经济数学—微积分-主界面
经济数学基础(微积分)讲义全
经济数学微积分学习讲义合川电大兰冬生知识点一：5个基本函数1，常数函数，c y = （c 是常数）例如：3=y ，1-=y ，这些函数可以看成是x 隐含，例如3=y 可看成30+=x y 。
2，幂函数，αx y =（α是一个数） 形如2x y =，3x y =，5x y =是幂函数，注意：仅仅是这种形式是幂函数，其他的任何一点形式变化都不是，2x y =是幂函数，22x y =就不是幂函数，只能是下面x ，上面（指数）是一个数！以下基本函数均如此3，指数函数，x a y =，（a 是一个数） 例如：x y 2=，x y 23⋅=不是指数函数。
4，对数函数x y a log =，这里要求x 必须大于零，我们的考试常常拿来考“求定义域”这里我们只认识两个特殊的对数函数，一个是x y ln =，他是x y e log =的简写，e 是一个数，718.2=e ，和我们知道的14.3=π一样，另一个是x y lg =，他是x y 10log =的简写。
5，三角函数x y sin =，x y cos =，特别注意的是x y sin 2=，x y 2sin =，都不是三角函数。
● 这5个基本函数是我们要学习的函数的主要构成细胞。
● 例如：12sin 232+++=x x e y x ，二次函数，由幂函数，常数函数构成632-+=x x y 。
知识点二：极限1，什么是数列？数列就是按照“一定规律排列的一组数”，我们常见的是无限数列。
数学符号记为：}{n a例如：数列：1,2,4,8,16,32，……，发展规律依n 2 变化，,4,3,2,1,0=n …… 1，21，41，81，……，发展规律依n 21变化，,4,3,2,1,0=n …… 2，极限学习极限，一个非常重要的认识就是“分母越大，分数越小” 数列的极限，就是指数列的一个趋近值，（即是指一串数的趋近值）例如：1，21，31，41，……，分母由1,2,3,4，……变化，当分母无限大时，1000001，1000000001，……，最后，这个无限数列趋近于0，这里，我们简单描述这个变化，∞→n01→n分母越大，分数越小 →是趋近，∞是无穷大的意思，无穷大是指非常非常大，无法计量。
经济数学微积分全微分及其应用PPT课件
qi pj birjpj bipjrj pj qi pi qi piqi
一元函数在某点的导数存在
微分存在．
多元函数的各偏导数存在
全微分存在．
xy 例如， f(x,y) x2y2
0
x2y20 .
x2y20
在 点 (0,0)处 有 fx(0,0)fy(0,0)0
z [ f x ( 0 , 0 ) x f y ( 0 , 0 ) y ] (x)x2(yy)2,
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可导
函数可微 偏导数连续
二、全微分在近似计算中的应用
当二元z 函 f(x数 ,y)在点 P(x,y)的两 个偏导 fx(x数 ,y),fy(x,y)连续， x,且 y 都较小时，有近似等式
z d z f x ( x , y ) x f y ( x , y ) y .
如 果 考 虑 点 P ( x , y ) 沿 着 直 线 y x 趋 近 于 ( 0 , 0 ) ，
x y
则
(x)2 (y)2
(x)2x(xx)2
1, 2
说 明 它 不 能 随 着 0 而 趋 于 0 , 当 0时，
z [ f x ( 0 , 0 ) x f y ( 0 , 0 ) y ] o ( ),
2．
； 3. -0.119,-0.125；
x2 y2 z2
4. ( y 1 )x, y 1 .
y
y
二、1 dx 2 dy.
三、2.95.
33
五、2128m2 ,27.6m2 ,1.30%.
四、55.3cm3 .
七、 f x( x, y), f y( x, y)在(0,0)处均不连续, f ( x, y)在点(0,0)处可微.
经济数学基础--微积分第八章
(1
1 n
)n
,
因为
lim
n
un
lim
n
1
1
n
1
n
1 e
0, 所以级数发散.
