动生电动势和感生电动势
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动生电动势和感生电动势
§6-2 动生电动势和感生电动势动生电动势：回路或其一部分在磁场中的相对运动所产生的感应电动势。
感生电动势：仅由磁场的变化而产生的感应电动势。
一 动生电动势图6 - 5 动生电动势动生电动势的产生可以用洛伦兹力来解释。
长为l 的导体棒与导轨构成矩形回路abcd 平放在纸面内，均匀磁场B 垂直纸面向里。
当导体棒ab 以速度v 沿导轨向右滑动时，导体棒内自由电子也以速度v 随之一起向右运动。
每个自由电子受到的洛伦兹力为B v F ⨯-)(=e ,方向从b 指向a ，在其作用下自由电子向下运动。
如果导轨是导体，在回路中将形成沿着abcd 逆时针方向的电流。
如果导轨是绝缘体，则洛伦兹力将使自由电子在a 端累积，从而使a 端带负电，b 端带正电，在ab 棒上产生自上而下的静电场。
当作用在自由电子上的静电力与洛伦兹力大小相等时达到平衡，ab 间电压达到稳定值，b 端电势比a 端高。
这一段运动导体相当于一个电源，它的非静电力就是洛伦兹力。
电动势定义为单位正电荷从负极通过电源内部移到正极的过程中，非静电力K 所作的功，即B v F K ⨯=-=e.动生电动势为ε⎰⎰+-⋅⨯=⋅=l B v l K d )(d ba .(6.4)均匀磁场情况：若v ⊥ B , 则有ε = B l v ；若导体顺着磁场方向运动，v // B ，则有 v ⨯ B = 0，没有动生电动势产生。
因此，可以形象地说，只有当导线切割磁感应线而运动时，才产生动生电动势。
普遍情况：在任意的恒定磁场中，一个任意形状的导线线圈L (闭合的或不闭合的)在运动或发生形变时，各个线元d l 的速度v 的大小和方向都可能是不同的。
这时，在整个线圈L 中产生的动生电动势为ε l B v d )()(⋅⨯=⎰L .(6.5)图6 - 6 洛伦兹力不作功洛伦兹力对电荷不作功：洛伦兹力总是垂直于电荷的运动速度，即v ⊥F v ，因此洛伦兹力对电荷不作功。
第19讲动生电动势与感生电动势
解：由 B 0, 与B同向 感生电场沿逆时针。 t
取逆时针回路, r < R 时
l Ei dl
B dS S t
l
Ei
dl
cos
0
B t
dS
cos
Ei
2
r
dB dt
r2
r dB Ei 2 dt
××××× ×××××××
r × × × × × × ×
×××××××
×R× × × × B
r > R时，
3. 动生电动势的计算
作为电源的这段运动导体杆，其中的洛仑兹力 是非静电力。
非静电力 对应的非静电场强 由电动势定义
Fk e(v B)
Ek
Fk e
v
B
i Ek dl
运动导线ab产生的动生电动势为
i
(v B) dl
l
例题1 有一半圆形金属导线在匀强磁场中作切 割磁力线运动。已知 v, B, R. 求动生电动势.
