(优秀教案)二元一次方程与一次函数
北师大版数学八年级上册6《二元一次方程与一次函数》教学设计3
北师大版数学八年级上册6《二元一次方程与一次函数》教学设计3一. 教材分析《二元一次方程与一次函数》是北师大版数学八年级上册第六章的内容，本章主要介绍了二元一次方程和一次函数的定义、性质、解法及其应用。
通过本章的学习，学生能够理解二元一次方程和一次函数的概念，掌握它们的性质和解法，并能运用它们解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了初一、初二级别的数学知识，包括一元一次方程、一元一次函数等。
但部分学生可能对这些知识掌握不牢固，对于解决实际问题的能力也有一定的局限性。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的知识基础，引导学生将已有的知识运用到新的学习内容中，并通过实际问题激发学生的学习兴趣。
三. 教学目标1.理解二元一次方程和一次函数的概念，掌握它们的性质和解法。
2.能够运用二元一次方程和一次函数解决实际问题。
3.培养学生的合作交流能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重难点：二元一次方程和一次函数的解法及其应用。
2.难点：理解二元一次方程和一次函数之间的关系，并能运用它们解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题引入二元一次方程和一次函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.合作学习法：引导学生分组讨论，共同探究二元一次方程和一次函数的解法，培养学生的合作交流能力。
3.案例教学法：通过典型例题，引导学生掌握二元一次方程和一次函数的解法，并能够运用它们解决实际问题。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材，包括实际问题、典型例题等。
2.准备黑板和粉笔，用于板书关键知识点和解题过程。
3.准备练习题和作业，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题，引入二元一次方程和一次函数的概念。
例如：某商店进行促销活动，购买一件商品需要支付20元现金或30元支付宝支付，某顾客购买了一件商品，支付了40元现金和30元支付宝支付，请问顾客购买了几件商品？2.呈现（10分钟）呈现二元一次方程和一次函数的定义、性质和解法。
二元一次方程与一次函数(二)教案
第七章二元一次方程组6．二元一次方程与一次函数〔二〕一、教材分析二元一次方程与一次函数是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级〔上〕第七章二元一次方程组第六节，本节内容安排了2个学时完成，本节课为第2学时.主要是通过对作图像方法与代数方法的比较，探索利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.这一内容是上一课时内容的自然开展，上一课时探索了函数与方程之间的关系，并获得了方程组的图像解法，本节课研究利用二元一次方程组确定一次函数的表达式，这样更为全面地理解函数与方程、图形与代数表达式之间的关系，从而开展学生数形结合的意识。
二、学情分析学生已经熟练掌握了二元一次方程组的解法，同时在第六章也学习了确定一次函数的表达式的根本方法，在上一节课又学习了二元一次方程组的图像解法，这些知识为本节课的学习作好了很好的铺垫.由于上节课的惯性，学生易在图像法上停留，因为图像法很直观，容易接受，因此本节课对代数方法的渗透应有一个循序渐进的过程.教学目标知识与技能目标1.理解作函数图像的方法与代数方法各自的特点.过程与方法目标：1.经历应用问题多种解法的探究过程，在探究中学会解决应用问题的一些根本方法和策略.3.通过对本节课的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力.情感与态度目标：2.在合作与交流活动中开展学生的合作意识和团队精神，在探究活动中获得成功的体验. 教学重点利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.教学难点建立数形结合的思想．四、教法学法1.教学方法启发引导与自主探究相结合．2.课前准备教具：教材，课件，电脑．学具：教材，铅笔，直尺，练习本，坐标纸．五、教学过程本节课设计了六个教学环节：第一环节，复习引入；第二环节，设计实际问题情境，导入新课；第三环节，典型例题，探究二元一次方程组确定一次函数的表达式；第四环节，练习与提高；第五环节，课堂小结；第六环节，布置作业．第一环节复习引入(2) 二元一次方程组有哪些解法效果：回忆旧知，为本节课学习新的知识做铺垫．第二环节 设计实际问题情境，导入新课内容：教材议一议A ，B 两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A ，B 两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，那么他们各自到A 地的距离S 〔千米〕都是骑车时间t 〔时〕的一次函数．1小时后乙距离A 地80千米；2小时后甲距离A 地30千米.问经过多长时间两人将相遇效果：通过引例的分组探索，深刻理解图像方法可以更直观、形象，但缺乏准确，用代数方法虽然准确，但不够形象和直观．