9) 剪力图上斜直线部分可以肯定有分布载荷作用。
(10) 若集中力作用处，剪力有突变，则说明该处的弯矩值也有突变。
2-2 填空题(1) 用一个假想截面把杆件切为左右两部分，则左右两部分截面上内力的关系是，左右两面内力大小相等，( )。
A. 方向相反，符号相反B. 方向相反，符号相同C. 方向相同，符号相反D. 方向相同，符号相同(2) 如思2-1(2)图所示矩形截面悬臂梁和简支梁，上下表面都作用切向均布载荷q，则( )的任意截面上剪力都为零。
A. 梁(a)B. 梁(b)C. 梁(a)和(b)D. 没有梁第2章 构件的内力分析思2-1(2)图(3) 如思2-1(3)图所示，组合梁的(a)，(b)两种受载情形的唯一区别是梁(a)上的集中力F 作用在铰链左侧梁上，梁(b)上的集中力作用在铰链右侧梁上，铰链尺寸不计，则两梁的( )。
A. 剪力F S 图相同B. 剪力F S 图不相同C. 弯矩M 图相同D. 弯矩M 图不相同思2-1(3)图(4) 如思2-1(4)图所示，组合梁的(a)，(b)两种受载情形的唯一区别是集中力偶M 分别作用在铰链左右侧，且铰链尺寸可忽略不计，则两梁的( )。
A. 剪力F S 图相同B. 剪力F S 图不相同C. 弯矩M 图相同D. 弯矩M 图不相同思2-1(4)图(5) 如思2-1(5)图所示，梁ABCD 在C 点作用铅垂力F ，若如思2-1(5)图(b)所示，在B 点焊接一刚架后再在C 点正上方作用铅垂力F ，则两种情形( )。
工程力学第4次作业解答杆件的内力计算与内力图
6 ．剪力 F 、弯矩 M 与载荷集度 q 三者之间的微分关系是 dM ( x)= F ( x ) 、dx《工程力学》第 4 次作业解答（杆件的内力计算与内力图）2008-2009 学年第二学期一、填空题1．作用于直杆上的外力（合力）作用线与杆件的轴线重合时，杆只产生沿轴线方向的 伸长或缩短变形，这种变形形式称为轴向拉伸或压缩。
2．轴力的大小等于截面截面一侧所有轴向外力的代数和；轴力得正值时，轴力的方向 与截面外法线方向相同，杆件受拉伸。
3．杆件受到一对大小相等、转向相反、作用面与轴线垂直的外力偶作用时，杆件任意 两相邻横截面产生绕杆轴相对转动，这种变形称为扭转。
4．若传动轴所传递的功率为 P 千瓦，转速为 n 转/分，则外力偶矩的计算公式为M = 9549 ⨯ Pn。
5．截面上的扭矩等于该截面一侧（左或右）轴上所有外力偶矩的代数和；扭矩的正负， 按右手螺旋法则确定。
S S dF ( x )S dx= ±q ( x ) 。
7．梁上没有均布荷载作用的部分，剪力图为水平直线，弯矩图为斜直线。
8．梁上有均布荷载作用的部分，剪力图为斜直线，弯矩图为抛物线。
9．在集中力作用处，剪力图上有突变，弯矩图上在此处出现转折。
10．梁上集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图上有突变。
二、问答题1．什么是弹性变形？什么是塑性变形？解答：在外力作用下，构件发生变形，当卸除外力后，构件能够恢复原来的大小和形状，则这种变形称为弹性变形。
如果外力卸除后不能恢复原来的形状和大小，则这种变形称为塑性变形。
2．如图所示，有一直杆，其两端在力 F 作用下处于平衡，如果对该杆应用静力学中“力的可传性原理”，可得另外两种受力情况，如图（b ）、（c ）所示。
试问：（1）对于图示的三种受力情况，直杆的变形是否相同？ （2）力的可传性原理是否适用于变形体？问答题 2 图问答题 3 图。
解答：（1）图示的三种情况，杆件的变形不相同。
静定结构的内力分析
40
第 三 章80 静定结构的内力计算
D
FNDE FNED
E
30
30
FNDC
FNEB
FQ
40 kN
FN 30 kN
80 kN
练习：
第三章
静定结构的内力计算
解： (1) 求支座反力。
F=qa
C
D
由 X 0
E
FxA q 2a 0
q
a B
得 FAx 2qa
a
由 M A 0
FxA
A
FyB
2qa a F a FyB 2a 0
首先进行定性分析。
由内力图的外观校核。杆上无分布荷载FS图为水 平直线；M图为斜直线。杆上有分布荷载FS图为斜直 线；M图为二次抛物线。 FS图为零的截面M为极值。 杆上集中荷载作用的截面, FS图上有突变；M图上有折 弯。根据这些特征来检查，本题的M图、FS图均无误。
