人教版高中数学选修1-1导学案第三章 §3.3 3.3.2 函数的极值与导数
3．3.2函数的极值与导数学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．知识点一极值点与极值的概念1．极小值点与极小值图1如图1，函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值如图1，函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．特别提醒：如何理解函数极值的概念(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值．(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个．(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系．(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．(5)单调函数一定没有极值．知识点二求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．1．导数值为0的点一定是函数的极值点．( × ) 2．极大值一定比极小值大．( × ) 3．函数f (x )＝1x有极值．( × )4．函数的极值点一定是其导函数的变号零点．( √ )一、极值与极值点的判断与求解 命题角度1 知图判断函数的极值例1 已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )( )A ．在(－∞，0)上为减函数B ．在x ＝0处取极小值C ．在(4，＋∞)上为减函数D ．在x ＝2处取极大值答案 C解析 由导函数的图象可知，当x ∈(－∞，0)∪(2,4)时，f ′(x )>0，当x ∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f ′(x )<0，因此f (x )在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以在x ＝0处取得极大值，在x ＝2处取得极小值，在x ＝4处取得极大值，故选C.反思感悟 通过导函数值的正负号确定函数单调性，然后进一步明确导函数图象与x 轴交点的横坐标是极大值点还是极小值点．跟踪训练1 如图为y ＝f (x )的导函数的图象，则下列判断正确的是( )①f (x )在(－3，－1)上为增函数；②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在(2,4)上为减函数，在(－1,2)上为增函数；④x ＝2是f (x )的极小值点． A ．①②③ B ．②③ C ．③④D ．①③④答案 B解析 当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )<0，当x ∈(－1,2)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－3，－1)上为减函数，在(－1,2)上为增函数，∴①不对；x ＝－1是f (x )的极小值点；当x ∈(2,4)时，f ′(x )<0，f (x )是减函数；x ＝2是f (x )的极大值点，故②③正确，④错误． 命题角度2 求函数的极值或极值点 例2 求下列函数的极值． (1)f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1； (2)f (x )＝x 2－2ln x .解 (1)函数f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1的定义域为R ， f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x ＋2)(x －1)， 解方程6(x ＋2)(x －1)＝0，得x 1＝－2，x 2＝1. 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝－2时，f (x )取极大值21； 当x ＝1时，f (x )取极小值－6.(2)函数f (x )＝x 2－2ln x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x ，解方程2(x ＋1)(x －1)x ＝0，得x 1＝1，x 2＝－1(舍去)．当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：因此当x＝1时，f(x)有极小值1，无极大值．反思感悟求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)．(2)求f(x)的驻点，即求方程f′(x)＝0的根．(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．特别提醒：在判断f′(x)的符号时，借助图象也可判断f′(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断．跟踪训练2已知函数f(x)＝e x(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y ＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．解(1)f′(x)＝e x(ax＋b)＋a e x－2x－4＝e x(ax＋a＋b)－2x－4，f′(0)＝a＋b－4＝4，①又f(0)＝b＝4，②由①②可得a＝b＝4.(2)f(x)＝e x(4x＋4)－x2－4x，则f′(x)＝e x(4x＋8)－2x－4＝4e x(x＋2)－2(x＋2)＝(x＋2)(4e x－2)．令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝－ln 2，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值， 极大值为f (－2)＝4(1－e －2)． 二、已知函数极值(或极值点)求参数例3 (1)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1处有极值0，则a ＝________，b ＝________. (2)若函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1有极值点，则实数a 的取值范围为________．答案 (1)2 9 (2)(－∞，1)解析 (1)∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，且函数f (x )在x ＝－1处有极值0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，此时函数f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数． 故f (x )在x ＝－1处取得极小值，∴a ＝2，b ＝9. (2)∵f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意得方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的实数根， ∴Δ＝4－4a >0，解得a <1.反思感悟 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．跟踪训练3已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)·(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)C．(0,1) D．(－1,0)答案 D解析若a<－1，∵f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f(x)在x＝a处取得极小值，与题意不符；若－1<a<0，则f(x)在(－1，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，从而在x＝a处取得极大值．若a>0，则f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意矛盾，故选D.三、函数极值的综合应用例4已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．解因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1，所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.当x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0.所以f(x)的单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调减区间为(－1,1)，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.作出f(x)的大致图象如图所示．因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合f (x )的图象可知，m 的取值范围是(－3,1)． 延伸探究若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？ 解 由本例解析可知当m ＝－3或m ＝1时，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有两个不同的交点；当m <－3或m >1时，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象只有一个交点．反思感悟 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．跟踪训练4 已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝13 f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围． 解 由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3， 可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，∴13 f ′(x )＋5x ＋m ＝13(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m ，则由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m 的图象与x 轴有三个不同的交点． ∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8＝(3x －2)(x －4)， ∴令g ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝4.当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：则函数g (x )的极大值为g ⎝⎛⎭⎫23＝6827－m ，极小值为g (4)＝－16－m .∴由y ＝f (x )的图象与y ＝13 f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，得⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝⎛⎭⎫23＝6827－m >0，g (4)＝－16－m <0， 解得－16<m <6827.即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－16，6827.1.函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点 答案 C解析 f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值，f ′(x )的符号由负变正，则f (x 0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，且f (x )在x ＝－3时取得极值，则实数a 等于( ) A ．5 B ．3 C ．4 D ．2 答案 A解析 因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，则f ′(－3)＝3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，所以a ＝5. 3．已知函数f (x )＝x ＋1x ，则f (x )( )A ．有极大值2，极小值－2B ．有极大值－2，极小值2C ．无极大值，但有极小值－2D ．有极大值2，无极小值 答案 B解析 函数的定义域为{x |x ≠0}，因为f (x )＝x ＋1x ，所以f ′(x )＝1－1x 2，令f ′(x )＝1－1x 2＝0，得x ＝±1.当x <－1或x >1时，f ′(x )>0；当－1<x <0或0<x <1时，f ′(x )<0.所以当x ＝－1时函数有极大值－2；当x ＝1时函数有极小值2.4．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－1,2)B ．(－3,6)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)答案 D解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6， 因为f (x )既有极大值又有极小值， 则Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)>0， 解得a >6或a <－3.5．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 答案 2解析 由题意，得f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．当x <0时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.故当x ＝2时取得极小值．1．知识清单：(1)极值点与极值的概念． (2)求函数极值的方法． (3)函数极值的应用．2．方法归纳：数形结合、分类讨论． 3．常见误区：极值与导数的关系．1．函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( ) A ．p 是q 的充要条件 B ．p 是q 的充分不必要条件C ．p 是q 的必要不充分条件D ．p 是q 的既不充分也不必要条件 答案 C解析 当f ′(x 0)＝0时，x ＝x 0不一定是f (x )的极值点， 比如，y ＝x 3在x ＝0时，f ′(0)＝0， 但在x ＝0的左右两侧f ′(x )的符号相同， 因而x ＝0不是y ＝x 3的极值点．由极值的定义知，x ＝x 0是f (x )的极值点必有f ′(x 0)＝0. 综上可知，p 是q 的必要不充分条件． 2．设函数f (x )＝32x 2－ln x ，则( )A ．x ＝－33是f (x )的极大值点 B ．x ＝－33是f (x )的极小值点 C ．x ＝33是f (x )的极小值点 D ．x ＝33是f (x )的极大值点 答案 C解析 由已知，得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝3x －1x ＝3x 2－1x ，令f ′(x )＝0，得x ＝33⎝⎛⎭⎫x ＝－33舍去.