1位似多边形定义
第15讲 位似图形
第15讲位似图形目标导航课程标准1.了解位似图形、位似中心的概念，掌握位似图形的性质，理解位似变换是特殊的相似变换。
2.会画位似图形，能够利用位似把一个图形放大或缩小。
3.掌握位似图形坐标的变化规律，会利用这个规律求某些特殊点的坐标。
知识精讲知识点01 位似多边形的有关概念一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点A，A 所在的直线都，且有，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做。
实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。
注意：位似图形与相似图形的区别位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形。
知识点02 位似图形的性质（1）位似图形上任意一对对应点到的距离之比等于相似比；（2) 位似图形上的每组和在同一条直线上；（3）位似图形的对应线段。
（4）位似图形是特殊的相似图形，因此位似图形具有。
知识点03 位似图形的画法1．位似变换利用位似图形的性质将一个图形进行或叫做位似变换。
2．画位似图形的一般步骤（1）确定位似中心。
（2）确定原图形的，通常是多边形的顶点。
（3）分别原图形中的和，并延长（或截取）。
（4）根据已知的相似比，确定所画位似图形 的位置。
（5） 各点，得到放大或缩小后的图形。
3．实例知识点04 平面直角坐标系中的位似变换1．位似多边形对应点的坐标的变化规律在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数)0( k k ，则所对应的图形与原图形位似，位似中心是 ，它们的相似比为 。
2．平移、轴对称、旋转与位似变换的坐标变化规律 名称 变换规律变换方式平移对应点的横坐标（或纵坐标）加上（或减去）平移的单位长度全等变换轴对称 若以x 轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y 轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数。
旋转若一个图形绕原点旋转180，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标均互为相反数。
位似当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横坐标、纵坐标之比的绝对值均等于相似比。
人教版数学九年级下册相似多边形及位似--知识讲解
人教版数学九年级下册相似多边形及位似--知识讲解【学习目标】1、掌握相似多边形的性质及应用；2、了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；3、了解黄金分割值及相关运算.【要点梳理】要点一、相似多边形相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点诠释：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.要点二、位似1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.要点诠释：（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.要点三、黄金分割【高清课程名称： 位似和黄金分割 高清ID 号：394501 关联的位置名称（播放点名称）：黄金分割及总结】定义：如图，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即ABAPAP PB =（此时线段AP 叫作线段PB 、AB 的比例中项），则P 点就是线段AB 的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．要点诠释：1.黄金分割值：设AB=1，AP=x ，则BP=x -1 ∵AB APAP PB = ∴11xx x =- ∴x x -=12∴618.0215≈-=x (舍负) 2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．【典型例题】 类型一、相似多边形1.如图，矩形草坪长20m，宽16m,沿草坪四周有2m宽的环形小路，小路内外边缘所形成的两个矩形相似吗？为什么？【答案与解析】因为矩形的四个角都是直角，所以关键是看矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比是否相等.542016221616EFAB==++=，652420222020EHAD==++=而6554≠，∴EHADEFAB≠∴矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比不相等，因而它们不相似.【总结升华】两个边数相同的多边形，必须同时满足“对应边的比都相等，对应角都相等”这两个条件才能相似，缺一不可.举一反三【变式】（2015•梧州一模）如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a，宽BC=b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b=（）A. 2：1B. ：1C. 3：D. 3：2【答案】B.提示: ∵矩形纸片对折，折痕为EF，∴AF=AB=a，∵矩形AFED与矩形ABCD相似，∴=，即=，∴（）2=2，∴=．故选B．AB CDEF GH2.（2014•甘肃模拟）如图，在长8cm，宽4cm 的矩形中截去一个矩形，使留下的矩形（阴影部分）与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为（）．A. 2cm2B. 4cm2C. 8cm2D. 16cm2【答案】C.【解析】设留下的矩形的宽为x，∵留下的矩形与原矩形相似，∴，∴x=2，∴留下的矩形的面积为：2×4=8（cm2）故答案为：8．故选C．【总结升华】本题主要考查了相似多边形的性质，在解题时要能根据相似多边形的性质列出方程是本题的关键．类型二、位似3. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE放大1.5倍.【答案与解析】即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE相似且相似比为1.5.画法是：1．