河北省“五个一名校联盟”高三数学教学质量监测试题(

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河北省“五个一”名校联盟 2023 届高三年级数学考试试题及答案

河北省“五个一”名校联盟 2023 届高三年级数学考试试题及答案

河北省“五个一”名校联盟2023届高三年级摸底考试数学试卷命题单位:邯郸市第一中学(满分:150分,测试时间:120分钟)第I 卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2280A x x x =--<,{}2,3,4,5B =,则A B = ()A.{2} B.{}2,3 C.{}3,4 D.{}2,3,42.已知2i z =+,则()i z z -=()A.62i -B.42i -C.62i +D.42i+3.已知圆锥的高为1,母线长为6,则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为()A.2 B.52 C.553 D.34.设0>ω,若函数()2cos()2f x x πω=-在[],42ππ-上单调递增,则ω的取值范围是()A.1(0,]2 B.3(1,]2 C.3[0,]2 D.(0,1]5.如图,在底面半径为1,高为6的圆柱内放置两个球,使得两个球与圆柱侧面相切,且分别与圆柱的上下底面相切.一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面,得到的截线是一个椭圆.则该椭圆的离心率为()A.22 B.32 C.53 D.636.已知82βαππ<<<,且5sin 2sin cos 2sin 4413πααπ-=,sin 2cos 4πβ+cos 2sin 4πβ33=,则()βα22sin -的值为()B.96C.D.96-7.若过点(,)m n 可以作曲线2log y x =的两条切线,则()A.2log m n > B.2log n m > C.2log m n < D.2log n m<8.先后抛掷两枚质地均匀的骰子,甲表示事件“第一枚骰子掷出的点数是1”,乙表示事件“第二枚骰子掷出的点数是2”,丙表示事件“两枚骰子掷出的点数之和是8”,丁表示事件“两枚骰子掷出的点数之和是7”,则下列说法正确的有()①甲与乙相互独立②乙与丁相互独立③乙与丙不互斥但相互独立④甲与丙互斥但不相互独立A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,现从中有放回的取出5个球并记录取球结果,则下列统计结果中可能取出6号球的是()A.平均数为3,中位数为2B.中位数为3,众数为2C.平均数为2,方差为2.4D.中位数为3,极差为210.已知(cos ,sin ),(cos )a x x b x x ==r r ,函数()f x a b =⋅r r ,则下列选项正确的是()A.函数f (x )的值域为13[,]22-.B.将函数1sin 2y x =+图像上各点横坐标变为原来的12(纵坐标不变),再将所得图像向左平移12π个单位长度,可得函数()f x 的图像.C.函数f (x )是奇函数.D.函数f (x )在区间[]π20,内所有零点之和为143π.11.如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1棱长为1,P 是1A D 上的一个动点,下列结论中正确的是()A.BP 的最小值为23B.PA PC +C.当P 在直线1A D 上运动时,三棱锥1B ACP -的体积不变D.以点B 为球心,2为半径的球面与面AB 1C 的交线长为π312.已知圆221:(12C x y +-=上两点A 、B 满足AB 点()0,0M x 满足:MA MB =,则下列结论中正确的是()A.当AB =,012x =B.当00x =时,过M 点的圆C 的最短弦长是C.线段AB 的中点纵坐标最小值是12D.过M 点作圆C 的切线且切点为A,B,则0x 的取值范围是(,)-∞⋃+∞第II 卷(非选择题,共90分)三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知函数()3(x xa e f x e x -=是偶函数,则=a ______.14.设抛物线2y =的焦点为F ,准线为l ,过抛物线上一点A 作l 的垂线,垂足为B .设0C (),AF 与BC 相交于点D .若CF AF =,则△ACD 的面积为_____.15.,212x x R e x a ∀∈-≥+,则a 的最大值为______.16.德国大数学家高斯年少成名,被誉为数学届的王子,19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论,就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》.在其年幼时,对1+2+3+……+100的求和运算中,提出了倒序相加法的原理,该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成,因此,此方法也称之为高斯算法,现有函数()xf x =设数列{}n a 满足*121(0)()()()(1)()n n a f f f f f n N n n n-=+++++∈ ,若12,{}n n n n b a b n +=则的前项_________.n S =和四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知正项数列{}n a 满足11a =,且112++=-n n n n a a a a .(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记21n n a b n =+,求数列{}n b 的前n 项和为n S ,求证:11.32n S ≤<18.(本小题满分12分)某学校组织“纪念共青团成立100周年”知识竞赛,有A ,B,C 三类问题,每位参加比赛的同学需要先选择一类并从中随机抽取一个问题回答,只有答对当前的问题才有资格从下一类问题中再随机抽取一个问题回答.A 类问题中的每个问题回答正确得10分,否则得0分;B 类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分,C 类问题中的每个问题回答正确得30分,否则得0分.已知小康同学能正确回答A 类问题的概率为0.8,能正确回答B 类问题的概率为0.6,能正确回答C 类问题的概率为0.4,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小康按照CBA 的顺序答题,记X 为小康的累计得分,求X 的分布列;(2)相比较小康自选的CBA 的答题顺序,小康的朋友小乐认为按照ABC 的顺序答题累计得分期望更大,小乐的判断正确吗?并说明理由.19.(本小题满分12分)已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,若4,b =在①()(sin sin )(sin sin )b c B C A C a +-=-,②1cos 3)(2cos =++B C A 两个条件中任选一个完成以下问题:(1)求;B (2)若D 在AC 上,且,AC BD ⊥求BD 的最大值.20.(本小题满分12分)如图,ABCD 为圆柱OO '的轴截面,EF 是圆柱上异于AD ,BC 的母线.(1)证明:BE ⊥平面DEF ;(2)若6==BC AB ,当三棱锥B DEF -的体积最大时,求二面角B DF E --的正弦值.21.(本小题满分12分)已知双曲线C :22221x y a b -=的离心率为2,1F 、2F 为它的左、右焦点,点P 为双曲线在第一象限上的一点,且满足120PF PF ⋅=uuu r uuu r ,126PF PF =.(1)求C 的方程;(2)过点2F 作直线l 交双曲线于,A B 两点,在x 轴上是否存在定点(),0Q m ,使得⋅uur uuu r QA QB 为定值,若存在,求出m 的值和该定值;若不存在,请说明理由.2212012.()()ln ().();():().本小题满分分已知函数()讨论的零点个数()证明x f x x ax a f x f e x f x a=+≠≤-河北省“五个一”名校联盟2023届高三年级摸底考试数学参考答案一、单选题1——4:BADD5——8:BBBC 二、多选题9.AB10.ABD 11.BCD 12.CD三、填空题13.1-14.15.116.12n n +⋅四、解答题17.【解析】(1)数列{}n a 中,0n a >,由112++=-n n n n a a a a ,可得2111=-+nn a a .…………………………………………………………………………2分又11111a ==,则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公差为2的等差数列,则12)1(211-=-+=n n a n,则数列{}n a 的通项公式为121-=n a n .…………………………………………………4分(2)由(1)知121-=n a n ,则1111(21(21)(21)22121n n a b n n n n n ===-+-+-+,…………………………………6分则数列{}n b 的前n 项和111111111123352121221()()n S n n n =-+-++-=--++L ,………………………8分,012131,311210,312,*<+-≤-∴≤+<∴≥+∴∈n n n N n .2131,1121132<≤∴<+-≤∴n S n …………………………………………………10分18.【解析】(1)由题可知,X 的所有可能取值为0,30,50,60……………………………1分()010.40.6P X ==-=()()300.410.60.16P X ==⨯-=()500.40.6(10.8)0.048P X ==⨯⨯-=()600.40.60.80.192P X ==⨯⨯=……………………………………………………5分所以X 的分布列为X0305060P 0.60.160.0480.192………………………………………………………………………………………………6分(2)由(1)知,()00.6300.16500.048600.19218.72E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.若小康按照ABC 顺序答题,记Y 为小康答题的累计得分,则Y 的所有可能取值为0,10,30,60()010.80.2P Y ==-=()()100.810.60.32P Y ==-=()300.80.6(10.4)0.288P X ==⨯⨯-=()600.80.60.40.192P X ==⨯⨯=………………………………………………………10分所以()00.2100.32300.288600.19223.36E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=故小乐的判断正确…………………………………………………………………………12分19.【解析】(1)若选①,由正弦定理得,(),)()(a c a c b c b -=-+………………………2分即,222ac a c b -=-即,222ac b c a =-+2221cos ,222a c b ac B ac ac +-∴===……4分(0,),,3B B ππ∈∴=Q ……………………………………………………………………5分若选②cos2()3cos cos2()3cos cos23cos 1,A C B B B B B π++=-+=+=Q …………………2分,1cos 31cos 22=+-∴B B 即22cos 3cos 20,B B +-=即2cos -=B (舍)或21cos =B ,…………………………………………………………4分(0,),,3ππ∈∴=Q B B ……………………………………………………………………5分(2)BD AC ⊥Q ,BD 为AC 边上的高,当面积最大时,高取得最大值.…………………6分法一:由余弦定理得,B ac c a b cos 216222-+==,由重要不等式得162ac ac ac ≥-=,当且仅当a=c 时取等,……………….…….…….…….…….……….…………………9分所以34sin 21≤=∆B ac S ABC .…….…….…….…….…….…….………………10分所以AC 边上的高的最大值为4312b =..…….…….…….…….………………12分法二:由正弦定理得ABC ∆外接圆的直径为2sin b R B ==,.……………………7分利用正弦定理表示面积得:11sin sin 2233ABC S ac B A C B ∆==⋅122sin()sin()233A A A A ππ=-=-)363A π=-+≤……………………………………………………10分所以AC 边上的高的最大值为322134=b ..…….…….…….…….………………12分20.【解析】(1)证明:如右图,连接AE ,由题意知AB 为O的直径,所以AE BE ⊥.因为AD ,EF 是圆柱的母线,所以AD EF ∥且AD EF =,所以四边形AEFD 是平行四边形.所以AE DF ∥,所以BE DF ⊥.因为EF 是圆柱的母线,所以EF ⊥平面ABE ,又因为BE ⊂平面ABE ,所以EF BE ⊥.又因为DF EF F = ,DF 、EF ⊂平面DEF ,所以BE ⊥平面DEF .………………………………………4分(2)由(1)知BE 是三棱锥B DEF -底面DEF 上的高,由(1)知EF AE ⊥,AE DF ∥,所以EF DF ⊥,即底面三角形DEF 是直角三角形.设DF AE x ==,BE y =,则22:6Rt ABE x y+=在中有,………………………………………………………………5分所以221113326622B DEF DEFx yV S BE x y-∆+⎛=⋅=⋅⋅⋅=≤=⎝,当且仅当3==yx时等号成立,即点E,F分别是»AB,»CD的中点时,三棱锥B DEF-的体积最大,…………………………………………………………………………………7分(:另解等积转化法:1.3B DEF D BEF D BCF B CDF CDFV V V V S BC----∆====⋅,)F CD E F AB CD易得当与距离最远时取到最大值此时、分别为 、 中点下面求二面角B DF E--的正弦值:法一:由(1)得BE⊥平面DEF,因为DF⊂平面DEF,所以BE DF⊥.又因为EF DF⊥,EF BE E⋂=,所以DF⊥平面BEF.因为BF⊂平面BEF,所以BF DF⊥,所以BFE∠是二面角B DF E--的平面角,……9分由(1)知BEF为直角三角形,则3BF==.故3sin3BEBFEBF∠==,所以二面角B DF E--的正弦值为分法二:由(1)知EA,EB,EF两两相互垂直,如图,以点E为原点,EA,EB,EF所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系E xyz-,则00000000(),(,,),(,B D E F.由(1)知BE⊥平面DEF,故平面DEF的法向量可取为00()EB=uuu r.设平面BDF的法向量为(,,)n x y z=,由((0,DF BF==,……………………………………………………8分得n DFn BF⎧⋅=⎨⋅=⎩,即⎧=⎪⎨+=⎪⎩,即xy=⎧⎪⎨=⎪⎩,取1z=,得n= (10)分答案第7页(共7页)10,().5L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L a f x e-<<当时有两个零点分ln ()()()(2),((),7ln 10(0)ln 10(0),:()10(0)8()1,()1,(,0)x at atat t f x x x x f e x f e t f f t a x a ate t at t t at e t tf x e x h x x e h x e x --------=≤-⇔≤-++-≥>++-≥>+-≥>'=+-=-∈-∞设则分即证,即证即证,分设则当时L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 00,()0,(0,),()0,()(,0),()(0),()(0)010110,0"",(1),,,()0x h x x h x h x h x h x h x e x a x ef x -'<∈+∞'>∴-∞+∞∴≥=∴+-≥==>-=当时在单调递减在,单调递增,分当且仅当时成立由知当时存在使得L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L ()11()()10,().12x f x f e x f x e f x a-∴+-≥∴≤-分分L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L。