当x >33时，f ′(x )>0；当0<x <33时，f ′(x )<0.所以当x ＝33时，f (x )取得极小值，从而f (x )的极小值点为x ＝33，无极大值点． 3．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是( ) A ．(2,3) B ．(3，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，3)答案 B解析 因为函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，又f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，所以f ′(2)＝0，解得a ＝－15.令f ′(x )>0，解得x >3或x <2，所以函数的一个单调递增区间是(3，＋∞)．4.设三次函数f (x )的导函数为f ′(x )，函数y ＝x ·f ′(x )的图象的一部分如图所示，则( )A ．f (x )的极大值为f (3)，极小值为f (－3)B ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)C ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)D ．f (x )的极大值为f (3)，极小值为f (－3)答案 D解析 当x <－3时，y ＝xf ′(x )>0，即f ′(x )<0；当－3<x <3时，f ′(x )≥0；当x >3时，f ′(x )<0.∴f (x )的极大值是f (3)，f (x )的极小值是f (－3)．5．函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则点(a ，b )为() A ．(3，－3) B ．(－4,11)C ．(3，－3)或(－4,11)D ．不存在答案 B解析 f ′(x )＝3x 2－2ax －b ，∵当x ＝1时，f (x )有极值10，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3－2a －b ＝0，f (1)＝1－a －b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4，b ＝11或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝－3，验证知当a ＝3，b ＝－3时，在x ＝1处无极值，∴a ＝－4，b ＝11.6．函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________．答案 y ＝－1e解析 令y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ＝0，得x ＝－1，∴y ＝－1e ，∴函数y ＝x e x 在极值点处的切线方程为y ＝－1e. 7.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋2，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数的极小值是________．答案 2解析 由图象可知，当x <0时，f ′(x )<0，当0<x <2时，f ′(x )>0，故当x ＝0时，函数f (x )取极小值f (0)＝2.8．若直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有三个相异的公共点，则实数a 的取值范围是________．答案 (－2,2)解析 令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可得f (x )的极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，所以当－2<a <2时恰有三个相异的公共点．9．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点．(1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．解 (1)因为f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ，所以f ′(x )＝a x＋2bx ＋1. 依题意得f ′(1)＝f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0， 解方程组得a ＝－23，b ＝－16. (2)由(1)知，f (x )＝－23ln x －16x 2＋x (x >0)， 故f ′(x )＝－23x －13x ＋1＝－(x －1)(x －2)3x. 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )<0.故在x ＝1处函数f (x )取得极小值56，在x ＝2处函数取得极大值43－23ln 2. 所以x ＝1是函数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点．10．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a .(1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值是f ⎝⎛⎭⎫－13＝527＋a ， 极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )>0，x 取足够小的负数时，有f (x )<0，∴曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．由(1)知f (x )极大值＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝527＋a ， f (x )极小值＝f (1)＝a －1.∵曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，∴f (x )极大值<0或f (x )极小值>0，即527＋a <0或a －1>0，∴a <－527或a >1，∴当a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．11．函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(－∞，3)C ．(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，32答案 D解析 令y ′＝3x 2－2a ＝0，得x ＝±2a3.由题意知，2a3∈(0,1)，即0<2a3<1，解得0<a <32.12．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为() A.427，0 B ．0，427C ．－427，0 D ．0，－427答案 A解析 f ′(x )＝3x 2－2px －q .由f ′(1)＝0，f (1)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝2，q ＝－1，所以f (x )＝x 3－2x 2＋x .由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0，得x ＝13或x ＝1，易得当x ＝13时f (x )取极大值427.当x ＝1时f (x )取极小值0.13．已知a ∈R ，且函数y ＝e x ＋ax (x ∈R )有大于零的极值点，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫－∞，－1e D.⎝⎛⎭⎫－1e ，＋∞答案 A解析 因为y ＝e x ＋ax ，所以y ′＝e x ＋a .令y ′＝0，即e x ＋a ＝0，则e x ＝－a ，即x ＝ln(－a )， 又因为x >0，所以－a >1，即a <－1.14．已知函数f (x )＝x 4＋9x ＋5，则f (x )的图象在(－1,3)内与x 轴的交点的个数为________． 答案 1解析 因为f ′(x )＝4x 3＋9，当x ∈(－1,3)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－1,3)上单调递增．又f (－1)＝－3<0，f (0)＝5>0，所以f (x )在(－1,3)内与x 轴只有一个交点．15.已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示，给出以下说法：①函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数；②函数f (x )在区间(－1,1)上无单调性；③函数f (x )在x ＝－12处取得极大值； ④函数f (x )在x ＝1处取得极小值．其中正确的说法是________．(填序号)答案 ①④解析 从图象上可以发现，当x ∈(1，＋∞)时，xf ′(x )>0，于是f ′(x )>0，故函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数，①正确；当x ∈(－1,0)时，xf ′(x )>0，于是f ′(x )<0，当x ∈(0,1)时，xf ′(x )<0，于是f ′(x )<0，故函数f (x )在区间(－1,1)上是减函数，②③错误；由于f (x )在区间(0,1)上是减函数，在区间(1，＋∞)上是增函数，所以函数f (x )在x ＝1处取得极小值，故④正确．16．已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a .(1)求函数f (x )的极值；(2)设函数k (x )＝f (x )－h (x )，若函数k (x )在[1,3]上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围． 解 (1)f (x )的定义域是(0，＋∞)．令f ′(x )＝2x －2x＝0，得x ＝1. 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，又f (1)＝1，所以f (x )的极小值为1，无极大值．(2)k (x )＝f (x )－h (x )＝x －2ln x －a (x >0)，所以k ′(x )＝1－2x，令k ′(x )>0，得x >2， 令k ′(x )<0，得0<x <2，所以k (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．要使函数k (x )在[1,3]上恰有两个不同的零点，则需⎩⎪⎨⎪⎧ k (1)≥0，k (2)<0，k (3)≥0，所以2－2ln 2<a ≤3－2ln 3.。
高中数学人教A版选修1-1习题：第三章3.3-3.3.2函数的极值与导数 Word版含答案
第三章导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.2 函数的极值与导数A级基础巩固一、选择题1．可导“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．答案：B2．已知可导函数f(x)，x∈R，且仅在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0解析：因为f(x)在x＝1处存在极小值，所以x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时，f′(x)＞0.答案：C3．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x＜－1或x＞3时，y′＞0；当－1＜x＜3时，y′＜0.故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．答案：C4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.答案：D5．设a∈R，若函数y＝e x＋ax，x∈R有大于零的极值点，则( )A．a＜－1 B．a＞－1C．a＞－1eD．a＜－1e解析：y′＝e x＋a＝0，e x＝－a，因为x＞0，所以 e x＞1，即－a＞1，所以a＜－1.答案：A二、填空题6．函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．解析：f′(x)＝x2－6令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，所以f(x)极大值＝f(－2)＝a＋42，f(x)极小值＝f(2)＝a－4 2.答案：a＋42，a－4 2.7．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处取极大值，在x＝3处取极小值，则a＝________，b＝________．解析：y′＝3x2＋2ax＋b，根据题意知，－1和3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系可求得a＝－3，b＝－9.经检验，符合题意．答案：－3 －98．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示．则下列说法中不正确的是________．①当x ＝32时，函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时，函数取得极小值； ④当x ＝1时，函数取得极大值．解析：由图象可知当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时，函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值．故只有①不正确．答案：① 三、解答题9．已知f (x )＝13x 3－12x 2－2x ，求f (x )的极大值与极小值．解：由已知得f (x )的定义域为R.f ′(x )＝x 2－x －2＝(x ＋1)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↗↘↗因此，当x ＝－1时，f (x )取得极大值，且极大值为f (－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2－2×(－1)＝76；当x ＝2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (2)＝13×23－12×22－2×2＝－103.从而f (x )的极大值为76，极小值为－103.10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，求f (2)的值． 解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝10，f ′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3. 当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0， 所以 f (x )在x ＝1处没有极值，不合题意． 综上可知f (2)＝18.B 级 能力提升1．等差数列{a n }中的a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，则log 2a 2 016的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为f ′(x )＝x 2－8x ＋6，且a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －1的极值点，所以a 1，a 4 031是方程x 2－8x ＋6＝0的两个实数根，则a 1＋a 4 031＝8.而{a n }为等差数列，所以a 1＋a 4 031＝2a 2 016，即a 2 016＝4，从而log 2a 2 016＝log 24＝2.故选A.答案：A2．若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )为三次函数，其导函数f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)为二次函数，要使函数f (x )既有极大值又有极小值，需f ′(x )＝0有两个不等的实数根，所以Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)>0，解得a <－1或a >2.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)3．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＝27＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时， 有f (x )＞0，x 取足够小的负数时， 有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个定点．由(1)知f (x )最大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1.因为曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点， 所以f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0， 即527＋a ＜0或a －1＞0，所以a ＜－527或a ＞1， 所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．。