在平面上任取一点O.2．以O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE.3．在射线OA、OB、OC、OD、OE上分别取点A′、B′、C′、D′、E′，使OA′:OA＝ OB′:OB ＝OC′:OC＝OD′:OD＝OE′:OE＝1.5.4．连结A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′.这样：A′B′AB＝B′C′BC＝C′D′CD＝D′E′DE＝A′E′AE＝1.5.则五边形A′B′C′D′E′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.ABC DEA1B1C1D1E1ABDE4. 如图，矩形OABC 的顶点坐标分别为O （0，0），A （6，0），B （6，4），C （0，4）.画出以点O 为位似中心，矩形OABC 的位似图形OA ′ B ′ C ′ ，使它的面积等于矩形OABC 面积的41，并分别写出A ′、B ′、C ′三点的坐标.【答案与解析】因为矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 是位似图形，面积比为1：4，所以它 们的位似比为1：2. 连接OB ，（1）分别取线段OA 、OB 、OC 的中点A ′、B ′、C ′，连接O A ′、A ′B ′、B ′C ′、 C ′O ，矩形OA ′B ′C ′就是所求的图形.A ′，B ′，C ′三点的坐标分别为A ′（3，0），B ′（3，2），C ′（0，2）. （2）分别在线段OA ，OB ，OC 的反向延长线上截取O A ″、O B ″、O C ″，使OA ″=21OA ，OB ″=21OB ，O C ″=21OC ，连接 A ″B ″、B ″C ″，则矩形O A ″B ″C ″为所求. A ″、B ″、C ″三点的坐标分别为A ″（-3，0），B ″（-3，-2），C ″（0，-2）.【总结升华】平面直角坐标系内画位似图形，若没有明确指出只画一个，一定要把两种情况都画在坐标系内，并写出两种坐标. 举一反三【高清课程名称：位似和黄金分割高清ID号：394501关联的位置名称（播放点名称）：位似作图及例4】【变式】在已知三角形内求作内接正方形．【答案】作法：（1）在AB上任取一点G′，作G′D′⊥BC；（2）以G′D′为边，在△ABC内作一正方形D′E′F′G′；（3）连接BF′，延长交AC于F；（4）作FG∥CB，交AB于G，从F、G分别作BC 的垂线FE， GD；∴四边形DEFG即为所求．类型三、黄金分割5.求做黄金矩形（写出具体做题步骤）并证明.【答案与解析】宽与长的比是512的矩形叫黄金矩形．（心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．）黄金矩形的作法如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．即矩形DCEF为黄金矩形．证明：在正方形ABCD中，取2AB a=，G FF'B CG'∵ N 为BC 的中点，∴ 12NC BC a ==． 在Rt DNC △中，ND ===．又∵ NE ND =，∴ 1)CE NE NC a =-=．∴CE CD ==故矩形DCEF 为黄金矩形．【总结升华】要求熟练掌握多边形相似的比例关系．会利用相似比，求未知线段的长度或比值．举一反三【变式】美是一种感觉，当人的肚脐是人的身高的黄金分割点时，人的下半身长与身高之比约为0.618，人的身段成为黄金比例，给人一种美感．某女士身高165cm ，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应穿高跟鞋的高度大约为（ ） A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm 【答案】D.ABC D EFM N。
4.8第1课时位似多边形及其性质(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与位似多边形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示位似多边形的基本原理，如通过放大镜观察图形的变化。
在讲授过程中，我尽量用简单的语言和直观的图形来解释位似多边形的判定和性质，但显然，对于一些学生来说，这些内容仍然具有一定难度。我考虑在下一节课中，可以增加一些互动环节，比如让学生亲自操作放大镜来观察图形的变化，这样可能会更有助于他们理解位似的概念。
实践活动和小组讨论是今天课堂上的亮点，学生们积极参与，相互讨论，课堂氛围很活跃。通过这样的活动，学生不仅能够加深对位似多边形性质的理解，还能提升他们的团队合作能力和解决问题的能力。不过，我也注意到，有些小组在讨论时可能会偏题，这就需要我在以后的课堂中更加注意引导学生的讨论方向。
3.培养学生的数学建模能力，使学生能够将位似多边形的性质应用于解决实际问题，提高解决问题的策略和技巧。
4.增强学生的数学运算能力，通过计算位似多边形的对应边长、面积等，巩固学生对数学运算的掌握和运用。
5.培养学生的合作交流意识，鼓励学生在小组讨论和分享中，提高表达和倾听能力，发展团队协作精神。
三、教学难点与重点
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解位似多边形的基本概念。位似是指在大小和形状上相似的两个多边形，它是通过对一个多边形进行放大或缩小得到的。位似多边形在几何学中有着重要的地位，可以帮助我们解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了位似多边形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
17.图形的位似—知识讲解
