固体物理第三章习题
固体物理第三章习题
对于本题，a'=2a， 1=2=，m=m+，M=m所以q=0的光学波频率
第三章 习题
1
1. 原子质量为m，间距为a，恢复力常数为的一 维简单晶格，频率为格波un=Acos(t-qna). 求 (1)该波的总能量， (2)每个原子的时间平均总能量．
2
[解答] (1) 格波的总能量为各原子能量的总和，其中第n 个原子的动能为
1 un m , 2 t
2 A
m
qa sin 2 2 1 2
2
412
2
,
光学格波的色散关系为
2 O
1 2
m
1 2 412 2 qa 1+ 1 sin . 2 2 1 2
f n 2 un 1 un 1 un un 1 , f n 1 1 un 2 un 1 2 un 1 un ,
7
其运动方程分别为
d 2 un m 2 2 un 1 un 1 un un 1 . dt d 2un 1 m 1 un 2 un 1 2 un 1 un . 2 dt
可得
1 1 T 2 1 1 T 2 1 qa 2 2 2 E m A sin t qna dt A 4 sin t 2n 1 qa sin 2 dt 0 0 2 T 2 T 2 2 n n
(完整版)固体物理胡安第三章课后答案
3.1 在单原子组成的一维点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同，其力常数如图所示相间变化，且21。
试证明在这样的系统中，格波仍存在着声频支和光频支，其格波频率为21221221212)2(sin 411M）（qa 证明：第2n 个原子所受的力121122221212121222)()()(n nn n nn nnuu u u u u u F 第2n+1个原子所受的力nn n n nn nnu u u u u u u F 22121122112221222112)()()(这两个原子的运动方程：212222112121122112222()()n n n n nn n nmu u u u mu u u u &&&&方程的解qan t inqan t in Beu Aeu 2)12(122)2(2代入到运动方程，可以得到BA e eBmAB eeAmqaiqa iq a i q a i )()(21222122122212经整理，有)()(22122212221221B mA eeB eeAmqa iqa iqa iq ai 若A ，B 有非零解，系数行列式满足22212122221212,,aai q i q a a i q i q me eee m根据上式，有21221221212)2(sin 411M）（qa 3.3(a) 设单原子链长度L=Na波矢取值2qhNa每个波矢的宽度2qNa，状态密度2Na dq 间隔内的状态数2Nadq ，对应±q ，ω取相同值因此22Na dqdq一维单原子链色散关系，4sin 2aqm 令4,sin2aq m两边微分得到cos22aaq ddq将220cos12aq 代入到0cos22aaq ddq22222,2a dq ddq da频率分布函数2222122122Na NaN dadq3.4三维晶格振动的态密度为3(2)V 根据态密度定义3()(2)|()|qV dS q r ＝对2qAq两边微分得到2d q Aqdq在球面上2qd Aq dq，半径01qA代入到态密度函数得到21/23323/2144,2422qV qV AV AAAq最小截止频率m001/223/234mmV dd NA可得2/32min 06N AV所以1/2min 023/2,4VA在0min或时，是不存在频率ω的分布的，也就不会有频率分布的密度。
固体物理第三章习题答案
1
4 u n
( ij u )
i j
右边
1
1
4 u n
i(n)
( in u
i(n)
2
2 in
j(n)
nj
u )
2
2 nj
4 u n
( in ( u n u i )
j(n)
nj
nj
(u j u n ) )
T 成正比，说明德拜模型 温的情况下。
3－ 5 设想在一维单原子晶格
中，只激发出一个动量
为
q ( q 0 )的声子，试证明晶体并
不因此而获得物理动量
。
证明：先证下面的式子 1 N
'
： l l l l
' '
e
n
ina ( q l q ' )
l
ll '
1, 0,
略去 项，（因为低温，
1）
d
C
T
m
l
M M
0
a
e
k BT
1
l
M
a
T
0
d
似为无穷大 )
e
k BT
1
(因为低温，频率低的占
主要，所以上限可以近
l
M k T
2 B
a
(e
0
x e
x
2
x 2
1)
2
固体物理第三章作业答案
dt
• 其中pt为电子的动量，τ为相邻两次碰撞之间的电
子自由运动时间（弛豫时间），f t为电子所受的
外力。请在线性响应的范围内，推导金属在频率
为ω的电磁波作用下的电导率。在此基础上，可
尝试导出金属的介电函数。
• 解：设频率为ω的电磁波中 E E0eit
B B0eit
• 金属在电磁波作用下的运动方程
• 电子热容系数 2.08mJ mol1 K 2
• 电子热质量
mt*h
m 观测值 自由电子气
m
2.08
2.08பைடு நூலகம்
2RkB 2 3 2n 2
