材料力学 内力与内力图.
材料力学专题一梁的内力和内力图
专题一 梁的内力和内力图例1求图1(a)所示梁截面 A 、C 的剪力和弯矩。
解：1）求反力kN 5=A F ，kN 4=B F2）求A 左截面的内力，如图(a)所示。
0=∑i Y ， 0=+左SA p F F ，kN 3-=左SA F0=∑O M ，02=+⨯左A p M F ， m kN 6⋅-=左A M3）求A 右截面的内力，如图(b)所示。
0=∑i Y ，0=+--A SA p F F F 左，kN 2=左SA F0=∑O M ，02=+⨯右A p M F ， m kN 6⋅-=右A M4）求C 左截面的内力，如图(c)所示。
0=∑i Y ，02=-⨯--左SC P A F q F F ，0=左SC F0=∑O M ，01224=+⨯⨯+⨯-⨯左C A p M q F F ，=左C M m kN 4⋅-=5）求C 右截面的内力，如图(d)所示。
0=∑i Y ，02=-⨯--右SC P A F q F F ，0235=--=右SC F 0=∑O M ，012241=++⨯⨯+⨯-⨯右C A p M M q F F ，=右C M m kN 6⋅-=【小结】①求指定截面上的内力时，既可取梁的左段为脱离体，也可取右段为脱离体，两者计算结果一致。
一般取外力比较简单的一段进行分析。
②在解题时，通常假设截面上把内力为正，若最后计算结果是正，则表示假设的内力方向（转向）与实际是相同的，否则是相反的。
③该题也可以不画受力图，不写平衡方程而由前面的结论直接求得结果。
图1(a)(b)(c)(d) (e)例2试计算图2所示各梁指定截面（标有细线者）的剪力与弯矩。
解：(a)取A +截面左段研究，, 0SA A F F M ++==取C 截面左段研究，, 2SC C Fl F F M == 取B -截面左段研究， , SB BF F M Fl ==(b) 求A 、B 处约束反力如图(d)所示，l M F F e B A /==取A +截面左段研究，, e SA A A e M F F M M l++=-=-=取C 截面左段研究，, 22e e SC A A e A M Ml F F M M F l +=-=-=-⨯=取B 截面右段研究，, 0e SB B B MF F M l=-=-=(c) 求A 、B 处约束反力 取A +截面右段研究，233, 22248SA A l ql l l ql F q M q ++=⨯==-⨯⨯=-取C -截面右段研究，2, 22248SC C l ql l l ql F q M q --=⨯==-⨯⨯=-取C +截面右段研究，2, 22248SC C l ql l l ql F q M q ++=⨯==-⨯⨯=-取B -截面右段研究，0, 0SB B F M --==图2 (b) (a) qB (c) B图(d)例3试写出图3所示梁的内力方程，并画出剪力图和弯矩图。
计算内力与画内力图的技巧
ＯＣＣＵＰＡＴＩＯＮ2012 0926交流E XPERIENCE计算内力与画内力图的技巧余瀚欣 夏志娟 韩美娥 余茂武在材料力学四种基本变形的学习中，计算内力与画内力图是各种基本变形强度与刚度计算的基础。
一般情况下构件不同截面上的内力是不同的，内力随横截面位置而变化。
由于在进行强度与刚度计算时，需要知道各横截面上内力的最大值以及所在截面位置即危险面，因此必须知道内力随截面变化的规律。
为了便于形象直观地看到内力的变化规律，通常是将内力沿构件轴线的变化用图形来表示，这种图形称为内力图。
计算内力画内力图，是每位学者都觉得很头疼的事，而职业院校的学生由于基础相对薄弱学起来就更难，因此对其技巧的探索与研究势在必行。
有不少从教者做了很大的努力，总结不少好的方法，但相比本文介绍的方法还是麻烦了点。
本文介绍的方法简便易行，学生易于接受，增强了学习的主动性和积极性。
下面以三种不同的方法计算扭转变形时的内力、画内力图为例，通过比较说明第三种方法的可行性、简便性与实用性。
例：一传动轴如图１所示。
已知其上作用有外力偶m １＝１００Ｎｍ，m ２＝５０Ｎｍ，m ３＝２０ＫＮｍ，m ４＝３０Ｎｍ，试求轴的扭矩，并画出扭矩图。