2023-2024学年河北省“五个一联盟”高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

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培养小学生数学学习自主能力的策略研究【摘要】本文旨在探讨如何培养小学生的数学学习自主能力,通过对理论分析、案例分析、实践探索、教学方法探讨以及评估与反思等部分的研究,提出有效的策略。

在分析了当前研究背景下的问题及研究意义,并确立了研究目的。

在深入剖析了培养学生自主学习的理论基础,通过案例分析实践探索,在具体的教学方法探讨中提出可行的措施。

在结论部分总结了研究成果并展望了未来的研究方向,同时总结了本研究给出的启示。

通过本文的研究,可以为小学数学教育提供实用的指导,促进学生主动学习,提高数学学习效果。

【关键词】数学学习自主能力、小学生、培养、策略、研究、理论分析、案例分析、实践探索、教学方法、评估、反思、总结成果、展望未来、研究启示1. 引言1.1 研究背景小学生数学学习自主能力的培养是当前教育领域中备受关注的一个重要问题。

随着社会的发展和教育理念的转变,传统的教学模式已经无法满足学生全面发展的需求。

小学生数学学习自主能力的培养是一项复杂而又重要的任务,它不仅关系到学生的学习能力和发展水平,也直接影响到未来社会的发展和进步。

在现代社会中,随着信息技术的飞速发展,学生获取知识的途径变得更加多样化和便捷化。

传统的教学模式过于注重教师的灌输和传授,往往忽视了学生自主学习的重要性。

如何引导学生主动参与数学学习,培养他们独立思考和解决问题的能力,成为了当前教育工作者亟待解决的问题。

针对小学生数学学习自主能力培养的问题,学术界和教育界也进行了大量的探讨和研究。

目前相关研究还存在一些局限性和不足之处,仍需要进一步深入研究和探讨。

本研究旨在通过理论分析、案例分析、实践探索和教学方法探讨等方式,提出有效的策略和方法,促进小学生数学学习自主能力的培养。

1.2 研究意义在当今社会,数学的重要性日益凸显,具备数学学习自主能力的学生更容易适应社会发展的要求,更容易在竞争激烈的环境中脱颖而出。

研究如何有效培养小学生数学学习自主能力具有重要的意义。

河北省“五个一名校联盟”高三教学质量监测文科数学试卷

河北省“五个一名校联盟”高三教学质量监测文科数学试卷

)
x y
A.1
B.3
C.4
D.8
6.如右图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( )
1
25
3
11
A.
B.
C.
D.
6
24
4
12
7.若直线 l1 : x ay 6 0 与 l2 : (a 2)x 3y 2a 0 平行,则 l1 与 l2 间的距离为( )
1
A. 2
82
B.
3
CHale Waihona Puke 3(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为 4.3、4.4、4.5、4.6、4.8.若从这六个班中
任意抽取两个班学生视力的平均值作比较,求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对
值不小于 0.2 的概率.
19. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为 直角梯形, AD / /BC, ADC 90 ,平面 PAD 底面 ABCD , Q 为 AD 的中点, PA PD 2, BC 1 AD 1, CD 3,
请考生从第 22、23 题中任选一题作答,多答,则按所做的第一题计分,作答时请写
清题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
()
A. 充 分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
x2
4.若双曲线
a2
y2 b2
1的一条渐近线经过点 (3, 4) ,则此双曲线的离心率为
(
)
A. 7 3
B. 5 4
C. 4 3
D. 5 3
x 0
5.已知变量
x,
y
满足约束条件

2024届河北省五个一名校高三下学期阶段调研(二)数学试题

2024届河北省五个一名校高三下学期阶段调研(二)数学试题

2024届河北省五个一名校高三下学期阶段调研(二)数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数3()1f x x ax =--,以下结论正确的个数为( ) ①当0a =时,函数()f x 的图象的对称中心为(0,1)-; ②当3a ≥时,函数()f x 在(–1,1)上为单调递减函数; ③若函数()f x 在(–1,1)上不单调,则0<<3a ; ④当12a =时,()f x 在[–4,5]上的最大值为1. A .1B .2C .3D .42.已知函数()2x f x x x ln a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,关于x 的方程f (x )=a 存在四个不同实数根,则实数a 的取值范围是( )A .(0,1)∪(1,e )B .10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,C .11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,D .(0,1)3.已知P 是双曲线22221x y a b-=渐近线上一点,1F ,2F 是双曲线的左、右焦点,122F PF π∠=,记1PF ,PO ,2PF 的斜率为1k ,k ,2k ,若1k ,-2k ,2k 成等差数列,则此双曲线的离心率为( )AB .2C D4.设函数()()21ln 11f x x x=+-+,则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是( ). A .()1,+∞ B .()(),11,-∞-+∞ C .()1,1-D .()()1,00,1-5.已知集合{}|0A x x =<,{}2|120B x x mx =+-=,若{}2AB =-,则m =( )A .4B .-4C .8D .-86.在ABC ∆中,H 为BC 上异于B ,C 的任一点,M 为AH 的中点,若AM AB AC λμ=+,则λμ+等于( )A .12B .23C .16D .137.复数z 满足()113z i i -=-,则复数z 等于() A .1i -B .1i +C .2D .-28.某三棱锥的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,则该三棱锥外接球的表面积为( )A .27πB .28πC .29πD .30π9.若直线不平行于平面,且,则( )A .内所有直线与异面B .内只存在有限条直线与共面C .内存在唯一的直线与平行D .内存在无数条直线与相交10.当0a >时,函数()()2xf x x ax e =-的图象大致是( )A .B .C .D .11.在正方体1AC 中,E 是棱1CC 的中点,F 是侧面11BCC B 内的动点,且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直,如图所示,下列说法不正确...的是( )A .点F 的轨迹是一条线段B .1A F 与BE 是异面直线C .1A F 与1DE 不可能平行D .三棱锥1F ABD -的体积为定值12.已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数,且(2)3f =,则(2)f -=( )A .2B .5C .1D .3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2024-2025学年河北省高三上学期省级联测数学试题及答案