3
m
2
3
2
2 a3
2
3
2RkB
2.08
1.05 1034
2
ai bj 2ij
则相应的倒格子基矢为：
基本无问题，少数同学没写 出基矢的表达式，没注意单 位化为cm-1
b1
2 a
i
108 i
cm1
b2
2 b
i
2
108 i
cm1
倒格子和第一布里渊区如图示：红色区域为第一布里渊区
b2
b1 108 cm1
dp t p t eE ev B
dt
• 忽略磁场项作用（ eE ev B ），运动方程写为：
dp t p t
eE
dt
dv dt
v
e m
E0eit
固体物理第三章答案
对 NaCl：T=5K 时
8. 在一维无限长单原子链中，若设原子的质量均为 M，若在简谐近似下考虑原子间的长程 作用力， 第 n 个原子与第 n+m 和第 n－m 个原子间的恢复力系数为m, 试求格波的色散关系。 解：设原子的质量为 M，第 n 个原子对平衡位置的位移为 un , 第 n+m 和第 n－m 个原子对 平衡位置的位移为 un＋m 和 un－m (m=1,2,3……), 则第 n+m 和第 n－m 个原子对第 n 个原子的 作用力为 fn,m = m（un＋m－un）＋m（un－m－un）＝m（un＋m＋un－m－2un） 第 n 个原子受的总力为 Fn =
色散关系为
4 qa sin m 2
(1)
2
2 2 (1 cos qa) = m (1-cosqa) m 2
(2)
其中
m= (
4 12 ) m
由于对应于q, 取相同的值， （色散关系的对称性〕 ，则 d区间的格波数为
g( )d＝2
Na Nad dq 2 d dq
V g ( i )d i = (2 ) 3
i d i i
d q
在长波极限下等频率面为球面
则
g( i )d i =
V 4q 2 dq (2 ) 3
当 i 0 时 因为
q2＝
0－ i (q)
A
q
0 i (q)
A
dq=－
2 A 2 0 i (q) 2
m 1
f n ,m =
m 1
m（un＋m＋un－m－2un）
因此，第 n 个原子的运动方程为 M
王淑华固体物理答案第三章
3.4 由原子质量分别为 m, M 两种原子相间排列组成的一维复 式格子，晶格常数为 a ，任一个原子与最近邻原子的间距 为 b ，恢复力常数为 β1 ，与次近邻原子间的恢复力常数 β2 ， 试求 （1）格波的色散关系； （2）求出光学波和声学波的频率最大值和最小值。 解：（1）只考虑最近邻原子的相互作用
由上式可知，存在两种独立的格波。
声学格波的色散关系为
12 β β 4 β β qa 2 2 1 2 1 2 ωA sin 1 1 2 m 2 β1 β2
光学格波的色散关系为
12 β β 4 β β qa 2 2 1 2 1 2 ωO sin 1 1 2 m 2 β1 β2
为角频率； 式中，A为轻原子的振幅；B为重原子的振幅；
q 2 为波矢。
将试探解代入运动方程有
m 2 A e iaq e iaq B 2 A
M 2 B e iaq e iaq A 2B
(1)
经整理变成
2 A 2 cos aqB 0 2 2 cosaqA M 2 B 0
2
m
要A、B有不全为零的解，方程(1)的系数行列式必须等于零， 从中解得
12 2 2 m M m M 2mM cos 2aq mM 2
(2)
式中的“+”“－”分别给出两种频率，对应光学支格波和声学支 格波。上式表明， 是q的周期函数， 2a q 2a 。当q取 边界值，即 q 2a 时，从(2)式得
《固体物理学》房晓勇主编教材-思考题解答参考03第三章_晶体振动和晶体的热学性质
第三章晶体振动和晶体的热学性质3.1相距为某一常数（不是晶格常数）倍数的两个原子，其最大振幅是否相同？解答：（王矜奉3.1.1，中南大学3.1.1）以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子的振幅A, 另一个原子振幅B, 由《固体物理学》第79页公式，可得两原子振幅之比(1)其中m原子的质量. 由《固体物理学》式（3-16）和式（3-17）两式可得声学波和光学波的频率分别为, (2). (3)将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为, (4). (5)由于=，则由(4)(5)两式可得,1B A=. 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的.3.2 试说明格波和弹性波有何不同？解答：晶格中各个原子间的振动相互关系3.3 为什么要引入玻恩-卡门条件？解答：（王矜奉3.1.2，中南大学3.1.2）（1）方便于求解原子运动方程.由《固体物理学》式（3-4）可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.（2）与实验结果吻合得较好.对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(《固体物理学》§3.1与§3.6). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.3.4 试说明在布里渊区的边界上()/q π=a ，一维单原子晶格的振动解n x 不代表行波而代表驻波。
