2019年数学奥数6年级终极培优详解(第3讲)任意四边形和梯形的相似模型
小学奥数教程：任意四边形、梯形与相似模型_全国通用(含答案)
板块三 相似三角形模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．【例 1】 如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长度是多少？FE DCBA【考点】相似三角形模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ，所以::4:161:4BF FC BE CD ===，所以410814FC =⨯=+．【答案】8【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE 平行AB )，那么小玻璃管口径DE 是多大？例题精讲任意四边形、梯形与相似模型605040302010EA D C B【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 有一个金字塔模型，所以::DE AB DC AC =，:1540:60DE =，所以10DE =厘米． 【答案】10【例 3】 如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________．A ED CB【考点】相似三角形模型 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 根据金字塔模型:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=，22:2:54:25ADE ABC S S ==△△， 设4ADE S =△份，则25ABC S =△份，255315BEC S =÷⨯=△份，所以:4:15ADE ECB S S =△△． 【答案】4:15【例 4】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△，因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【答案】1:3:5【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯= 【答案】10【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 ．Q E GNMF PA D CB【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列． 【答案】1:3:5:7:9【例 5】 已知ABC △中，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，且DBCE S 梯形比ADE S △大28.5cm ，求ABC S △．A ED CB【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据金字塔模型::2:(23)2:5AD AB DE BC ==+=，22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，设4ADE S =△份，则25ABC S =△份，25421D B C E S =-=梯形份，D B C E S 梯形比ADE S △大17份，恰好是28.5c m ，所以212.5c m ABC S =△【答案】12.5【例 6】 如图：MN 平行BC ， :4:9MPN BCP S S =△△，4cm AM =，求BM 的长度NMPA C B【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 在沙漏模型中，因为:4:9MPN BCP S S =△△，所以:2:3MN BC =，在金字塔模型中有：::2:3AM AB MN BC ==，因为4cm AM =，4236AB =÷⨯=cm ，所以642cm BM =-=【答案】2【巩固】如图，已知DE 平行BC ，:3:2BO EO =，那么:AD AB =________．OED C BA【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空【解析】 由沙漏模型得::3:2BO EO BC DE ==，再由金字塔模型得::2:3AD AB DE BC ==． 【答案】2:3【例 7】 如图，ABC ∆中，14AE AB =，14ADAC =，ED 与BC 平行，EOD ∆的面积是1平方厘米．那么AED ∆的面积是 平方厘米．A B CDEO【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空【解析】 因为14AE AB =，14AD AC =，ED 与BC 平行，根据相似模型可知:1:4ED BC =，:1:4EO OC =，44COD EOD S S ∆∆==平方厘米， 则415CDE S ∆=+=平方厘米，又因为::1:3AED CDE S S AD DC ∆∆==，所以15533AED S ∆=⨯=(平方厘米)．【答案】53【例 8】 如下图，正方形ABCD 边长为l0厘米，BO 长8厘米。
2019年数学奥数6年级终极培优详解(第4讲)图形问题之蝴蝶模型
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一 方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系； 另一方面， 也可以得到 与面积对应的对角线的比例关系。
类型 1：任意四边形中的蝴蝶模型
① S1 S3 S2 S4 （上、下两部分面积的积等于左、右两部分面积的积）；
是多少平方厘米？
1 AB, BF
3
1 BC ，四边形 BGHF 的面积
2