解：
d (v B)dl
dl Rd v B
vB sin900 dl cos
2
vBR cos d 2 vB2R 有效段！
b dl
d
v
0：与假定的方向相同
R
B
方向：a b
a
例题2 如图，长为L 的铜棒在匀强磁场中以角速度 ω绕 o 轴转动。求：棒中感应电动势的大小 和方向。
解：取如图所示微元(此微元暗示了假定的正方向)
C × × ×O× ×
B t
Ei Dx
L
d Ei dx cos
r dB dx cos
2 dt
r dB Ei 2 dt
逆时针
r cos h
动生电动势和感生电动势
棒中 i Bl v 且由 M
N
棒所受安培力
F IBl
B l v R
o
2
2
R l F
B
I
M
v
方向沿 ox 轴反向
x
12 – 2、3 动生电动势和感生电动势
第十二章电磁感应
F IBl
B l v R
2 2
2
2
方向沿 ox 轴反向
N
棒的运动方程为
m dv dt dv v
第十二章电磁感应
ev1 Bv 2 ev2 Bv1
f m 2 v1 f m1 v2
0 f m1
v2
fm2
BF
结论：洛仑兹力作功等于零。即需外力克服洛仑 兹力的一个分力使另一分力对电荷作正功
v 1
v
12 – 2、3 动生电动势和感生电动势
12 – 2、3 动生电动势和感生电动势
第十二章电磁感应
a) 0 r R
r L
L
E感 dl
B t
S
B dt
dS
B t
S
E感 2r
dS
r
2
E感
r B 2 t
B t
B
dB dt
Ii
B
0
i
Ii
i
dB dt
0
E感
B t
0 B t
E感
0
12 – 2、3 动生电动势和感生电动势
第十二章电磁感应
12.2 动生电动势和感生电动势
此时电荷积累停止， 两端形成稳定的电势差 两端形成稳定的电势差。 此时电荷积累停止，ab两端形成稳定的电势差。 洛仑兹力是产生动生电动势的根本原因 洛仑兹力是产生动生电动势的根本原因. 是产生动生电动势的根本原因
动生电动势的公式
非静电力
f = −e(v × B)
f 定义 Ek为非静电场强 Ek = = v ×B −e
S
A B ××× ×
ω ××v × ×
非均匀磁场
例 一直导线CD在一无限长直电流磁场中作 一直导线 在一无限长直电流磁场中作 切割磁力线运动。 切割磁力线运动。求：动生电动势。 动生电动势。 解：方法一
dε = ( v × B )⋅ dl I l dl µ0I 0 0 D sin90 dl cos180 =v C 2πl b a µ0vI dl =− 方向 D→C → 2πl µ0vI a+b dl µ0vI a + b ε =− ∫a l = − 2π ln a 2π
×××× ⊗ o ×××× B ×××× h
C
∂B ∂t
××
L
D
解:
ε i = ∫ E涡 • dl
L
r dB E涡 = 2 dt
dε = E涡 • dl r dB dl cosθ = 2 dt
h dB dl = 2 dt
⊗o
B
⊗
θ
∂B ∂t
E涡
r h
l dl
L
θ
C
D
h dB 1 dB εCD = ∫L dl = 2hL dt 2 dt
O
解：方法一 取微元
dε = ( v × B )⋅ dl
= Bvdl = Blωdl
εi = ∫ dεi = ∫0 Blωdl
动生电动势与感生电动势
【解】由于金属棒处在通电导线的非均匀磁场中，因此必
须将金属棒分成很多长度元dx，规定其方向由A指向B。这样 在每一dx处的磁场可以看作是均匀的，其磁感应强度的大小为
B 0I
2x
根据动生电动势的公式可知，dx小段上的动生电动势为
d动
(v
B)
dl
Bv
cos
dx
0I
2x
vdx
由于所有长度元上产生的动生电动势的方向都相同，所以金
d
dt
d dt
S
B
dS
又根据电动势的定义可得
L EK dl
式中，EK为感生电场的电场强度。感生电场的电场强度是 非静电性场强。
则有
L EK
dl
d dt
B dS B dS
s
s t
dB
s
S t