人教课标版高中数学选修1-1《函数的极值与导数》导学案
§3.3.2函数的极值与导数学习目标1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤.学习过程一、课前准备（预习教材P 93~ P 96，找出疑惑之处）复习1：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数y=f(x) 在这个区间内为 函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的 函数.复习2：用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数()f x '. ②令 解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令 解不等式，得x 的范围，就是递减区间 .二、新课导学※ 学习探究探究任务一：问题1：如下图，函数()y f x =在,,,,,,,a b c d e f g h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？()y f x =在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()y f x =的导数的符号有什么规律？看出，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其它点的函数值都 ，()f a '= ；且在点x a =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0. 类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其它点的函数值都 ，()f b '= ；而且在点x b =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0. 新知：我们把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的 ，刻画的是函数的 .试试：（1）函数的极值 （填是，不是）唯一的.(2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值.(3)函数的极值点一定出现在区间的 (内，外)部，区间的端点 （能，不能）成为极值点.反思：极值点与导数为0的点的关系：导数为0的点是否一定是极值点.比如：函数3()f x x =在x=0处的导数为 ，但它 （是或不是）极值点. 即：导数为0是点为极值点的 条件.※ 典型例题例1 求函数31443y x x =-+的极值.变式1：已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求 (1) 0x 的值；(2)a ，b ，c 的值.小结：求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)求方程f ′(x )=0 (4)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.变式2：已知函数32()3911f x x x x =--+.（1）写出函数的递减区间；（2）讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；（3）画出它的大致图象.※ 动手试试练1. 求下列函数的极值：（1）2()62f x x x =--；（2）3()27f x x x =-；（3）3()612f x x x =+-；（4）3()3f x x x =-.练2. 下图是导函数()y f x '=的图象，试找出函数()y f x =的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.三、总结提升※ 学习小结1. 求可导函数f (x )的极值的步骤；2. 由导函数图象画出原函数图象；由原函数图象画导函数图象.※ 知识拓展函数在某点处不可导,但有可能是该函数的极值点.由些可见：“有极值但不一定可导”学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数232y x x =--的极值情况是（ ）A ．有极大值，没有极小值B ．有极小值，没有极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也极小值2. 三次函数当1x =时，有极大值4；当3x =时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ）A ．3269y x x x =++B ．3269y x x x =-+C ．3269y x x x =--D ．3269y x x x =+-3. 函数322()f x x ax bx a =--+在1x =时有极值10，则a 、b 的值为（ ）A ．3,3a b ==-或4,11a b =-=B ．4,1a b =-=或4,11a b =-=C ．1,5a b =-=D ．以上都不正确4. 函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时有极值10，则a 的值为5. 函数32()3(0)f x x ax a a =-+>的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围为课后作业1. 如图是导函数()y f x '=的图象,在标记的点中，在哪一点处（1）导函数()y f x '=有极大值？（2）导函数()y f x '=有极小值？（3）函数()y f x =有极大值？（4）导函数()y f x =有极小值？2. 求下列函数的极值：（1）2()62f x x x =++；（2）3()48f x x x =-.。
高中数学人教版选修1-1 3.3.2函数的极值与导数 教案1
3.3.2 函数的极值与导数教学教法分析(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与其导数的关系，并会灵活应用；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．过程与方法通过对具体问题的观察、分析来增强学生数形结合的思维意识，提高学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力，及灵活运用类比、归纳、化归等数学方法的能力．3．情感、态度与价值观通过设立问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与交流活动．通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立、自强的优良心理品质．通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度．●重点、难点重点：函数的极值的判断方法及求函数极值的步骤．难点：函数在某点取得极值必要条件和充分条件．观察图象特征、自主探究、小组合作总结归纳出求极值方法步骤，并了解极值存在的充分条件和必要条件，从而突破重点、难点．教学方案设计(教师用书独具)●教学建议本节课力在突出“以学生为主体”的教学理念．以问题探究为主要形式，依照学生的认知规律，采用自主学习与合作探究相结合的模式．教师在整堂课中引导着学生探索出函数的极值与导数的关系．对于检验学生学习的效果，采用问题和练习的形式给予检查和纠正．本着“学生是教学活动出发点，也是教学活动的落脚点”的教学思想，在整个教学活动中，不断激发学生的学习兴趣，让学生真正的参与到知识的成长过程．主要从以下几个方面对学生进行指导：(1)引导学生观察图象，产生认知冲突．极值好像是最值，又不是最值．(2)激发探究欲望．学生产生疑问之后，指导学生思考怎样解决问题，培养学生的分析和解决问题的能力．(3)指导学生合作探究，小组讨论并得出结论．●教学流程创设问题情境，引出问题：在x＝a b点附近，函数值有何特点？⇒引导学生结合给出图象，观察、比较、分析，导出问题答案，给出极值概念.⇒通过引导学生回答所提问题，理解极大值与极小值大小的辩证关系.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握求函数极值的步骤和方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握已知函数的极值求参数的方法.⇒通过例3及其变式训练，理解极值的含义，并学会通过极值解决综合问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学(对应学生用书第58页)课标解读1.理解极值的定义．(难点)2．掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值．(重点)3．会根据函数的极值求参数的值．(难点)知识点极值点与极值【问题导思】函数y＝f(x)的图象如图所示．1．函数在x＝a点的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？【提示】函数在点x＝a的函数值比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小 . 2．f′(a)为多少？在点x＝a附近，函数的导数的符号有什么规律？【提示】f′(a)＝0，在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.3．函数在x ＝b 点处的情况呢？【提示】 函数在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0.1．极小值点与极小值函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0.则把点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．2．极大值点与极大值函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0.则把点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．【问题导思】函数的极大值一定大于极小值吗？【提示】 不一定，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值可能比极小值还小.课堂互动探究 (对应学生用书第58页)类型1求函数的极值例题1 求下列函数的极值点和极值． (1)f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；(2)f (x )＝3x ＋3ln x .【思路探究】原函数――→求导导函数―→f ′x ＝0的点x 0――→判断两侧符号极值【自主解答】 (1)f ′(x )＝x 2－2x －3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝－1，如下表所示：x (－∞，－1)－1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )极大值143极小值－6∴f (x )极大值＝143，f (x )极小值＝－6.(2)函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3x －1x 2， 令f ′(x )＝0得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋f (x )极小值3因此当x ＝1 规律方法1．求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求f ′(x )＝0的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．2．函数极值和极值点的求解步骤： ①确定函数的定义域； ②求方程f ′(x )＝0的根；③用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格； ④由f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，来判断f (x )在这个根处取极值的情况． 变式训练求函数y ＝2x ＋8x的极值．【解】 函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． y ′＝2－8x 2，令y ′＝0，得x ＝±2.当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表： x (－∞，－2)－2 (－2,0) (0,2) 2 (2，＋∞) y ′＋－－＋y －8 8由表知：当x ＝－2时，y 极大值＝－8； 当x ＝2时，y 极小值＝8.类型2由函数的极值求参数例题2 已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－23时都取得极值，且f (－1)＝32，求a 、b 、c 的值．【思路探究】 (1)函数在x ＝1和x ＝－23时都取得极值，说明f ′(1)与f ′(－32)的结果怎样？(2)你能由已知条件列出方程组求解a 、b 、c 吗？【自主解答】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，令f ′(x )＝0，由题设知x ＝1与x ＝－23为f ′(x )＝0的解．∴⎩⎨⎧1－23＝－23a ，1×－23＝b3.