第 三 章 静定结构的内力计算
6
FA=58 kN 26
10
18 FB=12 kN
q ME
FQE
MF
FS 图 ( kN )
FQF
第 三 章 静定结构的内力计算
二、 多跨静定梁 (multi-span statically determinate beam)
附属部分--依赖基本
基本部分--不依赖其它
部分的存在才维持几
部分而能独立地维持其
据
3.外力与杆轴关系(平行,垂直,重合) 4.特殊部分(悬臂部分,简支部分)
5.区段叠加法作弯矩图
第 三 章 静定结构的内力计算
结点平衡条件的应用：
一、铰结点： （集中力偶只能作用于杆端处）
M
材料力学 复习题cllx
第二章杆件的内力分析1、梁弯曲时，凡剪力对梁内任一点的力矩是____ __转向的为正。
2、梁弯曲时，凡弯矩使所取梁段产生______ ____变形的为正。
3、梁在某截面处剪力为零，则该截面处弯矩有_________值。
4、同一根梁采用不同的坐标系（如右手坐标系与左手坐标系）时，则对指定截面求得的剪力和弯矩将；两种坐标系所得的剪力方程和弯矩方程是的；由剪力、弯矩方程绘制的剪力、弯矩图是的。
5、若简支梁上的均布荷载用静力等效的集中力来代替，则梁的支反力值将与原梁的支反力值，而梁的最大弯矩值将原梁的最大弯矩值。
6、根据q与剪力、弯矩间的微分关系，若梁段上有均布荷载q作用，则该梁段的剪力图为一条，弯矩图为一条；若剪力图数值由正到负或由负到正经过零处，则弯矩图在该处具有第三章杆件横截面上的应力应变分析1、截面上任一点处的全应力一般可分解为方向和方向的分量。
前者称为该点的，用符号表示；后者称为该点的，用符号表示。
2、横截面面积为A的等直杆两端受轴向拉力F时，杆件内最大正应力为，发生在面上，该截面上的切应力为；最大切应力为，发生在面上，该截面上的正应力为；任意两个相互垂直的斜截面上的正应力之和都等于。
3、各向同性材料有个弹性常数，它们分别是，它们之间的关系是。
因此，各向同性材料独立的弹性常数是个。
4、内、外直径分别为d和D的空心圆轴，则横截面的极惯性矩表达式为____________。
5、变速箱中的高速轴一般较细，低速轴较粗，这是因为6、纯弯曲是指________________ ________。
7、应用叠加原理分析组合变形杆内的应力，应满足的条件为：(1)_________________________ ; (2)_________________ 。
8、当梁只受集中力和集中力偶作用时，最大剪力必发生在。
9、称为切应力互等定理。
10、梁在横向力作用下发生平面弯曲时，横截面上的最大正应力发生在，最大切应力发生在。
第3章 杆件的内力分析
50
基本概念：
外力、内力、内力分量、轴力、剪力、 弯矩、扭矩、内力函数、内力图、 轴力、 扭转、平面弯曲。
内力图的作法及特点：
(1)直杆受轴向拉伸或压缩时的内力图--轴力图
剪力 Fy 0 RA Q 0
Fb Q RA l
弯矩
对截面m-m上的形心O取矩，得：
Mo 0
M RA x 0
Fb M RA x x l
40
按照同样方法，在2-2处将梁截开为左右两部分， 仍取左段为分离体，就可求出2-2截面上的内力及 内力矩。
41
③ 剪力和弯矩的符号 截面上的剪力对梁上任意 一点的矩为顺时针转向时， 剪力为正；反之为负。
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24
(3)力偶矩的计算及横截面上的内力
1)外力偶矩
直接计算:
25
按输入功率和转速计算
P Fv
v R P F R T
2n 2n Tn P T T ＝T ＝ 60 60 9.55
2n n 60 30
30 P P T 9.55 n n
PC 15 TC 9.55 9.55 0.478 n 300
kN· m
PD 25 m TD 9.55 9.55 0.796 kN· n 300
(3)求出各段的扭矩 BC段：Tn1-TB=0， Tn1=TB=0.318 kN· m； CA段：Tn2-TB-TC=0，Tn2=TB+TC=0.796 kN· m； AD段：Tn3+TD=0， Tn3=-TD=-0.796 kN· m。
第3章 杆件的内力分析
外力与内力的平衡 内力分量 内力分析与内力图
