江西师范大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题

2018—2019学年度上学期期末考试高二数学（理）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数3()f x x =，()f x '是()f x 的导函数，若0()12f x '=，则0x =（ ）A.2B ． 2-C ．2±D ．2．命题“对任意R x ∈,都有22019x ≥”的否定是（ ）A. 对任意R x ∈，都有22019x <B. 不存在R x ∈，使得22019x <C. 存在R x ∈0，使得202019x ≥D. 存在R x ∈0，使得202019x <3．复数(1)(2)z i i =++，则其对应复平面上的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．由直线6x π=-，6x π=，0y =与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为( )A.12B.1C.25．已知函数2()xf x e x -=+，[1,3]x ∈，则下列说法正确的是( )A ．函数()f x 的最大值为13e +B ．函数()f x 的最小值为13e+ C ．函数()f x 的最大值为3 D ．函数()f x 的最小值为36. 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ） A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数 B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数 C ．a ，b ，c 都是奇数 D ．a ，b ，c 都是偶数7. 已知函数()2ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A. B. C. D.8．设函数()()2ln 1f x x m x =++有两个极值点，则实数m 的取值范围是( )A.()11,2-B.(10,2)C.(10,2]D. (]11,2-9. 已知函数2()1xf x e x x =+++与()23g x x =-，P 、Q 分别是函数()f x 、()g x 图象上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A ．5BC ．5D ．10．下列命题中，真命题是（ ）A ．设12,z z C ∈，则12z z +为实数的充要条件是21,z z 为共轭复数；B ．“直线l 与曲线C 相切”是“直线l 与曲线C 只有一个公共点”的充分不必要条件； C ．“若两直线12l l ⊥，则它们的斜率之积等于1-”的逆命题；D ．()f x 是R 上的可导函数，“若0x 是()f x 的极值点，则0()0f x '=”的否命题．11.已知12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，两条渐近线分别为12,l l ，经过右焦点2F 垂直于1l 的直线分别交12,l l 于,A B 两点，若||||2||OA OB AB +=，且2F 在线段AB 上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B C. 2 D 12．已知函数20()(2)xt f x t t e dt ⎡⎤=-⎣⎦⎰，则()f x 在()0,+∞的单调递增区间是( )A ．(0,)+∞B ．C ．)+∞D ．(2,)+∞二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13．设函数)0(1)(>+=x x x x f ,观察：1)()(1+==x x x f x f ，12))(()(12+==x x x f f x f ， 13))(()(23+==x x x f f x f ，14))(()(34+==x xx f f x f ，，根据以上事实，由归纳推理可得：2019()f x = .14．4322x dx ππ- -+=⎰⎰．15．已知直线1:43110l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是．16．已知[1,2)a ∀∈，0(0,1]x ∃∈，使得00ln 22aax ax e m +>++，则实数m 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分10分)已知命题:p 函数1)(23+-=mx x x f 在[1,2]x ∈上单调递减；命题:q 曲线22126x y m m-=--为双曲线． （Ⅰ）若“p 且q ”为真命题，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知函数3()2f x x x =+-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,8)处的切线方程；（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标.19．(本小题满分12分)已知直线l 过点()0,1P ，圆22:680C x y x +-+=，直线l 与圆C 交于,A B 不同两点．（Ⅰ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在过点()6,4Q 且垂直平分弦AB 的直线1l ？若存在，求直线1l 斜率1k 的值，若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)已知函数1()ln(1)1xf x ax x-=+++（0x ≥），其中0a >． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）若()f x 的最小值为1，求实数a 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，经过2F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且1F AB ∆的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）记12AF F ∆与12BF F ∆的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值．22. (本小题满分12分)已知函数()(2)(ln ln )f x ax a x =--（其中0x >，0a >），记函数()f x 的导函数为()()g x f x '=．（Ⅰ）求函数()g x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得()0f x ≤对任意正实数x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由．2018—2019学年度上学期期末考试 高二数学（理）试卷参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. CDABD BABBC AD二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13．