第二课时探索勾股定理
八年级数学下册 探索勾股定理(第2课时)教案 (新版)新人教版
探索勾股定理（第2课时）课题: 探索勾股定理（第2课时）教学目标知识与能力：进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
过程与方法：体会数形结合和特殊到一般的思想方法。
情感态度价值观：激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习。
教学重、难点重点：运用勾股定理进行简单的计算和实际运用难点：运用勾股定理进行简单的计算和实际运用学情分析勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。
课前准备多媒体教学过程教师活动学生活动设计意图勾（1）你能用直角三角形学生尝试总结：勾股定理1．让学生归纳股定理的简单应用课堂小结布置作业的边长、、来表示上图中正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？例如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，树顶落在离树根24m处. 大树在折断之前高多少？练习：1、基础巩固练习：求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：2、生活中的应用：小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机.小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员（gou-gu theorem）：如果直角三角形两直角边长分别为、，斜边长为，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名。
（在西方称为毕达哥拉斯定理）学生独立完成学生口答完成在学生自由发言的基础上，师生共同总结：1．知识：勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么。
第二课时 探索勾股定理(二)
第二课时 探索勾股定理（二）教学目标：1． 经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。
2． 掌握勾股定理和他的简单应用重点难点：重点： 能熟练运用拼图的方法证明勾股定理难点：用面积证勾股定理教学过程一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需加以论证，下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形，拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c 为边长的正方形，并与同学交流。
在同学操作的过程中，教师结合书中p7 图1—7接着提问：大正方形的面积可表示为什么？（同学们回答有这几种可能：（1）)(22b a + （2）2421c ab +⋅ ） 在同学交流形成共识之后，教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。
22b a +=2421c ab +⋅ 请同学们对上面的式子进行化简，得到：22222c ab b ab a +=++即 22b a +=2c这就可以从理论上说明勾股定理存在。
请同学们去用别的拼图方法说明勾股定理。
二、讲例例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞机飞到一个男孩头顶正上方4000多米处，过20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？分析：根据题意：可以先画出符合题意的图形。
如右图，图中△ABC 的4000,90=︒=∠AC c 米，AB=5000米，欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道飞机在20秒的时间里的飞行路程，即图中的CB 的长，由于直角△ABC 的斜边AB=5000米，AC=4000米，这样的CB 就可以通过勾股定理得出。
这里一定要注意单位的换算。
解：由勾股定理得千米）(94522222=-=-=AC AB BC即BC=3千米飞机20秒飞行3千米，那么它1小时飞行的距离为： 小时）千米/(5403203600=⨯ 答：飞机每个小时飞行540千米。
鲁教版(五四制)七年级上册3.1探索勾股定理(二) 优质教案
课题鲁教版七年级数学（上）第三章 1.探索勾股定理（二）作者及工作单位教材分析《探索勾股定理》是鲁教版七年级上册第三章第一节，本节有二课时，本课是第二课时，主要内容是探索勾股定理的证明。
勾股定理是直角三角形三边之间的一种美妙关系，将数与形密切联系起来，在几何学中占有非常重要的位置。
同时勾股定理在生产、生活中也有很大的用途。
勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要的结论，它有着广泛的应用，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
同时在勾股定理的探索中，让学生发展合情推理能力，为以后的学习打下基础。
因为勾股定理的出现，使数学从单一的纯计算进入了几何图形的证明，所以为了让学生感受数形结合这一数学思想，让学生亲自动手，互相协作，因此引入了“等积法”证明勾股定理。
学情分析学生经历了一年的初中学习，具备了一定的归纳、总结、类比、转化以及数学表达的能力，对现实生活中的数学知识充满了强烈的好奇心与探究欲，并能在老师的指导下通过小组成员间的互助合作，发表自己的见解。
另外，在学本节课时，通过前置知识的学习，学生对直角三角形有了初步的认识，并能从直观把握直角三角形的一些特征，为此在授课时要抓住学生的这些特点，激发学生学习数学的兴趣，建立他们的自信心，为学生空间观念的发展、数学活动经验的积累、个性的发挥提供机会。
教学目标知识与技能：1. 掌握勾股定理，初步理解割补拼接的面积证法.通过动手实践理解勾股定理的证明过程。
2. 能利用勾股定理进行简单的几何计算 过程与方法：通过实践、猜想、拼图、证明等操作深刻感受数学知识的发生发展过程 情感、态度、价值观：通过对勾股定理的历史介绍及交流，让学生体会它的文化价值，提高学习数学的兴趣和信心。
教学重点和难点重点：掌握勾股定理的内容及其初步应用 难点：勾股定理的证明教学过程教学环节教师活动学生活动和预设学生活动 设计意图一、 设情景问题， 引入课题1.名言激趣：数学是上帝用来书写宇宙的文字。
1.1探索勾股定理(第2课时)(教案)
在学生小组讨论环节，我注意到有些小组在分享成果时，表达能力有待提高。为了提高ห้องสมุดไป่ตู้生的表达能力，我计划在今后的课堂中增加一些口语表达训练，如小组内轮流发言、总结观点等，帮助他们更加自信地展示自己的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.提升直观想象与数学建模能力：借助图形和实际案例，培养学生将实际问题转化为数学模型的能力，激发直观想象力。
3.强化数学运算与数据分析能力：在勾股数的寻找与应用过程中，锻炼学生的数学运算能力，学会从数据中提炼规律，解决问题。
4.增强数学应用意识：通过拓展勾股定理的应用场景，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，提高数学素养。
最后，总结回顾环节，我觉得可以让学生更多地参与进来，让他们谈谈自己在本节课中的收获和感悟。这样既能检验学生对知识点的掌握程度，又能提高他们的自我反思能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理的证明、勾股数的识别与应用。
-重点讲解：
-通过多种方法（如几何拼贴、代数计算等）证明勾股定理，强调定理的普适性和重要性。
-识别勾股数，理解其概念，并能举例说明。
1.1-探索勾股定理-(第二课时)立峰
总统证法
c a
b
cb
面积法
a
S梯形
1 (a b)(a b) 2
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2,
1 (a b)(a b) 1 (ab ab c2)
2
2
化简得 a2 b2 c2.