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2024—2025高三省级联测考试数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自已的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}(){}21,2,3,4,ln 9A B x y x =-=∈=-Z ∣,则A B = ()A {}1,2,3 B. {}1,2-C. {}2,3 D. {}0,1,2,3,42. 已知复数()221233i,24i,z a a z a a a =-+=+-∈R ,若12z z +为纯虚数,则a =( )A. 1或2B. 1C. 2D. 33. 已知向量,a b满足()2,2,0a b == ,且2a b += ,则a 在b 上的投影向量的坐标为( )A. ()1,0- B. ()1,0 C. ()2,0- D. ()2,04 已知()πcos 2cos 3π2αα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,则221sin sin22cos ααα+=( )A. 14-B.34C. 2D. 65. 某中学开展劳动实习,学习制作模具,有一个模具的毛坏直观图如图所示,它是由一个圆柱体与一个半球对接而成的组合体,已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面(过圆柱上、下底面圆的圆心连线的平面)ABCD 是面积为16的正方形,则该几何体的体积为( )..A.16π3B. 16πC.64π3D. 72π6. 设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和,213332,8S a a a =+=,则数列{}21n a n +-的前5项和为( )A. 55B. 57C. 87D. 897. 已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示,将函数()f x 的图象先向右平移π4个单位长度,再将所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变),得到函数()g x 的图象,若关于x 的方程()0g x m -=在,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 上有两个不等实根,则实数m 的取值范围为( )A. (]2,2-B. (2,-C2⎤⎦D. (8. 已知定义域为R 的函数()f x 不是常函数,且满足()()()()f x y f x y f x f y ++-=,()10f =,则20261()i f i ==∑()A. 2- B. 2C. 2026- D. 2026二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目.要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9. 已知随机变量()()1,4,2,1X N Y N ~~,则下列说法正确的是( )A. 若(0)0.2P X <=,则()20.4P X ≤=B. 若()()0.20.1P X a P X ≥=≤=,则10.49a P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭C. ()()12P X P Y >>>D. ()()44P X P Y ≤<≤10. 已知函数()322f x x x x =-+-,若()()22g x f x x x a =-++,则下列说法正确的是( )A. 函数()f x 的单调递增区间为()1,3B. 函数()f x 的极大值点为1C. 若[]1,2x ∈,则()f x 值域为[]2,0-D. 若0x ∀≥,都有()0g x ≤成立,则a 的取值范围为(],1-∞-11. 已知曲线:4G x x y y +=,则下列说法正确的是( )A. 点()1,1在曲线G 上B. 直线:l y x =-与曲线G 无交点C. 设直线:2l y kx =+,当()1,0k ∈-时,直线l 与曲线G 恰有三个公共点D. 直线:2l x y +=与曲线G 所围成的图形的面积为π2-三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 已知函数()()2ln 31,,f x a x x b a b =+-+∈R ,若曲线()y f x =在0x =处的切线方程为32y x =+,则a b +=__________.13. 已知双曲线C:x 2a2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为12,F F ,过坐标原点O 的直线与双曲线C 交于,M N 两点,且点M 在第一象限,满足120MF MF ⋅=.若点P 在双曲线C 上,且112F P NF = ,则双曲线C的离心率为______.14. 某市为了传承中华优秀传统文化,组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道的题的概率均为23,且每次答题相互独立,若该同学连续作答20道试题后结束比赛,记该同学答对m 道试题的概率为()f m ,则当m =__________时,()f m 取得最大值.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在ABC V 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足2cos cos cos A A Cac ab bc-=.(1)求角A ;(2)若a ABC =,求ABC V 的周长.16. 已知椭圆()2222Γ:10x y a b a b+=>>的左焦点为1F ,上、下顶点分别为,A B ,且1π2AF B ∠=,点⎛ ⎝在Γ上.(1)求椭圆Γ的方程;(2)过左焦点1F 的直线交椭圆Γ于,M N 两点,交直线2x =-于点P ,设1PM MF λ= ,1PN NF μ=,证明:λμ+为定值.17. 如图,在四棱锥P ABCD -中,平面PCD ⊥平面,ABCD PDC 为钝角三角形且DP DC =,290,DAB ABC ADB DCB E ∠∠∠∠==== 是PA 中点.(1)证明:BD PD ⊥;(2)若直线PD 与底面ABCD 所成的角为60o ,求平面BDE 与平面CDE 夹角的正弦值.18. 已知函数()()21(0)f x x a x a =++<.(1)证明:函数()f x 的极大值大于1;(2)若函数()f x 有3个零点,求实数a 的取值范围;(3)已知(),,0,1,2,3i i i A x y i =是()f x 图象上四个不重合的点,直线03A A 为曲线y =f (x )在点0A 处的的切线,若123,,A A A 三点共线,证明:1202x x x +=.19. 已知有限集{}()123,,,,2n A a a a a n =≥ ,若A 中的元素()1,2,,i a i n =L 满足1212n n a a a a a a =+++ ,则称A 为“n 元重生集”.(1)集合是否为“2元重生集”,请说明理由;(2)是否存在集合中元素均为正整数的“3元重生集”?如果有,请求出有几个,如果没有,请说明理由;(3)若*i a ∈N ,证明:“n 元重生集”A 有且只有一个,且3n =.2024—2025高三省级联测考试数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自已的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}(){}21,2,3,4,ln 9A B x y x =-=∈=-Z ∣,则A B = ()A. {}1,2,3B. {}1,2-C. {}2,3D. {}0,1,2,3,4【答案】B 【解析】B ,再由交集的定义求A B ⋂.【详解】集合(){}{}{}{}22ln 990332,1,0,1,2B x y xx xx x =∈=-=∈->=∈-<<=--Z Z Z ,而{}1,2,3,4A =-,所以{}1,2A B ⋂=-.故选:B.2. 已知复数()221233i,24i,z a a z a a a =-+=+-∈R ,若12z z +为纯虚数,则a =( )A. 1或2 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】【分析】计算出()22123243i z z a a a a +=-++-+,根据纯虚数的概念得到方程和不等式,求出答案.【详解】由()221233i,24i,z a a z a a a =-+=+-∈R 可知,()()22221233i 24i 3243i z z a a a a a a a a +=-+++-=-++-+,因为12z z +为纯虚数,所以22430320a a a a ⎧-+≠⎨-+=⎩,解得2a =.故选:C.3. 已知向量,a b满足()2,2,0a b == ,且2a b += ,则a 在b 上的投影向量的坐标为( )A. ()1,0-B. ()1,0 C. ()2,0- D. ()2,0【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件求得2a b ⋅=-,结合投影向量的坐标公式即可求解.【详解】已知2,2a b == ,所以222()24244a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅+= ,可得2a b ⋅=- ,所以()()212,01,02||a b b b ⋅=-⨯=-,故选:A.4. 已知()πcos 2cos 3π2αα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,则221sin sin22cos ααα+=( )A. 14-B.34C. 2D. 6【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件得tan 2α=,然后将目标式子用tan α表示,由此即可得解.【详解】由()πcos 2cos 3π2αα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,得sin 2cos αα=,则tan 2α=,所以221sin sin22cos ααα+=222sin sin cos tan tan 426cos αααααα+=+=+=,故选:D.5. 某中学开展劳动实习,学习制作模具,有一个模具的毛坏直观图如图所示,它是由一个圆柱体与一个半球对接而成的组合体,已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面(过圆柱上、下底面圆的圆心连线的平面)ABCD 是面积为16的正方形,则该几何体的体积为( )A.16π3B. 16πC.64π3D. 72π【答案】C 【解析】【分析】得到4AB BC ==,确定球的半径和圆柱的底面圆半径和高,利用球和圆柱体积公式进行求解.【详解】因为四边形ABCD 是面积为16的正方形,则4AB BC ==,由题意可知半球的半径2R =,圆柱的底面圆半径2r =,高4h =,由球的体积公式可得半球的体积311416ππ233V R =⨯=,由圆柱的体积公式可得圆柱的体积22π16πV Sh r h ===,故该几何体的体积1216π64π16π33V V V =+=+=.故选:C.6. 设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和,213332,8S a a a =+=,则数列{}21n a n +-的前5项和为( )A. 55 B. 57 C. 87 D. 89【答案】C 【解析】【分析】先由已知条件算出公比,然后得n a 表达式,结合分组求和、等差数列以及等比数列求和公式即可求解.【详解】因为{a n }是正项等比数列,所以10a >,公比0q >.因为21332S a a =+,所以()121332a a a a +=+,则3212023a a a --=,即21112320a q a q a --=,则22320q q --=,解得2q =或12q =-(舍),又因为231148a a q a ===,所以12a =,所以数列{a n }通项公式为2n n a =,所以21221nn a n n +-=+-,设数列{}21n a n +-的前n 项和为n T ,则()()()()123212325221nn T n =++++++++- ()()123222213521n n =+++++++++- ()()1221212122122n n n n n +-+-=+=+--,所以62525287T =+-=,故选:C.7. 已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,将函数()f x 的图象先向右平移π4个单位长度,再将所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变),得到函数()g x 的图象,若关于x 的方程()0g x m -=在,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 上有两个不等实根,则实数m 的取值范围为( )A. (]2,2-B. (2,-C. 2⎤⎦D. (【答案】B 【解析】【分析】首先根据三角函数图象与性质计算即可得()f x 表达式,先根据三角函数的图像变换得()π2sin 43g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,结合正弦函数的单调性、对称性可判定m 的取值范围.【详解】由函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象可知,2A=,的的因为11ππ31264T -=,所以2ππ,2T Tω===,又π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以ππ22π,62k k ϕ⨯+=+∈Z ,解得π2π,6k k ϕ=+∈Z ,由π2ϕ<可得π6ϕ=,所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,将()f x 的图象向右平移π4个单位长度,再将所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变),得到()π2sin 43g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,令3π4t x =-,由ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,可得2ππ,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,函数2sin y t =在2ππ,32⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减,在ππ,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,且ππ2π2sin 2,2sin 2sin 233⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为关于x 的方程()0g x m -=在ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根,即y m =与()y g x =的图像在ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个交点,即y m =与2sin y t =在2π3t ⎡∈-⎢⎣上有两个交点,所以实数m 的取值范围为(2,-,故选:B.8. 已知定义域为R 的函数()f x 不是常函数,且满足()()()()f x y f x y f x f y ++-=,()10f =,则20261()i f i ==∑()A. 2-B. 2C. 2026- D. 2026【答案】A 【解析】【分析】依次算得()02f =,()f x 的周期为4,进一步结合已知得()()()()()()310,202,402f f f f f f =-==-=-==,由此得f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0,然后利用周期性即可求解.【详解】由题意,令0y =,得()()()20f x f x f =,又y =f (x )不是常函数,所以()02f =,再令1y =,得()()()()111f x f x f x f ++-=,即()()110f x f x ++-=,则f (x +2)=−f (x ),即()()2f x f x -=-,故()()4f x f x =+,所以函数y =f (x )的周期为4,由f (x +2)=−f (x ),令1x =,得()()()()()()310,202,402f f f f f f =-==-=-==,所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0,所以20261()506[(1)(2)(3)(4)](2025)(2026)(2025)(2026)i f i f f f f f f f f ==+++++=+=∑()()122f f +=-.故选:A.二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9. 已知随机变量()()1,4,2,1X N Y N ~~,则下列说法正确的是( )A. 若(0)0.2P X <=,则()20.4P X ≤=B. 若()()0.20.1P X a P X ≥=≤=,则10.49a P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭C. ()()12P X P Y >>>D. ()()44P X P Y ≤<≤【答案】BD 【解析】【分析】根据正态分布函数的性质逐一判断各个选项即可求解.【详解】对于选项A ,因为()(0)20.2P X P X <=>=,所以()()21210.2P X P X ≤=->=-=0.8,故A 错误;对于选项B ,因为()1,4X N ~,且()()0.20.1P X a P X ≥=≤=,则0.212a +=,即a =1.8,则()1(0.21)(1)0.20.50.10.49a P X P X P X P X ⎛⎫<<=<<=<-≤=-=⎪⎝⎭,故B 正确;对于选项C ,()()120.5P X P Y >=>=,故C 错误;对于选项D ,因为随机变量()()1,4,2,1X N Y N ~~,所以11221,2,2,1μσμσ====,因为()()()()()1122452,42P X P X P X P Y P Y μσμσ≤<≤=≤+≤=≤+,又()()112222P X P Y μσμσ≤+=≤+,所以()()44P X P Y ≤<≤,故D 正确,故选:BD.10. 已知函数()322f x x x x =-+-,若()()22g x f x x x a =-++,则下列说法正确的是( )A. 函数()f x 的单调递增区间为()1,3B. 函数()f x 的极大值点为1C. 若[]1,2x ∈,则()f x 的值域为[]2,0-D. 若0x ∀≥,都有()0g x ≤成立,则a 的取值范围为(],1-∞-【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项,求导,解不等式求出函数单调性;B 选项,在A 选项基础上得到函数的极大值点;C 选项,()f x 在[]1,2上单调递减,从而求出值域;D 选项,参变分离,得到32a x x x ≤--,构造函数()32h x x x x =--,求导得到其单调性,求出()h x 的最小值为()11h =-,故1a ≤-.