从抽象函数形式看函数性质——抽象函数在周期性、对称性、奇偶性上的体现
(完整版)函数奇偶性、对称性、周期性知识点总结,推荐文档
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得()f x x T ()()f x T f x +=恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（()f x T ()f x kT ）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。
,0k Z k ∈≠()f x ()f x 分段函数的周期：设是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:)(x f y =),(x f y =。
把个单位即按向量[]a b T b a x -=∈,,)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿在其他周期的图像：)()0,(x f y kT a ==平移，即得。
[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若。
为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。
抽象函数单调性、奇偶性、周期性和对称性典例分析
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性一、典例分析1.求函数值例 1.设是上的奇函数，当时，，则等于（）（A）0.5; （B）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5.例2．已知是定义在实数集上的函数，且，求的值.。
2、比较函数值大小例 3.若是以2为周期的偶函数，当时，试比较、、的大小.3、求函数解析式例4.设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式.例5．设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式.4、判断函数奇偶性例6.已知的周期为4，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性.5、确定函数图象与轴交点的个数例7.设函数对任意实数满足，判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.6、在数列中的应用例8.在数列中，，求数列的通项公式，并计算7、在二项式中的应用例9.今天是星期三，试求今天后的第天是星期几？8、复数中的应用例10.（上海市1994年高考题）设，则满足等式且大于1的正整数中最小的是（A） 3 ；（B）4 ；（C）6 ；（D）7.9、解“立几”题例11.ABCD—是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。
白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线（其中.设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是（A）1；（B）；（C）；（D）0.例题与应用例1：f(x) 是R上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007) 的值例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值。
例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)=－2x+1，则当时求f(x)的解析式例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=，f(999+x)=f(999－x)，试判断函数f(x)的奇偶性.例5：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)是减函数，求证当时f(x)为增函数例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a的值.例7：已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0，求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？例8、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（）A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称例9、设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论直线Ax By ^0成轴对称;2Ax By C =0成轴对称。
9, y_2B(A X + B 罗C))= o 关于直线③ F (x, y) = 0与F (x _经A 二二2 A 2 B 2Ax ? By ? C =0成轴对称。
、函数对称性的几个重要结论(一)函数y = f(x)图象本身的对称性(自身对称)若f(x a^_f(x b)，则f(x)具有周期性；若f (a ?x)=：「f(b -x)，则f (x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、f(a+x) = f(b —x) u y = f(x)图象关于直线 x =l a Z x LL (b _x) =a ￡b 对称2 2推论1: f (a ? x) = f (a - x) = y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称推论2、f (x) = f (2a - x) = y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称推论3、f(-x)二f (2a ? x) ：= y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称2、 f(a+x) + f (b —x) =2c 二y=f(x)的图象关于点(兰匕c)对称2推论 1、f (a ? x) ? f (a -x) = 2b ：= y = f (x)的图象关于点(a,b)对称推论2、f (x) ? f (2a - x) = 2b ：= y = f (x)的图象关于点(a,b)对称推论3、f (-x) ? f(2a ? x) =2b = y = f(x)的图象关于点(a,b)对称(二)两个函数的图象对称性(相互对称) (利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、偶函数y =f(x)与y = f(-x)图象关于Y 轴对称2、奇函数y =f(x)与y 二-f(-x)图象关于原点对称函数3、函数y = f (x)与y - - f (x)图象关于X 轴对称4、互为反函数y 二f (x)与函数y 二f'(x)图象关于直线y =x 对称② 函数…(x)与一2驚￥。
抽象函数单调性、奇偶性、周期性和对称性典例分析
