离散数学第六章36页
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《离散数学》第六章 集合代数
例2:某学校有12位教师,已知有8位老师可以教数学,6位 可教物理,5位可教化学.其中有5位教师既教数学又教 物理.4位老师兼教数学和化学,3位老师兼教物理和化 学,3位老师兼教这三门课. 1.求不教任何课的老师有几位? 2.只教一门课的老师有几位? 3.正好教其中两门课的老师有几位?
例3: 4个x ，3个y，2个z的全排列中，求不出现xxxx，yyy ，zz图象的排列。
设x不具有性质P1,P2,…,Pm ，那么x∉Ai，i＝ 1，2，…m。则它对等式左边计数的贡献为1，对 等式右边的计数的贡献也是1。
根据牛顿二项式定理不难得到上面式子的结果是0．而 由于x具有n个性质，它对等式左边的贡献也为0。
4.3 几个例子
例1:求1-1000之间(包括1和1000)不能被5,也不能被6, 还不能被8整除的整数有多少个?
总体上还是多采用命题逻辑中的等值式，但在叙述
上采用半形式化的方法。
例6.6 证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C).
证明: 对于∀x
x ∈ A-(B∪C) Ù x ∈ A ∧ x ∉(B∪C) Ù x ∈ A ∧ ⎤ (x∈B ∨ x∈C) Ù x ∈ A ∧ (⎤x∈B ∧ ⎤x∈C) Ù x ∈ A ∧ (x ∉ B ∧ x ∉ C) Ù x∈A∧x∉B∧x∉C Ù (x ∈ A ∧ x ∉ B) ∧ (x ∈ A ∧ x ∉ C) Ù x ∈ A- B ∧ x ∈ A- C Ù x ∈( A- B) ∩(A- C)
全排列的个数为：9！/（4！3！2！）=1260； 所以要求的排列数为
1260－(60+105+280)+(12+20+30)－6 =871.
4.4 三个练习
练习1：求由a,b,c,d构成的n位符号串中，a,b,c,d都至 少出现一次的符号串的数目。
例3: 4个x ，3个y，2个z的全排列中，求不出现xxxx，yyy ，zz图象的排列。
设x不具有性质P1,P2,…,Pm ，那么x∉Ai，i＝ 1，2，…m。则它对等式左边计数的贡献为1，对 等式右边的计数的贡献也是1。
根据牛顿二项式定理不难得到上面式子的结果是0．而 由于x具有n个性质，它对等式左边的贡献也为0。
4.3 几个例子
例1:求1-1000之间(包括1和1000)不能被5,也不能被6, 还不能被8整除的整数有多少个?
总体上还是多采用命题逻辑中的等值式，但在叙述
上采用半形式化的方法。
例6.6 证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C).
证明: 对于∀x
x ∈ A-(B∪C) Ù x ∈ A ∧ x ∉(B∪C) Ù x ∈ A ∧ ⎤ (x∈B ∨ x∈C) Ù x ∈ A ∧ (⎤x∈B ∧ ⎤x∈C) Ù x ∈ A ∧ (x ∉ B ∧ x ∉ C) Ù x∈A∧x∉B∧x∉C Ù (x ∈ A ∧ x ∉ B) ∧ (x ∈ A ∧ x ∉ C) Ù x ∈ A- B ∧ x ∈ A- C Ù x ∈( A- B) ∩(A- C)
全排列的个数为：9！/（4！3！2！）=1260； 所以要求的排列数为
1260－(60+105+280)+(12+20+30)－6 =871.