例8.1.7 讨论级数 cos n 的敛散性.
n 1
2
解 因为数列{cos n }就是0, 1, 0,1, 0, 1,, 这个数列发散, 所以级数也发散.
2
第 12 页
经济应用数学基础——微积分
第八章 第二节 第 13 页
8 1
简记为 un , 称上式为数项无穷级数, 简称无穷级数.其中, 第n项un 称为级数的一般项, n 1
级数的前n项和
n
Sn uk u1 u2 un k 1
称为级数的前n项部分和, 简称部分和.
8 2
第4 页
经济应用数学基础——微积分
无
第八章 第一节
穷
级
数
的
定义8.1.2
若数项级数的部分和数列{Sn
lim
n
Sn
1
S.由于an
Sn
Sn1 ,
所以
lim
n
an
lnim(Sn
Sn1 )
S
S
0.
注意 本性质说明如果级数 an收敛, 则通项的极限等于0.反之不成立, 如调和级数
1, 虽然 lim 1 0, 但此级数发散.另外, 如果通项的极限不等于0, 级数一定是发散的, 这
n1 n
n n
就是下面的推论.
n
1
n 2 3 1 5 1 2
n3/2
n 1
n3/2
n n2
n6
n
1
2022年春经济数学基础微积分部分
08春经济数学基本微积分部分第一部 微分学第1章 函数1．理解函数概念。
理解函数概念时，要掌握函数旳两要素−−定义域和相应关系，这要解决下面四个方面旳问题：（1）掌握求函数定义域旳措施，会求初等函数旳定义域和函数值。
要掌握常用函数旳自变量旳变化范畴，如分式旳分母不为0，对数旳真数不小于0，偶次根式下体现式不小于0。
例1 求函数xx y --=2)1ln(旳定义域。
解 ： )1ln(-x 旳定义域是1>x ，x -2旳定义域是2≤x ，但由于x -2在分母上，因此2≠x 。
故函数xx y --=2)1ln(旳定义域就是上述函数定义域旳公共部分，即1<x <2。
（2）理解函数旳相应关系f 旳含义：f 表达当自变量取值为x 时，因变量y 旳取值为)(x f 。
例如，对于函数x x x x f y 2ln )(2++==，f 表达运算：)(22)ln()(++例2 设1)(+=x x f ，求)1)((+x f f 。
解： 由于1)(+=x x f ，阐明f 表达运算：1)(+，因此)1)((+x f f 1)1)((++=x f ＝2)(+x f再将1)(+=x x f 代入，得)1)((+x f f =32)1(+=++x x 2．掌握函数奇偶性旳鉴别，懂得它旳几何特点； 判断函数是奇函数或是偶函数，可以用定义去判断，即（1）若)()(x f x f =-，则)(x f 偶函数；（2）若)()(x f x f -=-，则)(x f 奇函数。
也可以根据某些已知旳函数旳奇偶性，再运用“奇函数±奇函数、奇函数×偶函数仍为奇函数；偶函数±偶函数、偶函数×偶函数、奇函数×奇函数仍为偶函数”旳性质来判断。
例3 下列函数中，（ ）是偶函数。
A. x x x f sin )(3= B. 1)(3+=x x f C. xxaa x f --=)(D. x x x f sin )(2=解： 根据偶函数旳定义以及奇函数×奇函数是偶函数旳原则，可以验证A 中3x 和x sin 都是奇函数，故它们旳乘积x x x f sin )(3=是偶函数，因此A 对旳。
经济数学——微积分PPT课件
第15页/共27页
思考题
一工厂有x名技术工人和 y 名非技术工人每天 可生产的产品产量为
f ( x, y) x2 y (件)
现有16名技术工人和32名非技术工人, 而厂长计划 再雇用一名技术工人. 试求厂长如何调整非技术工 人的人数, 可保持产品产量不变？
第16页/共27页
解 现在产品产量为f (16,32)=8192件, 保持
这种产量的函数曲线为
f ( x, y)= x 2 y =8192 (1)
对于任一给定值 x 每增加一名技术工人时 y 的变化量即为这函数曲线切线的斜率dy .
dx
(1)式两端对x求导，整理得：
2 xy x 2 y 0；
dy 2 y .