解得a ＝－12，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－x －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，－23)－23 (－23，1) 1 (1，＋∞) f ′＝(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x )2227＋c－32＋c由上表知，函数在x ＝1与－23处取得极值．∴a ＝－12，b ＝－2.∴f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1. 规律方法已知函数的极值情况，逆向应用来确定参数或求解析式时应注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解． (2)因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证． 变式训练已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1和x ＝3处有极值，求a 、b 的值． 【解】 由f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2，得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b . 又f (x )在x ＝－1和x ＝3处有极值， ∴f ′(－1)＝3＋b －6a ＝0，① f ′(3)＝27＋18a ＋b ＝0.②联立①②，得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－9.∴f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)． 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下：∴a ＝－1，b ＝－9符合题意.例题3 直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．【思路探究】 (1)能否由已知条件求出a 值，确定f (x )？(2)直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同交点的含义是什么？如何用数形结合求出m 的范围？【自主解答】 ∵f (x )在x ＝－1处取得极值， ∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，∴a ＝1. ∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x ＜－1时，f ′(x )＞0； 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0； 当x ＞1时，f ′(x )＞0.∴由f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，又f(－3)＝－19＜－3，f(3)＝17＞1，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3,1)．规律方法1．解答本题的关键是运用数形结合的思想将函数的图象与其极值建立起关系．2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用与逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用．在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．变式训练已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？【解】(1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，得f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)a－2a＋2由表可知函数f(x)的极小值为f(－1)＝a－2；极大值为f(1)＝a＋2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示，这里，极大值a＋2大于极小值a－2.(2)结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a－2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．易错易误辨析 (对应学生用书第60页)因未验根而致误典例 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a 、b 的值． 【错解】 因为f (x )在x ＝－1时有极值0且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎨⎧ f ′－1＝0，f －1＝0，即⎩⎨⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0， 解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9.【错因分析】 解出a ，b 值后，未验证x ＝－1两侧函数的单调性而导致产生增根致误． 【防范措施】 可导函数在x 0处的导数为0是该函数在x 0处取得极值的必要不充分条件，而并非充要条件，故由f ′(x )＝0而求出的参数需要检验，以免出错．【正解】 因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b .∴⎩⎨⎧ f ′1＝0，f －1＝0，即⎩⎨⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0， 解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数． 所以f (x )在x ＝－1时取得极小值， 因此a ＝2，b ＝9.课堂小结1．极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内是最大或最小．极值是不唯一的，极大值与极小值之间也无确定的大小关系．2．极大值点可以看成是函数的单调递增区间与单调递减区间的分界点，极小值点可以看成是函数的单调递减区间与单调递增区间的分界点．3．可导函数f(x)求极值的一般步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格；(4)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.当堂双击达标(对应学生用书第60页)1．下列说法正确的是()A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B．函数在闭区间上的极大值一定比极小值小C．函数f(x)＝|x|只有一个极小值D．函数y＝f(x)在区间(a，b)上一定存在极值【解析】函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系，单调函数在区间(a，b)上没有极值，故A、B、D错误，C正确，函数f(x)＝|x|只有一个极小值为0.【答案】 C2．函数f(x)的定义域为区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图3－3－5所示，则函数f(x)在(a，b)内的极小值的个数为()图3－3－5A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 在(a ，b )内，f ′(x )＝0的点有A 、B 、O 、C .要为函数的极小值点，则在该点处的左、右两侧导函数的符号满足左负右正，只有点B 符合．【答案】 A3．函数y ＝f (x )是定义在R 上的可导函数，则f ′(x 0)＝0是x 0为函数y ＝f (x )的极值点的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 f ′(x 0)＝0⇒/ y ＝f (x )在x 0处有极值，但y ＝f (x )在x 0处有极值⇒f ′(x 0)＝0，应选B.【答案】 B4．求函数y ＝x ＋1x的极值．【解】 y ′＝1－1x 2＝x 2－1x 2，令y ′＝0解得x ＝±1，而原函数的定义域为{x |x ≠0}，∴当x变化时，y ′，y 的变化情况如下表： x (－∞，－1)－1 (－1,0) (0,1) 1 (1，＋∞) y ′ ＋ 0 － － 0 ＋y极大值极小值极大值极小值课后知能检测 (对应学生用书第111页)一、选择题1．已知函数f (x )，x ∈R ，有唯一极值，且当x ＝1时，f (x )存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0【解析】f(x)在x＝1时存在极小值，则当x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，应选C.【答案】 C图3－3－62．(2013·青岛高二检测)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图象如图3－3－6所示，则函数f(x)的极小值是()A．a＋b＋c B．3a＋4b＋cC．3a＋2b D．c【解析】由f′(x)的图象可知，当x＝0时，函数取得极小值，f(x)极小值＝c.【答案】 D3．函数f(x)＝x3－3x2＋3x()A．x＝1时，取得极大值B．x＝1时，取得极小值C．x＝－1时，取得极大值D．无极值点【解析】f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立．∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，f(x)无极值．【答案】 D4．(2013·临沂高二检测)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x＋5在x＝－3时取得极值，则a＝()A．2B．3C．4D．5【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意：f′(－3)＝27－6a＋3＝0∴a＝5.应选D.【答案】 D5．如图3－3－7所示是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( )图3－3－7A.23B.43C.83D.123【解析】 函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d ＝0，b ＋c ＋1＝0,4b ＋2c ＋8＝0，则b ＝－3，c ＝2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ＝3x 2－6x ＋2，且x 1，x 2是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的两个极值点，即x 1，x 2是方程3x 2－6x ＋2＝0的实根，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83.【答案】 C 二、填空题6．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值为13，则实数m 等于________． 【解析】 y ′＝－3x 2＋12x ＝－3x (x －4)． 令y ′＝0得x 1＝0，x 2＝4. 列表可知y 极大＝f (4)＝32＋m ＝13. ∴m ＝－19. 【答案】 －197．若f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是________． 【解析】 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， 由题意f ′(x )＝0有两个不等的实根，故Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)＞0，解之得a ＞2或a ＜－1. 【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞)8．(2013·昆明高二检测)如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图3－3－8所示，给出下列判断：图3－3－8(1)函数y ＝f (x )在区间(－3，－12)内单调递增；(2)函数y ＝f (x )在区间(－12，3)内单调递减；(3)函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； (4)当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； (5)当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断中正确的是________． 【解析】 由导函数的图象知：当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(2,4)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 在x ＝－2时，f (x )取极小值； 在x ＝2时，f (x )取极大值； 在x ＝4时，f (x )取极小值； 所以只有(3)正确． 【答案】 (3) 三、解答题9．求下列函数的极值．(1)f (x )＝x 3－12x ；(2)f (x )＝2xx 2＋1－2.【解】 (1)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：时，函数有极大值，且f (－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16； 当x ＝2时，函数有极小值，且f (2)＝23－12×2＝－16. (2)函数的定义域为R . f ′(x )＝2x 2＋1－4x 2x 2＋12＝－2x －1x ＋1x 2＋12.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ 0 －f (x ) 极小值 －3极大值 －1且f (－1)＝－22－2＝－3；当x ＝1时，函数有极大值； 且f (1)＝22－2＝－1.10．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． 【解】 (1)因为f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ， 所以f ′(x )＝ax＋2bx ＋1.由极值点的必要条件可知：f ′(1)＝f ′(2)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0，解方程组得a ＝－23，b ＝－16.(2)由(1)知f (x )＝－23ln x －16x 2＋x (x ＞0)．f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0.故在x ＝1处函数f (x )取得极小值56，在x ＝2处函数取得极大值43－23ln 2.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点． 11．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 【解】 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时f ′(x )、f (x )变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝⎛⎭⎫－13＝527＋a ， 极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知x 取足够大的正数时有f (x )＞0，x 取足够小的负数时有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．因此若y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，应有527＋a ＜0或a －1＞0.所以当a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点. 教师备课资源 (教师用书独具)备选例题已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x ，其中ab ≠0，求证：当ab ＞0时，函数f (x )没有极值点． 【证明】 ∵f (x )＝ax 2＋b ln x (ab ≠0) ∴f (x )的定义域为(0，＋∞)f ′(x )＝2ax ＋b x ＝2ax 2＋bx当ab ＞0时，若a ＞0，b ＞0，则f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上是单调递增的；若a ＜0，b ＜0，则f ′(x )＜0，f (x )在(0，＋∞)上是单调递减的．∴当ab ＞0时，函数f (x )没有极值点． 备选变式已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x ，其中ab ≠0，求函数有极值时a 、b 满足的条件． 【解】 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax ＋b x ＝2ax 2＋bx.若函数f (x )有极值，首先f ′(x )＝0，即2ax 2＋b ＝0在(0，＋∞)上有根． 因为ab ≠0，x 2＝－b2a ，所以当ab ＜0时，2ax 2＋b ＝0在(0，＋∞)上有根x ＝－b 2a. 又当a ＞0，b ＜0时，f ′(x )在x ＝－b2a两侧的符号是左负右正，此时函数f (x )在x ＝－b2a取得极小值； 当a ＜0，b ＞0时，f ′(x )在x ＝－b2a两侧的符号是左正右负，此时函数f (x )在x ＝－b 2a取得极大值．综上，函数f (x )＝ax 2＋b ln x (ab ≠0)有极值时，a ，b 所满足的条件是ab ＜0.。
