固体物理第三章3-8
《固体物理·黄昆》第三章
氢键结合的情况可写成通式:
X－H…Y。 式中 X 、 Y 代表 F 、 O 、 N 等电负 性大而原子半径较小的非金属原 子， X 和 Y 可以是两种相同的元 素，也可以是两种不同的元素。 d F l H F H F
归纳起来，氢键形成的条件是：
A)有与电负性大（X）的原子相结合的氢原子；
B) 有一个电负性也很大，含有孤对电子并带有部分负 电荷的原子（Y）； C)X与Y的原子半径都要较小。
氯化钠型 —— NaCl、KCl、AgBr、PbS、MgO (配位数6) 氯化铯型 —— CsCl、 TlBr、 TlI（配位数8）
离子结合成分较大的半导体材料ZnS等（配位数4）
2. 离子晶体结合的性质
1) 系统内能的计算 晶体内能 : 1)所有离子库仑相互作用能(吸引作用)
2) 和重叠排斥能之和(排斥作用)
具体晶体的内聚能(晶格能)参见周期表,有一定的规律性: 惰性气体晶体<碱金属<过渡族金属(共价晶体)
两粒子间的相互作用 相互作用能.
f(r) 和u(r)分别表示相互 作用力和相互作用势 则:
u (r ) f (r ) r
U 排斥 r
f (r )
B rn
u (r )
pij A12= j'
12
12.13188
pij A6= j'
6
14.45392
物理意义:
晶体总的势能:
—— 非极性分子晶体的晶格常数、结合能和体变模量 晶格常数
平衡状态体变模量
晶体的结合能
分子晶体: 常温下是气态的物质如:Cl2,SO2,HCl, H2, O2, He, Ne, Ar, Xe等在低温下依靠范德瓦耳斯力结合成的晶体.
固体物理知识点总结
一、考试重点晶体结构、晶体结合、晶格振动、能带论的基本概念和基本理论和知识二、复习内容第一章晶体结构基本概念1、晶体分类及其特点：单晶粒子在整个固体中周期性排列非晶粒子在几个原子范围排列有序（短程有序）多晶粒子在微米尺度内有序排列形成晶粒，晶粒随机堆积准晶体粒子有序排列介于晶体和非晶体之间2、晶体的共性：解理性沿某些晶面方位容易劈裂的性质各向异性晶体的性质与方向有关旋转对称性平移对称性3、晶体平移对称性描述：基元构成实际晶体的一个最小重复结构单元格点用几何点代表基元，该几何点称为格点晶格、平移矢量基矢确定后，一个点阵可以用一个矢量表示，称为晶格平移矢量基矢元胞以一个格点为顶点，以某一方向上相邻格点的距离为该方向的周期，以三个不同方向的周期为边长，构成的最小体积平行六面体。
原胞是晶体结构的最小体积重复单元，可以平行、无交叠、无空隙地堆积构成整个晶体。
每个原胞含1个格点，原胞选择不是唯一的晶胞以一格点为原点，以晶体三个不共面对称轴（晶轴）为坐标轴，坐标轴上原点到相邻格点距离为边长，构成的平行六面体称为晶胞。
晶格常数WS元胞以一格点为中心，作该点与最邻近格点连线的中垂面，中垂面围成的多面体称为WS原胞。
WS原胞含一个格点复式格子不同原子构成的若干相同结构的简单晶格相互套构形成的晶格简单格子点阵格点的集合称为点阵布拉菲格子全同原子构成的晶体结构称为布拉菲晶格子。
4、常见晶体结构：简单立方、体心立方、面心立方、金刚石闪锌矿铅锌矿氯化铯氯化钠钙钛矿结构5、密排面将原子看成同种等大刚球，在同一平面上，一个球最多与六个球相切，形成密排面密堆积密排面按最紧密方式叠起来形成的三维结构称为密堆积。
六脚密堆积密排面按AB\AB\AB…堆积立方密堆积密排面按ABC\ABC\ABC…排列5、晶体对称性及分类：对称性的定义晶体绕某轴旋转或对某点反演后能自身重合的性质对称面对称中心旋转反演轴8种基本点对称操作14种布拉菲晶胞32种宏观对称性7个晶系6、描述晶体性质的参数：配位数晶体中一个原子周围最邻近原子个数称为配位数。
固体物理第三章3-8
三、德拜模型
模型基本思想：把格波当成弹性波来处理。
E n( ) e k BT 1
设固体介质是各向同性的，由弹性波的色散关系 = vq 可知，三维波矢空间内，弹性波的等频面是个球面，则
§ 3.3 一、简正振动