4.4 三个练习
练习1：求由a,b,c,d构成的n位符号串中，a,b,c,d都至 少出现一次的符号串的数目。
离散数学 第六章的 ppt课件
符号化表示为：B A x ( xB xA ) B ⊈ A x ( xB xA )
例如N Z Q R C，但Z ⊈ N。显然对任何集合A都有A A。
定义6.2 设A，B为集合，如果A B且B A，则称A与B相等，记作A＝B。 如果A与B不相等，则记作A≠B。
符号化表示为： A = B A B B A
1. 集合的广义并与广义交
定义6.10 设A为集合，A的元素的元素构成的集合称为A的广 义并，记为∪A。符号化表示为
广义并 A = { x | z ( zA xz )}
定义6.11 设A为非空集合，A的所有元素的公共元素构成的 集合称为A的广义交，记为∩A。符号化表示为
广义交 A= { x | z ( zA xz )}
A B＝B A
(6.29)
(A B) C＝A (B C) A ＝A A A＝ A B＝A C B＝C
(6.30) (6.31) (6.32) (6.33)
离散数学 第六章的
25
书本88页
例6.5 设A＝{{a},{a,b}}
计算∪∪A，∩∩A和∩∪A∪(∪∪A－∪∩A)。
解: ∪A＝{a,b}
∩A＝{a}
∪∪A＝a∪b
∩∩A＝a
∩∪A＝a∩b
∪∩A＝a
∩∪A∪(∪∪A－∪∩A)
＝(a∩b)∪((a∪b)－a)
＝(a∩b)∪(b－a)
＝b
所以∪∪A＝a∪b，∩∩A＝a，∩∪离散A∪数学(∪第∪六A章－的 ∪∩A)＝b。
26
6.4 集合恒等式（P92）
集合算律 1．只涉及一个运算的算律：
离散数学 第六章的
12
集合运算的表示
文氏图
A
B
AB
例如N Z Q R C，但Z ⊈ N。显然对任何集合A都有A A。
定义6.2 设A，B为集合，如果A B且B A，则称A与B相等，记作A＝B。 如果A与B不相等，则记作A≠B。
符号化表示为： A = B A B B A
1. 集合的广义并与广义交
定义6.10 设A为集合，A的元素的元素构成的集合称为A的广 义并，记为∪A。符号化表示为
广义并 A = { x | z ( zA xz )}
定义6.11 设A为非空集合，A的所有元素的公共元素构成的 集合称为A的广义交，记为∩A。符号化表示为
广义交 A= { x | z ( zA xz )}
A B＝B A
(6.29)
(A B) C＝A (B C) A ＝A A A＝ A B＝A C B＝C
(6.30) (6.31) (6.32) (6.33)
离散数学 第六章的
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例6.5 设A＝{{a},{a,b}}
计算∪∪A，∩∩A和∩∪A∪(∪∪A－∪∩A)。
解: ∪A＝{a,b}
∩A＝{a}
∪∪A＝a∪b
∩∩A＝a
∩∪A＝a∩b
∪∩A＝a
∩∪A∪(∪∪A－∪∩A)
＝(a∩b)∪((a∪b)－a)
＝(a∩b)∪(b－a)
＝b
所以∪∪A＝a∪b，∩∩A＝a，∩∪离散A∪数学(∪第∪六A章－的 ∪∩A)＝b。
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6.4 集合恒等式（P92）
集合算律 1．只涉及一个运算的算律：
离散数学 第六章的
12
集合运算的表示
文氏图
A
B
AB
离散数学第六章---群论
得Computer仍是字母串。
第6章 群论
定理6.1 一个半群(S，)，如果它有一个子代 数 (M， ) ，则此子代数也是一个半群。
定义6.2 一个半群(S，)的子代数 (M， )也是 半群，称为(S，)的子半群。
第6章 群论
一个半群(S，)中的元素a ，可定义它的幂： a1=a , a2=a a , …，an+1=an a
第6章 群论
定理6.5 一个单位半群(S，)，如果存在一个
子代数 (M， ) ，且其单位元 e ∈M，则 (M， )
也是一个单位半群。
定义6.5 一个单位半群(S，)，如果存在一个