2020年数学选修1-1人教全册教案导学案3.3.2函数的极值与导数
3. 3.2函数的极值与导数课前预习学案一、预习目标了解并掌握函数极值的定义以及导数与函数极值的关系，会利用导数求函数的极值二、预习内容已知函数 f(x)=(1)求f(x)的单调区间,并画出其图象;(2)函数f(x)在x=-1和x=1处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?导数为多少？三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1.了解并掌握函数极值的定义以及导数与函数极值的关系2.会利用导数求函数的极值学习重难点：导数与函数极值的关系。
二、学习过程 (一)知识回顾：1、已知函数 f(x)=(1)求f(x)的单调区间,并画出其图象;(2)函数f(x)在x=-1和x=1处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?导数为多少？2、观察图像，哪些是极大值? 哪些是极大值点? 哪些是极小值? 哪些是极小值点?32267x x -+32267x x -+)(4x f概念：什么是极大值? 什么是极大值点?什么是极小值? 什么是极小值点?什么是极值 极大值: 极大值点: 极小值: 极小值点： 极值：思考与总结:1.极值是最大值或最小值吗？ 2.函数的极值是不是唯一的？3.极大值一定比极小值大吗？举例说明.4.点是极值点是在该 点的导数为0的什么条件？举例说明5.判别f (x 0)是极大、极小值的方法是怎样的？6、函数的极值点能否出现在区间的内部,区间的端点能否成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点能在区间的内部,也可能在区间的端点吗.（二）探究一、例1．（课本例4）求的极值探究二、例2求y =(x 2－1)3+1的极值探究三、例3 设，在和处有极值，且=－1,求，，的值，并求出相应的值。
（三）反思总结请同学们归纳利用导数求函数极值的步骤： (四)当堂检测1、 已知函数，（1）求函数的的极值并画出函数的大致图像， （2）求函数在区间[-3，4]上的最大值和最小值。
人教版高二数学(选修1-1)导学案：3.3.2函数的导数和极值(无答案)
3.3.2函数的导数与极值一、学习目标1．了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)．2．了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．3．运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力．二、预习导学1极值的概念如果函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值________，f′(a)＝____，而且在点x＝a附近的左侧________，右侧________，则把点a叫做y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值；如果函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝____，而且在点x＝b附近的左侧________，右侧________，则把点b叫做y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．2．求函数y＝f(x)的极值的一般方法．解方程f′(x)＝0.当f′(x)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是___________值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是___________值．三、当堂练习1．f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处有极值点的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2.求函数f(x)＝x3－12x的极值．3.求函数f(x)＝2x3＋6x2－18x＋3的极值4.求函数f (x )＝2x ＋1x的极值5.已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1.(1)试求常数a 、b 、c 的值；(2)试判断x ＝±1是函数的极大值还是极小值，并说明理由．四、达标检测1．已知函数y ＝f (x )(x ∈R)有唯一的极值，并且当x ＝1时，f (x )存在极小值，则( )A ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0B ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0C ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0D ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜02．函数y ＝1＋3x －x 3有极小值________，极大值__________．3．已知函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝－1处取极大值，在x ＝3处取极小值，则a ＝________，b ＝________.4. 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且知当x ＝－1时取得极大值7，当x ＝3时取得极小值，试求函数f (x )的极小值，并求a ，b ，c 的值5.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值．求a 、b 的值与函数f (x )的单调区间．6．设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R.(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．。
人教版高中数学选修1-1导学案第三章 §3.1 3.1.3 导数的几何意义
3．1.3导数的几何意义学习目标 1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．知识点一导数的几何意义1．切线的概念：如图，对于割线PP n，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．2．导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝f′(x0)．3．切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．特别提醒：曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可能有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．知识点二导函数的概念1．定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．2．记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.1．f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(×) 2．求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(×) 3．f′(x0)<f(x0)．(×)4．曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √)一、求切线方程例1 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43，求曲线C 在横坐标为2的点处的切线方程．解 将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4， ∴切点P (2,4)． y ′|x ＝2＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx＝lim Δx →0 ⎣⎡⎦⎤4＋2Δx ＋13(Δx )2＝4， ∴k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为 y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.反思感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练1 曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是 ． 答案 －3 解析 y ′|x ＝2＝lim Δx →0ΔyΔx＝lim Δx →0 (2＋Δx )2＋1－22－1Δx ＝lim Δx →0 (4＋Δx )＝4， ∴k ＝y ′|x ＝2＝4.曲线y ＝x 2＋1在点P (2,5)处的切线方程为 y －5＝4(x －2)，即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3. 二、求切点坐标及切线的倾斜角例2 已知抛物线y ＝2x 2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标． (1)切线的倾斜角为45°； (2)切线平行于直线4x －y －2＝0； (3)切线垂直于直线x ＋8y －3＝0.解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，∴Δy Δx ＝4x 0＋2Δx ， 当Δx →0时，ΔyΔx →4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1.即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，∴切点坐标为⎝⎛⎭⎫14，98.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴k ＝4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1， ∴切点坐标为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，则k ·⎝⎛⎭⎫－18＝－1，即k ＝8， 故f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2， ∴切点坐标为(2,9)． 延伸探究抛物线y ＝2x 2＋1在点⎝⎛⎭⎫－14，98处的切线的倾斜角是 ．(用弧度表示) 答案 34π解析 1=4|x y'-＝lim Δx →0 2⎝⎛⎭⎫－14＋Δx 2＋1－⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫－142＋1Δx ＝－1，设倾斜角为α，α∈[0，π)，tan α＝－1，∴α＝34π.反思感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x 0，y 0)． (2)求导函数f ′(x )． (3)求切线的斜率f ′(x 0)．(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0. (5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将x 0代入求y 0，得切点坐标．跟踪训练2 已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标． 解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． ∵f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx ＝3x 2－4x ，由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，∴切点的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，4927或(2,3)． 当切点为⎝⎛⎭⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝⎛⎭⎫－23＋a ，a ＝12127. 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，a ＝－5. ∴当a ＝12127时，切点为⎝⎛⎭⎫－23，4927； 当a ＝－5时，切点为(2,3)． 三、导数几何意义的应用例3 (1)函数g (x )的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )A ．0<g ′(2)<g ′(3)<g (3)－g (2)B ．0<g ′(3)<g (3)－g (2)<g ′(2)C ．0<g ′(2)<g (3)－g (2)<g ′(3)D ．0<g (3)－g (2)<g ′(2)<g ′(3) 答案 C解析 由函数g (x )的图象知，当x ≥0时，g ′(x )>0且曲线的切线的斜率逐渐增大， ∴g ′(x )单调递增，∴g ′(2)<g ′(3)，∵g (x )上升的越来越快，∴g ′(2)<g (3)－g (2)<g ′(3)， ∴0<g ′(2)<g (3)－g (2)<g ′(3)，故选C.