3. x y 0；
2
2
4.sin t cos t ,2 cos t sin t
3；
5. e x y y . x e x y
二、1. e 2 y (3 y)； (2 y)3
2.-2csc2 ( x y)c tan3 ( x y)；
3. y(ln y 1)2 x(ln x 1)2 . xy(ln y 1)3
d dx
( dy dx
)
d dt
( (t )) (t )
dt dx
(t)(t) (t)(t) 1
2(t)
(t )
即
d2y dx 2
(t )
(t) (t) (t) 3(t)
.
第11页/共27页
例6
求摆线
x y
a(t a(1
《经济数学——微积分》ppt课件
满 足 条 件 lim un1 （ 其 中 可 以 为 ）
n un
则 当 1时 ， 级 数 un 收 敛 发 散
n1
例 4 判别下列级数的收敛性:
(1)
xn
;
n0 n!
(2)
(1)n
x2n
;
n1
(2n)!
(3)
此处可用定义证明 .
s 2 n 1 (1 3 1 2 ) (1 5 1 4 ) (2 n 1 1 1 2 n )
或 s 2 n 1 1 2 (1 3 1 4 ) (2 n 1 1 1 2 n ) 2 n 1 1
s2 n 1 为单调递减数列。
nli ms2n1 s； ln i m u2n10,
任意项级数
正项级数
问题: 如何研究任意项级数的敛散性问题？
任意项级数的敛散性
1. un绝对收敛： un 收敛；
n1
n1
2. un条件收敛 ： un发散，un收敛；
n1
n1
n1
3.un发散. n1
定 理 2若 u n 收 敛 , 则 u n 收 敛 .
n 1
n 1
证明
令 vn1 2(u nu n) (n1 ,2 , ),
三、小结
任意项级数
1. 若SnS,则级数;收敛
审 2. 当 n,un0,则级数 ; 发散 敛 3.按基本性质;
4.绝对收敛
法 5.交错级数
(莱布尼茨定理)
思考题1
设级数| un |收敛, 能否推得un收敛?反之
n1
n1
是否成立?
思考题1解答
由 级 数 |un|收 敛 ， 可 以 推 得 un收 敛 ,
显v然 n0, 且vnun,
吴传生 经济数学 微积分 第一章1.6 PPT
四、成本函数
成本是生产一定数量产品所需要的
各种生产要素投入的价格或费用总额，
它由固定成本与可变成本两部分组成.
C 总 C 固 C 可变
支付固定生产 要素的费用 支付可变生产 要素的费用
平均成本
总成本 产量
固定成本
可变成本 产量
即 C AC
C (Q ) Q
C
1
Q
C
2
(Q )
3 Q + 4 P = 1 0 0 ,求 总 收
益和平均收益．
解
价格函数为
P
100 3 Q 4
,
100 Q 3 Q 4
100 3Q 4 .
2
所以总收益为
R (Q ) P Q
,
平均收益为
A P (Q ) P (Q )
六、利润函数
利润是生产中获得的总收益与投入的总成
q 2
，
在时间 T 内的总费用 E 为
E 1 2 C 1 Tq C Q
2
q
其中 ，
1 2
C 1 Tq 为贮存费，
C2
Q q
为进货费用
.