一、第一种方法：截面法1.计算轴各段扭矩（见图1）AB 段：Σm x =0，m 2+M n 1=0,M n 1=-m 2=-50Nm （取截面以左分析）BC 段：Σm x =0，m 2+m 3+M n 2=0,M n 2=-m 2-m 3=-70Nm （取截面以左分析）CD 段：Σm x =0，m 4-M n 3=0,M n 3=+m 4=-30Nm （取截面以右分析）1-1，2-2截面扭矩计算出现负值，说明图1中b ）、c )中的假设的扭矩转向与实际相反，实际扭矩矢量方向与横截面的外法线方向相反。
按扭矩正负符号规定，该扭矩为负。
3-3截面扭矩计算出现正值，说明图1d ）中的假设的扭矩转向与实际相同，实际扭矩矢量方向与横截面的外法线方向相同。
材料力学基本第二章 内力与内力图
CB段： BA段：
FN x1 0
FQ x1 F
M x1 Fx1
FN x2 F
FQ x2 0
M x2 F a
0 x1 a
0 x1 a
0 x1 a 0 x2 l
0 x2 l
0 x2 l
2.绘制剪力图和弯矩图
五、平面曲杆的内力图
平面曲杆：轴线为平面曲线的杆件。 内力的符号规定为：弯矩以使曲杆轴线曲率增加者为正，轴力和剪力的符 号规定与前面的相同。
2.6 结论与讨论
结
结论
论 与
• 一个重要概念
讨 论
• 三个微分方程
结
• 一套方法
论
讨论
结
论
与
比较前面三个梁的受力、剪力
讨 论
和弯矩图的相同 之处和不同
之处，从中能得到什么重要结
讨
论？
论
FQ
结
论
与
讨
FQ
论
讨
FQ
论
确定控
结 论 与 讨
制面上剪力 和弯矩有几 种方法？怎
论 样确定弯矩
图上极值点
讨 处的弯矩数
4. 在梁的某一截面上剪力为零，则在这一截面上弯矩有极值。
5. 在梁的某一截面上若作用有集中力，则此处剪力图有突变，突变的值 恰好等于集中力的数值。
6. 在梁的某一截面上若作用有集中力偶，则剪力图不发生变化，但此处 弯矩图会发生突变，突变的值恰好等于集中力偶的数值。
二、剪力、弯矩与载荷集度之间的积分关系
AD段 MeD T3 0
C
d) T3
D
T /Nm
T3 MeD 1018.6 N m e)
1018.6 (+)
材料力学--第2章杆件的内力与内力图
轴力图的画法
画轴力图的步骤：求约束反力、求控制截面上的轴 力、画轴力图。 求任一横截面轴力的简便方法：任一横截面上的轴 力等于该截面一侧杆件上所有外力（包括反力）的代数和； 外力背离截面产生拉力，外力指向截面产生压力。 在分布轴向外力作用下，轴力图为斜直线或曲线。 没有分布轴向外力作用时，整个杆件轴力图为平行于杆件
外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横截面上 的内力──扭矩，圆轴两端受外加扭力矩Me作用时，横截 面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心 的合力矩，称为扭矩（twist moment），用Mx表示。
Me Me
Me
Mx
n
－ 右手螺旋定则
第2章 杆件的内力和内力图
◎ 扭矩与扭矩图
如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线 方向所有横截面上的扭矩都是相同的，并且都等于作用在 轴上的外力偶矩。 当轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴
D
E
2
FA
40kN
FN2
F
x
0， FN2 FA 40 0， FN2 50kN(拉)
第2章 杆件的内力和内力图
求CD段内的轴力
◎ 轴力与轴力图
FA
A
40kN B
55kN
25kN
20kN
C
3
D
E
FN3
25kN
20kN
F
x
0， FN3 25 20 0， FN3 5kN(压)
第2章 杆件的内力和内力图
同理，求得AB、 BC、CD段内力分 别为： FN2 B FB FN3 C FC C FC FN4 FN 2F 5F
◎ 轴力与轴力图
材料力学课件PPT
力学性质：在外力作用下材料在变形和破坏方面所 表现出的力学性能
一
试
件
和
实
常
验
温
条
、
件
静
载
材料拉伸时的力学性质
材料拉伸时的力学性质
二 低 碳 钢 的 拉 伸
材料拉伸时的力学性质
二 低碳钢的拉伸（含碳量0.3%以下）
e
b
f 2、屈服阶段bc（失去抵抗变 形的能力）