(2)已知曲线f (x )＝2x 2＋a 在点P 处的切线方程为8x －y －15＝0，则实数a 的值为 ． 答案 －7解析 设点P (x 0,2x 20＋a )． 由导数的几何意义可得f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 2(x 0＋Δx )2＋a －(2x 20＋a )Δx ＝4x 0＝8，∴x 0＝2，∴P (2,8＋a )．将x ＝2，y ＝8＋a 代入到8x －y －15＝0中， 得a ＝－7.反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图象中切线与割线的倾斜角的大小确定数据的大小．跟踪训练3 (1)已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设f (2)－f (1)2－1＝a ，则下列不等式正确的是( )A ．f ′(1)<f ′(2)<aB ．f ′(1)<a <f ′(2)C ．f ′(2)<f ′(1)<aD ．a <f ′(1)<f ′(2) 答案 B解析 由图象可知，在(0，＋∞)上，函数f (x )为增函数，且曲线切线的斜率越来越大，∵f (2)－f (1)2－1＝a ，∴易知f ′(1)<a <f ′(2)．(2)曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴及直线x ＝a 围成的三角形的面积为16，则a＝ . 答案 ±1解析 由题意知切线的斜率为3a 2， 由点斜式得切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )． 令y ＝0，得x ＝23a ，令x ＝a ，得y ＝a 3，则12⎪⎪⎪⎪a －23a ·|a 3|＝16， 解得a ＝±1.1．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( ) A ．圆 B ．抛物线 C ．椭圆 D ．直线 答案 D解析 由题意，函数是常数函数y ＝c (c 为常数)．2．已知曲线y ＝12x 2＋2x 的一条切线斜率是4，则切点的横坐标为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 D解析 Δy ＝12(x ＋Δx )2＋2(x ＋Δx )－12x 2－2x＝x ·Δx ＋12(Δx )2＋2Δx ，所以Δy Δx ＝x ＋12Δx ＋2，所以y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝x ＋2.设切点坐标为(x 0，y 0)，则0=|x x y'＝x 0＋2. 由题意，得x 0＋2＝4，所以x 0＝2，故选D. 3．曲线y ＝－1x 在点⎝⎛⎭⎫12，－2处的切线方程是( ) A ．y ＝4x B ．y ＝4x －4 C ．y ＝4(x ＋1) D ．y ＝2x ＋4答案 B解析 Δy ＝2Δx Δx ＋12，Δy Δx ＝2Δx ＋12，lim Δx →0 2Δx ＋12＝4，所以切线的斜率为4，所以切线方程为y ＝4⎝⎛⎭⎫x －12－2＝4x －4. 4．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为 ． 答案 (3,30)解析 设点P (x 0,2x 20＋4x 0)， 则0=|x x y'＝lim Δx →0 [2(x 0＋Δx )2＋4(x 0＋Δx )]－(2x 20＋4x 0)Δx ＝lim Δx →0 2(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4Δx Δx ＝4x 0＋4， 令4x 0＋4＝16得x 0＝3，∴P (3,30)．5．曲线y ＝1x 和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是 ．答案 34解析 联立两曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即交点坐标为(1,1)，曲线y ＝1x在点(1,1)处的切线斜率为y ′|x ＝1＝lim Δx →0 11＋Δx －11Δx ＝lim Δx →0 －11＋Δx ＝－1， 所以在点(1,1)处切线方程为y －1＝－(x －1)，即y ＝－x ＋2.同理，曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线斜率为 y ′|x ＝1＝lim Δx →0 (1＋Δx )2－12Δx ＝lim Δx →0 2Δx ＋(Δx )2Δx ＝2， 所以在点(1,1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.所以两条切线方程分别为 y ＝－x ＋2和y ＝2x －1， 所围成的图形如图所示，所以S ＝12×1×⎝⎛⎭⎫2－12＝34.1．知识清单： (1)导数的几何意义． (2)求切线的方程． (3)导函数的概念． 2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：f ′(x 0)与f ′(x )的区别；在某点处的切线与过某点的切线的区别．1．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)＝0 C ．f ′(x 0)<0 D ．f ′(x 0)不存在答案 C解析 由导数的几何意义，可得f ′(x 0)＝－2<0. 2．曲线f (x )＝－2x 在点M (1，－2)处的切线方程为( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x ＋4D ．y ＝2x －4 答案 D解析 Δy Δx ＝－21＋Δx ＋2Δx ＝21＋Δx ，所以当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2.所以切线方程为y ＋2＝2(x －1)，即y ＝2x －4，故选D. 3．曲线y ＝x 3的斜率为12的切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．不确定 答案 B解析 ∵lim Δx →0 (x ＋Δx )3－x 3Δx ＝3x 2＝12， ∴x ＝±2，∴斜率为12的切线有2条．4．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线的倾斜角为π4的是( )A ．(0,0)B ．(2,4) C.⎝⎛⎭⎫14，116 D.⎝⎛⎭⎫12，14 答案 D解析 ∵lim Δx →0 (x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x ， 又切线的倾斜角为π4，∴切线的斜率为tan π4＝1，即2x ＝1，∴x ＝12，y ＝14，则切点为⎝⎛⎭⎫12，14. 5．已知函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′(1)的值是( )A.12 B．1 C.32 D ．2 答案 D解析 因为(1，f (1))在直线x －2y ＋1＝0上， 所以1－2f (1)＋1＝0，所以f (1)＝1.又f ′(1)＝12，所以f (1)＋2f ′(1)＝1＋2×12＝2.故选D.6．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba ＝ .答案 2解析 ∵函数过点(1,3)，∴a ＋b ＝3，又y ′|x ＝1＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2＋b －(a ＋b )Δx ＝2a ＝2， ∴a ＝1，b ＝2，故b a＝2.7.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P (2，y )处的切线为l ，则f (2)＋f ′(2)＝ .答案 1解析 由题干中的图象可得函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线l 与x 轴交于点(4,0)，与y 轴交于点(0,4)，则可知l ：x ＋y ＝4，∴f (2)＝2，f ′(2)＝－1，∴代入可得f (2)＋f ′(2)＝1. 8．曲线f (x )＝12x 2的平行于直线x －y ＋1＝0的切线方程为 ．答案 2x －2y －1＝0解析 f ′(x )＝lim Δx →0 12(x ＋Δx )2－12x 2Δx ＝x . 因为直线x －y ＋1＝0的斜率为1，所以x ＝1， 所以f (1)＝12×12＝12，切点为⎝⎛⎭⎫1，12. 故切线方程为y －12＝1·(x －1)，即2x －2y －1＝0.9．已知点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上，直线l 为曲线在P 点处的切线，求直线l 的倾斜角的取值范围．解 设P (x 0，y 0)，函数在点P 处的导数为y ′＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )3－(x 0＋Δx )＋23－⎝⎛⎭⎫x 30－x 0＋23Δx＝3x 20－1≥－1，设直线l 的倾斜角为α(0≤α<π)，∴tan α≥－1，画出y ＝tan x 在⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π 的图象如图．通过观察图象，α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫34π，π. 10．求过点M (1,1)且与曲线y ＝x 3＋1相切的直线方程．解 Δy Δx ＝(x ＋Δx )3＋1－x 3－1Δx＝3x (Δx )2＋3x 2·Δx ＋(Δx )3Δx＝3x ·Δx ＋3x 2＋(Δx )2，所以lim Δx →0 Δy Δx＝3x 2，即y ′＝3x 2. 设过(1,1)点的切线与y ＝x 3＋1相切于点P (x 0，x 30＋1)，根据导数的几何意义，曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝3x 20，①过(1,1)点的切线的斜率k ＝x 30＋1－1x 0－1，② 由①②得3x 20＝x 30x 0－1，解得x 0＝0或x 0＝32， 所以k ＝0或k ＝274，切点坐标为(0,1)或⎝⎛⎭⎫32，358. 因此曲线y ＝x 3＋1过点M (1,1)的切线方程有两个，分别为y －358＝274⎝⎛⎭⎫x －32和y ＝1， 即27x －4y －23＝0和y ＝1.11．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1 答案 A解析 ∵y ′＝lim Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx＝lim Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a ， ∴2a ＝2，即a ＝1.12．函数y ＝f (x )的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)答案 B解析 设x ＝2，x ＝3时曲线上的点分别为A ，B ，点A 处的切线为AT ，点B 处的切线为BQ ，则f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2＝k AB ，f ′(3)＝k BQ ，f ′(2)＝k AT ，因为切线BQ 的倾斜角小于直线AB 的倾斜角，直线AB 的倾斜角小于切线AT 的倾斜角，故k BQ <k AB <k AT .故选B.13．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1答案 A 解析 曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝0＝lim Δx →0＝(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b Δx＝a ＝1，将(0，b )代入切线方程得b ＝1，故选A. 14．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为 ．答案 4解析 设抛物线在P 点处切线的斜率为k ，k ＝y ′|x ＝－2＝lim Δx →0 (－2＋Δx )2－(－2＋Δx )＋c －(6＋c )Δx＝－5， ∴切线方程为y ＝－5x ，∴点P 的纵坐标为y ＝－5×(－2)＝10，将点P (－2,10)代入y ＝x 2－x ＋c ，得c ＝4.15．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B ．[－1,0] C ．[0,1]D.⎣⎡⎦⎤12，1答案 A解析 设点P 的横坐标为x 0，∵y ＝x 2＋2x ＋3，∴0=|x x y'＝2x 0＋2，利用导数的几何意义，得2x 0＋2＝tan α(α为曲线在点P 处切线的倾斜角)，又∵α∈⎣⎡⎦⎤0，π4，∴0≤2x 0＋2≤1， ∴x 0∈⎣⎡⎦⎤－1，－12. 16．已知曲线y ＝x 2＋1，是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 ∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋1－x 2－1Δx＝2x ＋Δx ， ∴y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 设切点为P (x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝0=|x x y'＝2x 0，由点斜式可得所求切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)．又∵切线过点(1，a )，且y 0＝x 20＋1， ∴a －(x 20＋1)＝2x 0(1－x 0)，即x 20－2x 0＋a －1＝0.∵切线有两条，∴Δ＝(－2)2－4(a －1)>0，解得a <2.故存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线，a 的取值范围是(－∞，2)．。
高中数学选修1-1优质学案3：3.3.2 函数的极值与导数