【详解】对于选项A ,因为()322f x x x x =-+-,所以()()()2341311f x x x x x =-+-=---',所以当()1,1,3x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '<;当1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,所以()f x 单调递增区间为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭,故A 错误;对于选项B ,如下表:的x1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1()1,+∞()f x '-+-()f x 单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以1为函数()f x 的极大值点.故B 正确;对于选项C ,()f x 在[]1,2上单调递减,所以()f x 的最小值为()22f =-,最大值为()10f =,所以当[]1,2x ∈时,()f x 的值域为[]2,0-,故C 正确;对于选项D ,()()2322g x f x x x a x x x a =-++=-+++.因为()0g x ≤.即32a x x x ≤--,令()32h x x x x =--,则()()()2321311h x x x x x =--=+-',因为[)0,x ∈+∞,所以当()1,x ∈+∞时,()()0,h x h x '>单调递增,当[)0,1x ∈时,()()0,h x h x '<单调递减,所以当1x =时取到极小值,所以)h x 的最小值为()11h =-,所以1a ≤-,故D 正确.故选:BCD.11. 已知曲线:4G x x y y +=,则下列说法正确的是( )A. 点()1,1在曲线G 上B. 直线:l y x =-与曲线G 无交点C 设直线:2l y kx =+,当()1,0k ∈-时,直线l 与曲线G 恰有三个公共点D. 直线:2l x y +=与曲线G 所围成的图形的面积为π2-【答案】BCD 【解析】【分析】直接将点()1,1代入曲线方程即可判断A ;分,x y 的正负四种情况去掉绝对值符号得到曲线方程后,当斜率为1-时结合渐近线可得B 正确;由四分之一圆面积减去三角形面积可得D 正确;由图形可得.C 正确.【详解】222222224,0,04,0,044,0,04,0,0x y x y x y x y x x y y y x x y x y x y ⎧+=≥≥⎪-=><⎪+=⇒⎨-=⎪⎪--=<<⎩,因当0,0x y <<时,224x y --=无意义,无此曲线,故舍去,所以曲线G 表示为2222224,0,04,0,04,0,0x y x y x y x y y x x y ⎧+=≥≥⎪-=><⎨⎪-=⎩,作出曲线图象如图所示,对于选项A ,将点(1,1)代入4x x y y +=,得到24=,显然不成立,故A 错误;对于选项B ,将y x =-代入曲线G 得,04x x x x -=≠,无解,故B 正确;对于选项C ,由于直线2y kx =+恒过点(0,2),当0k =时,直线与x 轴平行,与曲线G 有一个交点;当1k =-时,直线与曲线G 的渐近线平行,此时与曲线G 有两个交点.当10k -<<时.结合斜率的范围可得直线与曲线G 有三个交点(如图),故C 正确;对于选项D ,设直线l 与,x y 轴的交点分别为,A B .因为圆的半径为2.且点()()2,0,0,2A B ,所以直线与曲线G 围成的图形的面积为211π222π242⨯⨯-⨯⨯=-,故D 正确.故选:BCD.为【点睛】关键点点睛:本题关键是能根据,x y 的正负去掉绝对值符号得到曲线方程,作出图象,数形结合分析.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 已知函数()()2ln 31,,f x a x x b a b =+-+∈R ,若曲线()y f x =在0x =处的切线方程为32y x =+,则a b +=__________.【答案】3【解析】【分析】由切线方程可知切点坐标和切线斜率,利用导数几何意义,建立方程,可求,a b 的值,进而得到所求和.【详解】由函数()()2ln 31f x a x x b =+-+,有()0f b =,由()3231af x x x =-+',可得()03f a '=, 因为曲线y =f (x )在0x =处的切线方程为32y x =+,所以33,302,a b =⎧⎨=⨯+⎩解得1,2a b ==,则3a b +=.故答案为:3.13. 已知双曲线C:x 2a2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为12,F F ,过坐标原点O 的直线与双曲线C 交于,M N 两点,且点M 在第一象限,满足120MF MF ⋅=.若点P 在双曲线C 上,且112F P NF = ,则双曲线C的离心率为______.【解析】【分析】作出辅助线,根据数量积为0得到垂直关系,设1NF m =,则12PF m =,由双曲线定义可得2222,2PF a m NF a m =+=+,由勾股定理得到方程,求出23m a =,进而求出c a ==【详解】如图,连接1222,,,MF MF NF PF ,因为120MF MF ⋅= ,所以12π2F MF ∠=,由对称性可得12π2F NF ∠=,由112F P NF =,可设1NF m =,则12PF m =,由双曲线的定义可知,212PF PF a -=,212NF NF a -=,则2222,2PF a m NF a m =+=+,由12π2F NF ∠=得,22222||PF PN NF =+,即222(22)9(2)a m m a m +=++,解得23m a =,又由12π2F NF ∠=得,2221212F F F N NF =+,即222221228684339a a F F a c ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得c a ==,所以双曲线C 的离心率e =.14. 某市为了传承中华优秀传统文化,组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为23,且每次答题相互独立,若该同学连续作答20道试题后结束比赛,记该同学答对m 道试题的概率为()f m ,则当m =__________时,()f m 取得最大值.【答案】13或14【解析】【分析】先得到()202022C 133m mm f m -⎛⎫⎛⎫=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,利用()()()()11f m f m f m f m ⎧≥-⎪⎨≥+⎪⎩解不等式即可.【详解】由题意得()202022C 133mmm f m -⎛⎫⎛⎫=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,020≤≤m 且m ∈N ,则()()()()11f m f m fm f m ⎧≥-⎪⎨≥+⎪⎩,即201211202020119120202222C 1C 1,33332222C 1C 1,3333m m m mm m m m m mm m -----+-+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-≥⨯⨯-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⨯⨯-≥⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩故()()()()()()20!220!1,!20!31!21!320!120!2,!20!31!19!3m m m m m m m m ⎧⨯≥⨯⎪---⎪⎨⎪⨯≥⨯⎪-+-⎩又m ∈N ,所以13m =或14m =,故当13m =或14m =时,()f m 取得最大值.故答案为:13或14.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在ABC V 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足2cos cos cos A A Cac ab bc-=.(1)求角A ;(2)若a ABC =,求ABC V 的周长.【答案】(1(2)+【解析】【分析】(1)根据正弦定理、三角恒等变换得2cos 1A =,进一步即可求解;(2)根据三角形面积公式得4bc =,进一步结合余弦定理可得b c +=,由此即可得解.【小问1详解】由题意,因为2cos cos cos A A Cac ab bc-=,所以2cos cos cos b A c A a C -=,由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=,即()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B =+=+=,因为sin 0B ≠,所以2cos 1A =,所以1cos 2A =,又0πA <<,所以π3A =.【小问2详解】由(1)可知,π3A =,则1sin 2A A ==,因为ABC V 的面积11sin 22ABC S bc A bc === 4bc =,由余弦定理可得22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-,即212()34b c =+-⨯,可得b c +=,所以ABC V 的周长为a b c ++=+.16. 已知椭圆()2222Γ:10x y a b a b+=>>的左焦点为1F ,上、下顶点分别为,A B ,且1π2AF B ∠=,点⎛ ⎝在Γ上.(1)求椭圆Γ的方程;(2)过左焦点1F 的直线交椭圆Γ于,M N 两点,交直线2x =-于点P ,设1PM MF λ= ,1PN NF μ=,证明:λμ+为定值.【答案】(1)2212x y +=(2)证明见解析【解析】【分析】(1)由1π2AF B ∠=,得a =,再把点⎛ ⎝代入椭圆方程求出,a b 即可;(2)设出直线MN 的方程,代入椭圆方程,设()()1122,,,M x y N x y ,由1PM MF λ= ,1PN NF μ=,表示出λμ+,利用韦达定理化简得定值.【小问1详解】由题意可知,1π2AF B ∠=,所以a =,因为点⎛ ⎝在Γ上,所以2211122b b +=,解得1b =,故a =,所以椭圆Γ的方程为2212x y +=.【小问2详解】由已知得直线MN 的斜率必存在,可设直线MN 的方程为()1y k x =+,代入椭圆方程,整理得()2222124220kxk x k +++-=,2880k ∆=+>,设()()1122,,,M x y N x y ,则()22121222214,1212k k x x x x k k-+=-=++,又()()12,,1,0P k F ---,由11,PM MF PN NF λμ== 得121222,11x x x x λμ++=-=-++.所以()()()121212*********1111x x x x x x x x x x λμ++++++=--=-++++,因为()()2212122221423423401212k k x x x x k k -⎛⎫+++=⋅+⋅-+= ⎪++⎝⎭,所以0λμ+=为定值.17. 如图,在四棱锥P ABCD -中,平面PCD ⊥平面,ABCD PDC 为钝角三角形且DP DC =,2290,DAB ABC ADB DCB E ∠∠∠∠==== 是PA 的中点.(1)证明:BD PD ⊥;(2)若直线PD 与底面ABCD 所成的角为60o ,求平面BDE 与平面CDE 夹角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2【解析】【分析】(1)根据面面垂直的性质得到BD ⊥平面PCD ,再根据线面垂直的性质即可得证.(2)根据已知条件建立适当的空间直角坐标系,表示出,,,B C D E 的坐标,求出两个平面的法向量,再结合向量夹角的坐标公式以及同角三角函数关系即可求解.【小问1详解】由2290DAB ABC ADB DCB ∠∠∠∠==== ,得,AD AB AD =//BC ,则45DBC DCB ∠∠== ,所以,90BD CD BDC ∠==,即BD CD ⊥,因为平面PCD ⊥平面ABCD ,平面PCD 平面,ABCD CD BD =⊂平面ABCD ,所以BD ⊥平面PCD ,又PD ⊂平面PCD ,所以BD PD ⊥.【小问2详解】如图,过点P 作CD 的垂线,交CD 的延长线于点H ,连接AH ,因为平面PCD ⊥平面ABCD ,平面PCD 平面,ABCD CD PH =⊂平面,PCD PH CD ⊥,所以PH ⊥平面ABCD ,则DH 为PD 在底面ABCD 内的射影,所以PDH ∠为直线PD 与底面ABCD 所成的角,即60PDH ∠= .设1AD =,得2BD DC DP BC ====,在PHD △中,DH PH ==,在ADH 中,45ADH ∠= ,由余弦定理得AH ==,所以222AH DH AD +=,所以AH CD ⊥,如图,过点D 作DF //PH ,则DF ⊥底面ABCD ,以,,DB DC DF 所在直线分别为,,x y z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则)(),,0,,,B C P A E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,所以)(),,DB DE DC === ,设平面BDE 和平面CDE 的法向量分别为()()111222,,,,,n x y z m x y z ==,则111100n DB n DE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩,222200m DC m DE x y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩,令121,1z z ==,则11220,0x y x y ====,所以(),n m ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ ,则cos ,n m n m n m ⋅=== ,设平面BDE 与平面CDE 的夹角为θ,则cos θθ===故平面BDE 与平面CDE.18. 已知函数()()21(0)f x x a x a =++<.(1)证明:函数()f x 的极大值大于1;(2)若函数()f x 有3个零点,求实数a 的取值范围;(3)已知(),,0,1,2,3i i i A x y i =是()f x 图象上四个不重合的点,直线03A A 为曲线y =f (x )在点0A 处的切线,若123,,A A A 三点共线,证明:1202x x x +=.【答案】(1)证明见解析(2),⎛-∞ ⎝ (3)证明见解析【解析】【分析】(1)求导,得到函数单调性,确定当x =,()f x 取得极大值,由单调性得到()01f f ⎛>= ⎝;(2)在(1)的基础上,得到函数()f x 有3个零点,应满足0f <,即103a a ⎛-++< ⎝,解得a <;(3)表达出直线03A A 的斜率03223300i A A k x x x x a =+++,同理可得1321222211331122,A A A A k x x x x a k x x x x a =+++=+++,根据三点共线得到方程,得到123x x x +=-,又()030A A k f x =',所以()()303020x x x x +-=,求出302x x -=,故1202x x x +=.【小问1详解】证明:由题,()23f x x a ='+,令()0f x '=,解得x =,当x <-或x ()()0,f x f x '>单调递增,当x -<()()0,f x f x '<单调递减,所以当x =()f x 取得极大值,由单调性可知()01f f ⎛>= ⎝,所以函数()f x 的极大值大于1.【小问2详解】由(1)可知,当x =()f x有极大值,且极大值为10f ⎛>> ⎝,因为()(),;,x f x x f x ∞∞∞∞→-→-→+→+,且当x =()f x 有极小值,所以要使得函数()f x 有3个零点,应满足0f <,即103a a ⎛-++< ⎝,解得a <,所以实数a的取值范围为,∞⎛- ⎝.【小问3详解】直线03A A 的斜率()()()0333223300303300303011A A x ax x ax x x x x x x a k x x x x ++-++-+++==--,因为30x x ≠,所以03223300i A A k x x x x a =+++,同理可得1321222211331122,A A A A k x x x x a k x x x x a =+++=+++,因为123,,A A A 三点共线,则有222211331122x x x x a x x x x a +++=+++,整理得()()()3232123x x x x x x x -+=-,因为32x x ≠,所以321x x x +=-,即123x x x +=-,又()030A A k f x =',所以222330003x x x x a x a +++=+,整理得()()303020x x x x +-=,因为30x x ≠,所以3020x x +=,即302x x -=,所以1202x x x +=.【点睛】方法点睛:导函数处理零点个数问题,由于涉及多类问题特征(包括单调性,特殊位置的函数值符号,隐零点的探索、参数的分类讨论等),需要学生对多种基本方法,基本思想,注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势,从而判断零点个数19. 已知有限集{}()123,,,,2n A a a a a n =≥ ,若A 中的元素()1,2,,i a i n =L 满足1212n n a a a a a a =+++ ,则称A 为“n 元重生集”.(1)集合是否为“2元重生集”,请说明理由;(2)是否存在集合中元素均为正整数的“3元重生集”?如果有,请求出有几个,如果没有,请说明理由;(3)若*i a ∈N ,证明:“n 元重生集”A 有且只有一个,且3n =.【答案】(1)不是,理由见解析(2)存在,1个(3)证明见解析【解析】【分析】(1≠不为“2元重生集”;(2)设正整数集{}123,,A a a a =为“3元重生集”,设123a a a <<,利用不等式关系推出123a a <,故121,2a a ==,求出{}1,2,3A =;(3)设123n a a a a <<<< ,得到121n a a a n -< ,当2n =时,推出矛盾,当3n =时,由(2)可知,有且只有1个“3元重生集”,即{}1,2,3,当4n ≥时,推出()1!n n >-,但()1!n n ->在4n ≥上恒成立,故当4n ≥时,不存在“n 元重生集”,从而证明出结论.【小问1详解】121144-==-=-,≠所以集合不是“2元重生集”.【小问2详解】设正整数集{}123,,A a a a =为“3元重生集”,则123123a a a a a a =++,不妨设123a a a <<,则12312333a a a a a a a =++<,解得123a a <,因为*12,a a ∈N ,故只有121,2a a ==满足要求,综上,{}1,2,3A =满足要求,其他均不符合要求,故存在1个集合中元素均为正整数的“3元重生集”,即{}1,2,3A =.【小问3详解】不妨设123n a a a a <<<< ,由1212n n n a a a a a a na =+++< ,得121n a a a n -< ,当2n =时,12a <,故11a =,则221a a +=,无解,若*12,a a ∈N ,则{}12,a a 不可能是“2元重生集”,所以当2n =时,不存在“2元重生集”;当3n =时,由(2)可知,有且只有1个“3元重生集”,即{}1,2,3,当4n ≥时,()1211231n a a a n -≥⨯⨯⨯⨯- ,又121n a a a n -< ,故()1!n n >-,事实上,()()()221!1232(2)2n n n n n n n n -≥--=-+=--+>在4n ≥上恒成立,故当4n ≥时,不存在“n 元重生集”,所以若*,i a ∈N “n 元重生集”A 有且只有一个,且3n =.【点睛】思路点睛:新定义问题的方法和技巧:(1)可通过举例子的方式,将抽象的定义转化为具体的简单的应用,从而加深对信息的理解;(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容,如果能清晰描述,那么说明对此信息理解的较为透彻;(3)发现新信息与所学知识的联系,并从描述中体会信息的本质特征与规律;(4)如果新信息是课本知识的推广,则要关注此信息与课本中概念的不同之处,以及什么情况下可以使用书上的概念.。

