1.2.1任意角的三角函数(复习课)
三年级【数学】1.2.1 任意角的三角函数(人教A版必修4)2---新编版
例4 判断满足以下条件的角的终边所在的位置： ①sinθ<0 且 tanθ>0
②cosθ<0 且 tanθ<0
③cosθ>0 且 sinθ<0 ④cosθ≤0 且 tanθ≥0
（1）. 若sinα=1/3，且α的终边经过点p（—1，y）， 则α是第几象限的角？并求cosα，tanα的值。
y 2 ,r 3 2
3、
(1)求函数y
1
1 sin
x
的定义域。
解：∵1＋sinx≠0， ∴ sinx≠－1
即角x的终边不能在y轴的负半轴上。
∴
x 2k 3
2
，k∈Z，
故函数的定义域是
{x|x∈R，且
x 2k
3
2
，k∈Z}
(2)求 y cos x tan x 的定义域.
(3)求 y sin x lg cos x 的定义域.
r x2 y2
三角函数
定义域
sin
R
cos tan
R
{ k ,(k Z)
}
2
小结
小结 三角函数值的符号： “第一象限全为正，二正三切四余弦”
sinx
Tanx cotx
cosx
诱导公式一
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan
例２．已知角α=
4
3
，分别求sinα，
cosα，tanα.
在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单
位长度为半径的圆为单位圆(unit circle).
y
B
AOB的终边与单位圆的交点坐标为
1
O
x
1 2
1.2.1任意角的三角函数课件
小结： 小结：
（1）任意角的三角函数的定义； ）任意角的三角函数的定义； （2）三角函数的定义域与三角函数值在各象限的符号； ）三角函数的定义域与三角函数值在各象限的符号； （3）诱导公式一及其应用； 公式一及其应用； ）诱导公式一及其应用 （4）体会定义过程中体现的数形结合的思想 ）体会定义过程中体现的数形结合的思想.
-
(+)
(+ )
( )
-
ycos r
y a = tan x
求证：当且仅当下列不等式组成立时， 例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时， 为第三象限角. 角 θ 为第三象限角
证明： 证明： 因为① 成立,所以 因为①式sin θ < 0 成立 所以 θ 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上； 或第四象限，也可能位于 轴的非正半轴上； 又因为② 成立， 又因为②式 tan θ > 0 成立，所以角θ 的终边可能位于 第一或第三象限. 第一或第三象限 因为①②式都成立， 的终边只能位于第三象限. 因为①②式都成立，所以角θ 的终边只能位于第三象限 ①②式都成立 为第三象限角. 于是角 θ 为第三象限角 反过来请同学们自己证明. 反过来请同学们自己证明
探究： 探究：
1.三角函数的定义域 三角函数的定义域 三角函数
sin α cos α tan α
定义域
π α α ≠ kπ + ,k ∈ Z 2
R R
2.三角函数值在各象限的符号 三角函数值在各象限的符号
(+ ) ( )
（+ ） ( )
( )
-
(+ )
( )
-
(+)
-
1.2.1任意角的三角函数
0
tan 0 0 cos0 1 （2）因为当 时，x r y 0 ，所以 ， sin 0 cos 1 tan 0 3 （3）因为当 时， x 0， y r ，所以 2
3 sin 1 2
3 cos 0 2
sin 0 0
（ （
k , k Z 2
R R
[ 1,1] [ 1,1] R
（
（
值域
）
y
2.三角函数值在各象限的符号
（
x ）
sin
o ）（
）（ ） cos
o ）（ x ）
y
） （ ）
tan
o ） （ x ）
y
（
例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，
12,5
52 13
，
的三个三角函数值.
2 2
解：由已知可得：
r x y
y 5 于是，sin r 13 y 5 tan x 12
12
2
x 12 cos r 13
探究：
1.三角函数的定义域和值域 三角函数 定义域
sin cos tan
Y
单位圆.
P(a,b)
MP sin OP
OM cos OP
b
O M X
a b MP tan OM a
2.任意角的三角函数定义（二）
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y )
那么:（1）y 叫做
α的终边
的正弦，记作 sin ，即 sin y ； （2）x 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x ； y y tan （3） 叫做 的正切，记作 ，即 tan ( x 0)
1.2.1任意角的三角函数(2)
kz
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为 求 0到2
或0到360 角的三角函数值 .