第三环节典型例题，探究一次函数解析式确实定内容：例1 某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量那么需购置行李票，且行李费y 〔元〕是行李质量x (千克)的一次函数.现知李明带了60千克的行李，交了行李费5元，张华带了90千克的行李，交了行李费10元．（1） 写出y 与x 之间的函数表达式； （2） 旅客最多可免费携带多少千克的行李解：〔1〕设b kx y +=，根据题意，可得方程组解该方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧-==.5,61b k所以.561-=x y 〔2〕当x =30时，y =0．所以旅客最多可免费携带30千克的行李．例2 某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量分段收费方法，假设某户居民应交水费y 〔元〕与用水量x 〔吨〕的函数关系如下列图. （1） 分别写出当0≤x ≤15和x ＞15时，y 与x 的函数关系式；（2） 假设某用户十月份用水量为10吨，那么应交水费多少元假设该用户十一月份交了51元的水费，那么他该月用水多少吨解：〔1〕当０≤x ≤15时，设x k y 1=，根据题意得11527k =，解得591=kx 〔吨〕y 〔元〕15 2039 27O当x ＞15时，设b x k y +=2，根据题意，可得方程组解这个方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧-==.9,5122b k所以当x ＞15时，9512-=x y ． 〔２〕当x ＝10时，代入x y 59=中，得y =18．意图：通过两个例题的探索，让学生掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的方法；在设计本例题时，考虑到两种类型，一是利用文字提供的信息，一种是利用图像提供的信息，补充例2主要是承接第六章，一次函数图像的应用，进一步强化学生数形结合的意识，学会从图形中获取有用的信息．效果：通过两个例题的讲解，让学生掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的具体的做法，让学生深刻理解解决这种问题的一般步骤与方法，使学生有知识迁移的根底．第四环节 练习与提高内容：１. 图中的两条直线1l ，2l 的交点坐标可以看做方程组的解 答案：⎩⎨⎧-=-=+.12,4y x y x2. 在弹性限度内，弹簧的长度y 〔厘米〕是所挂 物体质量x 〔千克〕的一次函数．当所挂物体的质量 为1千克时弹簧长15厘米；当所挂物体的质量为3系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度．当x ＝４是，y ＝5.16我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A 正向公海方向行驶．边防局迅速派出快艇B 追赶，如下列图，1l ，2l 分别表示两船相对于海岸的距离s 〔海里〕与追赶时间t 〔分〕之间的关系．当时间t 等于多少分钟时，我边防快艇B 能够追赶上A 。
数学《一次函数与二元一次方程组》教案
数学《一次函数与二元一次方程组》教案
教案名称：一次函数与二元一次方程组
教学目标：通过本课的学习，学生能够掌握一次函数的基本定义和性质，以及解一元一次方程的方法，进而学习二元一次方程组的解法。
教学重点：一次函数的定义、性质，一元一次方程的解法，二元一次方程组的解法。
教学难点：如何通过图像的分析和代数的运算解决实际问题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
教师问学生关于函数和方程的区别，为什么学习函数和方程的理由是什么。
二、知识讲解（30分钟）
1.一次函数的定义、性质
2.一元一次方程的解法
3.二元一次方程组的解法
三、案例讲解（20分钟）
1.通过实例分析，如何运用一次函数解决实际问题。
2.通过实例分析，如何运用二元一次方程组解决实际问题。
四、活动练习（35分钟）
1.课堂练习：练习解一元一次方程、二元一次方程组的方法。
2.讨论小组：分组讨论、解决实际问题的题目。
五、作业布置（5分钟）
布置作业：完成教师布置的课后作业，考试前复习相关知识点。
六、总结（5分钟）
通过本节课的学习，你掌握了哪些知识点？遇到哪些难点和疑问？
教学方法：讲授、分组讨论、课堂练习。
教学手段：多媒体课件，黑板、书本等。
教学资源：教材、课件、习题集。
北师大版八年级数学上册《二元一次方程与一次函数》优秀教学设计
北师大版八年级数学上册《二元一次方程与一次函数》优秀教学设计一. 教材分析《二元一次方程与一次函数》是北师大版八年级数学上册的教学内容。
本节课的主要内容是让学生掌握二元一次方程的定义、解法，以及一次函数的图像和性质。
这部分内容是学生学习函数和方程的基础，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了初一、初二数学的基础知识，包括一元一次方程、不等式等。
但是，对于二元一次方程和一次函数的关系，以及如何解决实际问题，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握二元一次方程和一次函数的基本概念和方法，提高他们解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解二元一次方程的定义和解法；2.掌握一次函数的图像和性质；3.能够运用二元一次方程和一次函数解决实际问题。
四. 教学重难点1.重难点：二元一次方程的解法，一次函数的图像和性质。