子代数 (M， ) ，且其单位元 e ∈M，则 (M， )
也是一个单位半群，称为(S，)的子单位半群 。
Hale Waihona Puke 第6章 群论定义6.5 ：一个单位半群(S，)如果由它的一个 元素a 所生成，则称为由 a 所生成的循环单位半 群，元素 a 称为此单位半群的生成元素。
定理6.6 ：一个循环单位半群是一个可换单位半 群。
第6章 群论
6.2 群
一、群与群的同构 1、群的有关定义
定义6.7 如果代数系统(G， )满足 （1） (G， )为一半群； （2） (G， )中有单位元e； （3） (G，)中每一元素a∈G都有逆元 a-1 则称代数系统(G， )为群。
第6章 群论
第六章 群论 6.1 半群与单元半群 6.2 群
第6章 群论
群在代码的查错、改错的研究，自动机理论等 方面都有应用。
第6章 群论
6.1 半群与单元半群
半群与群都是具有一个二元运算的代数系 统，群是半群的特殊例子。事实上，群是历史 上最早研究的代数系统，它比半群复杂一些， 而半群概念是在群的理论发展之后才引进的。 逻辑关系见图6.1.1。
第6章 群论
定理6.1 一个半群(S，)，如果它有一个子代 数 (M， ) ，则此子代数也是一个半群。
定义6.2 一个半群(S，)的子代数 (M， )也是 半群，称为(S，)的子半群。
第6章 群论
一个半群(S，)中的元素a ，可定义它的幂： a1=a , a2=a a , …，an+1=an a
第6章 群论
定理6.5 一个单位半群(S，)，如果存在一个
子代数 (M， ) ，且其单位元 e ∈M，则 (M， )
也是一个单位半群。
定义6.5 一个单位半群(S，)，如果存在一个
子代数 (M， ) ，且其单位元 e ∈M，则 (M， )
也是一个单位半群，称为(S，)的子单位半群 。
Hale Waihona Puke 第6章 群论定义6.5 ：一个单位半群(S，)如果由它的一个 元素a 所生成，则称为由 a 所生成的循环单位半 群，元素 a 称为此单位半群的生成元素。
定理6.6 ：一个循环单位半群是一个可换单位半 群。
第6章 群论
6.2 群
一、群与群的同构 1、群的有关定义
定义6.7 如果代数系统(G， )满足 （1） (G， )为一半群； （2） (G， )中有单位元e； （3） (G，)中每一元素a∈G都有逆元 a-1 则称代数系统(G， )为群。
第6章 群论
第六章 群论 6.1 半群与单元半群 6.2 群
第6章 群论
群在代码的查错、改错的研究，自动机理论等 方面都有应用。
第6章 群论
6.1 半群与单元半群
半群与群都是具有一个二元运算的代数系 统，群是半群的特殊例子。事实上，群是历史 上最早研究的代数系统，它比半群复杂一些， 而半群概念是在群的理论发展之后才引进的。 逻辑关系见图6.1.1。
离散数学_第06章代数结构概念及性质
【例】（1）以实数集 R 为基集，加法运算" ＋"为二元，运算组成一代数系统，记为〈R， ＋〉。 （2）以全体n×n实数矩阵组成的集合 M为基集，矩阵加"+"为二元运算，组成一代 数系统，记为〈M,+〉。 (3)设 S A { | 是集合A上的关系}， “ ” 是求复合关系的运算。它们构成代数 系统S A , 。
有了集合上运算的概念后，便可定义代数结
构了。
定义6.1.2 设S是个非空集合且fi是S上的 ni元运算，其中i=1，2，…，m。由S及f1， f2，…，fm组成的结构，称为代数结构，记 作<S，f1，f2，…，fm>。
此外，集合S的基数即|S|定义代数结构 的基数。如果S是有限集合，则说代数结构 是有限代数结构；否则便说是无穷代数结构。
分配律，或者⊙对于○是可左分配的，即
(x)(y)(z)
(x，y，z∈S→x⊙(y○z))=(x⊙y)○(x⊙z))。
运算⊙对于○满足右分配律或⊙对于○是可 右分配的，即(x)(y)(z) (x，y，z∈S→(y○z)⊙x=(y⊙x)○(z⊙x)) 类似地可定义○对于⊙是满足左或右分配律。 若⊙对于○既满足左分配律又满足右分配律， 则称⊙对于○满足分配律或是可分配的。同样可 定义○对于⊙满足分配律。