b
e P
a c s
s — 屈服极限
（二）关于塑性流动的强度理论
1．第三强度理论（最大剪应力理论） 这一理论认为最大剪应力是引起材料塑性流动破坏的主要
因素，即不论材料处于简单还是复杂应力状态，只要构件危险 点处的最大剪应力达到材料在单向拉伸屈服时的极限剪应力就 会发生塑性流动破坏。
这一理论能较好的解释塑性材料出现的塑性流动现象。 在工程中被广泛使用。但此理论忽略了中间生应力 2的影响， 且对三向均匀受拉时，塑性材料也会发生脆性断裂破坏的事 实无法解释。
许吊起的最大荷载P。
CL2TU8
解： N AB
A [ ]
0.0242 4
40 106
18.086 103 N 18.086 kN
P = 30.024 kN
6.5圆轴扭转时的强度计算
圆轴扭转时的强度计算
▪ 最大剪应力：圆截面边缘各点处
max
Tr
Ip
max
Wp T
Wp
Ip r
—
抗扭截面模量
3、强化阶段ce（恢复抵抗变形
的能力）
o
b — 强度极限
4、局部径缩阶段ef
明显的四个阶段
1、弹性阶段ob
第5章_杆件的内力分析和内力图
②可动铰支座 1个约束力。
如：桥梁下的辊轴支座，滚 珠轴承等。
29
③固定端 3个约束力。
如：游泳池的跳水板支座， 木桩下端的支座等。 4. 梁的三种基本形式
①简支梁
XA YA
MA M — 集中力偶
②悬臂梁
q(x)— 分布力
30
③外伸梁
q — 均布力
P — 集中力
YO Fs(x)Biblioteka –PLM(x) Fs(x) x
P
YOP; M OPL ②写出内力方程 F (x ) s Y O P (0 x L )
x M(x)YOxMO P(xL)(0xL)
M(x)
③根据方程画内力图
x
38
[例3] 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。
(1) P
L
A Fs(x)
FN2= –3P
PD D PD
13
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
OA
BC
D
PA
PB
PC
FN4
FN3
C
PD
PC
求BC段，CD段内力分别为FN3，FN4：设置截面
如图
X 0
FN3= 5P
FN4= P
PD D PD
14
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
平衡：
Fs F
6
二、内力 ·截面法 ·轴力 2、总结：截面法求内力的步骤 ① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用
轴向拉压杆内力和内力图
动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
m2
m3
m1
m4
n
18
A
B
C
D
§8—4 圆轴扭转时的应力、强度计算
一、圆轴扭转时横截面上的应力（超静定问题） 几何关系：由实验通过变形规律→应变的变化规律 物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律 静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式。 一）、几何关系： 1、实验：
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
τ τ2
τ1
A
O
20
5、切应变的变化规律：
tg bb1 bb1 Rd
dx dx dx
a
b
tg
G1G dx
G1G dx
d
dx
b1
d
dx
二）物理关系：弹性范围内工作时 max P
G →
G →
3
三、轴向拉压杆的内力
1—1
1.外力——F
F
F
F
FN
2.内力——FN (轴力) （1）轴力的大小：（截面法确定）
①截开。 ②代替，用内力“FN”代替。 ③平衡， ∑X=0, FN-F=0, FN=F。
4
（2）轴力的符号规定：原则—根据变形 拉伸—拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。 压缩—压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。