环节三：合作探究—拼图验证 c
a
右图有四个全等的直角三
b
角形，
c a
用这四个三角形拼一 拼、摆一摆, 看看是否得到 a
b c
一个含有以斜边c为边长的 正方形, 你能利用它说明勾
b c
股定理吗? 小组合作交流. a
b
环节三：层层设问，完成验证一
b
利
用a c 面
积
法
c
b
a
c
b
(a+b)2
= C2+4×
1
2 ab
a2+b2+2ab=c2+2ab
c
a 可得:a2+b2=c2
a
b
这四个直角三角形还能怎样拼？
环节三：自主探究—完成验证二
官庄中心中学
1.1 探索勾股定理 (第二课时)
赵立峰
官庄中心中学
1.1 探索勾股定理 (第二课时)
赵立峰
复习旧知
上节课学习了勾股定理,它的内容是什么? 直角三角形两直角边的平方和等
于斜边的平方.
c
a
b
a2+b2=c2
环节一：目标定位
1、在上节课对具体的直角三角形探索发 现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的 验证过程，体会数形结合的思想和从特殊 到一般的思想. 2、掌握勾股定理及其验证，并能应用勾 股定理解决一些实际问题. 3、在勾股定理的验证活动中，培养探究 能力和合作精神；通过对勾股定理历史的 了解，感受数学文化，增强爱国情感，并 通过应用勾股定理解决实际问题，培养应 用数学的意识.
1 探索勾股定理第2课时
a
b
用“外镶法”拼图
拓展阅读
2002年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大 会会标的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中 国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各 地的数学家们！
这种验证勾股定理的方法，据载最早是三国时期数学 家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将此 图称为弦图。
“总统证明法”
新知归纳
“勾股定理”的验证方法： 1.数形结合法： (1)拼正方形图： 运用正方形面积表达式进行证明； (2)拼梯形图： 运用梯形面积表达式进行证明。
例、我方侦察员小王在距离东西向公路400米处侦察，发 现一辆敌方汽车在公路上疾驶。他赶紧拿出红外测距仪， 测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米， 你能帮助小王计算敌方汽车的速度吗？
为了寻求上图中的三个正方形的面积之间的关 系，小明对大正方形适当画线后，得到下图。
用“数格子法”发现： “两直角边的平方和 等于斜边的平方”。
（1）将图中所有三角形和 正方形的面积用a，b，c的 关系式表示出来；
（2）图中正方形ABCD 的面积是多少？你有哪 些表示方法？与同伴进 行交流。
用“内嵌法”拼图
3.如图，受台风“圆规”影响，一棵高18米的大树断 裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后 有多高？
18-x x
6米
4.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC 边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长。
A
10
D
8
10
E
B
F
C
“勾股定理”的验证方法： 1.数形结合法： (1)拼正方形图： 运用正方形面积表达式进行证明； (2)拼梯形图： 运用梯形面积表达式进行证明。
《探索勾股定理》第二课时课件
于是这位中年人不再散步，立即回家， 潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反 复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理， 并给出了简洁的证明方法。 1876年4月1日，他在《新英格兰教育日 志》上发表了他对勾股定理的这一证法。 1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美 国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对 勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统”证法。
美国总统证法：
D c a
C
c b a B
b
A
例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好 飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20 秒，飞机距离这个男孩5000米，飞机每小时 飞行多少千米？
C B
4000
4000
A
例2 蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多 少厘米？（小方格的边长为1厘米）
A B E
G
C
F
D
练一练
1 、下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积
15厘米 17厘米
解：设正方形的边长为x厘米 , 则 x2=172-152 x2=64 答：正方形的面积是64平方厘米。
拓展练习
2、如图，受台风麦莎影响，一棵高 18m的大树断裂，树的顶部落在离树根 底部6米处，这棵树折断后有多高？
3、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个 A 三角形的面积
解：设这个三角形为ABC， 高为AD，设BD为X，则AB 为（16-X），
8
由勾股定理得：
X2+82=(16-X)2
B
X
D
C
即X2+64=256-32X+X2 ∴ X=6 ∴ S∆ABC=BC•AD/2=2 •6 •8/2=48
1.1探索勾股定理(第2课时)
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab÷2 即a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴a2+b2=c2
大正方形的面积可以表示为 c2 ； 也可以表示为 4•ab÷2-(b- a)2 。
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
∵ c2= 4•ab÷2 +(b-a)2
=2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 ∴a2+b2=c2
小结
1、本节课学习了直角三角形的哪些 知识？
2、通过这节课的学习，你在解题思 路和方法上有什么收获？
拓展提升
如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点
D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，
（1）求FC的长.