简正振动 声子
相互作用势能是原子偏离平衡位置位移的函数。
1 A B ' U 0 m n 2 i j rij rij
设N个原子的位移矢量分别为 (u1, u2, u3)， (u3, u4, u5)，…， (U3N-2, U3N-1, u3N)。 则 U = U(u1, u2, …, u3N)
一维简单原子链，波矢q的格波的总动量
N d N it Pq m un imAe eiqna dt n 1 n 1
q
2l Na
Pq imAeit e
n 1
N
i
2nl N
imAeit
e
i
2l N
1 e 0
i 2l i 2l N
标准简谐阵子振动方程
只有频率的模式振动时，解为：
Q A sin t
则：
每一个原子都以相同的频率作 振动，这是最基本的振动方式， 称为格波的简正振动。
ai ui A sin t , mi
i 1,2 , ,3 N .
实际的（原子振动）格波振动如何？
§3.6 晶格振动热容理论 一、热容理论
固体的定容热容
E CV ( )V T
— 固体的平均内能
—— 固体内能包括晶格振动的能量和电子热运动的能量 实验结果：低温下，金属的热容
CV T AT 3
T
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第三章 晶格振动和晶体热学性质
本章主要内容 用最近邻原子间谐力模型来讨论晶格振动的本征频率； 用格波来描写晶格原子的集体运动； 用量子理论来表述格波相应的能量量子；
在此基础上处理固体的热学性质。
§3.1 一维晶格的振动
晶格振动的根本原因: 原子间存在着相互作用力。 对于一对原子而 言，可以用彼此间的相互作用势能来表示。
设想边界条件：无限多个相同晶体相联接，各晶体中相对应的原子 的运动情况都一样。
玻恩－卡门边界条件：
u1 uN1
德国理论物理学家，量 子力学的奠基人之一玻 恩，M.(Max Born 1882～1970). 1954年荣 获诺贝尔物理学奖
通常采用试解的方法求解。假设上式具有简谐波形式的试解：
unAie(qnat)
q为波矢，qna是序号为n的原子在t=0时刻的振动位相。
序号为n’的原子的位移：
u n A i ( q n a t ) e A i ( q t n ) q e ( n a n a ) u n e i( n q n )a
频率－波矢关系（称为色散关系）。
表明试解代表一种简正模型（即一个ω和一个q值）的格波。
格波： Aei(tnaq)
连续介质弹性波： Aei(txq)
从形式看，格波与连续介质弹性波完全类似。但连续介质弹性 波中的X是可连续取值的；而在格波中只能取na（原子位置），这 是一系列周期排列的点。
一个格波解表示所有原子同时作频率为 的振动，不同原子有
将简谐波形式的试解代入运动学方程
mdd2u 2tn (un1un12un)
m 2 u n u n ( e iq e a iq 2 a ) 2 u n (c q ) o 1 a )s
第三章 固体物理ppt课件
§2
三维晶格的振动
设实际三维晶体沿基矢a1、a2、a3方向的初基原胞数分 别为N1、N2、N3，即晶体由N＝N1·N2·N3个初基原胞组成， 每个初基原胞内含s个原子。 一维情况下，波矢q和原子振动方向相同，所以只有纵波。 三维情况下，有纵波也有横波。
原则上讲，每支格波都描述了晶格中原子振动的一类运动 形式。初基原胞有多少个自由度，晶格原子振动就有多少种 可能的运动形式，就需要多少支格波来描述。
一个波矢为K的第S支模式处在第N个激发态，我们就说在晶 体中存在着N个波矢为K的第S支声子（因为给定了K与第S支模 式则ω可由色散关系唯一确定），在晶体中波矢为K的纵声学支 模式处于N激发态，我们就说晶体中有N个波矢为K的纵声学支 声子。
声子这个名词是模仿光子而来（因为电磁波也是一种简谐振 动）。声子与光子都代表简谐振动能量的量子。所不同的是光子 可存在于介质或真空中，而声子只能存在于晶体之中，只有当晶 体中的晶格由于热激发而振动时才会有声子，在绝对零度下，即 在0K时，所有的简正模式都没有被激发，这时晶体中没有声子， 称之为声子真空。声子与光子存在的范围不同，即寄居区不同。