例1 确定下列三角函数值的符号：
解： （1）因为 250 是第三象限角，所以cos 250 0 ；
（2）因为 tan(672 ) = tan(48 2 360 ) tan 48， 而 48是第一象限角，所以 tan(672 ) 0 ； sin 0 . （3）因为 是第四象限角，所以 4 4
y
T M O P
α的终边
y
A(1, 0) x
M A(1, 0) O PT
x
α的终边
因 P(x，y)，所以线段OM的长度为 | x | ， 线段MP的长度为 | y | .
|MP|=|y|=|sinα|;
|OM|=|x|=|cosα|
思考:为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否 给线段OM,MP规定一个适当的方向,使他们的 取值与P点的坐标一致? 以坐标轴的方向来规定OM,MP的方向，以 使他们与P点的坐标联系起来。
p15练习(7)题
11 练习：求值 cos 3
71 sin 6
19 tan 3
11 解： cos 3
71 sin 6
19 tan 3
由正弦、余弦、正切函数的定义有：
y y sin y MP r 1
p17练习(2)题
cos x x x OM r 1
y MP AT tan AT x OM OA
我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM、 AT，分别叫做角α的正弦线、余弦线 、正切线．
1.2.1任意角的三角函数(一)
R
例题与练习
例1. 求下列各角的四个三角函数值：
(1) ;
5 (2) . 3
例题与练习
例2. 已知角的终边经过点P(－ 3,－4)， 求角的四个三角函数值．
小结:若α的终边上任意一点的坐标为 P(x,y) ,其三角函数可转化为
y x y 2 2 sin , cos , tan , ( r x y ) r r x
我们把它们统称为三角函数.
说 明：
①的始边与轴的非负半轴重合， 的终边没有表明一定是正角或负角，以 及的大小，只表明与的终边相同的角 所在的位置；
x
②根据相似三角形的知识，对于确 定的角，四个比值不以点P(x, y)在的 终边上的位置的改变而改变大小；
说 明：
2 在y轴上，终边上任意一点 的横坐标x都 y 等于0，所以tan 无意义；同理当 x x k ( k Z ) 时， cot 无意义； y
1.2.1任意角的 三角函数
复习引入
锐角三角函数的定义：
斜边 对边
sin
邻边
对边 斜边 _____;cos
邻边 斜边 _____; tan
对边 邻边 _____
锐角三角函数坐标化
O 重 设锐角 的顶点与原点 y P(a,b) 合,始边与 x 轴的非负半轴重合. P(a,b) 在 的终边上任取一点 P(a, b) ,它 r 与原点的距离 r a2 b2 α
（1）y叫做α 的正弦，记作sinα ， 即 y sinα =y； （2）x叫做α 的余弦，记作 cosα ，即cosα =x
P(x,y)
α
O
A(1,0) x
y （3） 叫做α 的正切，记作tanα ，即 x y
1.2.1任意角的三角函数课件人教新课标
C. sinα = 3 13 13
D. tanα = 3 2
4.若角α的终边在直线y = 2x上，则sinα等于( C )
A.
1
B. 5
5
5
C.
2
5
D.
1
5
2
5.α的终边经过P(-b,4)，且cosα = - 3，则 5
b的值为__3___。
6.已知角α的终边在y = x上，则 sinα + cosα = ±__2_____。
tanα
0
90° π/2
1 0 不存在
180° π 0 -1 0
270° 3π/2
-1 0 不存在
360° 2π 0 1 0
例2：已知α的终边经过点P0 （－4，－3），求 α角的正弦,余弦,正切的值。
y
M0
M o
P
P0(-4,-3)
分析：由
△OMP∽△OM0P0，
x
可求出相应的三角函数 值。
解： sina = y = y = - MP = - MP0 = - 3
x
y
第二象限：x 0, y 0,故 y 为负值；
x
o
x
第三象限：x 0, y 0,故 y 为正值；
x
第四象限：x 0, y 0,故 y 为负值. x
y
y
y
o
xo
xo
x
sin
cos
tan
规律：
“一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”.
