新题精选30题-高考数学(文)走出题海之黄金30题系列

1．（几何概型的创新题）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位.现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田.若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用面积公式以及梯形的面积公式，以及几何概型能求出在邪田内随机种植一株茶树，该株茶树恰好种在圭田内的概率.2．（辗转相除法与程序框图相结合的创新题）程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“ MOD ”表示除以的余数），若输入的，分别为72， 15，则输出的=（）A. 12B. 3C. 15D. 45 【答案】B【解析】辗转相除法求的是最大公约数，的最大公约数为.3．（推理的创新题）一次猜奖游戏中，1,2,3,4四扇门里摆放了四件奖品（每扇门里仅放一件）. 甲同学说：1号门里是，3号门里是；乙同学说：2号门里是，3号门里是；丙同学说：4号门里是，2号门里是；丁同学说：4号门里是，3号门里是.如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（）A. B. C. D.【答案】A4．（三角函数图像与性质中的创新题）已知函数, 其图象与直线相邻两个交点的距离为若对恒成立，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意可得函数的周期为求得．再根据当时，恒成立，，由此求得的取值范围．详解：函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，故函数的周期为若对恒成立，即当时，恒成立，，故有，求得结合所给的选项，故选D．5．（立体几何体积问题中的创新题）《九章算术》卷第五《商功》中有记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”现有一个刍甍，如图，四边形为正方形，四边形、为两个全等的等腰梯形，，，若这个刍甍的体积为，则的长为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：结合几何体的性质首先将几何体分成一个棱柱和一个棱柱，据此求得E到平面ABCD的距离为2，且点E，F在平画ABCD内的射影恰好是DN与CN的中点，结合勾股定理可得的长为3.详解：取CD，AB的中点分别为M，N，连接FM，FN，MN，则多面体分割为棱柱与棱锥部分，设E到平面ABCD的距离为h，则×4×h×2+×4×2×h，解得h=2.依题意可知，点E，F在平画ABCD内的射影恰好是DN与CN的中点，又.本题选择C 选项.6．（函数的极值点与函数的零点相结合的创新题）已知,a b 是实数，1和1-是函数()32f x x ax bx =++的两个极值点，设()()()h x ff x c =-，其中()2,2c ∈-，函数()y h x =的零点个数为（ ）A. 8B. 11C. 10D. 9 【答案】D7．（线性规划的创新题）某颜料公司生产,A B 两种产品，其中生产每吨A 产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨B 产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一条之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨，160吨和200吨，如果A 产品的利润为300元/吨， B 产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天之内可获得最大利润为（ ）A. 14000元B. 16000元C. 18000元D. 20000元 【答案】A【解析】依题意，将题中数据统计如下表所示：设该公司一天内安排生产A 产品x 吨， B 产品y 吨，所获利润为z 元.依据题意得目标函数为300200z x y =+，约束条件为50,4160,{25200,0,0,x y x x y x y +≤≤+≤≥≥欲求目标函数()30020010032z x y x y =+=+的最大值，8．（立体几何中数学文化与几何体体积的创新题）祖暅是我国古代的伟大科学家，他在5世纪末提出祖暅：“幂势即同，则积不容异”，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等. 祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的体积推导半球体的体积，其示意图如图所示，其中图(1)是一个半径为R 的半球体，图(2)是从圆柱中挖去一个圆锥所得到的几何体. (圆柱和圆锥的底面半径和高均为R)利用类似的方法，可以计算抛物体的体积：在x-O-y 坐标系中，设抛物线C 的方程为y =1－x 2(－1x 1)，将曲线C 围绕y 轴旋转，得到的旋转体称为抛物体. 利用祖暅原理可计算得该抛物体的体积为( ). A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：构造直三棱柱，证明二者截面面积相等，从而求出三棱柱体积，即可得到抛物体的体积. 详解：构造如图所示的直三棱柱，高设为x，底面两个直边长为2,1若底面积相等得到：，（直线与圆的创新题）已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方)且AB=2, 9．过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M、N两点,下列三个结论: ①; ②；③2，其中正确结论的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】D【解析】分析：第一步，取的中点，通过圆与轴相切与点，利用弦心距、半弦长、圆的半径详解：根据题意，利用圆中的特殊三角形，求得圆心及半径，即得圆的方程为，并且可以求得，，因为在圆上，所以可设，所以，，所以，同理可得，所以，，，故①②③都正确.10．