3.3.2函数的极值与导数学习要求：1.了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.学法指导：函数的极值反映的是函数在某点附近的性质，是局部性质.函数极值可以在函数图象上“眼见为实”，通过研究极值初步体会函数的导数的作用.1.极值点与极值(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧单调递减，右侧单调递增，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.2.求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值.引言“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山的高低起伏，错落有致，在群山中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点.那么每个山峰附近的走势如何？与导数有什么关系？探究点一函数的极值与导数的关系问题1如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？问题2 函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？例1：求函数y ＝2x ＋8x 的极值．探究点二 利用函数极值确定参数的值问题 已知函数的极值，如何确定函数[解析]式中的参数？例2：已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－23时都取得极值，且f (－1)＝32，求a 、b 、c的值． 达标检测1．下列说法正确的是( )A ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值小C ．函数f (x )＝|x |只有一个极小值D ．函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上一定存在极值2．函数f (x )的定义域为区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在(a ，b )内的极小值的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．函数y ＝f (x )是定义在R 上的可导函数，则f ′(x 0)＝0是x 0为函数y ＝f (x )的极值点的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．求函数y ＝x ＋1x 的极值．课堂小结：1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x 0两侧f ′(x )符号相反.3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.——★ 参 考 答 案 ★——：例1：解：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．y ′＝2－8x 2，令y ′＝0，得x ＝±2.当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表：极大值当x ＝2时，y 极小值＝8.例2：解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，令f ′(x )＝0，由题设知x ＝1与x ＝－23为f ′(x )＝0的解．∴⎩⎨⎧1－23＝－23a ，1×(－23)＝b3.解得a ＝－12，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－x －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表知，函数在x ＝1与－23处取得极值．∴a ＝－12，b ＝－2.∴f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1. 达标检测1．[解析]函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系，单调函数在区间(a，b)上没有极值，故A、B、D错误，C正确，函数f(x)＝|x|只有一个极小值为0.[答案]C2．[解析]在(a，b)内，f′(x)＝0的点有A、B、O、C.要为函数的极小值点，则在该点处的左、右两侧导函数的符号满足左负右正，只有点B 符合．[答案]A3．[解析]f′(x0)＝0⇒/ y＝f(x)在x0处有极值，但y＝f(x)在x0处有极值⇒f′(x0)＝0，应选B.[答案]B4．解：y′＝1－1x2＝x2－1x2，令y′＝0解得x＝±1，而原函数的定义域为{x|x≠0}，∴当x变化时，y′，y的变化情况如下表：所以当x＝－1时，y极大值＝－2，当x＝1时，y极小值＝2.。
高中数学选修1-1优质学案：3.3.2 函数的极值与导数
3.3.2 函数的极值与导数学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.知识点1极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y ＝f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值如(1)中图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)若有极大值和极小值，则极大值一定大于极小值.()(2)若f′(x0)＝0，则x0是函数f(x)的极值点.()(3)若f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则f(x)在区间(a，b)上没有极值点.() 提示(1)函数f(x)的极大值和极小值的大小关系不确定，如图所示，极大值f(x1)小于极小值f(x2)，所以(1)错.(2)反例：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，则f′(0)＝0，但0不是f(x)＝x3的极值点，(2)错.(3)由极值的定义可知(3)正确.[答案](1)×(2)×(3)√知识点2求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值.【预习评价】函数f(x)＝13x3－x2－3x＋6的极大值为________，极小值为________.[解析]f′(x)＝x2－2x－3，令f′(x)＞0，得x＜－1或x＞3，令f′(x)＜0得－1＜x ＜3，故f(x)在(－∞，－1)，(3，＋∞)上单增，在(－1，3)上单减，故f(x)的极大值为f(－1)＝233，极小值为f(3)＝－3.[答案]233－3题型一求函数的极值【例1】求函数f(x)＝2xx2＋1－2的极值.解函数的定义域为R.f′(x)＝2（x2＋1）－4x2（x2＋1）2＝－2（x－1）（x＋1）（x2＋1）2.令f′(x)＝0，得x＝－1，或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘－3↗－1↘由上表可以看出：当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.规律方法求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.【训练1】求函数f(x)＝3x＋3ln x的极值.解函数f(x)＝3x＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－3x2＋3x＝3（x－1）x2.令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：↘↗因此当x＝1时，f(题型二利用函数极值确定参数的值【例2】已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)求常数a，b，c的值；(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . ∵x ＝±1是函数f (x )的极值点，∴x ＝±1是方程f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根， 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－2b3a ＝0，①c3a ＝－1，②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32. (2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)， 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1，1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.规律方法 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.【训练2】 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝x 0处取得极大值5，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，求： (1)x 0的值；(2)a ，b ，c 的值.解 (1)由图象可知，在(－∞，1)上f ′(x )＞0，在(1，2)上f ′(x )＜0，在(2，＋∞)上f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，因此f (x )在x ＝1处取得极大值，所以x 0＝1. (2)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，f (1)＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝5，解得a ＝2，b ＝－9，c ＝12. 互动探究题型三 函数极值的综合应用解 f ′(x )＝9x 2－1，令f ′(x )＞0，得x ＜－13或x ＞13，令f ′(x )＜0，得－13＜x ＜13，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13上单调递减，因此，当x ＝－13时，f (x )有极大值，且极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝119，当x ＝13时，f (x )有极小值，且极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝79，由此易知f (x )的大致形状及走向如图所示，由图可知f (x )共有一个零点.【探究2】 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围.解(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝ 2.因为当x>2或x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调递减区间为(－2，2).当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示.所以，当5－42＜a＜5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即当a∈(5－42，5＋42)时，方程f(x)＝a有三个不同的实根.规律方法用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数.【训练3】设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.解(1)f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.因为当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，当x∈(－1，1)时，f′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，所以f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，极大值为f(1)＝a＋2.(2)因为f(x)在(－∞，－1)内单调递减，且当x→－∞时，f(x)→＋∞，f(x)在(1，＋∞)内单调递减，且当x→＋∞时，f(x)→－∞，而a＋2＞a－2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0时，极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＋2＝0，a＝－2，如图1所示.当极小值等于0时，极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a－2＝0，a＝2，如图2所示.综上所述，当a＝2或a＝－2时，方程f(x)＝0恰有两个实数根.课堂达标1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A.无极大值点，有四个极小值点B.有三个极大值点，两个极小值点C.有两个极大值点，两个极小值点D.有四个极大值点，无极小值点[解析]f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点.[答案] C2.已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1，0)，则f(x)的极值情况为()A.极大值为427，极小值为0B.极大值为0，极小值为427 C.极大值为0，极小值为－427 D.极大值为－427，极小值为0[解析] f ′(x )＝3x 2－2px －q ，根据题意，知x ＝1是函数的一个极值点，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝3－2p －q ＝0，f （1）＝1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1， 所以f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令f ′(x )＝0，得x ＝13或x ＝1，易判断当x ＝13时，f (x )有极大值为427，当x ＝1时，f (x )有极小值为0，故选A. [答案] A3.已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A.(－1，2)B.(－3，6)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.(－∞，－3)∪(6，＋∞)[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 因为f (x )既有极大值又有极小值， 那么Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)>0， 解得a >6或a <－3. [答案] D4.设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________.[解析] f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1， 所以a ＝9，经验证此时Δ＞0，符合题意. [答案] 95.已知关于x 的函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc ，若函数f (x )在x ＝1处取得极值 －43，则b ＝________，c ＝________.[解析] f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，由f (x )在x ＝1处取得极值－43，得⎩⎨⎧f ′（1）＝－1＋2b ＋c ＝0，f （1）＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3.若b ＝1，c ＝－1，则f ′(x )＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2≤0，此时f (x )没有极值； 若b ＝－1，c ＝3，则f ′(x )＝－x 2－2x ＋3 ＝－(x ＋3)(x －1)， 当－3＜x ＜1时，f ′(x )＞0， 当x ＞1时，f ′(x )＜0.所以当x ＝1时，f (x )有极大值－43. 故b ＝－1，c ＝3. [答案] －1 3课堂小结1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反.3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.。
3.3.2函数的极值与导数
(2) f ( x) x 27 x; 3 (4) f ( x) 3x x .