2.难点：如何引导学生理解和掌握二元一次方程和一次函数的关系，以及如何解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流的方式，探索和解决问题；2.使用多媒体辅助教学，通过动画、图片等形式，生动形象地展示二元一次方程和一次函数的图像和性质；3.注重实践操作，让学生通过动手操作，加深对二元一次方程和一次函数的理解。
六. 教学准备1.多媒体教学设备；2.PPT课件；3.练习题和答案；4.教学用具（如黑板、粉笔等）。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何用数学方法解决问题，从而引出二元一次方程和一次函数的概念。
2.呈现（15分钟）利用PPT课件，呈现二元一次方程和一次函数的定义、解法和图像。
通过动画、图片等形式，生动形象地展示二元一次方程和一次函数的图像和性质。
3.操练（15分钟）让学生动手操作，解决一些简单的二元一次方程和一次函数问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
《二元一次方程与一次函数》教学设计精选4篇
《二元一次方程与一次函数》教学设计精选4篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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二元一次方程与一次函数—教学设计及专家点评(获奖版)
二元一次方程与一次函数—教学设计及专
家点评(获奖版)
本节课的教学方法主要采用探究式教学和合作研究法。
在教学过程中，教师可以引导学生通过问题解决、探究和合作交流的方式，深入理解二元一次方程与一次函数的关系，掌握二元一次方程组的图象解法，并能够利用它们解决实际问题。
同时，教师也可以通过让学生自主探索和合作交流，培养学生的数形结合的意识和能力，提高学生的创新意识和变式能力，为学生的数学研究打下良好的基础。
六、教学过程：
1.引入（5分钟）
教师可以通过提问、引用实例等方式，引导学生思考二元一次方程与一次函数之间的关系，激发学生的研究兴趣，为后续的研究做好铺垫。
2.探究（30分钟）
教师可以将学生分成小组，让他们通过合作探究的方式，深入理解二元一次方程与一次函数的关系，并掌握二元一次方程组的图象解法。
在探究的过程中，教师可以适时给予指导和帮助，引导学生思考和解决问题。
3.总结（10分钟）
教师可以引导学生总结本节课的重点和难点，强化学生对于二元一次方程与一次函数之间的关系的理解，并激发学生将所学知识应用于实际问题的动力。
4.练（15分钟）
教师可以通过练题的形式，让学生巩固所学知识，提高解决实际问题的能力。
在练的过程中，教师可以适时给予指导和帮助，帮助学生解决问题。
七、教学评价：
教师可以通过观察学生的研究情况、听取学生的意见和反馈、评估学生的练成果等方式，对本节课的教学效果进行评价。
同时，教师也可以通过学生的表现和反馈，不断改进和完善教学内容和方法，提高教学质量。
12.3 一次函数与二元一次方程 教案
12.3 一次函数与二元一次方程教学目标：1. 理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会用图象法解二元一次方程组;2. 学习用函数的观点看待方程组的方法，进一步感受数形结合的思想方法;3. 经历图象法解方程组的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想．教学重难点：1. 重点：用图像法解二元一次方程组2. 难点：归纳图像法解二元一次方程组的具体方法。
教学过程：一、情境问题导入今天数学王国搞了个家庭Party ，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x+y=5”.二元一次方程和一次函数均让“x+y=5”入座他们的集合。
这是怎么回事？ x+y=5应该坐在哪里呢？学生活动，教师指导，观察、交流、思考。
学生尝试口述一次函数和二元一次方程的关系。
设计意图：激发学生兴趣，引起学生思考，通过学生的共同探究活动，得到一次函数和二元一次方程的关系。
二、新课讲授1、一次函数和二元一次方程的关系：任意一个二元一次方程都可以转化为y ＝kx ＋b 的形式。
试一试：把下列二元一次方程化为一次函数.（1）y-2x=1； （2）3x+2y=6 .2、对于3x 23-y +=这个函数，任意给出自变量x 的一些值，可以求得相应的y 值，列表，教师多媒体出示。
学生填表，师生共同纠正。
表中每一对x 、y 的值代入方程3x+2y=6都成立，所以每组有序数对都是方程3x+2y=6的解.以这些有序数对为坐标，在坐标平面内找出点作图，就得到二元一次方程3x+2y=6的图象.二元一次方程3x+2y=6的图象就是一次函数3x 23-y +=的图象.它是一条直线。
总结归纳：一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k 、b 为常数，且k ≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．3、二元一次方程组的图像解法。
思考：一个二元一次方程组可以写出两个一次函数，那么，二元一次方程组的解与这两个一次函数的图像有什么联系呢？在同一个直角坐标系中，画出下列二元一次方程的图象.（1） x+2y=2; （2）2x-y=-6学生作图，教师巡回指导，要求作图的严密性，直接影响结果的对与错。
二元一次方程与一次函数 公开课教案 教案
