泛函分析期末复习提要
泛函分析复习与总结
泛函分析复习与总结泛函分析是数学中的一个重要分支，是研究无限维空间上的函数和线性算子的学科。
它的研究对象不再是有限维线性空间上的向量，而是函数或者函数空间，包括无限维的函数空间。
泛函分析在数学中有着广泛的应用，例如在微分方程的理论研究中，泛函分析有助于研究解的连续性、唯一性和存在性等问题；在概率理论中，泛函分析有助于研究随机过程的性质等。
下面将对泛函分析的重要内容进行复习和总结。
1.线性空间与拓扑空间线性空间是指具有线性结构的集合，泛函分析研究的对象就是线性空间上的函数或者函数空间。
拓扑空间是指在集合中引入一个拓扑结构，使得可以定义连续性和收敛性等概念。
泛函分析的研究对象通常是拓扑线性空间，即同时具有线性结构和拓扑结构的空间。
2.赋范空间与完备空间赋范空间是指在线性空间上定义了一个范数（或称规范），从而使得该空间成为一个度量空间。
范数的引入使得我们可以定义距离，并且可以定义收敛性。
完备空间是指其中的Cauchy列总是收敛于该空间中的点。
泛函分析中，赋范空间和完备空间是重要的概念，在研究函数的连续性和收敛性时起到了关键的作用。
3.内积空间与希尔伯特空间内积空间是指在线性空间上定义了一个内积，从而可以定义长度和夹角。
希尔伯特空间是指满足内积空间中所有Cauchy列都收敛于该空间中的点的空间。
内积空间和希尔伯特空间在泛函分析中具有重要的作用，特别是在研究函数的正交性和投影等问题时。
4.线性算子与连续算子线性算子是指将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射。
连续算子是指在拓扑空间上保持连续性的线性算子。
泛函分析中，线性算子和连续算子是重要的研究对象，它们可以用来描述函数之间的关系和映射。
5. Banach空间与可分空间Banach空间是指在完备的范数空间上定义了一个范数，从而构成一个完备空间。
可分空间是指线性空间中存在可数稠密子集的空间。
Banach空间和可分空间是泛函分析中重要的类别，它们在研究最优性，特别是最优解的存在性和表示性时起到了关键的作用。
泛函分析总复习
泛函分析总复习（按与课本先后顺序排列）1、设M 是n R 中的有界闭集，映射M M T →:满足),(),(y x Ty Tx ρρ<()y x M y x ≠∈∀,,。
求证T 在M 中存在唯一的不动点。
证明： 因为),(),(00x x Tx Tx ρρ<，所以0),(0),(00→⇒→Tx Tx x x ρρ。
再由三角不等式，得到),(),(),(),(0000Tx Tx x x Tx x Tx x ρρρρ+≤-。
由此可见，),()(Tx x x f defρ==在M 上连续。
因为M 是n R 中的有界闭集，所以Mx ∈∃0，使得),(m i n )(m i n )(),(000Tx x x f x f Tx x Mx Mx ρρ∈∈===。
如果0),(00=Tx x ρ，那么0x 就是不动点。
今假设0),(00>Tx x ρ。
根据假设，我们有),(min ),(),(00020Tx x Tx x x T Tx Mx ρρρ∈=<。
但是M x T Tx ∈020,，这与),(00Tx x ρ是最小值矛盾。
故0),(00=Tx x ρ，即存在不动点0x 。
不动点的唯一性是显然的。
事实上，如果存在两个不动点1x ，2x ，则从),(),(),(212121x x Tx Tx x x ρρρ<<即得矛盾。
2、对于积分方程)()()(1t y ds s x e t x s t =∈⎰-λ，其中]1,0[)(C t y ∈为一给定函数，λ为常数，1<λ，求证存在唯一解]1,0[)(C t x ∈。
证明： 考虑由)()()(1t y ds s x e t x s t =∈⎰-λ),()()(10t y e ds s x e t x e tst---=-⇒⎰λ),()(),()(t y e t t x e t z t t def--===ζ则原方程等价于ds s z t t z ⎰+=1)()()(λζ。
上海市考研数学四十三复习资料泛函分析(统考)重点梳理与案例分析
