高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.2_1.1.3课件新人教A版选修2_1
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高中数学第一章常用逻辑用语11命题及其关系111命题课件新人教A版选修2
归纳升华 并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈 述句才是命题，命题首先是“陈述句”，其他语句如疑 问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题．其次是“能 判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥ 2”“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命 题．因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：(1) 是否为陈述句；(2)能否判断真假．
归纳升华 把命题写成“若 p，则 q”形式的策略
1．“若 p，则 q”型可直接看出命题的条件和结论：p 是条件，q 是结论．
2．命题中有前提条件时，前提条件不参与改写，它 不是条件，也不是结论．
3．非“若 p，则 q”型可先确定命题的条件和结论， 再将命题写成“若 p，则 q”的形式．
休息时间到啦
[知识提炼·梳理] 1．命题的概念 (1)命题的定义是：用语言、符号或式子表达的，可 以判断真假的陈述句； (2)真命题的定义是：判断为真的语句； (3)假命题的定义是：判断为假的语句； (4)命题的分类：真命题；假命题。 2．命题的结构形式 形式：“若p，则q”，其中，命题的条件是p，命题 的结论是q．
归纳升华 1.判断命题真假的两个技巧. （1）真命题：判断一个命题为真命题时，会涉及学 习过的概念、定理、公理、法则、公式等，借助于题目中 的已知条件，经过严格推理论证得出要证的结论. （2）假命题：判断一个命题为假命题时，只要举一 反例即可. 2.判断命题真假的三种方法.
[变式训练] 判断下列命题的真假． (1)合数一定是偶数； (2)方程 ax＋1＝x＋2 有唯一解； (3)若 a·b＞0 且 a＋b＞0，则 a＞0 且 b＞0； (4)若方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则ac＞0. 解：(1)9 是合数，但不是偶数，是假命题；(2)a＝1 时，无解，是假命题；(3)、(4)为真命题．
高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.21.1.3课件新人教A版选修210830372
1.1.2 四种命题(mìng tí)
1.1.3 四种命题(mìng tí)间的相
互关系
第一页，共20页。
1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题.
2.会分析四种(sì zhǒnɡ)命题间的相互关系.
第二页，共20页。
1.四种命题
一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论
+1 +1
【例3】 对于正实数x,y,x+y>2.
证明:
,
中至少有一个小于 2.
+1 +1
分析:题目要求证明
,
中至少有一个小于2,有多种情况
需要讨论,这样比较复杂.可以从反面考虑.
证明:假设
+1
+1
≥2,且
≥2.
+ 1 ≥ 2, ①
因为 x,y 为正实数,所以
+ 1 ≥ 2. ②
可以利用互为逆否命题的两个命题的等价性来判断.
解法一:原命题的逆否命题为:“已知a,x为实数,若a≥2,则关于(guānyú)x
的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集”.
判断真假如下:
抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上,对应的方程的判别式Δ=(2a+1)24(a2+2)=4a-7.
论就得到否命题;否命题的逆命题就为原命题的逆否命题.判断四种(sì
zhǒnɡ)命题的真假时,要注意利用其他知识判断命题的真假,需要对其他
知识熟练掌握.
第十二页，共20页。
题型一
1.1.3 四种命题(mìng tí)间的相
互关系
第一页，共20页。
1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题.
2.会分析四种(sì zhǒnɡ)命题间的相互关系.
第二页，共20页。
1.四种命题
一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论
+1 +1
【例3】 对于正实数x,y,x+y>2.
证明:
,
中至少有一个小于 2.
+1 +1
分析:题目要求证明
,
中至少有一个小于2,有多种情况
需要讨论,这样比较复杂.可以从反面考虑.
证明:假设
+1
+1
≥2,且
≥2.
+ 1 ≥ 2, ①
因为 x,y 为正实数,所以
+ 1 ≥ 2. ②
可以利用互为逆否命题的两个命题的等价性来判断.
解法一:原命题的逆否命题为:“已知a,x为实数,若a≥2,则关于(guānyú)x
的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集”.
判断真假如下:
抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上,对应的方程的判别式Δ=(2a+1)24(a2+2)=4a-7.