（解三角形与等差数列相结合的创新题）已知三角形的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为（）A. 15B. 18C. 21D. 24 【答案】A11．（充要条件与复合命题相结合的创新题）甲：、是互斥事件；乙：、是对立事件，那么（）A. 甲是乙的充要条件 B. 甲是乙的充分但不必要条件C. 甲是乙的必要但不充分条件D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【答案】C【解析】分析:根据互斥事件和对立事件的概念，根据充分条件和必要条件的概念分析解答.详解：当、是互斥事件时，、不一定是对立事件，所以甲是乙的非充分条件.当、是对立事件时，、一定是互斥事件，所以甲是乙的必要条件.所以甲是乙的必要非充分条件. 故选C.12．（集合与命题相结合的创新题）设集合，，现有下面四个命题：；若，则； ：若，则；：若，则.其中所有的真命题为（ ） A.B.C.D.【答案】B13．（数列通项与求和的创新题）已知数列中，，定义，则（ ） A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：先通过已知求出，再利用裂项相消求和.详解：∵，∴，所以，因为=(n+1)n, 所以，所以故选C.14．（切线的创新题）已知函数()()21x f x x x e =+-，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为 （ ）A. 32y ex e =-B. 34y ex e =-C. 45y ex e =-D. 43y ex e =- 【答案】D15．（复数的新定义的创新题）欧拉公式(为虚数单位)是瑞士数学家欧拉发明的,将指数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的联系,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知, 3ie π表示的复数的模为( )A. B. 1 C. D.【答案】B【解析】313cos sin 3322ie i i πππ⋅=+=+，所以22313122i e π⋅⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 16．将容量为的样本中得数据分成5组，绘制频率分布直方图，若第1至第5个长方形得面积之比为3：3：6：2：1，且最后两组数据的频数之和等于20，则的值等于__________． 【答案】100【解析】分析：利用频率分布直方图的实际意义、进行求解．详解：由题意，得，即．17．（向量的创新题）已知向量，，若向量，的夹角为，则实数__________．【答案】【解析】，，根据数量积定义，解得.18．（函数性质应用的创新题）若函数的最大值和最小值分别为、，则函数图像的一个对称中心是_______．【答案】19．（分段函数与不等式相结合的创新题）已知函数()330,,{0,,x x f x x x ≥=<-，若()()318f a f a -≥，则实数a的取值范围为__________． 【答案】][1,1,5⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】因为函数()330,,{0,,x x f x x x ≥=<-，所以总有()()82f a f a =，， ()()318f a f a -≥等价于()()312f a f a -≥ ，当0x ≥ 时()()333121,a a a -≥⇒≥ 当0x < 时，()()331312,5a a a --≥-⇒≤因此实数a 的取值范围为][1,1,5⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，故答案为][1,1,5⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.20．（数列与类比归纳中的创新题）设，利用求出数列的前项和，设，类比这种方法可以求得数列的前项和_______.【答案】【解析】分析：结合题中所给的代数式类比推理后进行合理裂项，然后利用裂项求和的方法即可求得数列的前n 项和.详解：类比题中的方法裂项可得：，则数列的前n 项和：.21．2，则该三棱锥的内切球的体积为__________． 【答案】3π22．（函数的零点与三角函数相结合的创新题）已知非零常数α是函数tan y x x =+的一个零点，则()()211cos2αα++的值为__________．【答案】223．（双曲线与圆相结合的创新题）点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右支上，其左、右焦点分别为1F 、2F ，直线1PF 与以坐标原点O 为圆心、a 为半径的圆相切于点A ，线段1PF 的垂直平分线恰好过点2F ，则该双曲线的渐近线的斜率为__________． 【答案】43±【解析】如图， A 是切点， B 是1PF 的中点，因为||OA a =，所以22BF a =，又122F F c =，所以12BF b =，24PF b =，又2122PF F F c ==，根据双曲线的定义，有122PF PF a -=，即422b c aa -=，两边平方并化简得223250c ac a --=，所以53c a =，因此2413b c a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.24．（函数的性质与数列相结合的创新题）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()3,232f x f x f ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭， n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2n n S a n =+，则()()56f a f a +=__________．【答案】325．