结构力学——第15章悬索结构在集中荷载及分布荷载作用下的计算

由几何关系得
2 ds0 dx 2 dy0 1 (
dy0 2 ) dx dx
§15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解
ds (dx du) 2 dy 2 (1 du 2 dy 2 ) ( ) dx dx dx du dy 2 ( ) dx dx dx
du 略去微小量 ( ) 2 dx
d2M q( x) 0 —梁的平衡微分方程 2 dx
若两者有相同的边界条件，Байду номын сангаас建立关系式 可得
y ( x) M ( x) (g) FH
FH y( x) M ( x)
对于两端支座位于同一水平线的悬索，其两端边界条 件与相应简支梁弯矩图相同。
§15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算
如图a、b
位移与外荷载的关系是非线性的；
按变形后的几何形状和尺寸建立平衡方程。
§15-2 集中荷载作用下的单根悬索计算
悬索AB在竖向集中荷载作用的计算简图如图a所示。
图b为相应简支梁。 将索端张力沿竖向和 弦AB方向分解可得：
0 0 V FA FA V FBV FBV 0 MC FR h
§15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算
任意分布荷载作用下悬索曲线的形状与相应简支梁弯矩 图的形状完全相同。
两端等高的悬索曲线：由式(g)直接计算。
M ( x) c 两端支座高差为c的悬索曲线：计算式为 y ( x) F l x (h) H
式(h)的第二项为悬索支座连线AB的竖标，第一项为以 弦AB为基线的悬索曲线竖标y1(x)，即 M ( x)
d2 y FH 2 q ( x) 0 (c) dx
单根悬索基本平衡微分方程
§15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算
2. 常见分布荷载作用下平衡微分方程的解 (1) 沿跨度方向均布荷载q作用，如图。 由式(c)可得
d2 y q dx 2 FH
积分两次并由边界条件可得
y q c x(l x) x 2 FH l
2 c 2 c0 EA D D0 uR uL EAt 整理可得 FH FH0 2 2 EA 2 EA 2l FH FH0 2l l
式中
D F dx
0 2 S l 2 D0 FS0 dx 0 l
可解出FH FS0-初始状态相应简支梁的剪力 FS -最终状态相应简支梁的剪力
l 0
将y=y0+v代入上式得
s uR uL [
dy0 dv 1 dy 2 ( ) ]dx dx dx 2 dx
悬索伸长是由悬索内力增量和温度变化引起的，即
l F ds ds FT s t ds0 H 0 t 0 dx A 0 EA EA dx dx B
解：设抛物线悬索方程为
c 4 fx(l x) y x l l2 dy c 4 f 8 f 2 x dx l l
当两支座等高时
ds 16 f df 3l
8f 2 s l (1 2 ) 3l
f
16 f s 3l
垂度变化值大于悬索长度变化值
§15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解
F H EA
l dy0 dy0 [ 1 ]d x t 1 dx 0 dx 0 dx l
2
2
略去微小量 (
dy0 2 ) dx
FH FH0 FH s l tl l tl EA EA
§15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解
悬索AB x=0 时，y=0 x=l 时，y=0
相应简支梁AB x=0 时，M=0 x=l 时，M=0
§15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算
x=0 时，y=0 图a为两端支座高差为c的 悬索AB 悬索，在相应简支梁的一端加 x =l 时，y=c 上集中力偶矩FHc，y与M得到 x=0 时，M=0 相同的边界条件，即 相应简支梁AB x=l 时，M=FHc
ds ds0 1 2
ds 1 2
dy du dy 2 ( ) dx 1 ( 0 ) 2 dx dx dx dx
dy 2 dy0 2 略去微小量 ( ) , ( ) 将上式根号按级数展开取两项可得 dx dx
ds ds0 [ du 1 dy 2 1 dy0 2 ( ) ( ) ]dx dx 2 dx 2 dx s ds ds0 [
ds dy qy q q 1 dx dx d2 y q dy 1 dx 2 FH dx
2 2
代入式(c)得
积分并根据边界条件可得
y FH q 2 cosh cosh x l
A 0 B l
整根悬索总伸长量
du 1 dy 2 1 dy0 2 ( ) ( ) ]dx dx 2 dx 2 dx