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截面法 如法选择控制面
例3： A B C 1kN·m D E 2kN F
1.5m
1.5m
1.5m
例4：
A
q
E 4a
B
C
D
a
内力和内力分量 内力分量的正负号规定
平衡微分方程
dFQ dx
= q(x)
dM dx
= FQ
d2M dx
= q(x)
弹性体平衡原理
整体平衡和总体平衡的思想
杆件内力变化规律
1.q=0：剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。 2.q=常数：剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。 3.集中力FQ作用处：剪力图在FQ作用处有突变，突变值等于FP. 弯矩图为一折线， FQ作用处有转折。 4.集中力偶作用处：剪力图在力偶作用处无变化。弯矩图在力 偶作用处有突变，突变值等于集中力偶。
材料力学
内力与内力分量 外力与内力相依关系 内力图的绘制
讲课人：吴昊
1、弹性体受力后，由于变形，其内部各 点均会发生相对位移，因而产生附加的相 互作用力，成为附加内力，简称内力。 2、弹性体内力应满足：①与外力的平衡 关系；②弹性体自身变形协调关系；③力 与变形之间的物性关系。 3、杆件受力变形的几种形式：轴向拉伸 （压缩）、剪切、扭转、弯曲
例1：B、C两处集中载荷F1和F2， F1=5KN，F2=10KN
A
l B l F1 C
F2
例2： 2Me 5Me 3Me
A
l
B
l
C
步骤： 1、根据载荷及约束的作用位置， 确定控制面 2、应用截面法确定控制面上的 剪力和弯矩数值 3、建立FQ-x和M-x坐标系，并 将控制面上的剪力和弯矩值在相 应的坐标系中 4、应用平衡微分方程确定各断 控制面之间的剪力图和弯矩图的 形状。
弹性杆件在外力作用下若保持平衡，则从其上截取 的任意部分也必须保持平衡。 前者称为整体平衡或总体平衡；后者称为局部平衡。 这种整体平衡与局部平衡的关系，不仅适用于弹性 杆件而且适用于所有的弹性体，因而称为弹性体平 衡原理。
两相距无穷小截面所截出的一微段 两相距无穷小截面所截出的一微段 围绕某一点截取出某种微元或微元局部
内力
轴向拉伸（压缩）
剪切
扭转
弯曲
无论杆件横截面上的内力分布如何复杂，总可以将 其向该截面某一简化中心简化，得一主矢和一主矩， 二者分别称为内力主矢和内力主矩。
FNx或FN 称为轴力，它使得杆件产生轴向变形（伸长或缩短） FQy和Qz 称为剪力，均可使杆件产生剪切变形 Mx 称为扭矩，使得杆件产生绕杆轴线转动的扭转变形 My和Mz 称为弯矩，二者均使杆件产生弯曲变形
q(x) y Fp1 q(x) x Fp2
O
x
dx
dFQ
dx
= q(x)
dM
dx
= FQ
d2M = q(x) dx
步骤： 1、确定作用在杆件上的载荷与约束 2、确定轴力图的分段点 3、应用截面法，对截开部分建立平 衡微分方程，确定轴力大小正负 4、建立FN-x坐标系，画出轴力图 轴力FN方向与截面外法线方向相同为 正，即为拉力；相反为负，即为压力。
轴力FN——无论作用在哪一侧截面上，使杆 件受拉者为正；受压者为负。
剪力FQy或FQz——使杆件截开部分产生顺时 针方向转动者为正；逆时针方向转动者为负。
弯矩My或Mz——作用在左侧面上使截开部分 逆时针方向转动；或者作用在右侧截面上使 截开部分顺时针方向转动者为正；反之为负。
扭矩Mx——扭矩矢量方向与截面外法线方 向一致者为正；反之为负。
集中力作用 集中力偶作用 分布载荷间断 分布载荷集度突变
当杆件上的外力（包括载荷与约束力）沿杆的轴线发生突变时， 内力的变化规律也将发生变化。
内力变化规律是指表示 内力变化的函数或图形。 （内力图） 集中力作用点两侧两个无限接近的控制面剪力将发生突变， 集中力偶作用点两侧无限接近的截面弯矩将发生突变。 杆件两个相邻的非无限接近的控制面间的内力将分别按不同的函数规律变化。
采用假想截面在任意处将杆件截为两部分，考 察其中任何部分的受力，由平衡条件，即可得 到该截面上的内力分量。
为了表明杆件内力的一般规律,特引入,一段杆 的两个端截面称为控制面。 下列截面均可为控制面： ◆集中力作用点两侧无限接近的截面。 ◆集中力偶作用点两侧无限接近的截面。 ◆分布荷载（集度相同）的起点和终点处截面。