图形的位似--知识讲解【学习目标】1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化.【要点梳理】要点一、位似多边形1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.要点诠释：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.【典型例题】 类型一、位似多边形1. 下列每组的两个图形不是位似图形的是（ ）.A. B. C. D.【思路点拨】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案． 【答案】D【解析】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A 、B 、C 三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D 的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形． 故选D ．【总结升华】位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点． 举一反三【变式】在小孔成像问题中， 根据如图4所示，若O 到AB 的距离是18cm ，O到CD 的距离是6cm ，则像CD 的长是物AB 长的 （ ）.A. 3倍B.21C.31D.不知AB 的长度，无法判断【答案】C2. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.【答案与解析】即是要画一个五边形A ′B ′C ′D ′E ′，要与五边形ABCDE 相似且相似比 为1.5.画法是：1．在平面上任取一点O.2．以O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE.3．在射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上分别取点A ′、B ′、C ′、D ′、E ′，使OA ′:OA ＝ OB ′:OB ＝OC ′:OC ＝OD ′:OD ＝OE ′:OE ＝1.5.4．连结A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′E ′、E ′A ′.这样：A ′B ′AB ＝B ′C ′BC ＝C ′D ′CD ＝D ′E ′DE ＝A ′E ′AE＝1.5.则五边形A ′B ′C ′D ′E ′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧. 【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小. 举一反三【变式】在已知三角形内求作内接正方形．A 1B 1C 1D 1E 1 ABC DE【答案与解析】作法：（1）在AB 上任取一点G ′，作G ′D ′⊥BC；（2）以G ′D ′为边，在△ABC 内作一正方形D ′E ′F ′G ′； （3）连接BF ′，延长交AC 于F ；（4）作FG∥CB，交AB 于G ，从F 、G 分别作BC 的垂线FE ， GD ； ∴四边形DEFG 即为所求．要点二、坐标系中的位似图形在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k (k ≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k |.要点诠释：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k 或-k.类型二、坐标系中的位似图形3.（2015•漳州）如图，在10×10的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，以点A 为位似中心画四边形AB ′C ′D ′，使它与四边形ABCD 位似，且相似比为2． （1）在图中画出四边形AB ′C ′D ′；（2）填空：△AC ′D ′是 三角形．GFF'BCG'【思路点拨】（1）延长AB到B′，使AB′=2AB，得到B的对应点B′，同样得到C、D的对应点C′，D′，再顺次连接即可；（2）利用勾股定理求出AC′2=42+82=80，AD′2=62+22=40，C′D′2=62+22=40，那么AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，即可判定△AC′D′是等腰直角三角形．【答案与解析】解：（1）如图所示：（2）∵AC′2=42+82=16+64=80，AD′2=62+22=36+4=40，C′D′2=62+22=36+4=40，∴AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，∴△AC′D′是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角．【总结升华】本题考查了作图﹣位似变换．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．同时考查了勾股定理及其逆定理等知识．熟练掌握网格结构以及位似变换的定义是解题的关键．4.（2015•枣庄）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是；（3）△A2B2C2的面积是平方单位．【答案与解析】解：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；故答案为：（2，﹣2）；（2）如图所示：C2（1，0）；故答案为：（1，0）；（3）∵A2C22=20，B2C=20，A2B2=40，∴△A2B2C2是等腰直角三角形，∴△A2B2C2的面积是：×20=10平方单位．故答案为：10．【总结升华】此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键．举一反三：【变式】如图，将△AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，•得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？【答案】解：图形的形状和大小都没有变化；可以看作是△AOB绕O•点按逆时针方向旋转180°得到的.图形的位似--巩固练习一. 选择题1.下面给出了相似的一些命题：（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（）.A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2.下列说法错误的是（）.A.位似图形一定是相似图形.B.相似图形不一定是位似图形.C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.3.下列说法正确的是（） .A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE是ABC放大后的图形.B.两位似图形的面积之比等于相似比.C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.4.