【新结构】河北省“五个一”名校联盟2025届高三第一次联考数学试卷+答案解析

【新结构】河北省“五个一”名校联盟2025届高三第一次联考数学试卷+答案解析

【新结构】河北省“五个一”名校联盟2025届高三第一次联考数学试卷❖一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.若复数,则()A. B.5C.D.2.点,为等轴双曲线C 的焦点,过作x 轴的垂线与C 的两渐近线分别交于A 、B 两点,则的面积为()A. B.4C.D.83.“”是“不等式对一切实数x 都成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.用0,1,2,3,4能组成没有重复数字且比32000小的数字个.A.212B.213C.224D.2255.过圆锥PO 高的中点作平行于底面的截面,则截面分圆锥PO 上部分圆锥与下部分圆台体积比为()A.B.C.D.6.平面四边形ABCD 中,点E 、F 分别为AD ,BC 的中点,,,则,()A.B. C.D.7.已知首项为2的数列满足,当的前n 项和时,则n 的最小值为()A.40 B.41C.42D.438.当成立,成立,则实数a 的取值范围为()A.B.C.D.二、多选题:本题共3小题,共18分。

在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。

全部选对的得6分,部分选对的得2分,有选错的得0分。

9.已知五个数据5,5,10,10,a 的分位数为15,则这组数据()A.平均数为9B.众数为10C.中位数为10D.方差为3010.已知函数在上有且仅有两个对称中心,则下列结论正确的是()A.的范围是B.函数在上单调递增C.不可能是函数的图像的一条对称轴D.的最小正周期可能为11.已知函数,的零点分别为,,则()A. B.C. D.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。

12.已知的展开式中各项系数和为8,则展开式中常数项为__________.13.抛物线上的动点P到直线的距离最短时,P到C的焦点距离为__________.14.下图数阵的每一行最右边数据从上到下形成以1为首项,以2为公比的等比数列,每行的第n个数从上到下形成以为首项,以3为公比的等比数列,则该数阵第n行所有数据的和__________.四、解答题:本题共5小题,共77分。

河北省“五个一”名校联盟2025届高三第一次联考数学试卷(解析版)

河北省“五个一”名校联盟2025届高三第一次联考数学试卷(解析版)