例4：确定下列三角函数值的符号。
1
cos
260°
r OP
OP0 5
cosα = x = x = - OM = - OM0 = - 4
数学人教A版必修4课后集训： 1.2.1任意角的三角函数
课后集训基础达标1.已知下列三角函数，其中函数值为负的有（ ）①sin(-680°) ②cos(-730°) ③tan320° ④sin(-130°)·cos850°A.1个B.2个C.3个D.4个解析：由诱导公式转化到0°—360°之间，判断其所在象限，或者利用三角函数线求解. 答案：A2.角θ的终边有一点P （a,a ）(a≠0),则sinθ的值是（ ） A.22 B.-22 C.±22 D.1 答案：C3.函数y=x x cos sin -+的定义域是( )A.［kπ+2π,(2k+1)π］（k ∈Z ） B.［2kπ+2π,(2k+1)π］（k ∈Z ） C.［kπ+2π,(k+1)π］（k ∈Z ） D.［2kπ,(2k+1)π］（k ∈Z ） 解析：由题意可得⎩⎨⎧≤≥,0cos ,0sin x x 设角x 终边与单位圆交点为P （x,y ），则由三角函数定义⎩⎨⎧≤≥,0,0x y 从而选B.也可利用特值或三角函数线求解.答案：B4.已知α为第二象限角，其终边上一点为P （x,5）,且cosα=42x,则sinα的值为（ ） A.410 B.46 C.42 D.-410 解析：r=52+x .∵cosα=x 42, ∴,4252x x x=+ 解得：x=±3.∵α是第二象限角，∴x=-3.∴sinα=85=410.故选A.答案：A 5.y=xx x x x x tan |tan |cos |cos |sin |sin |++属于（ ） A.{1，-1} B.{-1，1，3} C.{-1，3} D.{1，3}解析：当x 是第一象限角，则y=1+1+1=3;当x 是第二象限角，则y=1-1-1=-1;当x 是第三象限角，则y=-1-1+1=-1;当x 是第四象限角，则y=-1+1-1=-1.∴y ∈{-1,3}.故选C.答案：C6.若-43π＜α＜-2π,从单位圆中的三角函数线观察sinα、cosα、tanα的大小是_____________. 解析：由三角函数线可得.答案：sinα＜cosα＜tanα综合运用7.已知θ为第三象限角，且|cos 2θ|=-cos 2θ,则角2θ属于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析：∵θ 是第三象限角,∴2kπ+π＜θ＜2kπ+π23,k ∈Z ,则kπ+2π＜2θ＜kπ+π43,k ∈Z .当k 为偶数，2θ是第二象限角.当k 是奇数时，2θ是第四象限角. ∵|cos2θ|=-cos 2θ, ∴2θ一定是第二象限角.故选B. 答案：B8.若0＜α＜π,则10sin α、lgsinα、sin 10α三个数之间的大小关系是（ ）A.sin 10α＜10sin α＜lgsinαB.lgsinα＜sin 10α＜10sin αC.10sin α＜lgsinα＜sin 10αD.lgsinα＜10sin α＜sin 10α解析：∵0＜α＜π,∴0＜sinα≤1.∴lgsinα＜0,10sin α＞1,0＜sin 10α＜1.∴lgsinα＜sin 10α＜10sin α.故选B.答案：B9.已知点P （sinα-cosα,tanα）在第一象限，α在［0，2π］内，α的取值范围是______________. 解析：由题意得：⎩⎨⎧>>-,0tan ,0cos sin ααα即)2()1(.0tan ,cos sin ⎩⎨⎧>>ααα 由①得：4π＜α＜45π. 由②得0＜α＜2π或π＜α＜π23. ∴4π＜α＜2π或π＜α＜π45. 答案：4π＜α＜2π或π＜α＜π45 拓展探究10.（1）若α为锐角，证明：sinα+cosα＞1.证明：∵α为锐角,∴0＜sinα＜1,0＜cosα＜1.∵函数y=a x (0＜a ＜1)在R 上是减函数，∴sin 2α＜sinα,cos 2α＜cosα.∴sin 2α+cos 2α＜sinα+cosα,∴sinα+cosα＞1.(2)若α为锐角.求证：sin 3α+cos 3α＜1.证明：∵α是锐角，∴0＜sinα＜1,0＜cosα＜1.∵函数y=a x (0＜a ＜1)在R 上是减函数,∴sin 3α＜sin 2α,cos 3α＜cos 2α∴sin 3α+cos 3α＜sin 2α+cos 2α=1,∴sin 3α+cos 3α＜1.备选习题11.已知α的终边经过点（3a-9,a+2）,且cosα≤0,sinα＞0,则a 的取值范围是_____________. 解析：∵cosα≤0,sinα＞0,∴⎩⎨⎧>+≤-,02,093a a ∴-2＜a≤3.答案：-2＜a≤312.确定下列式子的符号. (1)8sin 5cos )3tan(-;(2)lg(cos6-sin6). 解：（1）∵-π＜-3＜-2π, ∴tan(-3)＞0. ∵23π＜5＜2π,∴cos5＞0. ∵π25＜8＜3π,∴sin8＞0.故8sin 5cos )3tan(-＞0. (2)∵23π＜6＜2π,∴cos6＞0,sin6＜0. ∴cos6-sin6＞0.