每一组整数（L1,L2,L3 ）对应一个波矢量q。将这些波矢在倒空 间逐点表示出来，它们仍是均匀分布的。每个点所占的“体积” 等于“边长”为(b1/N1)、（b2/N2）、(b3/N3)的平行六面体的 “体积”，它等于： b b b 3 1 2 N N N 1 N 2 3 式中Ω*是倒格子初原胞的“体积”，也就是第一 布里渊区的“体积”，而Ω*＝（2π）3/Ω ，所以每个波 矢q在倒空间所占的“体积”为：
子的位移构成了波，这个波称之为格波，把寻求到的
运动方程的解带入运动方程就能找出ω 与q的关系即
固体物理第三章习题PPT学习教案
2
2 vA
声学波的模式密度 2 L L
2 vA vA
q
2a
2a
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16
声学波的热振动能
其中
EA
D 0
D()d e kBT 1
L vA
kBT
2
D 0
T
exxdx1.
x kBT , D
D , kB
D和D分别为德拜频率和德拜温度．德拜频率
可由下式
求得
L D D()d D L d LD
由于A和B不可能同时为零，因此其系数行列式必 定为零，即
1 2 m2 2 1eiqa
0
2 1eiqa
1 2 m 2
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9
解上式可得 ：
2
1 2
2m2
2m
4m2
16m2 1 2
1 2 2
sin 2
qa 2
1
2
1
2 m
1
1
0 0
kB
2L ( a
kBT )2
(e
e kBT d
kBT 1) 02
2
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28
13. 对于一维简单格子，按德拜模型，求出晶格 热容，并讨论高低温极限。
第28页/共39页
29
[求解]
按照德拜模型，格波色散关系为=vq。由色散曲 线对称性可以看出，d区间对应两个同样大小的 波矢区间dq。2/a区间对应L/a个振动模式，单位 波矢空间对应有L/2个振动模式，d范围则包含
LkB2T
,
C
D T 0
x2exdx ex 1 2
是一常数．晶格的热容
CV CVO CVA.
固体物理课后习题解答（黄昆版）第三章
固体物理课后习题解答（黄昆版）第三章黄昆固体物理习题解答第三章晶格振动与晶体的热学性质3.1 已知⼀维单原⼦链，其中第j个格波，在第个格点引起的位移为，µ= anj j sin(ωj_j+ σj) ，σj为任意个相位因⼦，并已知在较⾼温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原⼦的平⽅平均位移。
解：任意⼀个原⼦的位移是所有格波引起的位移的叠加，即µn= ∑ µnj=∑ a j sin(ωj t naq j+σj)j j（1）µ2 n =∑µjnj∑µj*nj=µj2nj+ µ µnj*nj′j j′由于µ µnj?nj数⽬⾮常⼤的数量级，⽽且取正或取负⼏率相等，因此上式得第2 项与第⼀项µ相⽐是⼀⼩量，可以忽略不计。
所以2= ∑ µ 2njn j由于µnj是时间的周期性函数，其长时间平均等于⼀个周期内的时间平均值为µ 2 = 1 T∫0 2 ω+σ 1 2 j aj sin( t naqjj j)dt a=j（2）T0 2已知较⾼温度下的每个格波的能量为KT，µnj的动能时间平均值为1 L T ?1 ?dµ 2 ?ρw a2 T 1= ∫∫dx0?ρnj?= j j∫0 2 ω+ σ= ρ 2 2 T??dt L a sin( t naq)dt w Lanj T0 0 0 ? 2 ?dt??2T0 j j j j 4 j j其中L 是原⼦链的长度，ρ使质量密度，T0为周期。