若闭合回路是静止的，即所包围面积S不随时间变化，即
S 0 ，则上式可写成
t
B L EK dl s t dS
性场强为
Ek
fL (e)
vB
根据电动势的定义可得，动生电动势为
a
动
L Ek
dl
(v B) dl
b
上式是动生电动势的一般表达式。由上式可知，动生电动势
的方向是非静电性场强 Ek v B 在运动导线上投影的指向。
【例9-2】如下图所示，长直导线 中通有电流I＝10A，有一长l＝0.1m的 金属棒AB，以v＝4m·s-2的速度平行于 长直导线作匀速运动，棒离导线较近的 一端到导线的距离a＝0.1m，求金属棒 中的动生电动势。
1861年，英国物理学家麦克斯韦提出感生电场的假设，认为 由于磁场变化而产生一种电场，是这个电场使导体中自由电子作 定向运动而形成电流。麦克斯韦还认为，即使没有导体，这种电 场同样存在。这种由变化磁场激发的电场称为感生电场。
动生电动势和感生电动势
Ek
1 2
B t
r
1 2
kr
2. r > R 区域
作半径为 r 的环形路径，并以逆
时针为回路绕向，则同理有
2rEk
S
B t
ds
R2k
R
o
r
r
B
1 B R2 1 R2
Ek 2 t
r
k 2r
Foundation - SJYGGF
§ 13.2 动生电动势和感生电动势
Nov 5, 2002 9/33
随时间均匀增加， dB k dt
若铝圆盘的电导率为γ，求盘内 的感应电流。
见书P212页，例4
R
解： 取半径为r、宽为dr的圆环微 元，并以逆时针方向为正方向，则 微元环中元电动势为
d L Ek dl L Ek dl
1 kr 2r dl kr2
20
o
r
dr
B
微元环中的电阻为 dR 1 2r hdr
Foundation - SJYGGF
§ 13.2 动生电动势和感生电动势
Nov 5, 2002 21/33
4) 电度表记录电量
电度表记录用电量，就是
利用通有交流电的铁心产生交
变的磁场，在缝隙处铝盘上产
o
生涡电流，涡电流的磁场与电
磁铁的磁场作用，表盘受到一
转动力矩，使表盘转动。
o’
Foundation - SJYGGF
感生电动势
1. 感生电动势——回路不动或不变，因磁场随时间变 化产生的电动势。相应的电流称为感生电流。
2. 感生电动势的起源——感生电场Ek 1) Maxwell感生电场（涡旋电场）假设
Maxwell 1861年首先从理论上预言感生电场的存在，后 被Hertz的电磁波实验所证实。Maxwell假设： 变化的磁场要在其周围空间激发一种电场——感生电场
感生电动势和动生电动势
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在这种电场力的作用下定向移动,产生感应 电流,或者说产生感应电动势.变化的的磁
场能在周围空间激发电场,这种电场叫感应 电场,由感生电场产生的感应电动势称为感 生电动势.
感生电动势在电路中的作用就是 电源,其电路就是内电路,当它与 外电路连接后就会对外电路供电.
感应电场是产生感应电流或感应电动势 的原因,感应电场的方向同样可由楞次定 律判断.
X X CX
伦兹力为F洛=QVB,F洛方向向上,正 X X XF洛 电荷向上运动,使导体下端出现负电 X XL X V 荷,结果上端C的电势高于下端D的 X X XF电 电势,出现由C指向D的静电场,此时 X X DX 电场对正电荷的作用力是向下,与洛 伦兹力方向相反,当二力互相平衡时， ＣＤ两端随时随地彰显尊贵身份。
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在这种电场力的作用下定向移动,产生感应 电流,或者说产生感应电动势.变化的的磁
场能在周围空间激发电场,这种电场叫感应 电场,由感生电场产生的感应电动势称为感 生电动势.
感生电动势在电路中的作用就是 电源,其电路就是内电路,当它与 外电路连接后就会对外电路供电.
感应电场是产生感应电流或感应电动势 的原因,感应电场的方向同样可由楞次定 律判断.