1、如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，则△ BGC 的
面积为
；AG:GC=
2、如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O 若△ ABD
的面积等于△ BCD 的面积的 1 ，且 AO=2， DO=3，那么 CO 的 3
【例 2】如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中， BE=2EC， CF=FD ，求△ AEG的面积．
【例 3】梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，已知梯形上底为 2 ，且△ ABO的面积 等于△ BOC面积的 2 ，求△ AOD与△ BOC的面积之比．
3
【例 4】正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米， BE
长度是 DO 的
倍。
3、梯形的下底是上底的 1.5 倍，△ OBC 的面积是 9cm2 ，
则△ AOD 的面积是
4、正方形 ABCD的面积是 57 平方厘米， E 是 AB的中点， F 是 BC
的中点，则四边形 BGHFABCD是梯形，△ ADE面积是 1.8 ，△ ABF 的面积是 9 ，△ BCF 的面积是 27 ．那么阴影△ AEC面积是多少？
② S1 : S4 S2 : S3
S1 S2 : S4 S3 AO : OC （左：右
奥数精编训练-任意四边形、梯形与相似模型(三)
板块三 相似三角形模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．【例 1】 如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长度是多少？FE DCBA【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份．如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE 平行AB )，那么小玻璃管口径DE 是多大？例题精讲任意四边形、梯形与相似模型605040302010EA D C B【例 3】 如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________．A ED CB【例 4】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 ．Q E GNMF PA D CB【例 5】 已知ABC △中，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，且DBCE S 梯形比ADE S △大28.5cm ，求ABC S △．A ED CB【例 6】 如图：MN 平行BC ， :4:9MPN BCP S S =△△，4cm AM =，求BM 的长度NMPA C B【巩固】如图，已知DE 平行BC ，:3:2BO EO =，那么:AD AB =________．OED C BA【例 7】 如图，ABC ∆中，14AE AB =，14AD AC =，ED 与BC 平行，EOD ∆的面积是1平方厘米．那么AED ∆的面积是 平方厘米．A B CDEO【例 8】 如下图，正方形ABCD 边长为l0厘米，BO 长8厘米。
小学奥数 任意四边形、梯形与相似模型(三) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
板块三 相似三角形模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．【例 1】 如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长度是多少？FE DCBA【考点】相似三角形模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ，所以::4:161:4B F F C B E C D ===，所以410814FC =⨯=+．【答案】8【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE 平行AB )，那么小玻璃管口径DE 是多大？例题精讲任意四边形、梯形与相似模型605040302010EA D C B【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 有一个金字塔模型，所以::DE AB DC AC =，:1540:60DE =，所以10DE =厘米． 【答案】10【例 3】 如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________．A ED CB【考点】相似三角形模型 【难度】2星 【题型】填空【解析】 根据金字塔模型:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=，22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，设4ADE S =△份，则25ABC S =△份，255315BEC S =÷⨯=△份，所以:4:15ADE ECB S S =△△．【答案】4:15【例 4】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空【解析】 设1ADE S =△份，根据面积比等于相似比的平方，所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△，因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形【答案】1:3:5【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=【答案】10【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD D F FM M P PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 ．