1 2
k L2
8பைடு நூலகம்
§8—2剪切与挤压的强度计算
一、工程实例
Ⅰ 剪切的概念
剪切钢板；在钢板上冲圆孔；两块钢板用铆钉相连接； 两块钢板用焊缝相连接。
2章-杆件的内力与内力图-拉压、扭转
§ 2.1 基本概念
2.1.1 内力的概念
《物理学》：指微粒之间的相互作用力，由于这 个作用力的不同，使物体呈现出不同的形态。
《静力学》中：物体之间的相互约束力，称为内约 束力。
此处讲解的内力：在物理学内力的基础上， 变形体在外因的作用下（荷载、温度变化……）， 发生变形，体内各点发生相对位移，从而产生抵 抗变形的相互作用的附加内力，简称内力
4. 建立FN－x坐标系，画轴力图
FN－x坐标系中x坐标轴沿着杆件的轴线方 向，FN坐标轴垂直于x轴。
将所求得的各控制面上的轴力标在FN－x坐标 系中，得到a、和c四点。因为在A、之间以及 、C之间，没有其他外力作用，故这两段中的 轴力分别与A（或）截面以及C（或）截面相同 。这表明a点与点心”之间以及c点之间的轴力 图为平行于x轴的直线。于是，得到杆的轴力 图。
Mx
z Mz
FR M FNx FQy FQz Mx My Mz
FNx——轴力 FQy、 FQz——剪力 Mx——扭矩
My、MZ——弯矩
2.1.2 内力与外力的关系——截面法 1 弹性变形体的平衡原理 2 求内力的方法——截面法
应用平衡的概念，不仅可以确定 构件的支座反力，而且还可以确定构件 上任意横截面上的受力-内力及其沿构 件轴线方向的变化规律，以找出最危险 的截面。
面上的轴力均为正方向（拉力）， 并考察截开后下面部分的平衡。
3. 应用截面法求控制面上的轴力
用 假 想 截面 分 别 从 控 制 面 A、 B'
、B"、 C处将杆截开，假设横截面
FA
FNA 上的轴力均为正方向（拉力），并考
察截开后下面部分的平衡，求得各截
A
A 面上的轴力：
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[例6-3]简支梁受集中力作用, 写出内力方程并画内力图
xx P
Pb
Pa A
RA
, l
RB
l
AC段：
FQ (x)
RA
Pb l
RA
B
C
a
b
l
RB
(0 x a)
M (x)
RA x
Pb l
x
(0 x a)
CB段：FQ (x)
RB
Pa l
(a x l)
Pa M(x) RB (l x) l (l x)
q(x)
(6-1c) FQ (x)
FQ (x) dFQ (x)
二.简易法作剪力图和弯矩图
1、梁上无分布荷载作用：q（x）=0
由：dFQ (x)
dx
q(x)
FQ
(x)
C(常量)
FQ
C>0
剪力图斜率为零，FQ（x）为平
行于X轴的直线。
由： d
M (x) dx
FQ (x)
C
M (x)
Cx
D
弯矩图斜率为常量C，M（x） 斜直线。
平面弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均 位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成 一条位于纵向对称面内的曲线。
二.梁的计算简图
P
1.杆件的简化
用梁的轴线来代替实际的梁
q(x)
2.载荷
3.支座的分类
据支座对梁在载荷面内的约束情 况，一般可简化为三种基本形式
a.固定铰支座 b.可动铰支座 c.固定端支座
（2）求剪力与弯矩
FQ1 RA 5qa / 4 M 2 M1 RA a 5qa2 / 5
FQ3 FQ2 RA qa qa/ 4
M 3 2aRA qa a 3qa2 / 2
FQ4 qa RB
3qa 4
,
M4
5qa 2 4
小结：
FQ
M l l
FQ
M .l .l
二、内力方程与内力图
1. 剪力和弯矩方程 一般情况下：FQ=FQ（x）—剪力方程 M=M（x）弯矩方程
2. 剪力图和弯矩图：
以X轴表示横截面位置，以纵坐标表示相应截面 上的剪力FQ、弯矩M，称为剪力图、弯矩图。
表示FQ、M沿梁轴线变化情况。
q
A
x
RA ql / 2 l
Q ql / 2 •
(a x l)
xx P
A
B C
a
b
Pa / l
l
Pb / l
FQ Pa / l
AC段：FQ (x)
Pb(0 l