论就得到否命题;否命题的逆命题就为原命题的逆否命题.判断四种(sì
zhǒnɡ)命题的真假时,要注意利用其他知识判断命题的真假,需要对其他
知识熟练掌握.
第十二页，共20页。
题型一
版高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.1 命题课件 新人教B版选修2-1.pptx
的语句， 的语句.
7
知识点二 命题的结构
思考1
在初中学习命题的定义的基础上，你还知道与命题有关的哪 些知识？
答案
命题由题设和结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已 知事项推出的事项，命题常可以写为“如果…，那么…”的 形式，“如果”后面接题设，而“那么”后面接结论.
8
思考2
完成下列题目： (1)命题“等角的补角相等”：题设是_等__角__的__补__角_，结论是相__等__. (2)命题“实数的平方是非负数”可以改为“如果一__个__数__是__实__数__， 那么_它__的__平__方__是__非__负__数_”.
答案 解析
由A→B·B→C＝0，得∠B＝90°，故该三角形为直角三角形.
19
反思与感悟
一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一.欲判断一个命 题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出 一个反例即可.
20
Байду номын сангаас踪训练2 下列命题中假命题的个数为
①多边形的外角和与边数有关；
②如果数量积a·b＝0，那么向量a＝0或b＝0；
③二次方程a2x2＋2x－1＝0有两个不相等的实根；
④函数f(x)在区间[a，b]内有零点，则f(a)·f(b)<0.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 解析
因为Δ＝4＋4a2>0，故③正确，而①②④都错误，均可举出反例.
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类型三 命题结构形式解读
例3 将下列命题写成“若p，则q”的形式. (1)末位数是0或5的整数，能被5整除；
命题.
15
类型二 命题真假的判断 例 2 给定下列命题： ①若 a>b，则 2a>2b； ②命题“若 a，b 是无理数，则 a＋b 是无理数”是真命题； ③直线 x＝π2是函数 y＝sin x 的一条对称轴； ④在△ABC 中，若A→B·B→C>0，则△ABC 是钝角三角形. 其中为真命题的是_①__③__④___.
高中数学第一章常用逻辑用语1.1.1命题课件新人教A版选修11
【答案】 B
第二十六页，共31页。
2．下列命题中真命题的个数为( )
①面积相等的三角形是全等三角形；
②若 xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
③若 a＞b，则 a＋c＞b＋c；
④矩形的对角线互相垂直．
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 ①错；②中 x＝3，y＝0，则 xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故②错；③
第四页，共31页。
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“指数函数的图象真漂亮”是命题．( ) (2)语句“陈述句都是命题”不是命题．( ) (3)命题“实数的平方是非负数”是真命题．( ) (4)“mx2＋2x－1＝0 是一元二次方程”是真命题．( )
第五页，共31页。
【解析】 (1)×.因为漂亮没有明确的标准，无法判断对错，故(1)错． (2)×.这个句子无法判断真假，故(2)错． (3)√. (4)×.m＝0 时，2x－1＝0 是一元一次方程，故(4)错． 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×
第二十一页，共31页。
指出下列命题的条件 p 与结论 q，并判断命题的真假． (1)菱形的对角线相等且互相平分； (2)相等的两个角是对顶角． 【精彩点拨】 分析命题 ―→ 写成“若p，则q”形式 ―→ p是条件，q是结论 ―→ 判断真假 【自主解答】 (1)命题“菱形的对角线相等且互相平分”，即“若一个四 边形是菱形，则它的对角线相等且互相平分”．条件 p：一个四边形是菱形， 结论 q：它的对角线相等且互相平分．此命题为假命题． (2)命题“相等的两个角是对顶角”，即“若两个角相等，则这两个角是对 顶角”．条件 p：两个角相等，结论 q：这两个角是对顶角．此命题为假命题．
第二十四页，共31页。
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4．命题“等腰三角形的两个底角相等”的条件为 ________，结论为________．
答案：一个三角形为等腰三角形 这个三角形的两个 底角相等
5．把命题“已知 a，b 为正数，当 a>b 时，有 log2a>log2b” 写成“若 p，则 q”的形式：________．
答案：已知 a，b 为正数，若 a>b，则 log2a>log2b
解：根据题意，“ 若 p，则 q”的形式为：已知 a，b 为正数，若 a＞b，则 a2＞ b2.