河北省“五个一”名校联盟2025届高三第一次联考数学本试卷共4页,满分150分,考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 若复数34i z =−,则i z z ⋅−=( )A.B. 5C. D.【答案】A 【解析】【分析】由共轭复数的定义和复数的运算化简i z z ⋅−,再由复数的模长公式求解即可. 【详解】因为34i z =−,所以i 34z =+,()()2i 34i i 34i 3i 4i 34i i 1z z ⋅−=−−+=−−−=−+,所以i i 1z z ⋅−=−+==. 故选:A .2. 点()()122,0,2,0F F −为等轴双曲线C 的焦点,过2F 作x 轴的垂线与C 的两渐近线分别交于A B 、两点,则AOB 的面积为( )A. B. 4C. D. 8【答案】B 【解析】【分析】先求出双曲线C 的方程,进而求出双曲线C 的渐近线方程,即可求出A B 、两点的坐标,即可求出AOB 的面积.【详解】设双曲线C 为:22221x y a a−=,因为2c ==,解得:22a =,所以双曲线C 为:22122x y −=,则双曲线C 的渐近线为:y x =±,所以2y xx == ,解得:()2,2A ,则()2,2B −, 所以AOB 为等腰直角三角形, 所以AOB 的面积为21142422AB OF ×⋅=××=.故选:B .3. 已知:30,p k q −<<:不等式23208kx kx +−<的解集为R ,则p 是q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先计算出不等式23208kx kx +−<的解集为R 时k 的取值范围,再根据范围大小即可得出结论. 【详解】若不等式23208kx kx +−<的解集为R ,当0k =时,308−<符合题意;当0k ≠时,需满足0k <且22342308k k k k∆=−××−=+<,解得30,k −<< 综合可得30,k −≤<而:30,p k −<<所以p 能推出q ,q 不能推出p , 即p 是q 的充分不必要条件. 故选:A4. 用0,1,2,3,4能组成没有重复数字且比32000小的数字( )个. A. 212 B. 213C. 224D. 225【答案】C 【解析】【分析】先对数字位数分类讨论,在对五位数的首位数字进行分类讨论:①首位为1,2;②首位为3.然后分析千位数的选取,结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果. 【详解】分数字位数讨论: 一位数4个;两位数有4416×=个; 三位数有44348××=个; 四位数有443296×××=个; 五位数分以下两种情况讨论:①首位数字为1或2,此时共有44222448A =×=个; ②首位数字为3,则千位数从0或1中选择一个,其余三个数位任意排列, 此时共有33212A =个.综上所述,共有41648964812224+++++=个比32000小的数. 故选:C.5. 过圆锥PO 高的中点O ′作平行于底面的截面,则截面分圆锥PO 上部分圆锥与下部分圆台体积比为( ) A.12B.13C.15D.17【答案】D 【解析】【分析】利用圆锥、圆台的体积公式求得圆锥与圆台的体积关系.【详解】设截面圆半径为r ,圆锥的高为h ,圆锥的体积为1V ,则圆台下底面圆的半径为2r ,圆台的高为h ,圆台的体积为2V ,所以()2222217π24π33V h r r r hr =++=,211π3V r h =, 可得1217V V =. 故选:D.6. 平面四边形ABCD 中,点E F 、分别为,AD BC 的中点,28,5CD AB EF ===,则cos ,AB DC =( )A.516B.5564C. D. 2340−【答案】A 【解析】【分析】由向量的加法法则可得2FE CD BA =+ ,两边同时平方可得10DC AB ⋅=,由平面向量的夹角公式求解即可.【详解】因为平面四边形ABCD 中,点E F 、分别为,AD BC 的中点,所以FE FC CD DE FB BA AE =++=++ ,所以2FE FC CD DE FB BA AE CD BA =+++++=+,由28CD AB ==可得:8,4CD AB ==, 两边同时平方可得:()222242FE CD BACD BA CD BA =+=++⋅ ,所以22425264162CD BA CD BA CD BA ×=++⋅=++⋅,解得:10DC AB ⋅=,所以105cos 4816AB DC DC AB DC ⋅===×⋅. 故选:A7. 已知首项为2的数列{}n a 满足114522n n n n a a a a ++−−=,当{}n a 的前n 项和16n S ≥时,则n 的最小值为( ) A. 40 B. 41C. 42D. 43【答案】B 【解析】【分析】通过计算得到{}n a 为一个周期为4的数列,从而计算出()41123410217S a a a a =++++=,得到答案.【详解】由题意得12a =,22114522a a a a −−=,解得21a =−, 同理33224522a a a a −−=,解得30a =, .44334522a a a a −−=,解得412a =, 55444522a a a a −−=,解得52a =,故{}n a 为一个周期为4的数列,且12341321022a a a a +++=−++=, 故()4012341015S a a a a =+++=,()41123410217S a a a a =++++=, 故n 的最小值为41. 故选:B8. 当π0,2x∈时,sin2a x ≥a 取值范围为( )A. (]0,1B. 1 −C. )1,+∞D. 1,2+∞【答案】D 【解析】【分析】化简得到2cos(c 1os sin )222x x xa +≥,再由π2cos (cos sin ))12224x x x x +=++,结合三角函数的图象与性质,即可求解.【详解】由sin22sina x ≥,可得2sin cos 2sin a x x ≥, 因为π0,2x∈ ,可得π0,24x ∈ ,所以sin cos 22x x <,可得2sin cos 2sin(cos sin )222x x xa x x ≥−, 又因为22sin sin cos ,cos cos sin (cos sin )(cos sin )22222222x x x x x x x x x x ==−=+−, 所以4sin cos (cos sin )2sin (cos sin (cos sin )22)2222222x x x x x x x xa x ≥−+−即2cos (c 1os sin )222x x xa +≥,因为2π2cos (cos sin )2sin cos sin cos 1)1222222s 42co x x x x x x x x x ++=+++==+, 因为π0,2x ∈ ,可得ππ3π,444x +∈,所以πsin()4x +∈,π)11]4x ++∈1]2, 的要使得不等式sin2a x ≥a ≥所以12a ≥,即实数a 的取值范围为1,2 +∞. 故选:D.二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9. 已知五个数据5,5,10,10,a 的80%分位数为15,则这组数据( ) A. 平均数为9 B. 众数为10 C. 中位数为10 D. 方差为30【答案】CD 【解析】【分析】先根据百分位数求出a ,再根据众数,平均数,中位数和方差的定义,即可判断选项. 【详解】由题意,五个数据80百分为580%4×=,第80百分位数为10=152a+,故20a =; 这组数据中5和10都出现 2 次,其余数出现次数没超过 2次, 故众数为5和10,B 错误; 计算平均数为551010205++++=,故A 错误;将5次数据从小到大排列为: 5,5,10,10,20, 则中位数为 10,故C 正确;方差为()()()222215102101022010305s=−×+−×+−=,故D 正确. 故选:CD.10. 已知函数()πsin (0)3f x x ωω=+>在[]0,π上有且仅有两个对称中心,则下列结论正确的是( ) A.ω的范围是58,33B. 函数()f x 在π0,12上单调递增C. π4x =不可能是函数()y f x =的图像的一条对称轴D. ()f x 的最小正周期可能为π2【答案】AC 【解析】【分析】A 选项,[]0,πx ∈时,πππ,π333x ωω +∈+ ,根据图象得到[)ππ2π,3π3ω+∈,求出58,33ω ∈;B 选项,整体法得到ππππ,33123x ωω +∈+ ,结合A 选项知,ππ17π5π,123369ω+∈ ,B 错误;C 选项,假设π4x =为函数一条对称轴,得到方程,求出11,84k ∈,C 错误;D 选项,58,33ω ∈ ,故()f x 的最小正周期2π3π6π,45T ω=∈,D 错误. 【详解】A 选项,[]0,πx ∈时,πππ,π333x ωω +∈+, 由函数()πsin (0)3f x x ωω=+>在[]0,π上有且仅有两个对称中心得, [)ππ2π,3π3ω+∈,解得58,33ω ∈,A 正确; B 选项,π0,12x∈时,ππππ,33123x ωω +∈+ , 由A 可知58,33ω∈,故ππ17π5π,123369ω +∈ ,而5ππ92>, 故函数()f x 在π0,12上不一定单调,B 错误;C 选项,假设π4x =为函数的一条对称轴,令πππ2π432k ω+=+,Z k ∈,解得283k ω=+,Z k ∈, 又2588,333k +∈ ,故11,84k∈,又Z k ∈,故无解, 故π4x =不可能是函数()y f x =的图像的一条对称轴,C 正确; D 选项,58,33ω∈,故()f x 的最小正周期2π3π6π,45T ω =∈, 的故()f x 的最小正周期不可能为π2,D 错误. 故选:AC11. 已知函数()()e 22,2ln 2xf x xg x x x =+−=+−的零点分别为12,x x ,则( )A. 1222x x +=B. 1122e ln xx x x =+C. 1243x x +>D. 122x x <【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ,由题意得11222e 22ln x x x x =+=+,进而得12e xx =即可求解判断;对于B ,先明确零点取值范围,由1x 取值范围再结合12e x x =即12ln x x =即可求解判断;对于C ,由12e xx =即12ln x x =以及零点2x 的取值范围即可求解判断;对于D ,结合AB 以及将122x x 转化成()112e e xx−即可判断.【详解】对于A ,由题11e 220xx +−=,222ln 20x x +−=, 所以11222e 22ln x x x x =+=+即11222e 2ln e 2ln x xx x ++==, 所以12e xx =,故112122e 2xx x x =++=,故A 正确; 对于B ,由()()0,0f x g x ==得1e 22,ln 12x x x =−+=−+, 故函数=e x y 与22y x =−+图象交点横坐标和ln y x =与112y x =−+图象交点的横坐标即为函数()f x 和()g x 的零点12,x x , 如图,由图象性质可知1210,122x x <<<<,又由A 得12e xx =,故12ln x x =,所以111112121e e e e ln x x x xx x x x x +=+=<<,故B 错;对于C ,由上222ln 20x x +−=即222ln 2x x +=,12ln x x =以及212x <<得: 212222224232ln 13ln122x x x x x x x =+==+++>>,故C 对;对于D ,由AB 得12e xx =,110x 2<<,11122e x x =−<,所以()111112122e 2e ee xx x x x x x ==−<<D 对.故选:ACD.【点睛】关键点睛:解决本题的关键一是由11e 220xx +−=和222ln 20x x +−=得12e x x =即12ln x x =,二是数形结合明确零点的取值范围为110x 2<<且212x <<,接着对所判式子进行变形放缩等即可判断. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 已知()2311n nx x x x + −++的展开式中各项系数和为8,则展开式中常数项为__________.【答案】2− 【解析】【分析】令1x =即可求出1n =,求出展开式通项即可求出常数项. 【详解】令1x =,可得展开式中各项系数的和()()232311182112n nn ++==+=−+,解得1n =;31x x +的展开式通项为()3321331C C rr r r rr T x x x −−+ ⋅⋅=⋅ , 因为()33333311111x x x x x x x x x x x x −+++−⋅++ +=,所以展开式中常数项为23331C 132x x x x −−−=⋅⋅−=−,故答案为:2−.13. 抛物线2:4C y x =上的动点P 到直线3y x 的距离最短时,P 到C 的焦点距离为__________. 【答案】2 【解析】【分析】设200,4y P y,求出P 到直线距离,结合绝对值变形后配方可得最小值,最后求出P 到C 的焦点距离即可.