§15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解
1 l dy 2 dy0 2 s uR uL [( ) ( ) ]dx 0 2 dx dx
uR-右端点支座B水平位移 uL-左端点支座A水平位移
弦AB的直线方程
当AB为水平线时，c=0，有
y 4 fx(l x) l2
当索曲线方程确定后，索中各点的张力为
dy 1 dx
2
FT FH
当索较平坦时，如f/l≤0.1，可近似为
FT FH
§15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算
(2) 沿索长度均布荷载q作用，如图。 将q转化为沿跨度方向的 等效均布荷载qy，由图得
(f)
若给定跨中垂度f，则有
f
FH (cosh 1) q
—可算出FH。
式(e)与式 (f)表示的曲线为悬链线。 曲线比较平坦时，可以用较简单的抛物线代替悬链线； 把沿索长度的均布荷载折算成沿跨度的均布荷载进行计算。
§15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算
3. 任意分布荷载作用下平衡微分方程的解—梁比拟法 悬索微分方程式(c) 与梁的平衡微分方程形式完全相同
1. 悬索的变形协调方程
悬索实际问题的一般模式： 已知初始状态：荷载q0，位置y0，内力FH0； 求解最终状态：荷载增量Δq，悬索位置y，内力FH。
悬索的平衡方程中有两个未知量：y，FH 要补充一个方程：变形协调方程—内力与位移的关系
§15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解
图示悬索的初始位置为AB，最终位置为A’B’。
积分可得悬索AB长度为
s ds 1 (
A 0 B l
dy 2 ) dx dx
将 1 ( dy ) 2 按级数展开，取两项时
dx
1 dy 2 s [1 ( ) ]dx (i) 0 2 dx
l
取三项时
1 dy 1 dy s [1 ( ) 2 ( ) 4 ]dx 0 2 dx 8 dx
l
(j)
§15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算
例15-2 试求图式形状为抛物线的悬索长度。
代入式(i)积分得悬索长度为
c2 8 f 2 s l (1 2 2 ) 2l 3l
代入式(h)积分得悬索长度为
c 2 c 4 8 f 2 32c 4 4c 2 f 2 s l (1 2 4 2 4 4 ) 2l 8l 3l 5l l
y1 ( x) FH
由式(g)、(h)可得 如果用两支座连线作为悬索线竖向坐标的基线，无论两支座等 高与否，悬索曲线的形状与相应简支梁弯矩图的形状相似，任 意点竖标之比为常数FH。
§15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算
4. 悬索长度的计算 如图，由悬索AB中取 一微分单元ds，有
ds dx 2 dy 2 1 ( dy 2 ) dx dx
(b)
0 MK 为相应简支梁K界面的弯矩。
FH在各索段中为常数，各索段的张力可由各集中力作用 点的平衡方程求得，并可确定各索段的几何位置。
§15-2 集中荷载作用下的单根悬索计算
例15-1 求图a所示悬索在集中荷载作用下各索端张力及几何位置。 解：由图a可得悬索E点到弦 AB的竖直距离为
f E 3.2m 1.5m 4.4m 3.834 m 10.4m
由端点（A或B）开始，依次考虑各结点处的平衡条件， 可求出以分量表示的各索段张力及几何位置，如图c。
§15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算
1. 平衡微分方程 悬索在分布荷载作用下的几何形状是曲线，如图a所示。
y y ( x) —索曲线
索两端及索中任一点张 力的水平分量FH为常量。 取任一微段索dx为隔离 体，其受力如图b。 由∑Fy=0可得
(d)
给定悬索跨中垂度f为控制值 令
l c x , y f 2 2
由式(d)可得
y c 4 fx(l x) x l l2
ql2 FH 8f
代入式(d)可得
—二次抛物线方程
§15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算
y c 4 fx(l x) x l l2
以弦AB为基线的悬索曲线方程
ql 2 FH
(e)
式中
c sinh 1[ l ] sinh
( )

§15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算
当AB位于水平方向时，c=0有 可得
y FH q q cosh cosh x F H

ql 2 FH
第十五章
§15-1 概述
悬索计算
§15-2 集中荷载作用下的单根悬索计算 §15-3 分布荷载作用下的单根悬索计算 §15-4 悬索的变形协调方程及初态终态问题求解 §15-5 悬索体系的计算