其中条件 p：a＞b，结论 q： a2＞ b2.
归纳升华 把一个命题改写成“若 p，则 q”的形式，首先要确 定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，则要补充 完整，还应注意前提条件的写法，如典例 3.
显然 2k1k2＋k1＋k2 是一个整数，故 ab 是奇数． (4)为假命题，圆心到直线的距离 d＝ 22小于圆的半 径 1，直线与圆相交．
归纳升华 1．真命题的判定方法． 要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或 有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明 或根据已知的正确结论推证． 2．假命题的判定方法． 通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一 个命题为假命题的常用方法．
[类题尝试] 把下列命题写成“若 p，则 q”的形式， 并指出条件与结论．
(1)相似三角形的对应角相等； (2)当 a>1 时，函数 y＝ax 是增函数． 解：(1)若两个三角形相似，则它们的对应角相等； 条件 p：三角形相似， 结论 q：对应角相等． (2)若 a>1，则函数 y＝ax 是增函数； 条件 p：a>1， 结论 q：y＝ax 是增函数．
归纳升华 1．判断一个语句是不是命题，关键要看它是否满足 “是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件． 2．对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范 围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则，就不是命 题．
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.1 命题课件1 新人教A版选修1-1.ppt
§ 这里景色多美啊！ 不是（感叹句）
§ x>4。
不是（无法判断真假）
§ -2不是整数。
是（否定陈述句）
§ 4>3。
是（肯定题还是假命题？
§ 指数函数是增函数吗?
不是命题
§ 空集是任何集合的真子集;
§ 若空间中 两条直线不相交， 则这两条直线平行；
是假命题 是假命题
通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命
题的条件,q叫做结论. 记作: p q
7
指出下列命题中的条件p和结论q:
(1)若整数 a能被2整除,则 是a 偶数;
(2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分. 提示：
（1）条件p：整数a 能被2整除 结论q: 整数 a 是偶数
（2）条件p：四边形是菱形 结论q: 四边形对角线互相垂直且平分
论
若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就
叫做原命题的逆否命题.
思考？ 原 命 题：同位角不相等，两直线不平行；
逆否命题：两直线平行，同位角相等. 12
⑴交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
⑵同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
⑶交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题
是逆否命题.
1.1.1 命题
1
思考 下面的语句的表述形式有什么特点？
你能判断它们的真假吗？
1 3 2 若 垂 2直 直 4线 于 a 7同 ； / 一 / b ， 条 则 直 直 线 线 的 a 两 和 个 b 无 平 公 面 共 平 点 行 ； ； 都能是判陈断述真句假，。
4若 x21， 则 x1； （1）、（3）、（5）为真
5 两 个 全 等 三 角 形 的 面 积 相 等 ；
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反证法
• 要证明某一结论A是正确的，但不直接证 明，而是先去证明A的反面（非A）是错 误的，从而断定A是正确的.
• 即反证法就是通过否定命题的结论而导出 矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的 论证的一种数学证明方法.
11
反证法的步骤
假设命题的结论不成立，即假设结论的
反面成立. 推理过程中一定要用到才行
证明: 假设 a 不大于 b ，
则 a < b 或 a = b. 因为a >0,b>0, 所以
a <b aaba ，
abbb a<b
a= ba=b，
这些条件都与已知 ab0矛盾，
所以原命题 a b成立. 17
练 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.
已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、 CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.
4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假.
2.四种命题真假的个数可能为（
）个.
答：0、2、4.
（对） （错） （错）
Hale Waihona Puke 如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ. 逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A. 否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ. 逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A.
（假）
（假）
（假）
（假）
1.1.3 四种命题间的相互关系
1
回顾
•交换原命题的条件和结论，所得的命题是 _逆__命__题___. •同时否定原命题的条件和结论，所得的命 题是_否__命__题___ . •交换原命题的条件和结论，并且同时否 定，所得的命题是_逆__否__命__题___ .