（解三角形的创新题）如图：某快递小哥从地出发，沿小路以平均时速20公里小时，送快件到处，已知（公里），，是等腰三角形，．（1） 试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处？（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里小时，问，汽车能否先到达处？试题解析：（1）（公里），中，由，得（公里）于是，由知，快递小哥不能在50分钟内将快件送到处．（2）在中，由，得（公里），在中，，由，得（公里），-由（分钟）知，汽车能先到达处．26．（数列的创新题）已知等比数列的公比为，前项和为，，分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【解析】分析：(Ⅰ)由题意可得，则，解得，所以.(Ⅱ) ，所以，，两式相减得，，所以.27．（立体几何的创新题）如图，为边长为2的正三角形，，且平面，. （1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的高.【答案】（1）见解析（2）（2）过做，垂足为，因为平面，所以平面，且所以所以因为，，所以，又所以设所求的高为，则由等体积法得所以28．（圆锥曲线的创新题）设点M 是x 轴上的一个定点，其横坐标为a （a R ∈），已知当1a =时，动圆N 过点M 且与直线1x =-相切，记动圆N 的圆心N 的轨迹为C ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）当2a >时，若直线l 与曲线C 相切于点()00,P x y （00y >），且l 与以定点M 为圆心的动圆M 也相切，当动圆M 的面积最小时，证明： M 、P 两点的横坐标之差为定值． 【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：试题解析：（Ⅰ）因为圆N 与直线1x =-相切，所以点N 到直线1x =-的距离等于圆N 的半径， 所以，点N 到点()1,0M 的距离与到直线1x =-的距离相等.所以，点N 的轨迹为以点()1,0M 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线， 所以圆心N 的轨迹方程，即曲线C 的方程为24y x =．（Ⅱ）由题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()00y y k x x -=-， 由()002,{4,y y k x x y x -=-=得20004k y y kx y --+=， 又2004y x =，所以2200044k ky y y y --+=，29．（统计案例的创新题）十九大提出，坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用电商进行销售，为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分别在[)15001750，， [)17502000，， [)20002250，，[)22502500，， [)25002750，， [)27503000，（单位：克）中，其频率分布直方图如图所示.（1）按分层抽样的方法从质量落在[)17502000，， [)20002250，的蜜柚中抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率；（2）以各组数据的中间数代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚等待出售，某电商提出两种收购方案： A.所有蜜柚均以40元/千克收购；B ．低于2250克的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2250克的以80元/个收购. 请你通过计算为该村选择收益最好的方案.【解析】【试题分析】(1) 在[)17502000，， [)20002250，的蜜柚中各抽取2个和3个.利用列举法求得基本时间的总数为10种,其中符合题意的有1种,故概率为110.(2)首先计算出各组数据对应的频率,然后分别计算方案A 的总收益和方案B 的总收益,得出方案A 点的总收益高于方案B 的总收益,所以选择方案A .（2）方案A 好，理由如下：由频率分布直方图可知，蜜柚质量在[)15001750，的频率为2500.00040.1⨯=，同理，蜜柚质量在[)17502000，， [)20002250，， [)25002750，， [)27503000，的频率依次为0.1，0.15，0.4，0.2，0.05. 若按A 方案收购：根据题意各段蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250， 于是总收益为1500175017502000(50050022++⨯+⨯ 2000225022502500750200022+++⨯+⨯2500275027503000100025022+++⨯+⨯）401000⨯÷ ()250250[672=⨯⨯+ ()()2782893⨯++⨯++⨯ 910810114++⨯++⨯（）（）()11121]401000++⨯⨯÷[]25502630511528423=⨯+++++457500=（元）若按B 方案收购：∵蜜柚质量低于2250克的个数为()0.10.10.350001750++⨯=， 蜜柚质量低于2250克的个数为500017503250-=,∴收益为175060325080⨯+= []2502073134365000⨯⨯⨯+⨯=元. ∴方案A 的收益比方案B 的收益高，应该选择方案A . 30．（函数与导数的创新题）已知函数.（1）时，求函数的单调区间；（2）设，使不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.【解析】分析：（1）求出函数的定义域和导数，讨论与1的关系确定导函数的符号变化，进而确定函数的单调性；（2）先求出，将问题等价转化，再分离参数，将不等式恒成立转化为求函数的最值问题．（2）由（1）知，当时，在上递减，当时，，，原问题等价于：对任意的，恒有成立，即，当时，取得最大值，∴．。