固体物理参考答案(前七章)
固体物理习题参考答案（部分）第一章 晶体结构1.氯化钠：复式格子，基元为Na +，Cl -金刚石：复式格子，基元为两个不等价的碳原子 氯化钠与金刚石的原胞基矢与晶胞基矢如下：原胞基矢)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(213212211j i a a i k a a k j a a +=+=+= ， 晶胞基矢 ka a j a a ia a ˆˆˆ321===2. 解：31A A O '：h:k;l;m==-11:211:11:111:1:-2:1 所以（1 1 2 1） 同样可得1331B B A A ：（1 1 2 0）； 5522A B B A ：（1 1 0 0）；654321A A A A A A ：（0 0 0 1）3.简立方： 2r=a ，Z=1,()63434r 2r a r 3333πππ===F体心立方：()πππ833r4r 342a r 3422a 3r 4a r 4a 33333=⨯=⨯=∴===F Z ，，则面心立方：()πππ622r 4r 34434442r 4a r 4a 233ar 33=⨯=⨯=∴===F Z ，，则 六角密集：2r=a, 60sin 2c a V C = a c 362=,πππ622336234260sin 34223232=⨯⨯⨯=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛a a c a r F a金刚石：()πππ163r 38r 348a r 3488Z r 8a 33333=⨯=⨯===F ，， 4. 解：'28109)31arccos(312323)ˆˆˆ()ˆˆˆ(cos )ˆˆˆ()ˆˆˆ(021*******12211=-=-=++-⋅+-=⋅=++-=+-=θθa a k j i a k j i a a a a a kj i a a kj i a a 5.解：对于（110）面：2a 2a a 2S =⋅=所包含的原子个数为2，所以面密度为22a2a22=对于（111）面：2a 2323a 22a 2S =⨯⨯= 所包含的原子个数为2，所以面密度为223a34a 232=8.证明：ABCD 是六角密堆积结构初基晶胞的菱形底面，AD=AB=a 。
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D T
0
e x 1
x 2 e x dx
2
2 Lk B D
先求出高温时的Ｅa，再求CVA更容易
18
在甚低温条件下， D T ,
a m m CVA C 2e2 n 1
12 2 Lk B T ,
8
代入运动方程，得
m 2 A 2 B A 1 A Beiqa , m 2 B 1 Aeiqa B 2 B A .
整理得
1
m A e B 0 e A m B 0.
6
[解答]
此题实际是一双原子分子链．设相邻分子间两原
子的力常数为2，间距为b；分子内两原子力常数 为1；晶格常数为a. 第n-1, n, n+1, n+2个原子的位移分别为un-1, un, un+1, un+2, 第n-1与第n+1个原子属于同一种原子，第n与 第n+2个原子属于同一种原子. 第n和第n+1原子受的力分别为
式中Ｎ为原子总数．
4
（２）每个原子的时间平均总能量则为
E 1 qa m 2 A2 A2 sin 2 N 4 2
再利用色散关系
2
2 4 2 qa 1 cos qa sin m m 2
便得到每个原子的时间平均能量
E 1 m 2 A2 N 2
5
2．一维复式格子，原子质量都为m，原子统一编 号，任一原子与两最近邻的间距不同，力常数不同， 分别为1和2，晶格常数为a，求原子的运动方程 及色散关系.
2
其中E是爱因斯坦温度，其定义为 按照德拜模型，声学波的模式密度 布里渊区允许的波矢数 目等于原胞数目L/2a 每个波矢点占据区域：
a 2 L L 2a
o kB L D( ) . vA E
q
2a
2a
15
波矢密度
L 2
利用 = vAq
d = vAdq
2
而该原子与第n+1个原子之间的势能为
1 2 un un 1 . 2
若只考虑最近邻相互作用，则格波的总能量为
1 u 1 2 E m n un un1 . t n 2 n 2
3
2
将
un A cos t qna 代入上式得：
f n 2 un 1 un 1 un un 1 , f n 1 1 un 2 un 1 2 un 1 un ,
7
其运动方程分别为
d 2 un m 2 2 un 1 un 1 un un 1 . dt d 2un 1 m 1 un 2 un 1 2 un 1 un . 2 dt
试由简谐近似求（1）色散关系（2）模式密度 D()（3）晶格热容（列出积分表达式）。
23
[求解]
(1)根据已知条件，可求原子间的弹性恢复力系数
d 2U d 2U A ( 2 ) a ( 2 )0 2 dr d a
将上式代入《固体物理教程》一维简单晶格的 （3.7）式得到色散关系
其中
C
D T 0
e x 1
x 2e x dx
2
是一常数．晶格的热容
CV CVO CVA .