Q E GNMF PA D CB【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空【解析】 设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列．【答案】1:3:5:7:9【例 5】 已知ABC △中，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，且DBCE S 梯形比ADE S △大28.5cm ，求ABC S △．A ED CB【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据金字塔模型::2:(23)2:5AD AB DE BC ==+=，22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，设4ADE S =△份，则25ABC S =△份，25421D B C E S =-=梯形份，D B C E S 梯形比ADE S △大17份，恰好是28.5c m ，所以212.5c mABC S =△ 【答案】12.5【例 6】 如图：MN 平行BC ， :4:9MPN BCP S S =△△，4cm AM =，求BM 的长度NMPA C B【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 在沙漏模型中，因为:4:9MPN BCP S S =△△，所以:2:3MN BC =，在金字塔模型中有：::2:3AM AB MN BC ==，因为4cm AM =，4236AB =÷⨯=cm ，所以642cm BM =-=【答案】2【巩固】如图，已知DE 平行BC ，:3:2BO EO =，那么:AD AB =________．OED C BA【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空【解析】 由沙漏模型得::3:2BO EO BC DE ==，再由金字塔模型得::2:3AD AB DE BC ==． 【答案】2:3【例 7】 如图，ABC ∆中，14AE AB =，14AD AC =，ED 与BC 平行，EOD ∆的面积是1平方厘米．那么AED ∆的面积是 平方厘米．A B CDEO【考点】相似三角形模型 【难度】3星 【题型】填空【解析】 因为14AE AB =，14AD AC =，ED 与BC 平行，根据相似模型可知:1:4ED BC =，:1:4EO OC =，44COD EOD S S ∆∆==平方厘米，则415CDE S ∆=+=平方厘米，又因为::1:3AED CDE S S AD DC ∆∆==，所以15533AED S ∆=⨯=(平方厘米)．【答案】53【例 8】 如下图，正方形ABCD 边长为l0厘米，BO 长8厘米。
小学奥数：任意四边形、梯形与相似模型一.专项练习及答案解析
随意四边形、梯形与相像模型例题精讲板块一 随意四边形模型随意四边形中的比率关系 (“蝴蝶定理”)：DA s 1s 2 s4OBs 3C①S 1:S2S4:S3或许S1S3S2S4②AO:OCS 1S2:S4S3蝴蝶定理为我们供给认识决不规则四边形的面积问题的一个门路．经过结构模型，一方面能够使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也能够获得与面积对应的对角线的比率关系．【例1】图中的四边形土地的总面积是 52公顷，两条对角线把它分红了 4个小三角形，此中2个小三角形的面积分别是 6公顷和 7公顷．那么最大的一个三角形的面积 是多少公顷？D66 CE 77AB【考点】随意四边形模型 【难度】2星 【题型】解答 【分析】在VABE ，VCDE 中有AEBCED ，因此VABE ，VCDE 的面积比为(AEEB):(CE DE)．同理有VADE ，VBCE 的面积比为(AE DE):(BEEC)．所 以有SVABE ×SV CDE=SVADE ×SV BCE ，也就是说在全部凸四边形中，连结极点获得 2 条对角线，有图形分红上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积． 即SV ABE 6=SV ADE 7，因此有VABE 与VADE 的面积比为7:6，SVABE= 7 21 公顷，SV ADE = 6 18公顷．39 396 7 21 6 7明显，最大的三角形的面积为 公顷．【答案】21【例2】 如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分红四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖构成，求人工湖的面积是多少平方千米？4-3-3.随意四边形、梯形与相像模型 题库page1of8CBOAD【考点】随意四边形模型【难度】2星【题型】解答【重点词】小数报【分析】依据蝴蝶定理求得S △AOD3 12 1.5平方千米，公园四边形ABCD 的面积是12 31.5 7.5平方千米，因此人工湖的面积是 7.5 6.92 0.58平方千米【答案】0.58【例3】 一个矩形分红4个不一样的三角形（如右图），绿色三角形面积占矩形面积的15％，黄色三角形的面积是21平方厘米．问：矩形的面积是多少平方厘米？