5．6 二元一次方程与一次函数1．理解二元一次方程(组)与一次函数的关系；(重点)2．能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解．(难点)一、情境导入1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x ＋y ＝5有________个解；2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，2x ＋2y ＝6有________个解；3．方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝7，2x －y ＝5有________个解．两条直线互相平行，有________个交点，两条直线重合，有________个交点；两条直线相交，有________个交点．二、合作探究探究点一：二元一次方程与一次函数的关系以方程12x ＋3y ＝2的解为坐标的所有点都在一次函数y ＝________的图象上．解析：因为以方程12x ＋3y ＝2的所有的解为坐标的点组成的图象就是一次函数的图象，将方程12x ＋3y ＝2用含x 的代数式表示y ，得y ＝2－12x3＝－16x ＋23.故填－16x ＋23.方法总结：y ＝kx ＋b(k≠0)既可以看做是一个二元一次方程，也可以看做是一个一次函数的表达式；y －kx ＝b 与y ＝kx ＋b 虽然只是形式不同，但却只能表示二元一次方程，而不能表示一次函数的表达式．因此对于一个二元一次方程，只有把它写成用一个未知数表示另一个未知数的形式时，才能看做是一个一次函数的表达式．探究点二：二元一次方程组与一次函数的关系【类型一】 利用交点的坐标确定二元一次方程组的解一次函数y ＝5－x 与y ＝2x －1的图象的交点为(2，3)，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1的解为________．解析：方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1的解就是直线y ＝5－x 与直线y ＝2x －1的交点坐标，又∵两直线的交点坐标为(2，3)，∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.故填⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3. 方法总结：二元一次方程组是由含有两个未知数的两个一次方程组成的，而每个一次方程的图象都是一条直线．两条直线的交点坐标表示该方程组中两个方程的公共解，也就是这个二元一次方程组的解．【类型二】 利用二元一次方程组的解确定交点的坐标已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝6，2x －3y ＝m 的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，确定一次函数y ＝34x ＋32与y ＝23x －13m图象交点的坐标．解析：可以根据方程组的解，得出m 的值，构造方程组计算交点坐标，也可以变化两个函数解析式使其与方程组中的两个方程的形式相同，直接得出图象的交点坐标．解：将y ＝34x ＋32变为－3x ＋4y ＝6，y ＝23x －13m 变为2x －3y ＝m ，所以直线y ＝34x ＋32与y ＝23x －13m 交点的坐标即是原方程组的解中x ，y 的对应值，因此两个一次函数图象的交点坐标即是(2，3)． 方法总结：灵活运用方程组的解与一次函数图象交点坐标信息，通过方程与一次函数的适当形式变化，达到不解方程组即可得出方程组的解或图象交点坐标的目的，即是“整体思想”的灵活运用．【类型三】 用图象法解二元一次方程组用图象法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝4，①2x －3y ＝－2.②解析：先将两个方程变形为y ＝kx ＋b(k≠0)的形式，再在同一直角坐标系中作出其图象，交点的坐标即为方程的解．解：由①得y ＝3x －4. 由②得y ＝23x ＋23.在同一直角坐标系中分别作出一次函数y ＝3x －4和y ＝23x ＋23的图象．如右图，由图可知，它们的图象的交点坐标为(2，2)．所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝4，2x －3y ＝－2的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. 方法总结：用画图象的方法可以直观地获得问题的结果，但不是很准确．三、板书设计1．二元一次方程组的解是对应的两条直线的交点坐标； 2．用图象法解二元一次方程组的步骤： (1)变形：把两个方程化为一次函数的形式； (2)作图：在同一坐标系中作出两个函数的图象； (3)观察图象，找出交点的坐标； (4)写出方程组的解．通过引导学生自主学习探索，进一步揭示了二元一次方程和函数图象之间的对应关系，很自然的得到二元一次方程组的解与两条直线的交点之间的对应关系．进一步培养了学生数形结合的意识，充分提高学生数形结合的能力，使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法．4．4 一次函数的应用 第1课时 确定一次函数的表达式1．会确定正比例函数的表达式；(重点) 2．会确定一次函数的表达式．(重点)一、情境导入某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图．