高考数学总复习 34基本不等式及其应用练习 新人教版

第三十四讲 基本不等式及其应用班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．“a >0且b >0”是“a ＋b2≥ab ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A2．设a 、b ∈R ＋，且a ＋b ＝4，则有( ) A.1ab ≥12 B.1a ＋1b≥1 C.ab ≥2D.1a 2＋b 2≥14解析：由a ，b ∈R *，且a ＋b ＝4得2ab ≤4⇔ab ≤2，1ab ≥14，又由1a 2＋b 2≤1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，即1a 2＋b 2≤14.由此可知，A ，C ，D 都不正确，则只有B 正确，故选B. 答案：B3．设0<x <1，a ，b 都为大于零的常数，则a 2x ＋b 21－x的最小值为( )A ．(a －b )2B ．(a ＋b )2C ．a 2b 2D ．a 2解析：∵(1－x ＋x )(a 2x ＋b 21－x )＝(1－x )a 2x ＋xb 21－x＋a 2＋b 2≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.∴选B.答案：B4．已知x 2＋y 2＝a ，m 2＋n 2＝b ，且a ≠b ，则mx ＋ny 的最大值是( ) A.ab B.a ＋b2C.a 2＋b 22 D.12a 2＋b 2分析：由条件x 2＋y 2＝a ，m 2＋n 2＝b 易联想到三角换元． 解析：令x ＝a cos α，y ＝a sin α，α∈[0,2π)，m ＝b cos β，n ＝b sin β，β∈[0,2π)，则mx ＋ny ＝ab cos αcos β＋ab sin αsin β＝ab (cos αcos β＋sin αsin β)＝ab cos(α－β)． ∵cos(α－β)≤1，∴mx ＋ny 的最大值为ab . 答案：A评析：此题若使用均值不等式，即mx ＋ny ≤m 2＋x 22＋n 2＋y 22＝a ＋b2，会错选B ，因为上述不等式“＝”不能取得．5．设a >b >c >0，则2a 2＋1ab＋1a (a －b )－10ac ＋25c 2的最小值是( )A ．2B ．4C ．2 5D ．5解析：原式＝a 2＋1ab ＋1a (a －b )＋a 2－10ac ＋25c 2＝a 2＋1b (a －b )＋(a －5c )2≥a 2＋4a2＋0≥4，当且仅当b ＝a －b 、a ＝5c 且a 2＝4a2，即a ＝2b ＝5c ＝2时“＝”都成立，故原式的最小值为4，选B.答案：B6．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3B ．4C.92D.112解析：依题意得(x ＋1)(2y ＋1)＝9，(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2(x ＋1)(2y ＋1)＝6，x ＋2y ≥4，当且仅当x ＋1＝2y ＋1，即x ＝2，y ＝1时取等号，故x ＋2y 的最小值是4，选B.答案：B二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．在“4 ＋9＝1”中的“__”处分别填上一个自然数，使它们的和最小，并求出其和的最小值．________分析：.本题条件、结论皆开放，可设所要填写的两数分别为x ，y ，再利用均值定理去探索．解析：设这两个自然数分别为x ，y ， 则有x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋9y ＝13＋4y x ＋9x y ≥13＋24y x ·9xy＝25，当且仅当4y x ＝9x y，且4x ＋9y＝1，即x ＝10，y ＝15时等号成立，故分别填10和15，其和的最小值为25.答案：10 15 25评析：本题解答的关键是将已知中的“1”代换．应用均值定理求函数的最值时，必须注意“一正二定三相等”．8．若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ，当且仅当a x ＝by时取等号．利用以上结论，可以得到函数f (x )＝2x ＋91－2x (x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12)的最小值为________，取最小值时x 的值为________．解析：f (x )＝222x ＋321－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25.当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时上式取最小值，即[f (x )min ]＝25.答案：25 159．(精选考题·重庆)已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．解析：依题意得y ＝t ＋1t －4≥2t ·1t －4＝－2，此时t ＝1，即函数y ＝t 2－4t ＋1t(t >0)的最小值是－2.答案：－210．(精选考题·浙江)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________． 