赏析幂函数的图象特征及应用

一、幂函数图像的分布规律

幂函数图像的分布规律可用“一全有、二一偶、三一奇、四全无”来说明。

1.“一全有”：指所有幂函数的图像在第一象限都出现，

分布情况如图1所示，其特点如下：①抓住三条特征

线：直线x=1，y=x ，y=1把幂函数的图像分为三个区

域，这三个区域对应着幂函数y=x α在α<0,0<α<1,

α>1时的图像；②第一象限内幂函数y=x α图像的区

域分布情况为：在直线x=1的右边，α越大，图像越高，越趋向于直线x=1；在直线x=1的右边，α越小，其图像越低，越趋向于x 轴。

2.“二一偶”：指当幂函数为偶函数时，其图像关于y 轴对称，即幂函数的图像出现在第一、第二象限。

3.“三一奇”：指当幂函数为奇函数时，其图像关于原点对称，即幂函数的图像出现在第一、第三象限。

4.“四必无”：指由定义，知幂函数的图像不可能出现在第四象限。

二、幂函数图像的应用

1.识别图像

例1.图2中 的曲线是幂函数y=x α在第一象限的图像，已知α取±2，±12四个值，则其相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的α依次为（ ）

A.-2，-12，12，2

B.2，12，-12，-2

C.- 12，-2，2，12

D.2，12，-2，-12

解：根据幂函数的图像特点，立即可以断定相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值排序是由大到小，故选B 。

2.用于判断方程的个数

例2.方程x 2=2x 的根的个数为（ ）

A.1

B.2

C.3

D.

解：令f（x）=x2，g（x）=2x，在同一坐标平面内作出这两个函数的图象，如图三所示，由图可知，交点有三个，所以方程x2=2x的根的个数为3，故选C。