20191xx + 14．8π 15．3 16. (,e 1)-∞-三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．【】（Ⅰ）若p 为真命题，2()320f x x mx '=-≤在[1,2]x ∈恒成立，即32m x ≥在[1,2]x ∈恒成立，∵32x 在[1,2]x ∈的最大值是3，∴3m ≥① 若q 为真命题，则(2)(6)0m m -->，解得26m <<，②若“p 且q ”为真命题，即p ，q 均为真命题，所以326m m ≥⎧⎨<<⎩，解得36m ≤<，综上所述，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围为[3,6)；………………5分 （Ⅱ）若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，即p ，q 一真一假， 当p 真q 假时，326m m m ≥⎧⎨≤≥⎩或，解得6m ≥，当p 假q 真时，326m m <⎧⎨<<⎩，解得23m <<，综上所述，实数m 的取值范围为(2,3)[6,)+∞．………………………………………10分18．【】（Ⅰ）2()31f x x '=+，所以(2)13f '=………………………………………3分所以所求的切线方程为813(2)y x -=-，即13180x y --=………………………6分 （Ⅱ）设切点为3000,2)x x x +-（，则200()31f x x '=+…………………………………7分 所以切线方程为()()320000231()y x x x x x -+-=+- ……………………………9分 因为切线过原点，所以 ()()320000231x x x x -+-=-+，所以3022x =-，解得01x =-，…………………………………………………………11分所以(1)4f '-=，故所求切线方程为4y x =， 又因为(1)4f -=-，切点为(1,4)-- ………12分 19． 【】（Ⅰ）法1：直线l 的方程为1y kx =+，则由{221680y kx x y x =++-+=得()()212690k x x x ++-+=由()()22=263610k k ∆--+>得224360k k -->，故304k -<<………………6分 法2：直线l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，圆心为C （3，0），圆的半径为1则圆心到直线的距离d =因为直线与有交于A ，B1<，故304k -<<．………………6分（Ⅱ）假设存在直线1l 垂直平分于弦AB ，此时直线1l 过()()6,4,3,0Q C ， 则1404633k -==-，故AB 的斜率34k =-，由（1）可知，不满足条件． 所以，不存在直线1l 垂直于弦AB ． ………………12分20．【】（Ⅰ）求导函数可得22222()1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-'=+=++++． ∵()f x 在1x =处取得极值，∴(1)0f '=，∴2204(1)a a -=+错误！未找到引用源。

，解得1a =；…………4分经检验，1a =时()f x 在1x =处取得极小值，符合题意，所以1a = …………5分（Ⅱ）222()(1)(1)ax a f x ax x +-'=++， ∵0x ≥，0a >，∴10ax +>，10x +>．当2a ≥时，在区间[0,)+∞上()0f x '≥，()f x 递增，()f x 的最小值为(0)1f =．…8分当02a <<时，由()0f x '>，解得x >；由()0f x '<，解得0x ≤<∴()f x的单调减区间为，单调增区间为)+∞．…………10分 于是，()f x在x =处取得最小值(0)1f f <=，不合． 综上可知，若f （x ）的最小值为1，则实数a 的取值范围是[2,)+∞．…………12分 21．【】（Ⅰ）因为1(1,0)F -为椭圆C 的焦点，所以1c =，由椭圆的定义知，1F AB ∆的周长为1212(||||)(||||)2248AF AF BF BF a a a +++=+==，解得2a =，所以2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；………………4分 （Ⅱ）设直线l 的方程为1x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得22(34)690m y my ++-=，则122634m y y m +=-+，…………7分 12121212216||||(||||)234m S S F F y y y y m -=-=+=+，当0m =时，120S S -=， 当0m ≠时，1226||64343||||m S S m m m -==≤=++，（当且仅当m =12S S -．…………12分 22．【】（Ⅰ）12()()(ln ln )(2)()ln ln g x f x a a x ax a a a x a x x'==-+--=--+， ∴22()a g x x x '=--，∵0x >，0a >，∴22()0a g x x x'=--<恒成立， ∴()g x 的单调减区间为(0,)+∞，无递增区间；………………4分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知()g x 在(0,)+∞上单调递减，所以()0g x =在(0,)+∞上必存在实数根，不妨记0()0g x =，即002ln ln 0a a a x a x --+=，可得002ln ln 1x a ax =-+ ………（*）当0(0,)x x ∈时，()0g x >，即()0f x '>，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x <，即()0f x '<， 所以()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减， 所以max 000()()(2)(ln ln )f x f x ax a x ==--，………………8分 把（*）式代入可得max 000024()(2)(1)4f x ax ax ax ax =--=+-， 依题意max 0004()()40f x f x ax ax ==+-≤恒成立，又由基本不等式有00440ax ax +-≥，当且仅当0042ax ax ==时等号成立，解得02ax =，所以02x a=． 代入（*）式得，2lnln a a =，所以2a a=，又∵0a >，所以解得a =综上所述，存在实数a =()0f x ≤对任意正实数x 恒成立．………………12分解法二：要使(2)(ln ln )0ax a x --≤对(0,)x ∀∈+∞恒成立，①20ax -≥即2x a ≥时，ln ln a x ≤，解得x a ≥，所以2max{,}x a a ≥， ②20ax -≤即2x a ≤时，ln ln a x ≥，解得x a ≤，所以2min{,}x a a≤，依题意可知，①、②应同时成立，则2a a=，又∵0a >，所以解得a =。