（2015•营口）如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A（3，4），点C（2，2），点D（3，1），则点D的对应点B的坐标是（）A．（4，2）B．（4，1）C．（5，2）D．（5，1）5. 下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形.其中正确的有( ).A.1个B.2个C.3个D.4个6．如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（）.A. AB：AC=AC：BCB. AC=512AB-C.AB=512AC+D.BC≈0.618AB7.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD 上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）.A. 512-B.512+C.3D.2二.填空题8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为__________.9.已知ABC，以点A为位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的图形，则这样的图形可以作出______个，它们之间的关系是__________.10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A B C D E'''''，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A B C D E'''''的周长的比值是__________．11. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.12. 把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为____________________.13.（2015•钦州）如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第，三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OA n B n C n的边长为正方形OABC边长的倒数，则n=．14. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点（AD＞DC），则BC=______________.三．综合题15.如图，D、E分别AB、AC上的点.(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？16.（2014秋•海陵区校级月考）如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，（1）图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；（2）若AB=2，CD=3，求EF的长．17. 如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=43．（1）求矩形ODEF的面积；（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B【解析】（1）菱形的角不一定对应相等，故错误；（2）（3）（5）符合相似的定义，故正确；（4）对应边的比不一定相等．故错误．故正确的是：（2）（3）（5）．故选B．2．【答案】D.3．【答案】C.4．【答案】C.【解析】设点B的坐标为（x，y），∵△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，∴=，=，解得x=5，y=2，所以，点B的坐标为（5，2）．故选C．5．【答案】B【解析】由位似图形的概念可知③和④对，故选B.6．【答案】D.【解析】∵AC＞BC，∴AC是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，AC=512AB-51AC+AC≈0.618AB．故选D．7.【答案】B.【解析】∵AB=1，设AD=x，则FD=x-1，FE=1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴EF AD FD AB=，111xx=-，解得11+5=2x ,21-5=2x ,（负值舍去）， 经检验11+5=2x 是原方程的解．故选B ．二、填空题8.【答案】50cm.9.【答案】2个； 全等.10.【答案】1：2．【解析】∵五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′位似，OA=10cm ，OA ′=20cm ，∴五边形ABCDE ∽五边形A ′B ′C ′D ′E ′，且相似比为：OA ：OA ′=10：20=1：2， ∴五边形ABCDE 的周长与五边形A ′B ′C ′D ′E ′的周长的比为：OA ：OA ′=1：2． 故答案为：1：2．11.【答案】 .【解析】由BC ∥DE 可得△ADE ∽△ABC ，所以，故.12.【答案】2:1.【解析】矩形ABCD 对折后所得矩形与原矩形相似，则矩形ABCD ∽矩形BFEA ，设矩形的长为a ，宽为b ．则AB=CD=b ，AD=BC=a ，BF=AE=2a ，根据矩形相似，对应边的比相等得到：,BF EF AB BC 即：2=ab b a，则b 2=22a ∴22=2,a b∴2=1a b13. 【答案】16.【解析】由图形的变化规律可得×256=，解得n=16．14. 【答案】25-2.【解析】∵AB=AC ，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°，∴∠BDC=72°，∴BC=BD=AD，∵D点是AC的黄金分割点，∴BC=AD=4×5-12=25-2.三．解答题15.【答案与解析】(1)△ADE和△ABC是位似图形.理由是：DE∥BC，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC，所以.又因为点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C 是对应点，直线BD与CE交于点A，所以△ADE和△ABC是位似图形.(2)DE∥BC.理由是：因为△ADE和△ABC是位似图形，所以△ADE∽△ABC所以∠ADE=∠B所以DE∥BC.16.