x为关于⊙的右逆元:=(y)(y∈S∧y⊙x=e)；
x为关于⊙可逆的:=(y)(y∈S∧y⊙x=x⊙y=e)
给定<S，⊙>及幺元e；x，y∈S，则 y为x的左逆元:=y⊙x=e
y为x的右逆元:=x⊙y=e
y为x的逆元:=y⊙x=x⊙y=e
显然，若y是x的逆元，则x也是y的逆元，
因此称x与y互为逆元。通常x的逆元表为x-1。
离散数学讲义(第6章)
18
6-2 分配格（续）
定理：如果在一个格中交运算对并运算可分配，则并运算 对交运算一定可分配。反之亦然。
定理：每个链是分配格。
定理：设〈A， ≤ 〉为一个分配格，则对任意的a，b，c A，如果有a b = a c且a b = a c，则b=c。
19
6-2 分配格（续）
定义：设〈A,,〉是由格〈A， ≤ 〉所诱导的代数系统。 如果对任意的a,b,cA，当b ≤ a时，有： a (b c) = b (a c) 则称〈A， ≤ 〉是模格。
5
6-1 格的概念（续）
偏序集但不是格
e d f
格
c a b
6
6-1 格的概念（续）
代数系统
设〈A， ≤ 〉是一个格，如果在A上定义两个二元运 算和，使得对于任意的a，bA，ab等于a和b的最小 上界，ab等于a和b的最大下界，那么就称〈A， ， 〉 为由格〈A， ≤ 〉所诱导的代数系统。二元运算， 分 别称为并运算和交运算。
定理：分配格一定是模格。
21
6-3 有补格
定义：设〈A， ≤ 〉是一个格，如果存在元素aA，对 任意的xA，都有a ≤ x， 则称a为格〈A， ≤ 〉的全下界。记作 0。 定义：设〈A， ≤ 〉是一个格，如果存在元素bA，对 任意的xA，都有x ≤ b， 则称b为格〈A， ≤ 〉的全上界。记作 1。
{a,b} {a,b} {a,b} {a,b} {a,b}
{b} {a,b}
6-4 布尔代数（续）
定理：对布尔代数中的任意两个元素a，b，有
(a ) a
ab a b
a b ab
定义：具有有限个元素的布尔代数称为有限布尔代数。
26
离散数学课件第六章(第1讲)
,则称运算对是可分配的（或称对满足分配律）。
例：代数系统（N，+，×）。其中+，×分别代表数 的加法和乘法。 ×对+ 满足分配律 。
《定义》:设，是定义在集合S上的两个可交换二 元运算，如果对于任意的x,yS，都有：
x (x y)=x； x (xy)=x 则称运算和运算满足吸收律。
《定义》:设*是S上的二元运算,若对任一x S有x x=x, 则称满足等幂律。
讨论定义： 1) S上每一个元素均满足xx=x,才称在S上满足幂等律； 2) 若在S上存在某一元素x ，满足x x=x,则称x为S上的幂
等元素； 3) 若x是幂等元素,则有xn=x成立。
例:（1）在实数集合R中,+,×是可交换,可结合的,×对+是满足 分配律的,“0”对+是等幂元素,而其它不是等幂元素,在实数集 合R中,“-”法是不可交换,不可结合的； （2）在(Z)中, ∩,∪均是可交换,可结合的, ∩对∪, ∪对∩均满足分配律；
《定义》:设Z是一个集合,f是一个函数,f：ZnZ,则称f
为Z中的n元运算,整数n称为运算的阶（元,次）。 若n=1,则称f： ZZ为一元运算； 若n=2,则f： Z2Z为二元运算。
例：（1）在整数I和实数R中,+,-,×均为二元运算,而 对÷而言就不是二元运算 ;
（2）在集合Z的幂集(Z)中,,均为二元运算, 而“~”是一元运算；
∴x 若存在逆元，则x 的逆元一定是唯一的。
《推论》(x-1)-1 =x , e-1= e 例： 在实数集合R中，对“+”运算，对任一xR有 ∵x+（-x）=0，0为加法幺元 所以x-1 =-x , (x-1)-1 =x ， 0-1 =0 对“×”运算，乘法幺元为1，∵x× 1x =1， 则对任一x R有x-1 =1x（x0） , (x-1)-1 =x ， 1-1 =1
例：代数系统（N，+，×）。其中+，×分别代表数 的加法和乘法。 ×对+ 满足分配律 。
《定义》:设，是定义在集合S上的两个可交换二 元运算，如果对于任意的x,yS，都有：