1221所以Tnj= ρ w La j j=KT（3）4 2µKT因此将此式代⼊（2）式有nj2 = ρωL 2 jµ所以每个原⼦的平均位移为2== ∑ µ 2= ∑KT= KT∑1n njρωL2ρLω2j j j j j3.2 讨论N 个原胞的⼀维双原⼦链（相邻原⼦间距为a），其2N 格波解，当M=m 时与⼀维单原⼦链的结果⼀⼀对应.解答（初稿）作者季正华- 1 -黄昆固体物理习题解答解：如上图所⽰，质量为M 的原⼦位于2n-1，2n+1，2n+3 ……质量为m 的原⼦位于2n，2n+2，2n+4 ……⽜顿运动⽅程：..mµ2n= ?βµ(22n?µ2n+1 ?µ2n?1)..Mµ2n+1 = ?βµ(22n+1 ?µ2n+2 ?µ2n)体系为N 个原胞，则有2N 个独⽴的⽅程i na q⽅程解的形式：iµ2n=Ae[ωt?(2 ) ] µ2n+1=Be[ω?(2n+1)aq]na qµ=将µ2n=Ae[ωt?(2 ) ]2n+1 Be i[ωt?(2n+1) aq]代回到运动⽅程得到若A、B 有⾮零的解，系数⾏列式满⾜：两种不同的格波的⾊散关系：——第⼀布⾥渊区解答（初稿）作者季正华- 2 -第⼀布⾥渊区允许 q 的数⽬黄昆固体物理习题解答对应⼀个 q 有两⽀格波：⼀⽀声学波和⼀⽀光学波。
《固体物理基础教学课件》第3章
n1 n
平衡位置 非平衡位置
a 3
3-1 原子作用力的处理：简谐近似
忽略高阶项，简谐近似考虑原子 V 振动，相邻原子间相互作用势能
v(a)12(ddr2v2)a2
相邻原子间作用力
O
a
r
f ddv, (d dr2v2)a
只考虑相邻原子的作用，第n个原
第2n+1个M原子的方程 M d2 dt2 2n1(22n12n22n)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 第2n个m原子的方程 mdd 2t22n(22n2n12n1)
解也具有平面波 的形式
两种原子振动的 振幅（m取A， M取B）一般来说 是不同的
a 13
3-2 声学波与光学波
色散关系有不同的两种
2(m m M M ) 11(m 4 m M M )2sin2aq12
a 2
3-1 一维单原子链模型
一维单原子链：最简单的晶格模型
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
格波的研究方法：
计算原子之间的相互作用力 根据牛顿定律写出原子运动方程，并求解方程
一维单原子链模型：
平衡时相邻原子间距为a （即原胞体积为a）
原子质量为m 原子限制在沿链方向运动
声子
0.1
1 100 10000
a 11
3-2 一维双原子链模型
一维双原子链模型 声学波与光学波 声学波与光学波的长波极限 长光学波的特性
a 12
3-2 一维双原子链模型
两种原子m和M (M > m) 构成一维复式格子 M原子位于2n-1, 2n+1, 2n+3 … m原子位于2n, 2n+2, 2n+4… 晶格常数、同种原子间的距离：2a
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n
k BT
k BT
e
1
§3.4 晶格振动谱的实验测定方法
晶格振动谱的实验测定，是人们认识原子的微观运动、 揭示固体的宏观性质的微观本质的有力工具。
一、光子散射
光子与格波振动相互作用导致固体在红外波段 （10 ~ 100 m）有吸收峰。
如：（1）长光学横波与红外光子的电磁耦合；
平衡位置展开（势能）：
能量零点
3N
=0
忽略 简谐近似
2 U 1 3N U U U0 u ui 2 u u ui u j ...... i 1 i , j 1 i 0 i j 0
N个原子的振动动能：
1 3N 2 T mi ui 2 i 1
一般是3N个简正振动模式的线性迭加。
一维简单晶格
2Q 0, i 1,2,,3N . Q i i i