3
当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .
(4) 令f ( x) 3 3x 2 0,
解得
x1 1, x2 1.
所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ; 当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .
-2 -4/3
o
2
+ x
1 解：f(x)= x, 所以x 0 x 1 x2 1 f '( x) 2 1 2 ， f '( x) 0时，x 1 x x 当x变化时，f'(x),f(x)变化如下表
1 y x x
导函数的正负是 交替出现的吗？
不是
x
f '( x)
X<-1
<b + 单调 递增 =b 0 极大值 >b -
y
a
o b
x y=f(x)
单调 f(a) 递减
定义
一般地, 设函数 f (x) 在点x0附近有定 义, 如果对x0附近的 所有的点, 都有
y
f (a) 0 f (a x) 0
x 0
f (a x) 0 f (b x) 0 f (b x) 0
例1 求函数
解:
因为
令 当
当 当 x 变化时, f / x , f (x) 的变化状态如下表:
1 3 的极值. f ( x) x 4 x 4 3 1 3 2 f ( x) x 4 x 4,所以 f ( x) x 4. 3 f ( x) 0, 解得 x 2或 x 2. , , ; f ( x) 0, 即 x 2 或 x 2 f ( x) 0, 即 2 x 2.
高中数学选修1-1优质学案2：3.3.2函数的极值与导数
3．3.2 函数的极值与导数学习目标：1.理解极值的定义．2．掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值．3．会根据函数的极值求参数的值．预习提示：1．如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？2．函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是惟一的吗？3．已知f(x)＝x3求f′(0)，x＝0是f(x)的极值点吗？f′(x0)＝0与x＝x0为f(x)的极值点有何关系？4.函数的极大值一定大于极小值吗？课堂探究：例1、求下列函数的极值点和极值：(1)f(x)＝13x3－x2－3x＋3；(2)f(x)＝3x＋3ln x.变式训练：求函数y＝2x＋8x的极值．例2、已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－23时都取得极值，且f(－1)＝32，求a、b、c的值．变式训练：已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1和x＝3处有极值，求a、b的值．例3、已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y ＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．变式训练：已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？当堂达标：1．下列说法正确的是()A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B．函数在闭区间上的极大值一定比极小值小C．函数f(x)＝|x|只有一个极小值D．函数y＝f(x)在区间(a，b)上一定存在极值2．函数f(x)的定义域为区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)内的极小值的个数为()A．1B．2C．3D．43．函数y＝f(x)是定义在R上的可导函数，则f′(x0)＝0是x0为函数y＝f(x)的极值点的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．求函数y ＝x ＋1x的极值．[答案]1．【提示】 以d 、e 两点为例，函数y ＝f (x )在点x ＝d 处的函数值f (d )比它在点x ＝d 附近其他点的函数值都小，f ′(d )＝0；在x ＝d 的附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0.类似地函数y ＝f (x )在点x ＝e 的函数值f (e )比它在x ＝e 附近其他点的函数值都大，f ′(e )＝0；在x ＝e 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0.2．函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是惟一的吗？ 【提示】 函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值；在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个．3．已知f (x )＝x 3求f ′(0)，x ＝0是f (x )的极值点吗？f ′(x 0)＝0与x ＝x 0为f (x )的极值点有何关系？【提示】 可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不一定是极值点．可导函数f (x )在x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x 0两侧f ′(x )的符号不同．4.函数的极大值一定大于极小值吗？【提示】 不一定，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值可能比极小值还小.课堂探究：例1、【自主解答】 (1)f ′(x )＝x 2－2x －3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝－1，如下表所示：x (－∞，－1)－1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )极大值143极小值－6∴f (x )极大值＝143，f (x )极小值＝－6.(2)函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x＝3x －1x 2， ∴f (x )极大值＝143，f (x )极小值＝－6.(2)函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3x －1x 2， 令f ′(x )＝0得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋f (x )极小值3变式训练：【解】 函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． y ′＝2－8x 2，令y ′＝0，得x ＝±2.y ′＝2－8x 2，令y ′＝0，得x ＝±2.当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表：x (－∞，－2) －2 (－2,0) (0,2) 2 (2，＋∞) y ′ ＋ 0 － － 0 ＋y－88由表知：当x 极大值当x ＝2时，y 极小值＝8.例2、 【自主解答】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，令f ′(x )＝0，由题设知x ＝1与x ＝－23为f ′(x )＝0的解．∴⎩⎨⎧1－23＝－23a ，1×⎝⎛⎭⎫－23＝b 3.解得a ＝－12，b ＝－2.，,1×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝\f(b,3).)) 解得a ＝－12，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－x －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝⎛⎭⎫－∞，－23－23 ⎝⎛⎭⎫－23，1 1 (1，＋∞) f ′＝(x )＋－＋由上表知，函数在x ＝1与－23处取得极值．∴a ＝－12，b ＝－2.∴f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，由上表知，函数在x ＝1与－23处取得极值．∴a ＝－12，b ＝－2.∴f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1.变式训练：【解】 由f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2，得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b . 又f (x )在x ＝－1和x ＝3处有极值， ∴f ′(－1)＝3＋b －6a ＝0， ① f ′(3)＝27＋18a ＋b ＝0.②联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－9.又f (x )在x ＝－1和x ＝3处有极值， ∴f ′(－1)＝3＋b －6a ＝0， ① f ′(3)＝27＋18a ＋b ＝0.②联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－9.∴f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)． 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下：∴f (x )在－1,3∴a ＝－1，b ＝－9符合题意.例3、 【自主解答】 ∵f (x )在x ＝－1处取得极值， ∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，∴a ＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1.当x＜－1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.∴由f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3,1)．变式训练：【解】(1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，得f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)a－2a＋2由表可知函数极大值为f(1)＝a＋2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示，这里，极大值a＋2大于极小值a－2.(2)结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a－2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两值之间无确定的大小关系，单调函数在区间(a，b)上没有极值，故A、B、D错误，C 正确，函数f(x)＝|x|只有一个极小值为0.[答案] C2．[解析]在(a，b)内，f′(x)＝0的点有A、B、O、C.要为函数的极小值点，则在该点处的左、右两侧导函数的符号满足左负右正，只有点B符合．[答案] A3．[解析]f′(x0)＝0⇒/ y＝f(x)在x0处有极值，但y＝f(x)在x0处有极值⇒f′(x0)＝0，应选B. [答案] B4．【解】y′＝1－1x2＝x2－1x2，令y′＝0解得x＝±1，而原函数的定义域为{x|x≠0}，∴当x变化时，y′，y的变化情况如下表：所以当x＝－1时，y极大值＝－2，当x＝1时，y极小值＝2.人教版高中数学选修1-1学案77。