x (x y)=x； x (xy)=x 则称运算和运算满足吸收律。
《定义》:设*是S上的二元运算,若对任一x S有x x=x, 则称满足等幂律。
讨论定义： 1) S上每一个元素均满足xx=x,才称在S上满足幂等律； 2) 若在S上存在某一元素x ，满足x x=x,则称x为S上的幂
等元素； 3) 若x是幂等元素,则有xn=x成立。
例:（1）在实数集合R中,+,×是可交换,可结合的,×对+是满足 分配律的,“0”对+是等幂元素,而其它不是等幂元素,在实数集 合R中,“-”法是不可交换,不可结合的； （2）在(Z)中, ∩,∪均是可交换,可结合的, ∩对∪, ∪对∩均满足分配律；
《定义》:设Z是一个集合,f是一个函数,f：ZnZ,则称f
为Z中的n元运算,整数n称为运算的阶（元,次）。 若n=1,则称f： ZZ为一元运算； 若n=2,则f： Z2Z为二元运算。
例：（1）在整数I和实数R中,+,-,×均为二元运算,而 对÷而言就不是二元运算 ;
（2）在集合Z的幂集(Z)中,,均为二元运算, 而“~”是一元运算；
∴x 若存在逆元，则x 的逆元一定是唯一的。
《推论》(x-1)-1 =x , e-1= e 例： 在实数集合R中，对“+”运算，对任一xR有 ∵x+（-x）=0，0为加法幺元 所以x-1 =-x , (x-1)-1 =x ， 0-1 =0 对“×”运算，乘法幺元为1，∵x× 1x =1， 则对任一x R有x-1 =1x（x0） , (x-1)-1 =x ， 1-1 =1
离散数学第六章的课件
05 离散随机变量
随机变量的定义与性质
随机变量定义
随机变量是从样本空间到实数的可测 函数，用于描述随机现象的结果。
随机变量性质
随机变量具有可测性、可加性和可数 性等性质，这些性质在概率论和统计 学中具有重要应用。
离散概率分布
离散概率分布定义
离散概率分布描述的是随机变量取离散值时的概率规律，通 常用概率质量函数或概率函数表示。
离散概率分布性质
离散概率分布具有非负性、归一性和可数性等性质，这些性 质是离散概率分布的基本要求。
期望与方差
期望定义
期望是随机变量所有可能取值 的概率加权和，是描述随机变 量取值“平均水平”的重要指
标。
期望性质
期望具有线性性、可加性和正 定性等性质，这些性质在概率 论和统计学中具有重要应用。
方差定义
感谢您的观看
THANKS
方差是描述随机变量取值分散 程度的重要指标，是随机变量 与期望之差的平方的期望。
方差性质
方差具有非负性、归一性和可 加性等性质，这些性质是方差
的基本要求。
06 离散概率论的应用
蒙提霍尔问题
总结词
蒙提霍尔问题是一个著名的概率论问题，涉 及到概率论中的独立性概念和组合数学。
详细描述
蒙提霍尔问题是一个经典的组合数学问题， 它涉及到概率论中的独立性概念。该问题问 的是，如果有n个盒子，每个盒子被选中的 概率是1/2，那么在最优策略下，选中至少 一个盒子的最有可能的盒子数是多少？这个 问题涉及到概率论中的独立性概念和组合数
学。
抓阉问题
要点一
总结词
抓阉问题是一个经典的离散概率论问题，涉及到概率论中 的随机性和独立性概念。
要点二
离散数学第六章
6.1.6 循环群和置换群
§循环群 在循环群G=<a>中, 生成元a的阶与群G的阶是一样 的. 如果a是有限阶元, |a|＝n, 则称G为n阶循环群. 如 果a是无限阶元, 则称G为无限阶循环群. 例如: <Z,+>是无限阶循环群; <Z6,>是n阶循环群. 注意:(1) 对9 无限阶循环群G=<a>, G的生成元是a和a-1; (2) 对n阶循环群G=<a>=<e,a,…,an-1>,G的生成元是at 当且仅当t与n互素, 如12阶循环群中, 与12互素的数 有1、5、7、11. 那么G的生成元有a1=a、a5、a7、 a11. (3) N阶循环群G=<a>, 对于n的每个正因子d, G恰好有 一个d阶子群H=<an/d>.
6.1.3 子群
例如, 群<Z6,>中由2生成的子群包含2的各次 幂, 20=e=0, 21=2, 22=22=4, 23=222=0, 所 以由2生成的子群：<2>={0,2,4}.