解析：由基本不等式得xy ≥22xy ＋6，令xy ＝t 得不等式t 2－22t －6≥0，解得t ≤－2(舍去)或者t ≥32，故xy 的最小值为18.答案：18三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．设a 、b 、c 为正数，求证bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c 分析：通过观察可得：bc a ·ca b ＝c 2，bc a ·ab c ＝b 2，ca b ·ab c＝a 2从而利用基本不等式即可． 证明：∵a 、b 、c 均是正数 ∴bc a ，ca b ，abc均是正数 ∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，ab c ＋bca≥2b 三式相加得：2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a＋ca b＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )∴bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c 评析：先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质，(注意限制条件)通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．12．设函数f (x )＝x ＋ax ＋1，x ∈[0，＋∞)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值； (2)当0<a <1时，求函数f (x )的最小值． 解：(1)把a ＝2代入f (x )＝x ＋ax ＋1中，得f (x )＝x ＋2x ＋1＝x ＋1＋2x ＋1－1. 由于x ∈[0，＋∞)，所以x ＋1>0，2x ＋1>0.所以f (x )≥22－1. 当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时，f (x )取得最小值，最小值为22－1. (2)因为f (x )＝x ＋a x ＋1＝x ＋1＋ax ＋1－1，(此时再利用(1)的方法，等号取不到) 设x 1>x 2≥0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋ax 1＋1－x 2－ax 2＋1＝(x 1－x 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－a (x 1＋1)(x 2＋1). 由于x 1>x 2≥0，所以x 1－x 2>0，x 1＋1>1，x 2＋1≥1.所以(x 1＋1)(x 2＋1)>1.而0<a <1， 所以a(x 1＋1)(x 2＋1)<1.所以f (x 1)－f (x 2)>0.即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增． 所以f (x )min ＝f (0)＝a .评析：(2)问中因等号不能取到，所以考虑使用函数单调性，由此提醒我们时刻注意三个条件，在变形时拆分项及配凑因式是常用的方法．13．某厂为适应市场需求，投入98万元引进世界先进设备，并马上投入生产，第一年需各种费用12万元，从第二年开始，每年所需费用会比上一年增加4万元．而每年因引入该设备可获得年利润为50万元．请你根据以上数据，解决以下问题：(1)引进该设备多少年后，开始盈利？(2)引进该设备若干年后，有两种处理方案：第一种：年平均利润达到最大值时，以26万元的价格卖出．第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．问哪种方案较为合算？ 解：开始盈利就是指所获利润大于投资总数，据此建立不等式求解；所谓方案最合理，就是指卖出设备时的年平均利润较大，因此只需将两种方案的年平均利润分别求出，进行比较即可．(1)设引进该设备x 年后开始盈利．盈利额为y 万元． 则y ＝50x －98－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋x (x －1)2×4＝－2x 2＋40x －98，令y >0，得10－51<x <10＋51，∵x ∈N *，∴3≤x ≤17.即引进该设备三年后开始盈利；(2)第一种：年平均盈利为y x ，y x＝－2x －98x＋40≤－22x ·98x＋40＝12，当且仅当2x＝98x，即x ＝7时，年平均利润最大，共盈利12×7＋26＝110万元．第二种：盈利总额y ＝－2(x －10)2＋102，当x ＝10时，取得最大值102，即经过10年盈利总额最大，共计盈利102＋8＝110万元两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算．评析：用基本不等式解决实际问题时，一般都是求某个量的最值，这时，先把要求最值的量表示为某个变量的函数，再利用基本不等式求该函数的最值，求最值时，仍要满足前面所说的三个求最值的要求．有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时，这几个变量满足某个关系式，这时，问题变成了一个条件最值，可用前面的求条件最值的方法求最值．。