黄绿15%【考点】随意四边形模型 【难度】3星 【题型】解答【重点词】华杯赛，初赛，第 7题【分析】黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的 50％，而绿色三角形面积占矩形面积的15％，因此黄色三角形面积占矩形面积的 50％－15％＝35％已知黄色三角形面积是 21平方厘米，因此矩形面积等于 21÷35％＝60(平方厘米)【答案】60【稳固】如图，四边形被两条对角线分红 4⑴三角形BGC 的面积；⑵ AG:GC 个三角形，此中三个三角形的面积已知，求：？D13 GBC 【考点】随意四边形模型 【难度】2星 【题型】解答【分析】⑴依据蝴蝶定理， S VBGC 1 2 3，那么S VBGC 6；⑵依据蝴蝶定理，AG:GC 12:3 61:3．【答案】1:3【例4】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如下图)．假如三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的 1，且AO2，DO3，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．3ADADHGOOBCBC【考点】随意四边形模型 【难度】3星 【题型】填空【分析】在此题中，四边形ABCD 为随意四边形，关于这类”不良四边形” ，无外乎两种处4-3-3.随意四边形、梯形与相像模型题库page2of8理方法：⑴利用已知条件，向已有模型聚拢，造不良四边形．看到题目中给出条件SVABD从而迅速解决；⑵经过画协助线来改:S1:3，这能够向模型一蝴蝶定理VBCD聚拢，于是得出一种解法．又察看题目中给出的已知条件是面积的关系，转变为边的关系，能够获得第二种解法，可是第二种解法需要一此中介来改造这个”不良四边形”，于是能够作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转变为高之比．再应用结论：三角形高同样，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生领会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．解法一：∵AO:OCS ABD:S BDC1:3，∴OC236，∴OC:OD6:32:1．解法二：作AH BD于H，CG BD于G．1111∵S ABD S BCD，∴AH CG，∴S AOD S DOC，∴AO CO，∴3333OC 2 3 6，OC:OD6:32:1．【答案】2倍【例5】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，△CEF、、、△OEF△ODF△BOE的面积挨次是2、4、4和6．求：⑴求△OCF的面积；⑵求△GCE的面积．A DOFGBEC【考点】随意四边形模型【难度】3星【题型】解答【分析】⑴依据题意可知，△BCD的面积为244616，那么△BCO和CDO的面积都是1628，因此△OCF的面积为844；⑵因为△BCO的面积为8，△BOE的面积为6，因此△OCE的面积为862，根据蝴蝶定理，EG:FG S COE:S COF2:41:2，所以S GCE:S GCF EG:FG1:2，那么S GCE11S CEF122．233【答案】23【例6】如图相邻两个格点间的距离是1，则图中暗影三角形的面积为．A AD DB B OC C【考点】随意四边形模型【难度】4星【题型】填空【重点词】清华附中，入学测试题【分析】连结AD、CD、BC．则可依据格点面积公式，能够获得ABC的面积为：14，ACD的面积为：31 3.5，ABD的面积为：2413．所123222以BO:OD SABC:SACD2:3.54:7，因此S ABO47S ABD4312．41111【答案】12114-3-3.随意四边形、梯形与相像模型题库page3of8【稳固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC 的面积．ED ABC【考点】随意四边形模型 【难度】4星 【题型】解答【分析】因为BD:CE2:5 ，且BD ∥CE ， 所 以DA:AC2:5，S ABC5 S DBC5 210．2 577【答案】107【例7】 如图，边长为 1的正方形ABCD 中，BE 2EC ，CFFD ，求三角形AEG 的面积．ADADGGFFB EC B EC【考点】随意四边形模型 【难度】4星【题型】解答【重点词】人大附中考题【分析】连结EF ．因为BE 2EC ，CFFD，因此S DEF1 1 11( 3 )S WABCD S WABCD ．2212因为S AED1S WABCD ，依据蝴蝶定理，AG:GF1:16:1，22 12因此S AGD6S GDF6S ADF6 1S WABCD3S WABCD ．77 4 14因此S AGES AEDS AGD1 S WABCD 3 S WABCD2 S WABCD 2，2 14 7 7即三角形AEG 的面积是2．7【答案】27【例8】 如图，长方形ABCD 中，BE:EC 2:3，DF:FC1:2，三角形DFG 的面积为2 平方厘米，求长方形 ABCD 的面积．AG DAGDFFBECBEC【考点】随意四边形模型 【难度】4星【题型】解答【分析】连结AE ，FE ．4-3-3.随意四边形、梯形与相像模型 题库page4of8因为BE:EC2:3 ，DF:FC1:2，因此S VDEF31 11．( 3 )S 长方形ABCD S 长方形ABCD5 210因为S VAED1S ，AG:GF1:1 5:1，因此S VAGD 5S VGDF 10平方厘米，因此2 长方形ABCD2 10S VAFD12平方厘米．因为S VAFD1S 长方形ABCD ，因此长方形 ABCD 的面积是 72平方厘米．【答案】726【例9】 如图，已知正方形ABCD 的边长为10厘米，E 为AD 中点，F 为CE 中点，G 为BF 中点，求三角形BDG 的面积．AEDAEDOFFGGBCBC【考点】随意四边形模型 【难度】4星 【题型】解答【分析】设BD 与CE 的交点为O ，连结BE 、DF ．