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性一、典例分析1.求函数值例1.设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于（ ）（A ）0.5;（B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5.例2．已知)(x f 是定义在实数集上的函数，且[])(1)(1)2(x f x f x f +=-+，,32)1(+=f 求)1989(f 的值.(1989)f = 。
2、比较函数值大小例3.若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当[]1,0∈x 时，,)(19981xx f =试比较)1998(f 、)17101(f 、)15104(f 的大小.3、求函数解析式例4.设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间),12,12(+-k k 已知当0I x ∈时，.)(2x x f =求)(x f 在k I 上的解析式.例5．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式.4、判断函数奇偶性例6.已知)(x f 的周期为4，且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立，判断函数)(x f 的奇偶性.5、确定函数图象与x 轴交点的个数例7.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f ,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点.6、在数列中的应用例8.在数列{}n a 中，)2(11,3111≥-+==--n a a a a n n n ，求数列的通项公式，并计算.1997951a a a a ++++7、在二项式中的应用例9.今天是星期三，试求今天后的第9292天是星期几？8、复数中的应用例10.（XX 市1994年高考题）设)(2321是虚数单位i i z +-=，则满足等式,z z n =且大于1的正整数n 中最小的是()（A ） 3 ； （B ）4 ； （C ）6 ； （D ）7.9、解“立几”题例11.ABCD —1111D C B A 是单位长方体，黑白二蚁都从点A 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。
抽象函数周期性对称性相关定理全总结
抽象函数周期性对称性相关定理全总结1. Fourier级数定理：Fourier级数定理是抽象函数周期性对称性的基本理论定理之一、它表明，任何以L为周期的可积函数f(x)都可以展开成正弦函数与余弦函数的无穷级数形式，即Fourier级数。
这个级数可以表示为：f(x) = a0 + Σ(an*cos(nπx/L) + bn*sin(nπx/L))其中，L是函数周期，a0是常数项，an和bn分别是系数。
2.奇偶周期性与对称性：奇周期性与对称性是周期性对称性的两种特例。
如果一个函数满足f(x) = -f(-x)，则称其为奇函数。
奇函数可以展开成sin函数的Fourier级数形式。
如果一个函数满足f(x) = f(-x)，则称其为偶函数。
偶函数可以展开成cos函数的Fourier级数形式。
3. 对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理：对称函数的Fourier级数展开是指将一个以L为周期的对称函数展开成cos函数的Fourier级数形式。
傅里叶定理表明，对于一个以L为周期的函数f(x)，如果f(x)是一个对称函数，则其Fourier级数展开只包含cos函数；如果f(x)是一个奇函数，则其Fourier级数展开只包含sin函数。
4. 函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数：函数的周期拓展是指将一个以L为周期的函数f(x)拓展成以2L为周期的函数。
周期拓展后的函数可以用以L为周期的函数的Fourier级数展开。
具体而言，如果将f(x)的周期拓展后的函数记作F(x)，则对于周期拓展后的函数F(x)，存在一个以L为周期的函数g(x)，使得F(x) = g(x)在[-L, L]上成立。
所以，F(x)的Fourier级数展开实际上是以L为周期的函数g(x)的Fourier级数展开。
综上所述，抽象函数周期性对称性相关定理涉及四个方面：Fourier级数定理、奇偶周期性与对称性、对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理、函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数。
从抽象函数形式看函数性质
从抽象函数形式看函数性质—— 抽象函数在周期性、对称性、奇偶性上的体现㈠周期性定义：任意I ，I ∈x 是定义域，都有=()(+T)，T f x f x 是非零常数。
则 ()f x 是周期函数，其周期是T 。
推广：①I ，∀∈x 都有),22(+)=(-T T f x f x 则()f x 是以T 为周期的周期函数。
②I ，∀∈x 都有()=()++f x A f x B ，A ，B 是常数，则()f x 是以｜｜-B A 为周期的周期函数。
下面给出证明：令,+=∴=-∴+=-+x A X x X A x B X A B 。
()()()∴=+-∴f X f X B A f x 是以｜｜-B A 为周期的周期函数。
另可发现规律：括号内两项之差为定值T ，周期T=定值。
③若存在非零常数T ，使()()0+-=f x T f x ，则()f x 是周期的周期函数。
联想：()()0++=f x T f x 是不是周期函数呢？事实上，若()（）+=-f x T f x 成立，则()（）+=-f x T f x ()()⎡⎤⎣⎦=---=-f x T f x T ， ()∴f x 是以2T 为周期的周期函数。
证明：11()=(),()1()()+==-∴-f x T f x T f x f x f x T 是以2T 为周期的周期函数。
1(),()()⑤若+=-∴f x T f x f x 是以2T 为周期的周期函数。
11()(),()1()()+=-=-=-∴--f x T f x T f x f x f x T 是以2T 为周期的周期函数。
证明：11()(),()1()()+=-=-=-∴--f x T f x T f x f x f x T 是以2T 为周期的周期函数。
㈡对称性①偶函数()f x 关于y 轴0=x 对称，()()。
-=f x f x②结论1：()f x 的图象关于=x a 对称()()⇔+=-f a x f a x证明：⇐对,0∀x 不妨令,00>x 在（,0）a 右侧0x 处，取+0,=x a x 对应纵坐标()10=+y f a x 。
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论及题型归纳
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论及题型归纳一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x)()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
分段函数的奇偶性3、函数的对称性： （1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。