八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线
戈珀兹 曲线是指数函数 y ka
在经济预测中，经常使用该曲线.
k
b
t
初始期 发展期
饱和期
当 lg a 0 ， 0 b 1 时，图形如上页所示
1 .4
2.某 工 厂 对 棉 花 的 需 求 函 数 由
PQ
=0.11 给
出 ,（ 1） 求 其 总 收 益 函 数 R;（ 2） P(12),R(10), R(12),R(15),P(15),P(20)。 3.若 工 厂 生 产 某 种 商 品 ， 固 定 成 本 200,000 元 ， 每 生 产 一 单 位 产 品 ， 成 本 增 加 1000 元 ， 求总成本函数。
经济数学微积分
在积分部分，本书介绍了积分的定义、计算方法和积分在经济学中的应用，如总成本曲线、总收 益曲线等。
在级数和常微分方程部分，本书介绍了级数的定义、计算方法和级数在经济学中的应用，如经济 增长模型、人口增长模型等。本书也介绍了常微分方程的定义、解法和常微分方程在经济学中的 应用，如经济增长模型、人口增长模型等。
阅读感受
在阅读《经济数学微积分》这本书的过程中，我深感其内容的深度和广度， 以及它如何将数学与经济学巧妙地结合在一起。这本书不仅为我揭示了微积分的 魅力，也让我理解了它如何被广泛应用于经济学中。
这本书的结构和内容非常出色。它以一种清晰、直接的方式介绍了微积分的 基本概念，例如函数、导数和积分，以及它们在经济学中的应用。通过大量的例 子和练习题，作者吴传生让我更好地理解了微积分的原理和应用。书中的图表和 解释也使微积分的学习变得相对容易。
定积分是微积分中的另一个重要概念，它描述了函数在一定区间上的总值。 这一部分介绍了定积分的概念、性质和计算方法，同时还介绍了定积分在实际问 题中的应用，如面积、体积的计算等。
这一部分介绍了多元函数的微分学和重积分，包括偏导数、全微分、多重积 分等概念和计算方法。这些概念和技巧在实际问题中的应用也非常广泛，如空间 几何、物理学、经济学等领域。
经济数学微积分
读书笔记
01 思维导图
03 精彩摘录 05 目录分析
目录
02 内容摘要 04 阅读感受 06 作者简介
思维导图
关键字分析思维导图
介绍
极限数学方法ຫໍສະໝຸດ 帮助知识分析
经济
微积分
经济学 应用
掌握
第七章 多元函数的微积分 《经济数学》PPT课件
于是,空间任意一点M和有序数组(x,y,z)建立了一一对应的关系,我们称有序 数组(x,y,z)为点M的横坐标、纵坐标、竖坐标,记为M(x,y,z).
设函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义,若自变量x、y各有 改变量Δx和Δy,则Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)称为函数z=f(x,y)在 点(x,y)的全增量.
➢ 定义7-6
PART
07
7. 5. 1 二元函数的极值
7.5
多元函数的极值
➢ 定义7-7 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,对于该邻域内异于(x0,y0) 的任意一点(x,y),如果有f(x,y)<f(x0,y0),则称函数在点(x0,y0)处有极大值;如果有 f(x,y)>f(x0,y0),则称函数在点(x0,y0)处有极小值.极大值、极小值统称为极值,使函数 取得极值的点称为极值点.
1)边际函数 ➢ (1)边际成本 • 设某工厂生产甲、乙两种不同的产品,其数量分别为x,y,总成本
函数为C(x,y),则("∂" C)/("∂" x)表示:当乙商品的数量保持在某 一水平上,而甲商品的数量变化时总成本的变化率.我们把它称为 总成本C(x,y)对x的边际成本.("∂" C)/("∂" y)表示:当甲商品的数 量保持在某一水平上,而乙商品的数量变化时总成本的变化率.我 们把它称为总成本C(x,y)对y的边际成本.
《经济数学.微积分》朱来义.第一章.1.7 简单函数关系的建立
当商场订购1000台时，厂家可获利润
（元） L 30 1000 (1000 100)2 0.01 21900
2.需求函数与供给函数
产品的市场需求量与市场供给量是与产品的价 格直接相关的量.
一产品的市场需求量 Qd 与该商品的价格 P 的 关系是：降价使需求量增加，涨价使需求量减少.
x
2a
圆柱的体积 y 为
4a x x π x (4a 2 x 2 ), 0 x 2a y π 2 4
2 2 2
这就是圆柱体积 y 与高 x 之间的关系.