【详解】设200,4y P y,则点200,4y P y 到直线30x y −+=的距离为d当02y =,即当(1,2)P 时,抛物线24y x = 上一点到直线30x y −==的距离最短,P 到C 的焦点距离为01112x +=+=. 故答案为:2.14. 下图数阵的每一行最右边数据从上到下形成以1为首项,以2为公比的等比数列,每行的第n 个数从上到下形成以12n −为首项,以3为公比的等比数列,则该数阵第n 行()*n ∈N 所有数据的和n S =__________.【答案】32n n − 【解析】【分析】先写出第n 行的项再根据等比数列求和即可.【详解】因为每行的第n 个数从上到下形成以12n −为首项,以3为公比的等比数列, 所以0112231032323232n n n n n S −−−−=×+×+×++× ,所以12301222233333n n n n n S −−−− ×++++12123331322313n n n n n n n S −−=×=×−=− −. 故答案为:32n n −.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()()()sin sin sin A B a c b C B −=−+. (1)求角C 的大小;(2)若边2c =,边AB 的中点为D ,求中线CD 长的最大值. 【答案】(1)π6C =(22 【解析】【分析】(1)由正弦定理边角互换以及余弦定理进行化简即可得解. (2)利用向量模的平方以及余弦定理,再结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】因为()()()sin sin sin A B a c b C B =−+,由正弦定理可得:()()()a a c b c b −=−+,则222a c b =−,即222a b c +−,由余弦定理可得:222cos 2a b c Cab+−==, 因为()0,πC ∈,所以π6C =. 【小问2详解】因为D 为AB 的中点,所以)CD CA CB =+ ,则()2221144CD CA CB CA =+=+ ()222111244CA CB CB a b ⋅+=+, 又由余弦定理得,2222cos =+−c a b ab B ,即224a b =+,所以()21414CD =++.由224a b =+得,2242b b a a b +=+≥,则(42ab ≤+,当且仅当a b ==即()2242272CD ≤==++,所以2CD ≤+,即中线CD 2+.16. 如图所示,三棱柱111ABC A B C 中,,M N 分别为棱111,A B CC 的中点,,E F 分别是棱11,AA BB 上的点,1113A EBF AA ==.(1)求证:直线MN 平面CEF ;(2)若三棱柱111ABC A B C 为正三棱柱,求平面CEF 和平面11ACC A 的夹角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)π2【解析】【分析】(1)取AB 的中点G ,连接MG 交EF 于H ,连接CH ,则可证得112MH AA =,再由112CN CC =可证得四边形CHMN 为平行四边形,则MN ∥CH ,再由线面平行的判定定理可证得结论;(2)以C 为原点,以CG 所在的直线为x 轴,过C 与AB 平行的直线为y 轴,1CC 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系,利用空间向量求解即可.小问1详解】证明:取AB 的中点G ,连接MG 交EF 于H ,连接CH , 因为M 分别为棱11A B 的中点,所以MG ∥1AA ∥1BB ,所以1EH AGFHBG ==,所以EH FH =, 所以1()2HG BF AE =+, 因为1113A EBF AA ==,所以112HG AA =,所以112MH AA =, 因为N 分别为棱1CC 的中点,所以112CN CC =,因为MG ∥1AA ∥1CC ,所以MH CN =,MH ∥CN , 所以四边形CHMN 为平行四边形, 所以MN ∥CH ,因为MN ⊄平面CEF ,CH ⊂平面CEF ,【所以直线MN 平面CEF ; 【小问2详解】解:连接CG ,因为三棱柱111ABC A B C 为正三棱柱, 所以ABC 为等边三角形,所以CG AB ⊥,所以以C 为原点,以CG 所在的直线为x 轴,过C 与AB 平行的直线为y 轴,1CC 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系,设1,AB a AA b ==,则12111(0,0,0),,,),,,),,,0),(0,0,)23232C E a b F a b A a C b −,所以112111,,),,,),,,0),(0,0,)23232CE a b CF a b CA a CC b −= ,设平面CEF 的法向量为111(,,)m x y z =,则1111111202311023m CE ay bz m CF ax ay bz ⋅=++=⋅=−+=,令1x =3)a m b =− , 设平面11ACC A 的法向量为222(,,)n x y z =,则22121020n CA ay nCC bz ⋅=+= ⋅==,令2x =,则3,0)n =− ,所以cos ,0m nm n m n ⋅==, 设平面CEF 和平面11ACC A 的夹角为θ,则0θ=, 因为π0,2θ ∈,所以π2θ=.17.已知()),M N,平面内动点P 满足直线,PM PN 的斜率之积为23−.(1)求动点P 的轨迹方程;(2)过点()1,0F 的直线交P 的轨迹E 于,A B 两点,以,OA OB 为邻边作平行四边形OACB (O 为坐标原点),若C 恰为轨迹E 上一点,求四边形OACB 的面积.【答案】(1)(22132x y x +=<<(2【解析】【分析】(1)根据题意得23PM PN k k =−,化简可得轨迹方程. (2)先设直线再联立直线与轨迹方程,得关于x 的一元二次方程,结合韦达定理及点到直线距离公式计算面积即可. 【小问1详解】 设(),P x y ,则23PM PN k k =−,化简可得(22132x y x +=<<【小问2详解】以,OA OB 为邻边作平行四边形OACB ,则直线AB 与x 轴不重合,设直线AB 的方程为1x my =+,直线的方程与椭圆方程联立,设()11,A x y ,()()2233,,,B x y C x y ,联立221321x y x my += =+,消去x 得()2223440m y my ++−=,所以12122244,2323m y y y y m m −−+==++, 则AB =求得O 到直线AB的距离d =,因为平行四边形OACB 的对角线互相平分所以()212312123222446022232323m m y y y x x m y y x m m m −−+==++=++=+==+++, 所以22642323m C m m − ++ ,在椭圆22132x y +=上,可得42214430,2m m m +−== 所以平行四边形OACB面积1222AOBS S AB d ==××所以四边形OACB【点睛】方法点睛:利用平行四边形对角线互相平分,对角线共中点求参进而求出面积. 18. 已知函数()ln f x a x x =−. (1)讨论()f x 的单调性;(2)证明:当0a >时,()1e aa f x ≤−.【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析【解析】【分析】(1)先明确函数定义域和求导,根据导数结构特征对a 进行0a ≤和0a >的分类讨论导数正负即可得单调性.(2)证()1e a a f x ≤−⇔ ()max1e a a f x ≤− ,故问题转化成证()0ln 1e aa a a a a − − ≤ >10ln e e aaa a ⇔−+ ≤ ,接着构造函数()()ln 10g x x x x =−+>研究其单调性和最值即可得证. 【小问1详解】由题函数定义域()0,∞+,()1a a x f x x x−′=−=, 故当0a ≤时,()0f x ′<恒成立,所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减; 当0a >时,()f x ′在()0,∞+上单调递减,令()0f x x a ′=⇒=, 则()0,x a ∈时,()0f x '>;(),x a ∈+∞时,()0f x ′<, 所以函数()f x 在()0,a 上单调递增,在(),a +∞上单调递减,综上,当0a ≤时,函数()f x 在()0,∞+上单调递减;当0a >时,函数()f x 在()0,a 上单调递增,在(),a +∞上单调递减.【小问2详解】由(1)当0a >时,函数()f x 在()0,a 上单调递增,在(),a +∞上单调递减, 故()()ln f f a a a x a ≤=−在()0,∞+上恒成立,故证()()10e a a f x a ≤−>⇔ 证()0ln 1e aa a a a a − − ≤ >,即()0ln 1ln 10e e e e aaaaa a a a a ⇔−⇔≤−+ ≤>,令()()ln 10g x x x x =−+>,则()()1110xg x x x x−′=−=>, 故当()0,1x ∈时,()0g x ′>;()1,x ∈+∞时,()0g x ′<, 所以()g x 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减,为所以()()10g x g ≤=在()0,∞+上恒成立,故0ln 1e e a aa a−+ ≤ ,所以当0a >时,()1e aa f x ≤−. 【点睛】思路点睛:证明含参函数不等式问题通常转化成研究函数最值问题,第(2)问证当0a >时,()1e a a f x≤− 可将问题转化成证()max 1e aa f x ≤−,接着根据其结构特征进行变形转化和构造函数,利用导数确定所构造的函数单调性和最值即可得证.19. 一个质点在随机外力的作用下,从平面直角坐标系的原点O 出发,每隔1秒等可能地向上、向下、向左或向右移动一个单位.(1)共移动两次,求质点与原点距离的分布列和数学期望; (2)分别求移动4次和移动6次质点回到原点的概率;(3)若共移动N 次(N 大于0,且N 为偶数),求证:质点回到原点的概率为221C 2N N N ×.【答案】(1)答案见解析; (2)92564256; (3)证明见解析 【解析】【分析】(1)首先求出X 的所有可能取值以及对应的概率,再结合离散型随机变量的期望公式求答案即可. (2)利用分步乘法计数原理、组合以及古典概型的概率公式计算可求得结果. (3)利用数学归纳法证明即可. 【小问1详解】设X 表示2次移动中质点与原点距离,则X 可取0,2,当质点向左移动1次向右移动1次,或向上移动1次向下移动1次,最后X 0=,则()1222C 1044P X ===; 当质点向左移动2次或向右移动2次,或向上移动2次或向下移动2次,最后2X =,则()241244P X ===; 当质点向左移动1次向上移动1次,或向左移动1次向下移动1次,或向右移动1次向上移动1次,或向右移动1次向下移动1次,最后=X,则(2224A142P X==X的分布列为:()11102442E X=×+×+【小问2详解】质点从原点出发,每次等可能地向上、向下、向左或向右移动一个单位,共移动4次,可能的结果共有444444×××=种情况,若质点回到原点,则向左移动2次向右移动2次,或向上移动2次向下移动2次,共有242C12=种情况,若质点回到原点,则向左移动1次向右移动1次,向上移动1次向下移动1次,共有44A24=种情况,所以质点回到原点的概率为4369464=.质点从原点出发,每次等可能地向上、向下、向左或向右移动一个单位,共移动6次,可能的结果共有64444444×××××=种情况,若质点回到原点,则向左移动3次向右移动3次,或向上移动3次向下移动3次,共有362C40=种情况,若质点回到原点,则向左移动2次向右移动2次,向上移动1次向下移动1次,则向左移动1次向右移动1次,向上移动2次向下移动2次,共有2222642222C C2A A360A=种情况,所以质点回到原点的概率为64400252544256==.【小问3详解】若共移动2次,质点回到原点的概率为()2122C4;假设共移动N次,满足质点回到原点的概率为22C4NNN;当共移动2N +次,移动N 次质点回到原点当质点向左移动1次向右移动1次,或向上移动1次向下移动1次,移动2N +次质点回到原点;移动N 次质点在()()()()20200202−−,,,,,,,,当质点向左移动2次或向右移动2次,或向上移动2次或向下移动2次,移动2N +次质点回到原点;移动N 次质点在()()()()11111111−−−−,,,,,,,当质点向左移动1次向上移动1次,或向左移动1次向下移动1次,或向右移动1次向上移动1次,或向右移动1次向下移动1次,,移动N+2次质点回到原点; 当共移动2N +次,满足质点回到原点的概率为2222222222222222222222C C C C C C 4A 444444444N N N N N N N N N N N N N N −−+−−++ ×+×+×=. 所以共移动N 次,满足质点回到原点的概率为22C4N N N.。