19
9．求一维简单晶格的模式密度D()．
20
[解答] 一维简单晶格的色散关系曲线如图所示． 由色散曲线对称性可以看出，d区间对应两个 同样大小的波矢区间dq，2/a 区间对应L/a个振 动模式，单位波矢区间对应有L/2 个振动模 式．d范围则包含
10
5．设有一长度为Ｌ的一价正负离子构成的一维晶 格，正负离子间距为a，正负离子的质量分别为m+ e b u ( r ) 和m-，近邻两离子的互作用势为 ，式中e r r 为电子电荷，b和n为参量常数，求 (1) 参数b与e，n及a的关系； (2) 恢复力系数； (3) q=0时光学波的频率0； (4) 长声学波的速度vA； (5) 假设光学支格波为一常数，且=0，对光学支 采用爱因斯坦近似，对声学波采用德拜近似，求晶 格热容。
D T
0
e
x 2e x dx
x
1
2
.
a m m 2e2 n 1
12
2 LkB T
D T
0
e
x 2e x dx
x
1
2
在高温情况下，ex=1+x，上式化成
a m m CVA 2e 2 n 1 a m m 2e 2 n 1
2e m m n 1 2 o . 3 a m m
2 1
13
(4) 由《固体物理教程》(3.25)式可知，长声学 波频率
A a 1 2 q. m M 1 2
对于本题
A 2a
2 m m
设格波的解分别为
un Ae
n i q a t 2
Ae
1 i qna t 2
. .
un 1 Be
n i q a qb t 2
Be
1 i qna t 2
2 A
m
qa sin 2 2 1 2
2
412
2
,
光学格波的色散关系为
2 O
1 2
m
1 2 412 2 qa 1+ 1 sin . 2 2 1 2
2 iqa 2 2 1 iqa 2 2 1 1 2
由于A和B不可能同时为零，因此其系数行列式必 定为零，即
2 m 1 2 iqa
2 1e iqa
1
2 1e
2 m
2
0
9
1 2 2 16 m qa 解上式可得： 2 1 2 2 1 2 2 2m 4m 2 sin 2 2m 2 1 2
1 2 16 mM qa 2 2 2 2 1 2 o 1 sin m M m M . 2 2mM 2 1 2
对于本题，a'=2a， 1=2=，m=m+，M=m所以q=0的光学波频率
0
xdx . x e 1
其中
x
D , D , kBT kB
D和D分别为德拜频率和德拜温度．德拜频率
可由下式
D D L LD L D( )d d 0 0 v a vA A
求得
D
vA
a
17
声学波对热容的贡献
2 dE A T d D D( )d Lk B CVA dT dT 0 e kBT 1 v A
将上式代入前式，得到模式密度
L m D( ) a
12
1 qa 1 sin 2
2
2L
2 a 0 2
22
12. 设一长度为L的一维简单晶格，原子质量为 m，间距为a，原子间的互作用势可表示成
U ( ) A cos( )
2 n
11
[解答]
(1) 若只计近邻离子的相互作用，平衡时，近邻两离 子的互作用势能取极小值，即要求
du (r ) 0. dr r a
由此得到
e2 a n 1 b . n
(2) 恢复力系数
e2 n 1 d 2u ( r ) 2 dr r a a3
12
(3)光学波频率的一般表达式[参见固体物理教 (
D( )d a D(q)dq N
a
25
由D(q)为常数得
因此
a
D(q)dq D(q )
a
2 N a
D(q)
再由
Na 2
得 又 式中
0
0
d D( )d a D( ) dq 2 a D(q)dq 0 0 dq
可得
1 1 T 2 1 1 T 2 1 qa 2 2 2 E m A sin t qna dt A 4 sin t 2n 1 qa sin 2 dt 0 0 2 T 2 T 2 2 n n
1 qa m 2 A2 N A2 N sin 2 4 2
1 2 1 2 1 qa E m 2 A2 sin t qna A2 4sin t 2n 1 qa sin 2 2 2 2 2 n n
设Ｔ为原子振动的周期，利用
1 T 2 1 sin t dt T 0 2
q.
长声学波的速度
2e n 1 vA . q a m m
A
2
e 2 n 1 a3
14
(5) 按照爱因斯坦模型，光学波的热振动能
EO L o . a e o kBT 1
光学波对热容的贡献
CVO
dEO L E e E T kB , E T 2 dT a T e 1
qa 0 sin( ) 2