由单位圆中的三角函数线可知，cos6-sin6＞1.∴lg(cos6-sin6)＞0.13.求值.sin(-1 740°)·cos1 470°+cos(-660°)sin750°+2sin 21 125°.解：sin(-1 740°)·cos1 470°+cos(-660°)sin750°+2sin 21 125°=sin(-5×360°+60°)·cos(4×360°+30°)+cos(-2×360°+60°)·sin(2×360°+30°)+2sin 2(3×360°+45°) =sin60°·cos30°+cos60°·sin30°+2sin 245° =2)22(221212323⨯+⨯+⨯=2. 14.求y=lgsin2x+29x -的定义域.解：由题意得⎩⎨⎧≥->.09,02sin 2x x 由sin2x ＞0,得2kπ＜2x ＜2kπ+π,(k ∈Z ),即kπ＜x ＜kπ+2π,(k ∈Z )① 由9-x 2≥0,得-3≤x≤3②由①②得-3≤x ＜-2π或0＜x ＜2π. 故函数的定义域为{x|-3≤x ＜-2π或0＜x ＜2π}. 15.设f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-<).21(1)1(),21(sin x x f x x π 求f(41)+f(67)的值. 解析：∵41＜21,∴f(41)=sin 4π=22. 又67＞21, ∴f(67)=f(67-1)+1=f(61)+1.而61＜21,∴f(67)=f(61)+1 =sin 6π+1=23, 则f(41)+f(67) =22+22323+=. 答案：223+ 16.（经典回放）已知sinα＞sinβ,那么下列命题成立的是（ ）A.若α、β是第一象限角，则cosα＞cosβB.若α、β是第二象限角，则tanα＞tanβC.若α、β是第三象限角，则cosα＞cosβD.若α、β是第四象限角，则tanα＞tanβ 解析：运用单位圆中的三角函数线，采用排除法，容易判断.如下图.∴选D.答案：D。
1.2.1 任意角的三角函数(2)
例1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线 .
（1）
3
；
（2）
2
3
.
解：
y
的终边
T3
y
T
P
O M A(1, 0) x
M
O A(1, 0) x
2 的终边 P
3
（1）
3
正弦线是
MP，
（2）
2
3
正弦线是 MP，
余弦线是 OM，
余弦线是 OM，
正切线是 AT .
正切线是 AT .
例2. 求证：当 为锐角时，sin tan ．
3 ，y），且sin
2 4
y，
求cos、tan 的值。
解：由已知得 r （ 3）2 y2 3 y2
sin y y ，又 sin 2 y
r 3 y2
4
y 3 y2
2y 4
即
y 0或
3 y2 2 2
解得 y 0 或 y 5.
(1) 当 y 0时，P（ 3 ，0），r 3 ,
作 业：
1. 教材 P22 习题4.3 1 ~ 2 2. 步步高：P9~12
高活页：§4.3 任意角的三角函数第一课时
练习1：若角α的终边落在射线 y 3x (x 0) 上，
求 sin ，cos ，tan .
解：在 射线 y 3x (x 0) 上取一点 P(1，3)，
则 r 12 32 10 ，
α的终边
y
P
y
T α的终边 P
MO
A(1, 0) x
T
O M A(1, 0) x
y
y
T
α的终边
M O
P
A(1, 0) x
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任意角的三角函数
知识回顾
1、三角函数定义 2 、三角函数的定义域 3 、三角函数在各象限内的符号 4 、诱导公式第一组 5 、三角函数线
检验练习:
1.确定下列各式的符号 (1)sin100°·cos240° (2)sin5+tan5
2.若三角形的两内角α，β满足 sinαcosβ < 0，则此三角形必 为……（ ） A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D以上三种情况都可能
(1)sinα<cosα; (2)|sinα|<|cosα| .
1 7、已知， 2
sin 2θ
<1
则θ为第几象限角？ θ
8.求值： sin(-1320°)cos1110°+ cos(1020°)sin750°+tan495°
9.求函数的值域
sin x cos x tan x y= + + sin x cos x tan x
10、利用单位圆中的三角函数线， 确定下列各角的取值范围：
3．已知θ是第三象限且 cos ，问 2 是第几象限角？
θ
θ
2
<0
4 .设α是第二象限的角，且
| cos
α
2
|= − cos
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α
2
,求
α
2
的范围.
5.若θ在第四象限，试判 sin(cosθ)cos(sinθ)的符号
6、求下列函数的定义域： （1） y （2）
= 2 cos x − 1
2
y = lg(3 − 4sin x)