对于Klein四元群G={e,a,b,c}来说, 由它的每个 元素生成的子群是 <e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}
6.1.6 循环群和置换群
§循环群
定义6.7 在群G中, 如果存在aG使得 G={ak|kZ} 则称G为循环群, 记作G=<a>,称a为G的生成元. ☆ 循环群必定是阿贝尔群, 但阿贝尔群不一定 是循环群. 证明: 设<G,*>是一个循环群, 它的生成元是a, 那么,对于任意x,yG, 必有r,sZ, 使得 x=as,y=at, 而且x*y=as*at=as+t=at*as=y*x 由此可见<G,*>是一个阿贝尔群. 例如,<Z,+>是一个循环群, 其生成元是1或-1.
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的定义与此定义的区别只是指定了一个特殊的 顶点 ——根，并由此使得顶点之间形成了层次 结构，而它同样也是一个无回路的连通图。
03.06.2020
离散数学
1
树的举例
树G：
a
取a为根： 取b为根：b
取e为根：
a
a dc
e
bd
b
e
d
ce
c
d 取d为根：d
b
b
e
e
显然它们是同构的。 a
c
ac
数据结构中的树指定了一个特殊的顶点为根。
03.06.2020
离散数学
2
树的应用举例
树的用途极其广泛，比如计算机网络中的最短
通路、二叉树排序，各种层次结构的表示、等
等。可以说，在计算机领域中几乎处处可以见 到她的婆娑身影。
例如：右图就是用树 表示的算术表达式：
(a+b)* c – d /c
–
*
/
+ c de
ab
03.06.2020
离散数学
G+uv中恰有一条回路；
(4) (5)
06.2020
离散数学
5
树是点比边多一的连通图
证明：因G是树，所以G连通， 下对p做归纳证 明 q=p–1：
(1) p=1时，显然q=p–1 ；
(2)假设对顶点数少于p的树，结论成立；
(3) 对于p个顶点的树G ，p2 , 取e=uv ∈E(G) , 由 定理6.1.1知，e是唯一的(u,v)––通路，于是， G–e不连通而且恰有两个连通分支G1(p1,q1)和 G2(p2，q2),显然，p1<p且p2<p .由归纳假设， q1=p1–1 , q2=p2–1 ,
03.06.2020
离散数学
15
连通是有生成树的充要条件
定理6.2.1： 图G有生成树当且仅当G是一 个连通图。 证明：若G连通，则存在一个G的连通子 图T满足：T连通且从T中去掉任何一条边 后T不连通，于是由定理6.1.2(5)知，G的 生成子图T是树，故T是G的生成树；
(因为在树中，q = p–1) 此为矛盾，故结论成立。
03.06.2020
离散数学
13
§6.2 生成树
图的生成树
生成树：G是一个图，若G的生成子图T是 树, 则称T为G的生成树。(G的生成树可能 不唯一。) 一个图G的生成树是 ⑴G的生成子图，因此它包含了G的全部 顶点； ⑵无回路的连通图（树）。
§6.1 树的定义
定义6.1.1： 连通无回路的图称为树。
让我们来看一下《数据结构》中的树的定义： 一棵树是一个或多个顶点的有限集合T，使得， ⑴有一个特殊标识的顶点，称为根； ⑵除根以外的其余顶点形成n≥0个划分，T1 ， T2 ，… ，Tn，它们也都是树，称为根的子树。
这里的树的定义更为一般。《数据结构》中树
树中至少有两个悬挂点
定理 6.1.3 任何非平凡树G(p,q)中至少有两个 顶点的度数为1（悬挂点 ）。 证明：(反证) 已知G中每个点的度 dG(v)1 ， 若G中最多只有一个点的度数为1，则G中至少 有p–1个顶点的度数大于或等于2，于是，
2q= d(v) 2(p–1) +1 > 2(p–1) = 2q vV (G)
➢ 此定理的逆不一定成立。
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4
几种等价说法
定理 6.1.2 设G(p,q) 是一个图，于是，下列五 种说法相互等价：
G是树；
(1) (2)
G连通且q = p – 1;
(2) (3)
G无回路且q = p – 1;
(3) (4)
G无回路,但对任意的u,v∈V(G),若uv E(G),则
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树若减条边就会不连通
证明：任取u,v ∈V(G) , 若uv∈E(G) , 则u和v 是连通的；若uv E(G) , 则有(4)知，G+uv有
唯一的回路C。由于G中无回路，所以，u,v必 在回路C上，显然，C – uv是G的连通子图，从 而G中含(u,v)–通路，即uv,故G是连通图。
3
树中只有单通路
定理 6.1.1x 树T中任何y两个P1 顶点之间恰有一条 通路。
u证明: (存在P性xy)因为树是连通图，所以任意v两点
之间有通路。
P2