X X CX
伦兹力为F洛=QVB,F洛方向向上,正 X X XF洛 电荷向上运动,使导体下端出现负电 X XL X V 荷,结果上端C的电势高于下端D的 X X XF电 电势,出现由C指向D的静电场,此时 X X DX 电场对正电荷的作用力是向下,与洛 伦兹力方向相反,当二力互相平衡时， ＣＤ两端随时随地彰显尊贵身份。
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§10-2. 动生电动势与感生电动势
（3）感生电场是无源场。
S
E dS 0.....( 4)
B t E
• 涡旋电场无源其电里力线是闭合曲线。 3、感生电动势的非静电力—感生电场对电 11 荷的作用力 F eE 。
4.感生电场和静电场的比较 (1)相同点：都对电荷有作用力。
不同点 产生的原因 电力线 静电场 电荷 电力线有头有尾
I B1 0 2d
B2 2 (d a)
0 I
I
1 : B DA 2 : B CB 回路中总感应电动势方向沿顺
时针．
1
d
B 2
a
15
10-11）
在金属杆上取距左边直导线为，则
I B1 0 2r
B B1 B2
图中电动势的方向：从负极a正极b;
b
(1)动生电动势的大小：
（3）式 (v B) dl 仅适用 a
a
f
v
于计算切割磁场线的导体中的感 应电动势。 (4)积分是沿着运动的导线进行的。
3
（5）若ab导体为闭合回路则动生电动势为： (v B) dl .....(1)
0…………（2）
10
（2）感生电场是非保守场。
d B l E dl dt SB d S S t d S........(10.4)
B dS 代入（2）式，得： S
n S l
• dS的正方向与l成右手螺旋关系
b
r Iv Iv dr d l sin 0 Iv sin dl 0 dr0 a 2 r r 2 r d 2 r 0 Iv d l sin ln 2 d v B：b a
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×
× × × × ×
×
× × ×
×
× ×
× v× B
× × × ×
×
× f1 ×
×
f1 对电子做正功！
B
×
14
13-2
× × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×
动生电动势和感生电动势
× × × × A× × × × × × × × × × × × × × × × ×
10
13-2
× × × × × × × × × ×
I I
动生电动势和感生电动势 A
× × × × × ×
I
Ｃ ×
× ×
×
× ×
×
× ×
× ×
× × × ×
×
× ×
×
× × f ×
×
v
B
×
运动导体棒AB作为电源，A端相当于电源的 正极，B端相当于负极；不断地将电子从电源A 端通过电源内部搬运到电源B端, 洛仑兹力就是此 电源的非静电力，即动生电动势中的非静电力。
× f2 ×
× × ×
×v ×
B
× u×
×
f 2 对电子做负功！
B
×
15
13-2
×
× × × × × ×
动生电动势和感生电动势 A
×
×
×
× × × × × ×
×
× × × × × ×
×
× × × × × ×
×
× × × × × ×
×
× × ×
×B
×
×
× f2 ×
×v
×
f×
BvL sin
L
v
B
19
13-2
动生电动势和感生电动势
典型结论
BvL sin
特例 L
B
v
0
BvL
v
v
B
B
20
13-2
动生电动势和感生电动势
例2
力线运动。已知： v , B , R.
有一半圆形金属导线在匀强磁场中作切割磁
求：动生电动势。 解：方法一 作辅助线，形成闭合回路
感生电场力
i E涡 dl
L
30
13-2
动生电动势和感生电动势
由电动势的定义
i E涡 dl
L
结合法拉第电磁感应定律
dΦ i dt
dΦ Ε涡 dl dt L
d ( Β dS ) dt S
B dS t
× × × × × ×
I I
动生电动势和感生电动势 A
× × × × × ++ × × × ×
IＣ
×
v
×
×
×
×
×
×
× ×
× ×
×
×
× × －－ × ×
B
金属导轨将导体棒AB两端连接起来，这 样在导轨中将出现沿着ACB方向的电场，金属 中的自由电子在电场力作用下沿着BCA方向定 向运动，形成沿着ACB方向的电流。
切割的磁场线
18
13-2
动生电动势和感生电动势
均匀磁场
例1