你能通过图象提供的信息求出y 与x 之间的关系式吗？你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？学习了本节的内容，你就知道了．二、合作探究探究点一：确定正比例函数的表达式求正比例函数y ＝(m －4)m 2－15的表达式．解析：本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不为0，这种类型简称为定义式．解：由正比例函数的定义知m 2－15＝1且m －4≠0，∴m ＝－4，∴y ＝－8x.方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0. 探究点二：确定一次函数的表达式【类型一】 根据给定的点确定一次函数的表达式已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式．解析：先设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，因为它的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，所以当x ＝0时，y ＝5；当x ＝2时，y ＝－5.由此可以得到两个关于k 、b 的方程，通过解方程即可求出待定系数k 和b 的值，再代回原设即可．解：设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，根据题意得，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝b ，－5＝2k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－5，b ＝5.∴一次函数的表达式为y ＝－5x ＋5. 方法总结：“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y ＝kx ＋b 中有两个待定系数k 、b ，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．【类型二】 根据图象确定一次函数的表达式正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4，3)，B 为一次函数的图象与y 轴的交点，且OA ＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．解析：根据A(4，3)可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA 的长，从而可以求出点B 的坐标，根据A 、B 两点的坐标可以求出一次函数的表达式．解：设正比例函数的表达式为y 1＝k 1x ，一次函数的表达式为y 2＝k 2x ＋b.∵点A(4，3)是它们的交点，∴代入上述表达式中，得3＝4k 1，3＝4k 2＋b.∴k 1＝34，即正比例函数的表达式为y ＝34x.∵OA ＝32＋42＝5，且OA ＝2OB ，∴OB ＝52.∵点B 在y 轴的负半轴上，∴B 点的坐标为(0，－52)．又∵点B 在一次函数y 2＝k 2x ＋b 的图象上，∴－52＝b ，代入3＝4k 2＋b 中，得k 2＝118.∴一次函数的表达式为y 2＝118x －52.方法总结：根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．【类型三】 根据实际问题确定一次函数的表达式某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x 与售价y 的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.数量x/千克售价y/元 1 8＋0.4 2 16＋0.8 3 24＋1.2 4 32＋1.6 5 40＋2.0 ……解析：从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍、…… 解：由表中信息，得y ＝(8＋0.4)x ＝8.4x ，即售价y 与数量x 的函数关系式为y ＝8.4x.当x ＝2.5时，y ＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．方法总结：解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．三、板书设计确定一次函数表达式⎩⎪⎨⎪⎧正比例函数y ＝kx （k≠0）一次函数y ＝kx ＋b （k≠0）经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．2．2 平方根 第1课时 算术平方根1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；(重点) 2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根；(重点) 3．了解算术平方根的性质．(难点)一、情境导入上一节课我们做过：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a 的大正方形，那么有a 2＝2，a ＝________，2是有理数，而a 是无理数．在前面我们学过若x 2＝a ，则a 叫做x 的平方，反过来x 叫做a 的什么呢？