例2 一房地产公司有 50 套公寓要出租，当租金 定为 每月180 元时，公寓会全部租出 去．当租金每月增加
总收入 R( x ) 是销售量 x 与销售单价 P 乘积， 即 R( x ) Px； 总利润 L( x ) 等于总收入减去总成本 ， 即 L( x ) R( x ) C ( x ).
例3
某种产品每台售价 90 元, 成本为 60 元，厂家
为鼓励销售商大量采购 ，决定凡是订购量超过 100 台以上的，多出的产品 实行降价，其中降价比 例为 每多出 100 台每台降价 1 元（例如某商场订购 300 台， 订购量比 100 台多 200 台，于是多出的这 200 台每台 就降价 0.01 200 2 元，商场可以按 88 元 台的价格 购进这多出的 200 台），但最低价为 75 元 台. (1) 试将每台的实际售价 P 表示为订购量 x的函数； ( 2) 把利润 L 表示为订购量 x 的函数； ( 3) 当一商场订购 1000台时，厂家可获利润多 少？
解 (1) 由题设，
当 x 100 时， 实际售价 P 90 元 台, 当 x 100 时， 由于产品最低价为 75 元 台，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第七章 向量代数与空间解析几何 第八章 多元函数微分学 第九章 二重积分 第十章 微分方程与差分方射与函数 第三节 复合函数与反函数 第四节 基本初等函数与初等函数 第五节 函数关系的建立 第六节 经济学中的常用函数
第十一章 无穷级数
第一节 常数项级数的概念和性质 第二节 正项级数及其审敛法 第三节 任意项级数的绝对收敛与条件收敛 第四节 泰勒级数与幂级数 第五节 函数的幂级数展开式的应用
第八章 多元函数微分学
第一节 多元函数的基本概念 第二节 偏导数及其在经济分析中的应用 第三节 全微分及其应用 第四节 多元复合函数的求导法则 第五节 隐函数的求导公式 第六节 多元函数的极值及其应用
第九章 二重积分
第一节 二重积分概念与性质 第二节 二重积分的计算
第十章 微分方程与差分方程
第一节 微分方程的基本概念 第二节 一阶微分方程 第三节 一阶微分方程在经济学中的综合应用 第四节 可降阶的二阶微分方程 第五节 二阶常系数线性微分方程 第六节 差分与差分方程的概念 、…… 第七节 一阶常系数线性差分方程 第八节 二阶常系数线性差分方程 第九节 差分方程的简单经济应用
第三章习题课
第四章 中值定理及导数的应用
第一节 中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 导数的应用 第四节 函数的最大值和最小值
及其在经济中的应用 第五节 泰勒公式
第四章习题课
第五章 不定积分
第一节 不定积分概念、性质 第二节 换元积分法 第三节 分部积分法 第四节 有理函数的积分
第五章习题课
第六章 定积分及其应用
第一节 定积分概念 第二节 定积分的性质 第三节 微积分的基本公式 第四节 定积分的换元积分法 第五节 定积分的分部积分法
第六节 广义积分与 — 函数
第七节 定积分的几何应用 第八节 定积分的经济应用
第六章习题课
第七章 向量代数与空间解析几何
第一节 空间直角坐标系 第二节 向量及其线性运算 第三节 数量积、向量积、混合积 第四节 平面与直线 第五节 曲面及其方程 第六节 空间曲线
第一章习题课
第二章 极限与连续
第一节 数列的极限 第二节 函数的极限 第三节 无穷小与无穷大 第四节 极限运算法则 第五节 极限存在准则、两个重要极限、连续复利 第六节 无穷小的比较 第七节 函数的连续性 第八节 闭区间上连续函数的性质
第二章习题课
第三章 导数、微分、边际与弹性
第一节 导数的概念 第二节 求导法则与基本初等函数求导公式 第三节 高阶导数 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 第五节 函数的微分 第六节 边际与弹性