（2）求EC的长. A
10
D
在∠RC=t△90F°C，E中由，勾股定理8
42+x2=(8-x)2
学以致用
下面是美国总统加菲尔德1876 年给出的一种验证勾股定理的方法， 你能利用它验证勾股定理吗？
b
c c
a
a
b
例题精析
我方侦察员小王在距离东西向公 路４００米处侦察，发现一辆敌放汽 车在公路上行驶，他赶紧拿出红外测 距仪，测得汽车与他相距４００米， １０秒后，汽车与他相距５００米， 你能帮小王计算敌放汽车的速度吗？
解得：x=3
B
8-x
10
ELeabharlann 8-xx6
F4 C
探索勾股定理（2）
ac b
《探索勾股定理第2课时》示范公开课教学设计【北师大版八年级数学上册】
第一章勾股定理1. 1 探索勾股定理第 2 课时教学设计1.学会应用勾股定理，并领会“数与行”相结合的应用思想.2.经历勾股定理应用的过程，掌握勾股定理的使用方法.3.培养良好的合作、交流意识，发展数学观念，体会勾股定理的实际应用.【教学重点】能熟练应用拼图法证明勾股定理.【教学难点】用面积证勾股定理.四个全等的直角三角形纸片.一、创设情境，引入新知如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧.◆教学目标◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教学过程二、合作交流，探究新知勾股定理的初步认识问题1：观察下面地板砖示意图：你发现图中三个正方形的面积之间存在什么关系吗？问题2：观察右边两幅图：完成下表（每个小正方形的面积为单位1）.方法一：割分割为四个直角三角形和一个小正方形.方法二：补补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.方法三：拼将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.分析表中数据，你发现了什么？结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.想一想（1）你能用直角三角形的两直角边的长a，b 和斜边长 c 来表示图中正方形的面积吗？根据前面的结论，它们之间又有什么样的关系呢？（2）以5 cm、12 cm为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度.（1）中的规律对这个三角形仍成立吗？勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果a，b和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边那么a2+b2=c2名字的由来我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名.在西方又称毕达哥拉斯定理三、运用新知求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：已知直角三角形两边，求第三边.利用勾股定理进行计算：例求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积.四、巩固新知1. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .2. 判断题①△Rt ABC 的两直角边AB=5, AC=12,则斜边BC=13 ( )②△ABC 的两边a = 6 , b = 8, 则c = 10 ( )3. 填空题在△ABC中, ∠C=90°, AC = 6, CB = 8,则△ABC 的面积为_____,斜边上的高CD 为______.4. 一高为 2.5 米的木梯,架在高为 2.4 米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?五、归纳小结◆教学反思略.。
1、1探索勾股定理(第二课时) 21-22学年八年级数学北师大版上册
E
E的点面，积那是么_6_△_m_A_D2_E_. A
D
C
折叠四边形问题
长方形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F
处，已知AB=8，BC=10，求折痕DE的长。
A
10
D
8
10
? x
x E8 8-x
B
6
F 10
4C
应用2:勾股定理与测量：如图，滑竿在 机械槽内运动，为直角，已知滑竿长2.5 m 顶端在上运动，量得滑竿下端点距
边；
②已知直角三角形的三边关系，求出各 边长；
③实际生活中的应用。
作业：1.我方侦查员小王在距离东西向500米处公路 侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶。他赶紧拿 出红外测距仪，测得汽车与他相距500米，30秒后， 汽车与他相距1300米，请你帮小王计算敌方汽车的 速度吗？
作业：2.如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一 条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电 线杆底部有多远？
作业：3.如图，已知直角△ABC的两直角边分别为 6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部 分的面积．
作业：4.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞机 飞到一个男孩头顶正上方4000多米处，过20秒， 飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多 少千米？
谢谢
墙的距离为1.5 m，当 端点向右移动0.5 m时，A● 求滑竿顶端下滑多少米？E ●
C
●●
BD
应用3:勾股定理与实际生活：
例题： 我校的九（6）班教室A位于工地B 处的正西方向，且AB=160米，一辆大型货 车从B处出发，以10米/秒的速度沿北偏西 60度的方向行驶，如果大型货车的噪声污 染半径为100米，试问 （1）教室A是否在 大型货车的噪声污染范围内？若不在，试 说明理由。 （2）若在，请求出教室A受污 染的时间是多少？