(唯一性)设u,v∈V(T),若u和v之间有两条不同的 (x存uy,在v)E((xP,通y2)),路-显通P然路1,PHP2x=，yP.于于1∪是是PP2必-xxy+有yx是边y是连xyT通,中x图y的∈，一E从(P条而1)回,H但路中， 与树的定义相矛盾。所以定理得证。
。
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少条边就不连通的图是树的证明图示
P不含e：
v
C
u
x
e y
P含e：
u
C v
xe y
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P G
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P G
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平凡树和森林
只有一个顶点的图（平凡图）称为平凡 树。 具有多个连通分支，且每个连通分支都 是树的图称为森林。
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树若添条边就会有回路
证明：设G有k个连通分支，由于G无回路，所 以G的每个连通分支均是树，于是，
k
k
qi=pi-1(i=1,…,k) ,q =qi = (pi-1)= p – k
i=1 i=1
但已知q = p–1 ,故k=1。即G连通，从而G是树。 对G的任意两个非邻接的顶点u , v，由定理 6.1.1,有唯一的(u,v )––通路，从而G+uv也就有 唯一的一条回路。
从而q=q1+q2+1=p1+p2–1=p–1 。
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树是点比边多一的无回路图
假设G有回路，则显然可以依次从各回路中去 掉边而保持G的连通性。设从G中去掉了k条边 得到G的一个无回路的连通生成子图T，由定义 知T是G的生成树，且其边数是q–k ,顶点数是p, 由(2)知
q–k = p–1 但已知 q =p–1, 因此必有k =0 .这说明G本身就 无回路。
对任意e∈E(G) , 若G – e仍连通，则说明G中含
有回路，此与(4)矛盾，故G – e不连通。
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少条边就会不连通的图是树
只须证G中无回路。 若G中含回路C，取e=xy∈E(C) ,则 C – e仍连 通，任取u,v∈V(G) ,因G连通，故G中有(u,v)––通 路P。若P不含e，则u,v在G – e中仍连通；若 P中 含e，则P中的e可以用C – e中的(x,y)––通路代替， 从而u,v在G – e中仍连通。总之，u与v在G – e中 连通，此与(5)矛盾。故G无回路，因此，G是树
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1
树的举例
树G：
a
取a为根： 取b为根：b
取e为根：
a
a dc
e
bd
b
e
d
ce
c
d 取d为根：d
b
b
e
e
显然它们是同构的。 a
c
ac
数据结构中的树指定了一个特殊的顶点为根。
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树的应用举例
树的用途极其广泛，比如计算机网络中的最短
通路、二叉树排序，各种层次结构的表示、等
等。可以说，在计算机领域中几乎处处可以见 到她的婆娑身影。
例如：右图就是用树 表示的算术表达式：
(a+b)* c – d /c
–
*
/
+ c de
ab
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G+uv中恰有一条回路；
(4) (5)
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树是点比边多一的连通图
证明：因G是树，所以G连通， 下对p做归纳证 明 q=p–1：
(1) p=1时，显然q=p–1 ；
(2)假设对顶点数少于p的树，结论成立；
(3) 对于p个顶点的树G ，p2 , 取e=uv ∈E(G) , 由 定理6.1.1知，e是唯一的(u,v)––通路，于是， G–e不连通而且恰有两个连通分支G1(p1,q1)和 G2(p2，q2),显然，p1<p且p2<p .由归纳假设， q1=p1–1 , q2=p2–1 ,
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连通是有生成树的充要条件
定理6.2.1： 图G有生成树当且仅当G是一 个连通图。 证明：若G连通，则存在一个G的连通子 图T满足：T连通且从T中去掉任何一条边 后T不连通，于是由定理6.1.2(5)知，G的 生成子图T是树，故T是G的生成树；
(因为在树中，q = p–1) 此为矛盾，故结论成立。
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§6.2 生成树