河北省五个一名校联盟高三数学教学质量监测试题(二)理

河北省五个一名校联盟高三数学教学质量监测试题(二)理

河北省“五个一名校联盟”2017届高三教学质量监测(二)理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分。

考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求 (1)已知i 是虚数单位,若i i z 31)1(+=+,则z = (A ) 2i + (B)2i - (C )1i -+ (D ) 1i -- (2)已知全集U ={1,2,3,4,5,6,7},集合A ={1,3,7},B ={2log (1)x x a =+,a A ∈},则(U C A )∩(U C B )= (A ){1,3} (B ) {5,6} (C ){4,5,6} (D ){4,5,6,7}(3)已知命题q p ,是简单命题,则“p ⌝是假命题”是“q p ∨是真命题”的(A ) 充分不必要条件 (B ) 必要不充分条件(C) 充要条件 (D ) 既不充分又不必要条件 (4)某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12,两次闭合后都出现红灯的概率为15,则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为(A )110 (B ) 15 (C)25(D ) 12(5)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴正半轴重合,终边在直线3y x =上,则sin(2)3πθ+=(A)(B) (C) (D)410--(6)设函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且()()()⎩⎨⎧+=x g x x f 1log 30<≥x x ,则()8g f -⎡⎤⎣⎦= (A )-2 (B )-1 (C )1 (D)2(7)函数()sin (0)f x x ωω=>的图像向右平移12π个单位得到函数()y g x =的图像,并且函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,则实数ω的值为(A )74 (B) 32(C ) 2 (D ) 54(8)设变量,x y满足约束条件10240x yx yx y--≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≥⎩,则2z x y=-的最大值为(A)12-(B)1-(C)0 (D )3 2(9)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法,如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入x的值为2,则输出v的值为(A)1021- (B)102(C)1031-(D) 103(10)如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(A)23(B)43(C)83(D) 4(11)已知椭圆C:22143x y+=的左、右顶点分别为A B、,F为椭圆C的右焦点,圆224x y+=上有一动点P,P不同于,A B两点,直线PA与椭圆C交于点Q,则PBQFkk的取值范围是(A)33(,)(0,)44-∞-(B)3(,0)(0,)4-∞(C)(,1)(0,1)-∞-(D)(,0)(0,1)-∞(12)若关于x的不等式20xxe ax a-+<的非空解集中无整数解,则实数a的取值范围是(A)221[,)53e e(B)1[,)34ee e(C)1[,]3ee(D)[,]4eee第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填写在题中横线上.(13)已知正实数x,y满足2x+y=2,则2x+1y的最小值为_________。

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河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测(一)数学(文)试题(满分:150分,测试时间:120分钟)第I 卷(选择题,共60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}023A 2<+-=x x x ,{}822B <<=x x ,则( )A.A =BB.A ⊆BC.A ⊇BD.A I B φ= 2.已知复数i z 2321+-=,则1z=( ) A. i 2321--B. i 2321+-C. i 2321+D. i 2321- 3.已知113::<+≥x q k x p ,,如果p 是q 的充分不必要条件,则实数k 的取值范围是( )A. ),2[+∞B. ),2(+∞C. ),1[+∞D. ]1,(--∞4.在等差数列{}n a 中,9a =12162a +,则数列{}n a 的前11项和11S =( ). A .24 B .48 C .66 D .1325. 设1a >,函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12,则a = ( )A 2B .2C .22.46.b a ,21==b a ,且a b a ⊥+)(,则与的夹角为( )A .30° B.60°C.120°D.150°7.过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是原点,若3AF =,则AOF ∆的面积为( )A.222 C.322D.228.如图给出的是计算1111352013+++L 的值的一个程序框图,则判断框内应填入的条件是( )A .1006≤iB .1006>iC .1007≤iD .1007>i9.已知正三角形ABC 的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C 在第一象限,若点),(y x 在△ABC 内部,则z x y =-+的取值范围是( ) A .(1-3,2) B .(0,2) C .(3-1,2) D .(0,1+3)10.一个几何体的三视图及尺寸如图所示, 则该几何体的体积为( ) A.48 B.72 C.12 D.2411.若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++= 对称,则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是( ) A. 2 B. 4 C. 3 D.612.已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-,3)2(-=-f ,数列{}n a 满足11-=a ,且21n n S an n=⨯+,(其中n S 为{}n a 的前n 项和),则=+)()(65a f a f ( ).A .3-B .2-C .3D .2二、选择题: 本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知tan 2θ=,则___________cos sin cos sin =-+θθθθ.14. 已知函数1)(+-=mx e x f x的图像为曲线C ,若曲线C 存在与直线x y 21=垂直的 切线,则实数m 的取值范围是_______.15.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ,由F 向其渐近线引垂线,垂足为P ,若线段PF 的中点在此双曲线上,则此双曲线的离心率为 .16.已知函数()sin 2xf x x =∈R ,,将函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变),得到函数()g x 的图象,则关于()()f x g x ⋅有下列命题, ①函数()()y f x g x =⋅是奇函数; ②函数()()y f x g x =⋅不是周期函数;③函数()()y f x g x =⋅的图像关于点),(0π中心对称;④函数()()y f x g x =⋅3. 其中真命题是_________.三、非选择题:包括必考题和选考题两部分 。

第17题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答;第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答。

17.(本小题满分12分)在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,,已知3,2π==C c .(1)若ABC ∆的面积等于3,求b a ,;(2)若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+,a b <且,求ABC ∆的面积.18.(本小题满分12分)某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,(阴影部分为破坏部分)其可见部分如下,据此解答如下问题:(1)计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高;(2)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,求在抽取的试卷中,至少有一份的分数在[90,100]之间的概率; (3)根据频率分布直方图估计这次测试的平均分.19.(本小题满分12分)在四棱锥P ABCD -中,90,60ABC ACD BAC CAD ∠=∠=︒∠=∠=︒,PA ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点,2PA =,1AB =.(1) 求四棱锥P ABCD -的体积V ;(2) 若F 为PC 的中点,求证:平面PAC ⊥平面AEF .20.(本小题满分12分)已知椭圆14:221=+y x C 和动圆)0(:2222>=+r r y x C ,直线l :m kx y +=与1C 和2C 分别有唯一的公共点A 和B .(1)求r 的取值范围;(2)求AB 的最大值,并求此时圆2C 的方程.21. (本小题满分12分)已知函数2()ln ,()()f x b x g x ax x a R ==-∈。

(1)若曲线()f x 与()g x 在公共点)0,1(A 处有相同的切线,求实数,a b 的值;(2)若1,2a b e =>,求方程()()f x g x x -=在区间(1,)be 内实根的个数(e 为自然对数的底数).请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,E 是圆O 内两弦AB 和CD 的交点,过AD 延长线上一点F 作圆O 的切线FG ,G5 6 86 2 3 3 5 6 8 97 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9 89 5 8为切点,已知FG EF =.求证: (1) DEF ∆∽EAF ∆; (2) EF ∥CB .23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,O 为极点,点A (2,2π),B (4π).(1)求经过O ,A ,B 的圆C 的极坐标方程;(2)以极点为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆D 的参数方程为1cos (1sin x a y a θθθ=-+⎧⎨=-+⎩是参数,a 为半径),若圆C 与圆D 相切,求半径a 的值.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式证明选讲. 已知函数()f x =.(1)求)4()(f x f ≥的解集;(2)设函数()(3),g x k x =-k ∈R ,若()()f x g x >对任意的x ∈R 都成立,求k 的取值范围.参考答案一、选择题:1.B2. A3. B4. D5. D 6.C 7.B 8.C 9. A 10.D 11.B 12.C 二、填空题:13. 3 14. 2>m 15. 2 16. ③ 三、解答题:17. 解:(Ⅰ)由余弦定理及已知条件得422=-+ab b a又3sin 21=C ab Θ,得4=ab ……3分联立⎩⎨⎧==-+4422ab ab b a 解得2,2==b a……5分(Ⅱ)由题意得,A A A B A B cos sin 4)sin()sin(=-++即A A A B cos sin 2cos sin =,SinA B A 2sin ,0cos ==或又a b <332,334,6,2,0cos =====∴b a B A A ππ……9分 ABC ∆的面积33221==bc S ……12分 18.解:(1)分数在[50,60)的频率为0.008100.08⨯=,由茎叶图知:分数在[50,60)之间的频数为2,所以全班人数为2250.08=, ………2分 ∴分数在[80,90)之间的人数 为25214-=人. 则对应的频率为40.1625=, ………3分 所以[80,90)间的矩形的高为4100.01625÷=. ………4分 (2)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4, [90,100]之间的2个分数编号为5,6,在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6), (4,5),(4,6),(5,6)共15个. ………6分其中,至少有一份在[90,100]之间的基本事件有9个,故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是90.615=. ……8分 (3)全班人数共人,根据各分数段人数计算得各分数段的频率为:所以估计这次测试的平均分为:550.08650.28750.4850.16950.0873.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.………12分19解:(1)在Rt ABC ∆中,1AB =,060BAC ∠=,∴ 2BC AC == …………2分 在Rt ACD ∆中,2AC =,060CAD ∠=,23CD=…………………………………4分∵ 3253222131212121=⨯⨯+⨯⨯=⋅+⋅=CDACBCABSABCD四边形,155323323V=⨯⨯=则………………………………………………………6分证: (2)∵ PA ABCD⊥平面,∴ PA CD⊥…………………………………7分又AC CD⊥,PA AC A=I∴ CD PAC⊥平面,…………………………………………………………8分∵ E F PD PC、分别是、的中点,∴ EF//CD∴ EF PAC⊥平面…………………………………………………………………10分EF AEF⊂Q平面,∴PAC AEF⊥平面平面…………………………………12分20.解:(I)由2214xyy kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(14)84(1)0k x kmx m+++-=.21. 解:(1)''(),()21b f x g x ax x==- 则''(1)(1)01(1)(1)1g f a g f b ===⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩………5分 (2)设()2()()()ln (1,)b h x f x g x x b x x x e =--=-∈,2'2()b x h x x-=,令e be b x x h b >>=⇒='2,20)( ………7分 x2b ⎛ ⎝ 2b ,2b b e ⎫⎪⎪⎭'()h x+-()h x↑极大↓所以,原问题()ln 10222b b b h x h ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭极大 ………10分 又因为()()()()11,bbbh h eb e b e =-=-+设()xt x e x =-(()2,x e ∈+∞)'()10x t x e =->所以()t x 在()2,e +∞上单调递增,()()(2)00x b t x t e e x h e >>∴>∴<所以有两个交点 ………12分22.解:(Ⅰ)由切割线定理得FG 2=FA ·FD .又EF =FG ,所以EF 2=FA ·FD ,即EF FA =FDEF.因为∠EFA =∠DFE ,所以△FED ∽△EAF .………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得∠FED =∠FAE . 因为∠FAE =∠DAB =∠DCB ,所以∠FED =∠BCD ,所以EF ∥CB . ………10分23解(I ))4cos(22πθρ-= ………5分(II )2=a 或23=a . ………10分24.解(1)()f x=|3||4|x x ==-++∴()(4)f x f ≥即|3||4|x x -++9≥∴4349x x x ≤-⎧⎨---≥⎩① 或43349x x x -<<⎧⎨-++≥⎩② 或3349x x x ≥⎧⎨-++≥⎩③解得不等式①:5x ≤-;②:无解 ③:4x ≥所以()(4)f x f ≥的解集为{|5x x ≤-或4}x ≥.………5分(2)()()f x g x >即()|3||4|f x x x =-++的图象恒在()(3)g x k x =-图象的上方21,4()|3||4|7,4321,3x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩()(3)g x k x =-图象为恒过定点P (3,0),且斜率k 变化的一条直线作函数(),()y f x y g x ==图象如图,其中2PB k =,(4,7)A -,∴1PA k =-由图可知,要使得()f x 的图象恒在()g x 图象的上方 ∴实数k 的取值范围为12k -<≤. ………10分。

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