二、合作探究探究点一：算术平方根的概念【类型一】 求一个数的算术平方根求下列各数的算术平方根：(1)64；(2)214；(3)0.36；(4)412－402.解析：根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根，只要找到一个非负数的平方等于这个非负数即可．解：(1)∵82＝64，∴64的算术平方根是8；(2)∵(32)2＝94＝214，∴214的算术平方根是32；(3)∵0.62＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6；(4)∵412－402＝81，又92＝81，∴81＝9，而32＝9，∴412－402的算术平方根是3.方法总结：(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求81与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．【类型二】 利用算术平方根的定义求值3＋a 的算术平方根是5，求a 的值．解析：先根据算术平方根的定义，求出3＋a 的值，再求a.解：因为52＝25，所以25的算术平方根是5，即3＋a ＝25，所以a ＝22. 方法总结：已知一个数的算术平方根，可以根据平方运算来解题．探究点二：算术平方根的性质【类型一】 含算术平方根式子的运算计算：49＋9＋16－225.解析：首先根据算术平方根的定义进行开方运算，再进行加减运算． 解：49＋9＋16－225＝7＋5－15＝－3.方法总结：解题时容易出现如9＋16＝9＋16的错误．【类型二】 算术平方根的非负性已知x ，y 为有理数，且x －13(y －2)2＝0，求x －y 的值．解析：算术平方根和完全平方式都具有非负性，即a ≥0，a 2≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x 和y 的值，进而求得答案．解：由题意可得x －1＝0，y －2＝0，所以x ＝1，y ＝2.所以x －y ＝1－2＝－1.方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即a ≥0，|a|≥0，a 2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.三、板书设计算术平方根⎩⎨⎧概念：非负数a 的算术平方根记作a 性质：双重非负性⎩⎨⎧a≥0，a ≥0让学生正确、深刻地理解算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有帮助的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．4．4 一次函数的应用 第1课时 确定一次函数的表达式1．会确定正比例函数的表达式；(重点) 2．会确定一次函数的表达式．(重点)一、情境导入某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图．你能通过图象提供的信息求出y 与x 之间的关系式吗？你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？学习了本节的内容，你就知道了．二、合作探究探究点一：确定正比例函数的表达式求正比例函数y ＝(m －4)m 2－15的表达式．解析：本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不为0，这种类型简称为定义式．解：由正比例函数的定义知m 2－15＝1且m －4≠0，∴m ＝－4，∴y ＝－8x.方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0. 探究点二：确定一次函数的表达式【类型一】 根据给定的点确定一次函数的表达式已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式．解析：先设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，因为它的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，所以当x ＝0时，y ＝5；当x ＝2时，y ＝－5.由此可以得到两个关于k 、b 的方程，通过解方程即可求出待定系数k 和b 的值，再代回原设即可．解：设一次函数的表达式为y ＝kx ＋b ，根据题意得，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝b ，－5＝2k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－5，b ＝5.∴一次函数的表达式为y ＝－5x ＋5. 方法总结：“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y ＝kx ＋b 中有两个待定系数k 、b ，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．【类型二】 根据图象确定一次函数的表达式正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4，3)，B 为一次函数的图象与y 轴的交点，且OA ＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．解析：根据A(4，3)可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA 的长，从而可以求出点B 的坐标，根据A 、B 两点的坐标可以求出一次函数的表达式．