【答案与解析】解：（1）△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形，理由：∵AB∥CD∥EF，∴△DFE∽△DBA，△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，且对应边都交于一点，∴△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形；（2）∵△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，AB=2，CD=3，∴==，∴==，解得：EF=．17.【答案与解析】（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，∴S矩形ODEF=116S矩形ABCO=116×4×43=3；（2）存在．∵OE=2222312 OF OD+=+=所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆，设点O到AC的距离为h，。
图形的位似
4.8 图形的位似
一、教学目标：熟记位似图形的概念及性质；知道利用位似的性质可以将一个图形放大或缩小；
二、教学难点、重点：会画一个简单图形的位似图形，掌握位似图形坐标的变化规律。
三、概念：
四、讲课过程：
【相关知识链接】
1、相似多边形：、的两个多边形叫做相似多边形；
2、相似多边形的性质：。
【学习过程】
一、观察下列几幅图片：
二、问题：上图几幅图形有什么特征？
学生活动：学生通过观察了解到有一类相似图形，除具备相似的所有性质外，还有其特性，学生自己归纳出位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形. 这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为相似比.（位似中心可在形上、形外、形内.) 每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．
三、归纳总结：
知识点1、位似多边形的概念：
如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P’所在的直线都经过同一点O，且有OP’=k·OP（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心，k就是相似比。
例如下图：。
图形的位似
图形的位似知识点一：位似的定义与位似作图图中的多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么特征？总结：位似图形：1.定义:如果两个相似图形的每组对应点所在的直线，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做中心，这两个图形的相似比又叫它们的2.性质：（1）位似变换是相似变换的特例，所有位似图形一定是但相似图形不一定是（2）位似图形的对应点和位似中心在，它们到位似中心的距离之比等于，（3）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；（4）对应边平行或在一条直线上知识点二：位似与坐标变换如图,在平面直角坐标系中,有两点O(0，0),A（3,0），B(2，3)以原点O为位似中心，相似比为2：1，把△OAB扩大，观察对应点之间的坐标变化，你有什么发现总结：1. 在平面直角坐标系中，将一个多边形的每个顶点的横坐标、纵坐标都乘以同一个数K（），所对应图形与原图形，位似中心是它们的相似比是2.在平面直角坐标系中，如果位似变换以原点为位似中心，相似比为K，那么位似图形对应点的坐标的比是练习1:如图，△ABC在方格中（1）请在方格中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为A（2,3），C（5,2）并求出B点的坐标（2）以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形练习2：如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B(3，1)，B′(6，2)．(1)请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题：①若点A(2.5，3)，则A′的坐标为；②△ABC与△A′B′C′的相似比；(2)若△ABC的面积为m，求△A′B′C′的面积．(用含m的代数式表示)练习3:如图，平面直角坐标系xoy中，点A，B的坐标分别为（3,0），（2，-3），△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且O′的坐标为（-1,0）.（1）画出△AB′O′；（2）点B′的坐标为．练习4:如图，将△ABC在网格中（网格中每个小正方形的边长均为1）依次进行位似变换、轴对称变换和平移变换后得到△A3B3C3．（1）△ABC与△A1B1C1的位似比等于；（2）在网格中画出△A1B1C1关于y轴的轴对称图形△A2B2C2；（3）请写出△A3B3C3是由△A2B2C2怎样平移得到的？（4）设点P（x，y）为△ABC内一点，依次经过上述三次变换后，点P的对应点的坐标为．提高练习:1.如图，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和F的坐标分别是（3,2），（-1，-1），则两个正方形的位似中心的坐标是2.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x 轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是3.如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A（3，4），点C（2，2），点D（3，1），则点D的对应点B的坐标是4.如图，△ABC的两个顶点BC均在第一象限，以点A（0,1）为位似中心，在y轴左方作△ABC的位似图形△AB’C’，△ABC与△AB’C’的位似比为1:2，若设点C的纵坐标是m，则其对应点C’的纵坐标是。
位似图形PPT课件
整合方法·提升练
15 【中考•淄博】在探究固体熔化时温度的变化规律实验 中，实验装置如图甲所示．
整合方法·提升练
(3)图丙是该物质熔化时温度随时间变化的图像．分析图 像 发 现 ： 该 物 质 是 __晶__体____( 填 “ 晶 体 ” 或 “ 非 晶 体”)，熔化过程持续了____5____min.