x
a)
M (x) Pb x(0 x a)
l
CB段：FQ
(x)
Pa (a l
x
l)
M (x) Pa (l x)(a x l)
l
Pb / l
讨论：a.集中力ｐ作用点C处：
M
(6-1a)
M
(x)
dM
(x)
M
(x)
FQ (x)dx
1 2
q(x)dx2
0
d M (x) dx
FQ (x)
(6-1b)
剪力、弯矩和载荷集度
q(x)
的微分关系:
d FQ (x) q(x) dx
M(x)
M(x) dM(x)
d
M (x) dx
FQ (x)
d2 M (x) d x2
d
FQ (x) dx
Ma
L
M 2 ( x) RB (L x) M
(L x)
L
Mb L
讨论: 集中力偶M作用点C处：
M
M
c
M
c
M
§6-3 剪力、弯矩和载荷集度间的关系
一、剪力和弯矩与载 荷 集度间的微分关系
q(x)
M(x)
q(x)
M(x) dM(x)
x
dx
FQ (x)
FQ (x) dFQ (x)
FQ (x) dFQ (x) FQ (x) q(x)dx d FQ (x) q(x) dx
q0 q0
q0 q0
P
突变P
尖角
C C
m
突变m
C
无变化
[例6-5]作外伸梁的内力图 q
ql RA 8
A
RB
5ql 8
RA
FQ
B
lC l
RB 2
ql / 2
ql / 8
M
ql2 / 8
二、载荷集度、剪力和弯矩的积分关系
d FQ (x) q(x) dx
d FQ (x) q(x) d x
4.静定梁的基本形式 a.简支梁
b.外伸梁 c.悬臂梁
§6-2 梁的内力和内力方程
一. 梁的剪力与弯矩
(1)求支反力
a１
RAA
１
x
l
M
x FQ
RA
P
b B
RB
RAl Pb
Pb RA Pla
RB l (2)1-1面上的内力
P
M
剪力
FQ
RA
Pb l
弯矩 M RA x
FQ
RB
M Pbx l
M
ql2 / 8 •
[例6-2]简支梁受均布荷载,
B
求内力方程并画内力图
ql
RB a.求支反力 RA RB 2
ql / 2 b.求内力方程
ql FQ (x) RA qx 2 qx
(0 x l)
ql / 2•
M (x) q l x qx x
2
2
q 2
x
l 2
2
ql2 8
(0 x l)
• Pab / l
FQ
FQ
c
FQ
c
P
剪力发生突变，突变量为P
[例6-4]用静力法作出受集中如图简支梁的内力图
M A
C
RA
a
b
B
RA
RB
M L
AC : (0 x a)
RB
FQ1 ( x)
RA
M L
FQ
M
M1(x) RAx
M L
x
CB : (a x l)
L
FQ 2 ( x)
RB
M L
M
M C>0
2、梁上作用有均布荷载q（x）=C
由：dFQ (x)
dx
q(x)
C
FQ (x)
Cx
D
C<0 C<0
剪力图斜率为q（常量），FQ（x）斜直线。
由： d
M (x) dx
FQ (x)
Cx
D
FQ
q0
q0
M (x) 1 Cx2 Dx E
2
（弯矩图为二次抛物线）
顶点（极值点）： M
令
d
M (x) dx
FQ (x)
0求出
当 d2 M (x) d x2
q( x)
>0有极小值
当 d2 M (x) d x2
q( x)
<0有极大值
q0 q0
注意坐标方向 不同、曲线开 口不同。
各种形式荷载作用下的剪力、弯矩图
载荷情况
无载荷(q=0)
剪力图
FQ 0 FQ 0
弯矩图
FQ 0 FQ 0
均布载荷(q=c)
㈩
㈠
剪力FQ的符号规定
左上右下为正
FQ
FQ FQ
FQ
弯矩M的符号规定
㈩
㈠
或使该段梁顺
时针转动为正
上压下拉(上凹下凸)为正
FQ1 FQ2
FQ3
[例6-1]求梁1-1、2-2、3-3
和4-4截面上的剪力和弯矩。
解：（1）求支座反力
FQ4
由 M B 0得
由 M A 0得
5
RA
74
qa
RB 4 qa
弯曲内力
§6-1对称弯曲的概念及梁的计算简图
一. 弯曲的概念
1.工程实例 桥梁，屋梁，车轴都 是最常见梁的例子。 2.定义
当作用在杆件上的载荷和 支反力都垂直于杆件轴线 时，杆件的轴线因变形由 直线变成了曲线，此变形 称为弯曲变形。
工程中以弯曲变形为主的杆件称为
纵向对称面：梁的轴线与横截面纵向对称轴 所构成的平面