由蝴蝶定理可知EO:OCS VBED :S VBCD ，而S VBED1， 1S WABCD S VBCDS WABCD，因此42EO:OCS VBED :S VBCD1:2 ，故EO 1．EC3因为F 为CE 中点，因此EF12:3 ，FO:EO1:2．EC ，故EO:EF2由蝴蝶定理可知SVBFD:SVBEDFO:EO1:2，因此S VBFD11，S VBED S WABCD2 8那么S VBGD1S VBFD 1S WABCD 110 10 6.25（平方厘米）．216 16【答案】6.25【例10】如图，在 ABC 中，已知M 、N 分别在边AC 、BC 上，BM 与AN 订交于O ,若AOM 、 ABO 和 BON 的面积分别是3、2、1，则 MNC 的面积是 ．AMOBCN【考点】随意四边形模型 【难度】4星 【题型】填空【分析】这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解．依据蝴蝶定理得S MONSAOMSBON3 13S AOB22设S MON x ，依据共边定理我们能够得SANMSABM33 3 22，解得x22.5．，S MNC S MBCx 13x【答案】22.52【例11】正六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6的面积是 2009平方厘米，B 1B 2B 3B 4B 5B 6分别是正六边形各4-3-3.随意四边形、梯形与相像模型 题库page5of8边的中点；那么图中暗影六边形的面积是平方厘米．A 1B 1A 2A 1B 1A 2B 6 B 2B 6O B 2A 6A 3A 6A 3B 5B 3B 5B 3A 5B 4A 4A 5B 4A 4【考点】随意四边形模型 【难度】4星【题型】填空【重点词】迎春杯， 6年级。
(小学奥数)任意四边形、梯形与相似模型(一)
板塊一 任意四邊形模型任意四邊形中的比例關係(“蝴蝶定理”)： O D C B As 4s 3s 2s 1 ①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理為我們提供瞭解決不規則四邊形的面積問題的一個途徑．通過構造模型，一方面可以使不規則四邊形的面積關係與四邊形內的三角形相聯系；另一方面，也可以得到與面積對應的對角線的比例關係．【例 1】 圖中的四邊形土地的總面積是52公頃，兩條對角線把它分成了4個小三角形，其中2個小三角形的面積分別是6公頃和7公頃．那麼最大的一個三角形的面積是多少公頃？76E DCB A 76【例 2】 如圖，某公園的外輪廓是四邊形ABCD ，被對角線AC 、BD 分成四個部分，△AOB 面積為1平方千米，△BOC 面積為2平方千米，△COD 的面積為例題精講任意四邊形、梯形與相似模型3平方千米，公園由陸地面積是6．92平方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？OCDBA【例 3】 一個矩形分成4個不同的三角形（如右圖），綠色三角形面積占矩形面積的15％，黃色三角形的面積是21平方釐米．問：矩形的面積是多少平方釐米？【鞏固】如圖，四邊形被兩條對角線分成4個三角形，其中三個三角形的面積已知，求：⑴三角形BGC 的面積；⑵:AG GC =？C B【例 4】 四邊形ABCD 的對角線AC 與BD 交於點O (如圖所示)．如果三角形ABD 的面積等於三角形BCD 的面積的13，且2AO =，3DO =，那麼CO 的長度是DO 的長度的_________倍．OAD C B G H B C DA O【例 5】如圖，平行四邊形ABCD的對角線交於O點，CEF△、OEF△、ODF△、BOE△的面積依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF△的面積；⑵求GCE△的面積．OGF E DCBA【例 6】如圖相鄰兩個格點間的距離是1，則圖中陰影三角形的面積為．【鞏固】如圖，每個小方格的邊長都是1，求三角形ABC的面積．D【例 7】如圖，邊長為1的正方形ABCD中，2BE EC=，CF FD=，求三角形AEG的面積．AB CD E F G A B C DE FG【例 8】 如圖，長方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面積為2平方釐米，求長方形ABCD 的面積．A B C DEFG A B C D E F G【例 9】 如圖，已知正方形ABCD 的邊長為10釐米，E 為AD 中點，F 為CE 中點，G為BF 中點，求三角形BDG 的面積．B【例 10】 如圖，在ABC∆中，已知M 、N 分別在邊AC 、BC 上，BM 與AN 相交於O ,若AOM∆、ABO ∆和BON ∆的面積分別是3、2、1，則MNC ∆的面積是 ．OMN CB A【例 11】 正六邊形123456A A A A A A 的面積是2009平方釐米，123456B B B B B B 分別是正六邊形各邊的中點；那麼圖中陰影六邊形的面積是 平方釐米．4B A 6543A A4B A 543A A【例 12】 如圖，ABCD 是一個四邊形，M 、N 分別是AB 、CD 的中點．如果△ASM 、△MTB 與△DSN 的面積分別是6、7和8，且圖中所有三角形的面積均為整數，則四邊形ABCD 的面積為 ．N MS TDC B AA DN C T S M B【例 13】已知ABCD是平行四邊形，:3:2BC CE ，三角形ODE的面積為6平方釐米。
任意四边形、梯形与相似模型(三)
【关键词】2008 年，第二届，华杯赛，精英邀请赛
【解析】因为 FGHE 为平行四边形，所以 EC / / AG ，所以 AGCE 为平行四边形．
BG : GC
3 :1 ，那么 GC
: BC
1: 4
，所以 S AGCE
1 4
S
ABCD
1 16 4
4．
又 AE GC ，所以 AE : BG GC : BG 1: 3 ，根据沙漏模型，