2
原命题,逆命题,否命题,逆否命题
2018_2019学年高中数学第一章常用逻辑用语1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系课件新人教A版选修1_1
互逆命题 或互否命题 ②两个命题为__________ _________，其真假性没
有关系．
核心要点探究
知识点一 四种命题之间的关系
探究1：结合四种命题间的关系图，思考下列问题： (1)判断两个命题之间的关系关键看命题的条件与结
论的哪方面？
提示 判断两个命题之间的关系关键看两个命题的 条件和结论之间是否互换了，是否都否定了．
等价于 “对于任意 x∈R， x2 ＋ ax ＋ 1≥0成立 ” 是真命
题． 由于函数 f(x) ＝ x2 ＋ ax ＋ 1 是开口向上的抛物线，由 二 次 函 数 的 图 像 易 知 ： Δ ＝ a2 － 4≤0 ， 解 得 ： － 2≤a≤2.
所以实数a的取值范围是[－2，2].
内部文件，请勿外传
答案
A
题型三
逆否命题的应用
(1)命题：“已知a，x为实数，若关于 x的不等
例3
式 x2 ＋ (2a ＋ 1)x ＋ a2 ＋ 2≤0 的解集为空集，则 a<2”的
逆否命题是________命题(填“真”或“假”)． (2)证明：如果p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
【解析】
(1)先判断原命题的真假．
因为关于 x 的不等式 x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0 的 解集为空集，所以相应二次方程的判别式Δ＝(2a＋1)2 7 －4(a ＋2)＝4a－7<0，所以 a< <2.所以原命题为真命 4
2
题．又因为原命题和它的逆否命题是等价命题，所以 此命题的逆否命题为真命题．
(2)该命题的逆否命题为：若p＋q>2，则p2＋q2≠2.因 为原命题与其逆否命题的真假相同，故只需证明其逆 否命题为真命题即可． 因为p＋q>2，所以(p＋q)2>4.因为p2＋q2≥2pq，所以
高中数学第一章常用逻辑用语1.1.1命题课件新人教A版选修1_1
(2)命题“平行于同一平面的两条直线互相平行 ”的条件是________，结论是________．
答案 (1)sin A>sin B a>b (2)两条直线平行于同一个平面 这两条直线互
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
短板补救案·核心素养培优
易错误区（一） 命题条件不明致误 典题示例
例1 将命题“已知 a，b 为正数，当 a>b 时，有 a2> b2”
写成“若 p，则 q”的形式，并指出条件和结论．
【解析】 根据题意，“若 p，则 q”的形式为：已 知 a，b 为正数，若 a>b，则 a2> b2.其中条件 p：a>b， 结论 q： a2> b2.
③若 x，y 都是奇数，则 x＋y 是偶数；
④x2－xy＋y2≥0.
解析 ①是反意疑问句含有肯定的意思，是 命题．③，④也是命题．②是感叹句，不是命 题．
答案 ②
题型二 命题真假的判断
例2 判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)正方形既是矩形又是菱形； (2)当x＝4时，2x＋1<0； (3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0； (4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定 为递增数列．
答案 (1)sin A>sin B a>b (2)两条直线平行于同一个平面 这两条直线互
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
短板补救案·核心素养培优
易错误区（一） 命题条件不明致误 典题示例
例1 将命题“已知 a，b 为正数，当 a>b 时，有 a2> b2”
写成“若 p，则 q”的形式，并指出条件和结论．
【解析】 根据题意，“若 p，则 q”的形式为：已 知 a，b 为正数，若 a>b，则 a2> b2.其中条件 p：a>b， 结论 q： a2> b2.
③若 x，y 都是奇数，则 x＋y 是偶数；
④x2－xy＋y2≥0.
解析 ①是反意疑问句含有肯定的意思，是 命题．③，④也是命题．②是感叹句，不是命 题．
答案 ②
题型二 命题真假的判断
例2 判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)正方形既是矩形又是菱形； (2)当x＝4时，2x＋1<0； (3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0； (4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定 为递增数列．
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.2 四种命题课件2 新人教A版选修1-1.ppt
1.1.2 四种命题
1
请将命题“正弦函数是周期函数” 改写成“ 若 p , 则 q ”的形式. 若 f ( x ) 是 正 弦 函 数 , 则 f ( x ) 是 周 期 函 数 .