图的生成树
生成树：G是一个图，若G的生成子图T是 树, 则称T为G的生成树。(G的生成树可能 不唯一。) 一个图G的生成树是 ⑴G的生成子图，因此它包含了G的全部 顶点； ⑵无回路的连通图（树）。
§6.1 树的定义
定义6.1.1： 连通无回路的图称为树。
让我们来看一下《数据结构》中的树的定义： 一棵树是一个或多个顶点的有限集合T，使得， ⑴有一个特殊标识的顶点，称为根； ⑵除根以外的其余顶点形成n≥0个划分，T1 ， T2 ，… ，Tn，它们也都是树，称为根的子树。
这里的树的定义更为一般。《数据结构》中树
树中至少有两个悬挂点
定理 6.1.3 任何非平凡树G(p,q)中至少有两个 顶点的度数为1（悬挂点 ）。 证明：(反证) 已知G中每个点的度 dG(v)1 ， 若G中最多只有一个点的度数为1，则G中至少 有p–1个顶点的度数大于或等于2，于是，
2q= d(v) 2(p–1) +1 > 2(p–1) = 2q vV (G)
➢ 此定理的逆不一定成立。
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几种等价说法
定理 6.1.2 设G(p,q) 是一个图，于是，下列五 种说法相互等价：
G是树；
(1) (2)
G连通且q = p – 1;
(2) (3)
G无回路且q = p – 1;
(3) (4)
G无回路,但对任意的u,v∈V(G),若uv E(G),则
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树若减条边就会不连通
证明：任取u,v ∈V(G) , 若uv∈E(G) , 则u和v 是连通的；若uv E(G) , 则有(4)知，G+uv有
唯一的回路C。由于G中无回路，所以，u,v必 在回路C上，显然，C – uv是G的连通子图，从 而G中含(u,v)–通路，即uv,故G是连通图。
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树中只有单通路
定理 6.1.1x 树T中任何y两个P1 顶点之间恰有一条 通路。
u证明: (存在P性xy)因为树是连通图，所以任意v两点
之间有通路。
P2
(唯一性)设u,v∈V(T),若u和v之间有两条不同的 (x存uy,在v)E((xP,通y2)),路-显通P然路1,PHP2x=，yP.于于1∪是是PP2必-xxy+有yx是边y是连xyT通,中x图y的∈，一E从(P条而1)回,H但路中， 与树的定义相矛盾。所以定理得证。
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少条边就不连通的图是树的证明图示
P不含e：
v
C
u
x
e y
P含e：
u
C v
xe y
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P G
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平凡树和森林
只有一个顶点的图（平凡图）称为平凡 树。 具有多个连通分支，且每个连通分支都 是树的图称为森林。
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树若添条边就会有回路
证明：设G有k个连通分支，由于G无回路，所 以G的每个连通分支均是树，于是，
k
k
qi=pi-1(i=1,…,k) ,q =qi = (pi-1)= p – k
i=1 i=1
但已知q = p–1 ,故k=1。即G连通，从而G是树。 对G的任意两个非邻接的顶点u , v，由定理 6.1.1,有唯一的(u,v )––通路，从而G+uv也就有 唯一的一条回路。
从而q=q1+q2+1=p1+p2–1=p–1 。
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树是点比边多一的无回路图
假设G有回路，则显然可以依次从各回路中去 掉边而保持G的连通性。设从G中去掉了k条边 得到G的一个无回路的连通生成子图T，由定义 知T是G的生成树，且其边数是q–k ,顶点数是p, 由(2)知
q–k = p–1 但已知 q =p–1, 因此必有k =0 .这说明G本身就 无回路。
对任意e∈E(G) , 若G – e仍连通，则说明G中含
有回路，此与(4)矛盾，故G – e不连通。
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少条边就会不连通的图是树
只须证G中无回路。 若G中含回路C，取e=xy∈E(C) ,则 C – e仍连 通，任取u,v∈V(G) ,因G连通，故G中有(u,v)––通 路P。若P不含e，则u,v在G – e中仍连通；若 P中 含e，则P中的e可以用C – e中的(x,y)––通路代替， 从而u,v在G – e中仍连通。总之，u与v在G – e中 连通，此与(5)矛盾。故G无回路，因此，G是树