【例 4】 如图， △ABC 中， DE ， FG ， BC 互相平行， AD DF FB ，
则 S△ ADE : S四边形DEGF : S四边形FGCB
．
A
D F
E G
B
C
【考点】相似三角形模型 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】设 S△ADE 1 份 ， 根 据 面 积 比 等 于 相 似 比 的 平 方 ， 所 以 S△ADE : S△AFG AD 2 : AF 2 1: 4 ，
S△ADE : S△ABC AD 2 : AB 2 1: 9 ， 因 此 S△AFG 4 份 ， S△ABC 9 份 ， 进 而 有 S四边形DEGF 3 份 ， S四边形FGCB 5 份，所以 S△ADE : S四边形DEGF : S四边形FGCB 1: 3 : 5 【答案】1: 3 : 5
根据梯形蝴蝶定理， SDOE : SDOA : SCOE : SCOA 32 : 3 5 : 3 5 : 52 9 :15 :15 : 25 ，
所以 S阴影
: S梯形ADEC
15 15:
9 15
15 25 15 : 32
，即 S阴影
15 32
S
梯形ADEC
；
又 S梯形ADEC
4-3-3任意四边形、梯形与相似模型(一)教师版.docx
板块一任意四边形模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):① S1:S2 =54:53或者S{xS3=S2xS4② AO:OC = (S] +52):(S4+S3)蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.【例1】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷.那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？【考点】任意四边形模型【难度】2星【题型】解答【解析】在ABE, \CDE中有ZAEB = ZCED ,所以ABE, CDE的面积比为(AE x EB) : (CE x DE)・同理有ADE, BCE 的面积比为(AExDE):(BExEC)・所以有S ABE xS CDE = S ADE xS BCE ,也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积.即S A/ir x6 = S ADF X7，所以有ABE 2 ADE的面积比为7:6, S ABF = —Z_x39 = 21 公顷，S ADE=-^-X39=18公顷.6+7 ■ 6+7显然，最大的三角形的面积为21公顷.【答案】21【例2]如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD,被对角线AC、BD分成四个部分，AAOB面积为1平方千米，HBOC面积为2平方千米，'COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6. 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？【考点】任意四边形模型【难度】2星【题型】解答【关键词】小数报【解析】根据蝴蝶定理求得S A<4(?D=3xl-2 = 1.5平方千米，公园四边形ABCD的面积是1 + 2 +3 +1.5 = 7.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5-6.92 = 0.58平方千米【答案】0.58【例3] 一个矩形分成4个不同的三角形（如右图），绿色三角形面积占矩形面积的15%,黄色三角形的面 积是21平方厘米.问：矩形的面积是多少平方厘米？【考点】任意四边形模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛，第7题【解析】黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%,而绿色三角形面积占矩形面积的15%,所以 黄色三角形面积占矩形面积的50% — 15%=35%已知黄色三角形面积是21平方厘米，所以矩形面 积等于21^35% =60（平方厘米）【答案】60【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面 积；（2）AG:GC = ?【难度】2星 【题型】解答 S BGC x 1 = 2 x 3,刃R 么 S BGC = 6 ; AG:GC = (l + 2):(3 +6) = l:3.【例4]四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点0 （如图所示）•如果三角形的面积等于三角形BCD 的 面积的$且g " = 3,那么C 。
【精品】小学奥数训练专题 任意四边形、梯形与相似模型(二).学生版.doc
1板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A BCDO ba S 3S 2S 1S 4①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)【例 1】 如图，22S =，34S =，求梯形的面积．【巩固】 如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知AOB △与BOC △的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是________平方厘米．3525OABCD【巩固】 如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ，BD 相交于点O 。
已知AB =5，CD =3，且梯形ABCD 的面积为4，求三角形OAB 的面积。