已知v : , B , , L
平动
求:
0
解： d ( v B ) dl
vB sin 90 dl cos( 90 )
0
Bv sin dl
Bv sin dl
vB dl
取微元 dl
d (v B) dl
Bvdlcos Bl dl
i d i Bl dl
0 L
1 BL2 2
v A B O l dl
符号表明方向为
AO
24
13-2 动生电动势和感生电动势 方法二 作辅助线，形成闭合回路OACO Φm B dS BdS
方向：a
d
vB dl
b
v
B
22
a
13-2
动生电动势和感生电动势
均匀磁场
转动
例3 如图，长为L的铜棒在磁感应强度为B
求：棒中感应电动势的大小 和方向。
的均匀磁场中，以角速度 绕O轴转动。
A B
23
O
解：方法一
13-2
动生电动势和感生电动势
L的积分方向成右手螺旋关 系
S
S
L
32
B 构成左旋关系。 4） E 涡 与 t B t E涡 E涡
B dS 3） L E涡 dl S t B 是曲面上的任一面元上磁感应强度的变化率 t 不是积分回路线元上的磁感应强度的变化率
v
1
b
13-2
动生电动势和感生电动势
b、感应电流的效果总是反抗引起感应电 a 流的原因。
f
v
b
c、直接由感应电动势的符号来确定其方向。
的正方向与 Φm 的正方向符合右手螺旋。
即由b指向a。
2
13-2
动生电动势和感生电动势
1 BS OACO BL2 2 dΦm 1 2 d i BL 2 dt dt 1 BL2 2
问 题
S
S
A B O C
v
符号表示方向沿AOCA OC、CA段没有动生电动势 把铜棒换成金属圆盘， 中心和边缘之间的电动势是多少？
Fm
+ v
+
+ + + +
Ek dl OP ( v B ) dl
l
12
设杆长为
l 0vBdl vBl
讨 论
13-2
动生电动势和感生电动势
（1）洛仑兹力是否做功？
× × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×
法拉第电磁感应定律告诉我们：
当穿过闭合回路中的磁通量发生变化 时，回路中就会产生感应电动势。穿 过闭合回路中的磁通量变化主要有下 述不同方式：
3
13-2
动生电动势和感生电动势
4
13-2
动生电动势和感生电动势
一 动生电动势 引起磁通量变化的原因 1）稳恒磁场中的导体运动 2）导体不动，磁场变化 电动势
25
13-2 例4
动生电动势和感生电动势
一直导线CD在一无限长直电流磁场中作 切割磁力线运动。求：动生电动势。
解：方法一
d (v B) dl
vB
v
dl
0 I D v sin dl cos C 2l 2 b a 0 vI dl 方向 D C 2l 0vI a b dl 0vI a b ln 2 a l 2 a 26
I
l
13-2 方法二
动生电动势和感生电动势
作辅助线，形成闭合回路CDEF
B dS
S
a
a
d i dt
0 Ix a b ln 2 a
0 I xdr 2r
I a
方向
DC
v
X
0 I a b dx ( ln ) 2 a dt 0 Iv a b ln 2 a
9
13-2
× × × × × × × × × × × ×
× × × × × × × × × ×
I I
动生电动势和感生电动势 A
× × × × × × × ++ ×Ｆ × ×
I
Ｃ ×
× ×
× × f ×
－－ × f ×
v
B
随着电子定向运动到A端，两端累积的电荷 减少，电场减弱，向下的洛仑兹力将大于向上 的电场力。在洛仑兹力的作用下，电子克服电 场力继续从A端通过导体棒回到B端，从而保持 两端有稳定的电荷累积，有稳定的电势差。
×
×
× u f
B
1×
×
× u
×
P ( f1 f 2 ) ( u ) (e B eu B) ( u )
eBu euB 0
总洛仑兹力与总速度垂直，不做功！
16
讨 论
×
×
13-2
动生电动势和感生电动势
（2）回路中的电能从何而来？
A×
× f
×
× ×
× v×
×
× ×
× ×
× ×
× ×
× ×
× ×
× ×
× ×
× ×
× ×
× ×
× ×
× ×
B
B
×
×
×
×
×
×
×
×
13
13-2
× × × × × × × ×
动生电动势和感生电动势
× × × A× × × × ×
×
× × × × ×
×
× × × × ×
×
× × × × ×
×
× × × × ×
13-2
动生电动势和感生电动势
讨 论
（3）动生电动势与切割磁场线
d l 线元在单位时间 dΦm / dt 为：