◆位似中心可能位于两个位似图形的同侧，也可能位于两个位似图
形之间，还可能位于两个位似图形的内部或边上或某一个顶点处.
常见位似图形的构成如图.
感悟新知
例例11：判断如图所示的各图中的两个图形是否是位 似图形，如果是，请指出其位似中心．
解：①是位似图形，位似中心 为点A；②是位似图形，位似 中心为点P；③不是位似图形； ④是位似图形，位似中心为点 O；⑤不是位似图形．
出热量．
夯实基础·逐点练
5 【南京建邺区期末】下表为几种物质在1标准大气压 下的熔点和沸点，下列说法中正确的是( )
物质 铁 水银 酒精 钨
熔点/℃ 1 535 －38.8 －117 3 410
沸点/℃ 2 750 357 78 5 927
夯实基础·逐点练
11 下列现象中不属于熔化现象的是( B )
整合方法·提升练
【点拨】 读图可知，BC段时这种物质吸热，但温度不再升高，说明
此时物质达到了熔点，正在熔化，因此这种物质属于晶体，该 晶体从3 min开始熔化，到6 min结束，则在t＝6 min时，该物质 已经全部熔化成液态，故CD段物质为液态，故A、C错误；在 BC段，该物质不断吸热，但温度不变，故B错误；该物质凝固 时对应的温度是45 ℃，凝固点为45 ℃，故D正确．
OA 一试.
复习提问 引出问题
图形的位似课件北师大版数学九年级上册
内
E' O C'
部
A' B'
A
B
知识精讲
2. 位似图形的性质
（1）对应点所在的直线经过位似中心；
（2）任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）对应边平行或在同一条直线上.
D
′ ′′
=
.
D'
O
C'
E'
A'
D
C
E
B'
B
①
A
′ ′′
=
.
C
E
D'C'
E'
A A'OB' B
②
知识精讲
3. 位似图形的画法（将一个图形放大或缩小）
（1）确定位似中心和图形上的关键点；
（2）连接位似中心与关键点并延长所得线段；
（3）根据相似比确定位似图形上的关键点；
A'
（4）顺次连接位似图形上的关键点，得到位似图形.
A
画一个△A′B ′C ′，使它与∆位似，且相似比为2.
C'
C
O
B
′
分析： 设 = .
由矩形的周长
矩形与矩形′ ′ ′是位似图形
=
′ ′
D'
D
A
C'
C
B
用表示的长
用表示AB ′ , ′的长
B'
典例精讲
【例题3】如图，矩形与矩形′ ′ ′是
位似图形，为位似中心.已知矩形的周长为
24，′ = 4，′ = 2，求, 的长.