一维简单晶格的N个原子振动可等价于N个谐振子振动。 谐振子的振动频率就是晶格的振动频率。
二、晶格振动能
2Q 0 , i 1,2 , ,3 N .）解谐振子的 谐振子运动方程（ Q i i i 振动能：
1 i ni i 2
晶格振动能：
1 E ni i 2 i 1
3N
晶格振动能是量子化的。 能量增减以ħ为计量。
三、声子
声子：既然晶格振动能量增减是以ħ为计量的。假想一种 粒子——声子携带该能量。声子是晶格振动的能量量子。 声子是假想粒子。 声子是准粒子， ħq为声子的准动量。 其它粒子（如光子、电子）与晶格相互作用时，恰似与能 量为ħ，动量为ħq的粒子的作用。 声子是虚粒子，它不携带真实的动量。
一维简单原子链，波矢q的格波的总动量
N d N it Pq m un imAe eiqna dt n 1 n 1
q
2l Na
Pq imAeit e
n 1
N
i
2nl N
imAeit
e
i
2l N
1 e 0
i 2l i 2l N
k k q
长声学波的频谱（光子的布里渊散射）：
光波： c k n
晶体中声速
长声学波： v Aq
q k k c / n v A
,
k q k
弹性碰撞
光子散射
k k ,
等腰三角形
§ 3.3 一、简正振动
简正振动 声子
相互作用势能是原子偏离平衡位置位移的函数。
1 A B ' U 0 m n 2 i j rij rij
设N个原子的位移矢量分别为 (u1, u2, u3)， (u3, u4, u5)，…， (U3N-2, U3N-1, u3N)。 则 U = U(u1, u2, …, u3N)
问题：温度一定，对于频率为的谐振子，其平均声子数 为多少？
晶体温度T，频率为的谐振子的平均声子数为（玻耳 兹曼统计理论）：
n
ne
n 0 n 0
n / k BT
x k BT
n / k BT e
n
ne
n 0
nx
e
n 0
1 e
声子具有等价性——波矢为q的声子与波矢为q+Km的 声子是等价的。波矢为q和q+Km的格波的解是一样的。
“声子”概念对晶格振动能的解释：
1 E ni i 2 i 1
3N
频率i的谐振子，其能量niħi 为ni个声子携带。
晶体温度是晶格振动能量的反映。 温度高，晶体的振动能高。
q 2 k sin
和散射方向决定
2
q 的方向由光子入射
光子与光学波声子的作用（光子的喇曼散射）：
红外光波长：毫米~微米 二、中子散射 中子只与原子核作用。 中子的质量为m，入射中子的动量为P，散射后中子的 动量为P。则
P P 2m 2m
标准简谐阵子振动方程
只有频率的模式振动时，解为：
Q A sin t
则：
每一个原子都以相同的频率作 振动，这是最基本的振动方式， 称为格波的简正振动。
ai ui A sin t , mi
i 1,2 , ,3 N .
实际的（原子振动）格波振动如何？
拉格朗日函数
1 3N 2 1 3N 2 2 L Qi i Qi 2 i 1 2 i 1 1 3N 2 H Pi i2Qi2 2 i 1
哈密顿函数
正则方程
H Pi Qi
2 Qi i Qi 0 ,
i 1,2 , ,3 N .
为了消去势能中的交叉项，引入简正坐标Qj：
mi ui aijQ j
j 1
3N
简正坐标Qj表示的动能和势能：
正则动量 P i L Q i Q i
1 3N 2 2 U i Qi 2 i 1 1 3N 2 T Qi 2 i 1
简谐振子振动方程 说明：晶体内原子在平衡位 置附近的振动可近似看成3N 个独立的谐振子的振动。 i是晶格振动频率
（2）晶体的光致折变。
格波与光波相互作用可理解为光子与声子的碰 撞，产生散射。
有关相互物理量： 粒子 作用前 作用后 光子 声子 光子 频率 波矢 k q(发射） k
声子
q(吸收）
能量和准动量守衡：
吸收声子 k q k
发射声子 k q k
nx
d nx ln e dx 数与 温度成正比， n 0 与频率成反 比。
d 1 1 ln dx 1 e x e x 1 1 / k BT e 1
T很高