条件
结论
2
命题： （ 1 ） 若 f ( x ) 是 正 弦 函 数 , 则 f ( x ) 是 周 期 函 数 .
提示：用命题的条件和结论之间的关系作答。
5
探究点1 观察命题(1)与命题(2)的条件和结论
之间分别有什么关系？
（1）若f(x)是正弦函数，
（2）若f(x)是周期函数，p
则f(x)是周期函数；
则f(x)是正弦函数；q
提示:
q
p
互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命 题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题. 原 命 题：其中一个命题叫做原命题. 逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题.
(1)原 命 题 ： 若 a b， 则 a c b c 真 逆 命 题 ： 若 a c b c， 则 a b 真
否 命 题 ： 若 a b， 则 a c b c 真
逆 否 命 题 ： 若 a c b c， 则 a b 真
(2)原 命 题 ： 若 x 2 3 x 2 0， 则 x 2 假
命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是 什么？ 解答：“两直线不平行，同位角不相等”.
11
三个概念 1.互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题 的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么 我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题 叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. 2.互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和 结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定， 我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的 一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命 题.
1
请将命题“正弦函数是周期函数” 改写成“ 若 p , 则 q ”的形式. 若 f ( x ) 是 正 弦 函 数 , 则 f ( x ) 是 周 期 函 数 .
条件
结论
2
命题： （ 1 ） 若 f ( x ) 是 正 弦 函 数 , 则 f ( x ) 是 周 期 函 数 .
提示：用命题的条件和结论之间的关系作答。
5
探究点1 观察命题(1)与命题(2)的条件和结论
之间分别有什么关系？
（1）若f(x)是正弦函数，
（2）若f(x)是周期函数，p
则f(x)是周期函数；
则f(x)是正弦函数；q
提示:
q
p
互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命 题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题. 原 命 题：其中一个命题叫做原命题. 逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题.
(1)原 命 题 ： 若 a b， 则 a c b c 真 逆 命 题 ： 若 a c b c， 则 a b 真
否 命 题 ： 若 a b， 则 a c b c 真
逆 否 命 题 ： 若 a c b c， 则 a b 真
(2)原 命 题 ： 若 x 2 3 x 2 0， 则 x 2 假
命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是 什么？ 解答：“两直线不平行，同位角不相等”.
11
三个概念 1.互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题 的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么 我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题 叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. 2.互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和 结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定， 我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的 一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命 题.
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题型一
题型二
题型三
题型四
判断四种命题的真假 【例1】 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判 断其真假: (1)正偶数不是质数; (2)末位数字是偶数的整数能被2整除. 分析:先将原命题改写成“若p,则q”的形式,再分别写出其逆命题、 否命题、逆否命题.在判断各种形式命题的真假时,要注意利用互 为逆否命题等价的原理.
1.互为逆否的命题的真假性一致 剖析:原命题与它的逆否命题同真假,原命题的逆命题和否命题 互为逆否命题,也具有相同的真假性.因此,对于一些命题的真假判 断(或证明),我们可以借助与它同真假的(具有逆否关系的)命题来 判断(或证明).
2.用反证法证明命题的真假 剖析:(1)反证法是常用的数学证明方法之一,适用于下列情况下 的证明题:①证明唯一性、无数个等问题;②命题以否定形式出现 (如不存在,不相交等),并伴有“至少……”“不都……”“都不……”“没 有……”等指示性词语;③正难则反,即从正面解决不好入手或比较 麻烦,可以从问题的反面入手解决. (2)用反证法证明命题的一般步骤: ①假设:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立; ②归谬:从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾; ③结论:由矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
题型三
题型四
【变式训练1】 写出命题“若四边形的对角互补,则该四边形是 圆的内接四边形”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假. 分析:本题已具备“若p,则q”的形式,因此可直接写出逆命题、否 命题、逆否命题,然后根据命题间的相互关系判断其真假. 解:逆命题:若四边形是圆的内接四边形,则该四边形的对角互 补.(真命题) 否命题:若四边形的对角不互补,则该四边形不是圆的内接四边 形.(真命题) 逆否命题:若四边形不是圆的内接四边形,则这个四边形的对角 不互补.(真命题)
1.1.2 1.1.3
四种命题 四种命题间的相互关系
1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题. 2.会分析四种命题间的相互关系.