解：设正比例函数的表达式为y 1＝k 1x ，一次函数的表达式为y 2＝k 2x ＋b.∵点A(4，3)是它们的交点，∴代入上述表达式中，得3＝4k 1，3＝4k 2＋b.∴k 1＝34，即正比例函数的表达式为y ＝34x.∵OA ＝32＋42＝5，且OA ＝2OB ，∴OB ＝52.∵点B 在y 轴的负半轴上，∴B 点的坐标为(0，－52)．又∵点B 在一次函数y 2＝k 2x ＋b 的图象上，∴－52＝b ，代入3＝4k 2＋b 中，得k 2＝118.∴一次函数的表达式为y 2＝118x －52.方法总结：根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．【类型三】 根据实际问题确定一次函数的表达式某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x 与售价y 的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.数量x/千克售价y/元 1 8＋0.4 2 16＋0.8 3 24＋1.2 4 32＋1.6 5 40＋2.0 ……解析：从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍、…… 解：由表中信息，得y ＝(8＋0.4)x ＝8.4x ，即售价y 与数量x 的函数关系式为y ＝8.4x.当x ＝2.5时，y ＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．方法总结：解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．三、板书设计确定一次函数表达式⎩⎪⎨⎪⎧正比例函数y ＝kx （k≠0）一次函数y ＝kx ＋b （k≠0）经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．六、词语点将（据意写词）。
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5.6二元一次方程与一次函数（教案）
一、学生情况
学生已经能够正确解方程（组），初步掌握了一次函数及其图像的基础知识，已经具备了函数的初步思想，对于数形结合的数学思想也有所接触.学生能够根据已知条件准确画出一次函数图象，能够认识和接受函数解析式与二元一次方程之间的互相转换．在过去已有经验基础上能够加深对“数”和“形”间的相互转化的认识. 二、教学目标
1. 通过作图、几何画板实验操作理解二元一次方程和一次函数的关系，掌握二元一次方程组的解和对应的两条直线之间的关系；能够用图象法解二元一次方程组，发展学生数形结合的意识和能力
2. 通过对比，观察，实验操作等手段得到二元一次方程与一次函数的关系，通过数形结合的思想方法加深对方程与函数之间关系的理解，经历从不同的角度观同一事物，养成严谨科学的学习态度. 三、教学重难点 教学重点
二元一次方程和一次函数的关系 教学难点
二元一次方程的图象特征 四、教学辅助 手机投屏（希沃） 五、教学过程
引言：诗人苏轼在《题西林壁》中写到：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”这样的诗句，告诉我们一个道理，认识一个事物要从不同的角度来观察、思考，那同学们请看看式子5=+y x 是方程吗？是函数吗？它们之间有什么内在联系呢？我们开始今天的学习： （一）探究1：二元一次方程与一次函数的关系
就是今天我们要研究的第一层关系，有个这层关系，说明二元一次方程与相应的一次函数函数在本质上其实是一样的，那么，在直角坐标系中，描出以方程5=+y x 解为坐标的所有点，组成的图象和相应的一次函数图象相同吗？我们通过几何画板来看一看. 【ppt7】一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象和相应的一次函数图象相同，是一条直线.那么二元一次方程组与直线有什么关系呢？
【思考作答】相同
【观察演示】
次方程的图象特征，
（二）探究2：二元一次方程组与一次函数的关系 环节 教师活动
学生活动 设计意图
1. 问题探究
2.归纳新知
【ppt8】方程组⎩⎨⎧=-=+125y x y x 的解是多少？你是怎么做的？ 分别画出方程组中两个方程所对应的一次函数的图象，观察这两个图象有交
点吗？若有，请写出交点坐标。
【提问】你有什么发现？ 【追问】你能说说其中的道理吗？
【ppt9】回答的很好，这个发现告诉我们，
从“数”的角度看，解一个二元一次方程组时，只需确定相应的两条直线的交点坐标即可；当我们要确定两条直线的交点坐标时，只需求相应的二元一次方程组的解，【边说边板书】
方程组的解<------>直线交点坐标 这样数和形巧妙地结合在一起。
这样的结合有什么好处呢？请看下面的问题
【生】方程组的解为⎩⎨⎧==32
y x ，（代
入）加减消元法。
有交点，坐标为)3,2(
【生】方程组的解就是直线交点的坐标，反过来，直线交点的坐标也是方程组的解
【生】方程组的解⎩⎨
⎧==32
y x 是方程
5=+y x 与12=-y x 的公共
解，那么方程组的解所对应的点（2，3）自然就是函数x y -=5与12-=x y 图象图象的交点，反之亦然
研究方程组的解与一次函数图象（直线）交点坐标的关系
（三）知识应用
例3
3.反思提升3.如图，直线：
1
l1
2-
=x
y与
2
l：2
3+
-
=x
y
的图象交于点A，求点
A的坐标.