例题精讲任意四边形、梯形与相似模型|初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲 第页2 A BCDO【例 2】 梯形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，已知梯形上底为2，且三角形ABO 的面积等于三角形BOC 面积的23，求三角形AOD 与三角形BOC 的面积之比．OA BC D【例 3】 如下图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O 点，已知1AO =，并且35ABD CBD =三角形的面积三角形的面积，那么OC 的长是多少？ABCDO【例 4】 梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC 的面积是29cm ，问三角形AOD 的面积是多少？A BCDO【巩固】如图，梯形ABCD 中，AOB ∆、COD ∆的面积分别为1.2和2.7，求梯形ABCD 的面积．3ODCBA【例 5】 在梯形ABCD 中，上底长5厘米，下底长10厘米，20=∆BOC S 平方厘米，则梯形ABCD 的面积是 平方厘米。
小学思维数学讲义平面五大模型之任意四边形、梯形与相似模型-带详解
据梯形蝴蝶定理， S = (a + b )= (1 + 2) = 9 ． 任意四边形、梯形与相似模型（二）例题精讲板块二 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：AS 2 a S 1 OS 4DBS 3bC① S : S = a 2 : b 21 3② S : S : S : S = a 2 : b 2 : ab : ab ；1324③ S 的对应份数为 (a + b )2．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结 论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)【例 1】 如图， S = 2 ， S = 4 ，求梯形的面积．23S 2S1S 4S 3【考点】梯形模型 【难度】2 星 【题型】解答【解析】设 S 为 a 2 份， S 为 b 2 份，根据梯形蝴蝶定理， S = 4 = b 2 ，所以 b = 2 ；又因为 S = 2 = a ⨯ b ，所以1 3 3 2a = 1 ；那么 S = a 2 = 1 ， S = a ⨯b = 2 ，所以梯形面积 S = S + S + S + S = 1 + 2 + 4 + 2 = 9 ，或者根1412342 2【答案】9【巩固】如下图，梯形 ABCD 的 AB 平行于 CD ，对角线 AC ， BD 交于 O ，已知 △AOB 与 △BOC 的面积分别为 25 平方厘米与 35 平方厘米，那么梯形 ABCD 的面积是________平方厘米．AB25O35DC【考点】梯形模型 【难度】2 星 【题型】填空【解析】根 据 梯 形 蝴 蝶 定 理 ， SAOB: S BOC= a 2 : ab = 25: 35 ， 可 得 a : b = 5:7 ， 再 根 据 梯 形 蝴 蝶 定 理 ，S: S= a 2 : b 2 = 52 : 72 = 25: 49 ， 所 以 SAOB DOCDOC25 + 35 + 35 + 49 = 144 (平方厘米)．【答案】144= 49 ( 平 方 厘 米 ) ． 那 么 梯 形 ABCD 的 面 积 为AOB =25 份，则梯形 ABCD 共有：9+15+25+15=64 份。
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(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
G
F E A
B
C
D
A
B C
D
E
F G
①AD AE DE AF AB AC BC AG
===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。
【例 1】 如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长
度是多少？
F
E
D
C
B
A
【例 2】 如图：MN 平行BC ， :4:9MPN BCP
S S =△△，4cm AM =，求BM 的长度
任意四边形、梯形与相似模型
N
M
P
A C B
【例 3】 如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________。
【例 4】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，
则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 。
E
G
F A D C
B
1.如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长。
A E
D C
B
2.已知ABC △中，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，且DBCE S 梯形比ADE S △大28.5cm ，求
ABC S △。
3. .如右图，长方形ABCD 中，16EF =，9FG =，求AG 的长．
D
A
B
C E
F
G
A
E
D C
B A
E D C B
4.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC ，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △
G
F
A
E
D
C
B
5.正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是 平方厘米．
H
G
F
E
D
C
B
A。