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如果两个相似多边形每组对应顶点 A,A ' 的连线都经过同一个点O，而且有 OA´=k· OA( k≠0），那么这样的两个多 边形叫做位似多边形, 点O叫做位似中心. 实际上，k就是这两个相似多边形的相似 比。
2. 位似多边形的性质
（1）位似多边形是相似多边形。
（2）位似多边形上任意一对对应点到 位似中心的距离之比等于相似比。
议一议
在直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为 O（0,0），A（6,0），B（3,6），C（-3,3）. 已知四边形O′A′B′C′与四边形OABC是以原点O为位 似中心的位似四边形，且相似比是3:2，请写出四边形 O′A′B′C′各个顶点的坐标. 一、 O′（0,0） A′（9,0） B′（4.5,9） C′（-4.5,4.5） 二、 O′（0,0） A′（-9,0）B′（-4.5,-9） C′（4.5,-4.5） 结论：与四边形OABC的顶点坐标相比，每个对应顶点 的横坐标、纵坐标同乘 3 或 3
学习目标： 掌握位似图形在直角坐标系下 的点的坐标的变化规律。 能利用直角坐标系下位似图形 对应点坐标变化的规律来解决问 题。
在直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为 O（0,0），A（3,0），B（2,3）. （1）将点O，A，B的 横、纵坐标都乘以2， 得到三个点O′，A′，B′， 请写出这三个点的坐标 并在坐标系中标出来。 （2）△O′A′B′与△OAB 位似吗？为什么？ （3） △O′A′B′与△OAB 位似中心是什么？ 位似中心的位置呢？ O′ （4） △O′A′B′与△OAB 相似比是多少？ （4）如果将点O，A，B 的横、纵坐标都乘以-2 呢？
2
2
补例：在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐标
分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),在纸上画出它以 原点O为位似中心,与四边形ABCD相似比为1:2的位似图形。 y
A
D
A′
B
D′ B′ C’’
x
B’’
C
C′
o
解：如图，因为O为位似中心，位似比为 1：2 ， A’’
O′(0,0) A′(6△OAB的横、纵坐标分别乘2和-2， 得到的两个不同的三角形都是△OAB 的位似图形，位似中心都是原点O， 相似比都是2：1，它们关于原点成中 心对称。
在直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为 O（0,0），A（5,0），B（5,3），C（2,4）. 将点O，A，B，C的横、纵坐标都乘 1 ，得到四点， 2 这四点的坐标是什么？ 以这四个点为顶点的四边形O′A′B′ C′与四边形 OABC位似吗？为什么？位似中心是什么？位似中心 y C′与四边形OABC相似 的位置的呢？四边形O′A′B′ 比又是多少？
将每个对应顶点的横坐标、纵坐标同乘1/2或-1/2，分别 D’’ 得到四个点，依次连接点就是要求作的位似图形。
结论4
位似图形在直角坐标系下的 点的坐标的变化规律
在平面直角坐标系中, 以原点O为位似 中心,位似比为k,若原图形上点A的坐标 为（x，y），那么位似图形对应点A’ 的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）
（3）位似多边形中的对应线段平行 （或在一条直线上）。
3、两个结论
结论1：位似图形是相似图形的特殊情形
结论2：位似中心的位置由两个图形的位置决 定，可能在两个图形的同侧，异侧，图形的内 部，边上，或顶点上。
4、利用位似图形可解决实际问题
可放大或缩小图形
同学们想一想
如果把位似图形放到直角坐标系中，又 如何去探究位似变换与坐标之间的关系呢？
﹒
O′(0，0)
A′(2.5，0) B′(2.5，1.5) C′(1，2)
C
B
C′
B′
o
A′
A
x
在直角坐标系中有一个多边形，仿照上面的的要求操作，能 得到相同的结论吗？ y
o
x
（3）通过前面的探究，你发现了什么？
结论3
我的发现
在直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的 横、纵坐标都乘以同一个数k（k≠0，1）， 所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐 标原点，它们的相似比为∣k∣。
随堂练习
课本第127页随堂练习
小结
1. 位似图形的定义
2.位似图形的性质
3.利用位似的特殊性质可以把一个图形放大或缩小
4.有关的四个结论
四个结论
结论1：位似图形是相似图形的特殊情形 结论2：位似中心的位置由两个图形的位置决定， 可能在两个图形的同侧，异侧，图形的内部，边上， 或顶点上。 结论3：在直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的 横、纵坐标都乘以同一个数k（k≠0，1），所对应的 图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的 相似比为∣k∣. 结论:4：在平面直角坐标系中, 以原点O为位似中心,位 似比为k,若原图形上点A的坐标为（x，y），那么位似 图形对应点A’的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）
练习
1．已知：E（－4，2），F（－1，－1），以O为位似 中心，按比例尺1∶2，把△EOF缩小，则点E的对应点 E′的坐标为（ A ） A．（2，－1）或（－2，1） B．（8，－4）或（－8，4） C．（2，－1） D．（8，－4）
2．如上图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是 位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF 与△ABC的面积比是（ B ） A ．1 ︰2 B ．1 ︰4 C ．1 ︰5 D ．1 ︰6