【提问】我们能够直接
看出来吗？那怎么办
呢？
【板书】很好，当我们想求出两条直线交点
坐标的精确值时，可以直接将函数解析式视
为方程联立后求方程组的解即可，师示范一
下解答过程。
通过刚才的练习我们可以看到，在例1中我
们求方程的解可以转化为求相应直线的交点
坐标，在例2中我们求交点坐标可以转化为
求相应的方程组的解，这样一种解题的过程，
和我们学过的什么思想方法有关呢?
【点评】是的，我们又再次感受到了数形结
合的魅力。
接下来请看下面的问题
想一想：方程组
⎩
⎨
⎧
=
+
=
+
5
2
y
x
y
x
有解吗？观察一
次函数x
y-
=2与x
y-
=5的图象之间有
什么位置关系？
【提问】你有什么感悟？
【生】直接看有困难,无法得到准
确值
【生】将函数解析式联立求方程
组的解
【齐答】数形结合
【生】简述理由和答案
【生】无解，平行的关系
【生】事实上这样的两个问题，
前者就是“数”的问题，后者就
是“形”的问题，从方程的角度
看，没有同时适合这两个方程的
数，也就是方程组无解，那么相
应的函数图象就没有交点，所以
呈现的就是平行的位置关系，反
过来，当两条直线平行时，它们
所对应的方程组就无解
学会通过
解方程组
来确定直
线的交点
坐标
体会数学
结合思想
的魅力
通过对比
发现方程
组无解的
几何意
义，从侧
面认识到
方程组有
解的几何
意义
六、课堂小结 环节 教师活动
学生活动
设计意图 1. 学生总结
2.教师总结
【提问】同学们，学到这里请大家回顾一下刚才的学习过程，本节课什么地方给你感悟最
深？又或者把你学到的知识和大家分享一下，比如二元一次方程与一次函数的关系 【总结】正如同学所说，这节课首先我们明确了 1..二元一次方程和一次函数的关系 2.二元一次方程组的解与直线交点坐标的关系，同时
也学到了解方程组的一种新方法——图象法，其三了解到重要的数学思想方法——数学结合。
现在我们把这些知识整合一下，如果说方程是“数”的问题，那么直线就是“形”的问题，由此“数”和“形”就这样结合了起来，通过刚才问题的解决我们也能够感受到这种思想方法的妙处，此时的我忍不住想吟诗一首：“数却形时少直观，形却数时难入微，数学结合百般好，隔离分家万事休”——华罗庚，希望我们同学能爱上数学这门研究数和形的科学。
【生1】给我感触最深的就是数形结合思想
【生2】我知道了二元一次方程的解对应这一次函数图象上的点的坐标，方程组的解就是相应函数图象的交点坐标 【生3】我还学到了用图象法来
解二元一次方程组
引导学生做好学习总结，再一次加深对知识的认识和理解，培养学生学会总结，及时总结反思的良好学习习惯
七、作业
1.如图，已知函数b ax y +=和kx y =的图象交于点P ，则根据图象可得，关于x 、y 的二元一次方程组的解是
2.若方程组⎩⎨
⎧=+=+3
222y x y x 没有解，则一次函数x y -=2与x y -=23
的图象必定
（ ）A ．重合 B ．平行
C ．相交
D ．无法确定
3.方程组⎩
⎨⎧-=-=+-6243
2y x y x 的解是什么？两个方程对应的函数的图象有怎样的位置关系？你能从中悟出些什
么？
1题
八、板书设计
九、设计反思
1.重视学生操作实验能力的培养.这节课在研究二元一次方程与一次函数关系的时候，通过学生自己作图，观察，总结归纳得到有关结论.
2.重视数学思想方法的引导.这节课在设计时充分考虑了数学结合思想，特殊到一般等数学思想方法的渗透，既能发展学生的几何直观，又能更好地体会研究问题的一般方法，通过观察，猜想，验证，总结等手段获取基本事实的活动经验也能为以后独自研究问题提供思路.
3.重视基础知识过手.这节课设计的例题、习题、作业都非常有针对性地考察了这节课的两个重要知识点，有目的地培养学生数学结合的意识以及严谨科学的学习态度.
4.尊重教材.在设置问题串的时候充分尊重了教材，但又不唯教材是首，更加数学化地从本质上揭示了二元一次方程与一次函数的关系.
5.重视培养学生科学严谨的学习习惯，激发学生热爱数学，热爱学习的热情。