1.四种命题 一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一 个命题的结论和条件,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题. 其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题. 也就是说,如果原命题为“若p,则q”,那么它的逆命题为“若q,则p”. 对于两个命题,如果其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命 题的条件的否定和结论的否定,我们把这样的两个命题叫做 互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原 命题的否命题. 也就是说,如果原命题为“若p,则q”,那么它的否命题为“若¬ p ,则 ¬ q”.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思在写四种命题时,要找出原命题的条件和结论,把结论作为条 件,条件作为结论就得到逆命题;否定条件作为条件,否定结论作为 结论就得到否命题;否命题的逆命题就为原命题的逆否命题.判断 四种命题的真假时,要注意利用其他知识判断命题的真假,需要对 其他知识熟练掌握.
题型一
题型二
归纳总结在写四种命题时,首先要把原命题改写成“若p,则q”的形 式,其次一定要记清条件和结论的位置的变化.在写否命题和逆否 命题时,条件和结论要同时否定.另外,在写命题时,为了使句子更通 顺,可适当添加一些词语,但不能改变原来命题的含意.
【做一做1】 命题“若a>b,则a-8>b-8”的逆否命题是 ( A.若a<b,则a-8<b-8 B.若a-8>b-8,则a>b C.若a≤b,则a-8≤b-8 D.若a-8≤b-8,则a≤b 答案:D
题型一
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题型四
解法二: ∵a,x为实数,关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空 集,∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7<0, 7 ∴a< 4 < 2. ∴ 原命题是真命题. 由原命题和它的逆否命题等价,知它的逆否命题为真命题. 反思在判断命题的真假时,如果直接判断有难度,可以利用原命 题与逆否命题的等价性,先判断逆否命题的真假,再由逆否命题的 真假确定原命题的真假.
)
3.四种命题的真假之间的关系 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题互为逆 命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 名师点拨可以通过判断一个命题的逆否命题的真假来确定原命 题的真假. 【做一做2】 命题“若a≠0,且b≠0,则ab≠0”的逆否命题 是 ,原命题是 命题.(填“真”或 “假”) 解析:原命题的逆否命题是“若ab=0,则a=0或b=0”.因为逆否命题 显然为真命题,故由互为逆否的命题具有相同的真假性可知,原命 题也为真命题. 答案:若ab=0,则a=0或b=0 真
对于两个命题,如果其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命 题的结论的否定和条件的否定,我们把这样的两个命题叫做 互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫 做原命题的逆否命题. 也就是说,如果原命题为“若p,则q”,那么它的逆否命题为“若 ¬ q, 则¬ p”.
2.四种命题间的相互关系
题型一
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互为逆否命题真假性等价的应用 【例2】 (一题多解)判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集,则a<2”的逆否命题的真假. 分析:判断这个命题的逆否命题的真假,可先写出它的逆否命题 再判断,也可以利用互为逆否命题的两个命题的等价性来判断. 解法一:原命题的逆否命题为:“已知a,x为实数,若a≥2,则关于x的 不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集”. 判断真假如下: 抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上,对应的方程的判别式 Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7. ∵a≥2,∴4a-7>0,即抛物线与x轴有交点, ∴关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集,故原命题 的逆否命题为真.
பைடு நூலகம்
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)逆命题:若一个正数不是质数,则这个正数是偶数.(假命题) 否命题:若一个正数不是偶数,则这个正数是质数.(假命题) 逆否命题:若一个正数是质数,则这个正数不是偶数.(假命题) (2)逆命题:若一个整数能被2整除,则它的末位数字是偶数.(真命 题) 否命题:若一个整数的末位数字不是偶数,则它不能被2整除.(真 命题) 逆否命题:若一个整数不能被2整除,则它的末位数字不是偶 数.(真命题)