上海市考研数学四十三复习资料泛函分析（统考）重点梳理与案例分析一、泛函分析概述泛函分析是数学中的一个重要分支，它研究的对象是函数的推广，即泛函。
泛函分析在数学理论和实际应用中都具有广泛的意义。
在上海市考研数学四十三中，泛函分析作为一门必修课程，对于考生来说是一个具有较高难度和重要性的知识点。
下面将从重点概念、定理与证明、重要案例等几个方面进行梳理与分析。
二、重点概念1. Banach空间与Hilbert空间Banach空间是一个完备的赋范向量空间，满足了度量空间的完备性和线性空间的结构特点。
Hilbert空间是一个内积空间，具有完备性和正交性的性质，是泛函分析中较为重要的空间。
根据Banach空间和Hilbert空间的特点，可以推导出许多重要的定理和结论。
2. 连续性与可测性在泛函分析中，连续性和可测性是两个重要概念。
连续性是指函数在某个点附近变化不大，可测性是指函数在某个测度空间上的可观测性。
这两个概念在泛函分析中应用广泛，对于理解和证明定理具有重要意义。
3. 紧算子与谱分析紧算子是泛函分析中一个重要的概念，它具有正规性和有界性。
谱分析是研究算子特征值和特征向量的理论，包括有界线性算子、紧算子和自伴算子等。
这些概念在泛函分析的定理与证明中具有重要作用。
三、定理与证明1. Hahn-Banach定理Hahn-Banach定理是泛函分析中的一大重要定理，它是推广了线性泛函的存在性和唯一性的定理。
定理的证明通常采用分离集和有限子集的方法，通过构造一个满足条件的线性泛函来证明存在性。
这个定理的应用十分广泛，是泛函分析中必须掌握的内容之一。
2. Banach-Steinhaus定理Banach-Steinhaus定理是推广了一致有界原理的定理。
在定理的证明中，一般采用Baire范畴定理和Baire范畴性质来证明。
这个定理的应用范围广泛，例如在泛函分析中的均一化原理和有界线性算子定理中都有应用。
3. 开放映射定理与闭图像定理开放映射定理和闭图像定理都是泛函分析中的重要定理，它们分别给出了开映射和闭图像的条件和性质。
泛函分析复习提要
泛函分析复习提要一、填空1. 设X是度量空间，E和M是X中两个子集，如果 _______ ，那么称集M在集E中稠密。
如果X有一个可数的稠密子集，那么称X是_____ 空间。
2. 设X是度量空间，M是X中子集，假设________________ ，那么称M是第一纲集。
3. 设T为复Hilbert空间X上的有界线性算子，假设对任何x X，有T X T，那么T为_________ 算子。
(Hilbert 空间H上的有界线性算子T是正常算子的充要条件是____________________ 。
)4. 假设复Hilbert空间X上有界线性算子T满足对一切X，::: Tx,x •是实数，那么T为________ 算子。
(Hilbert 空间H上的有界线性算子T是自伴算子的充要条件是____________________ 。
)5. 设X是赋范线性空间，X ■是X的共轭空间，泛函列fn • X (n=1,2,||()，如果存在f • X '，使得对任意的X • X，都有______________ ，那么称｛ f n｝弱*收敛于f。
6•设X,Y是赋范线性空间，T n • B(X,Y)，n =1,2,川，假设存在「B(X,Y)使得对任意的x • X，有 ______________ ，那么称和强收敛于T。
7. 完备的赋范线性空间称为________ 空间，完备的内积空间称为_________ 空间8. 赋范线性空间X到赋范线性空间Y上的有界线性算子T的范数T二____________9. 设X是内积空间，那么称________ 是由内积导出的范数。
10. 设X是赋范空间，X的范数是由内积引出的充要条件是 ______________ 。
11. 设Y是Hilbert空间的闭子空间，贝U Y与Y--满足_______________ 。
12. 设X是赋范空间，T：D(T) X > X的线性算子，当T满足__________________ 时，那么T是闭算子。
《实变函数与泛函分析基础》第二版程其襄泛函知识点期末总结
《实变函数与泛函分析基础》第二版程其襄泛函知识点期末总结泛函知识点期末总结一、关于有界线性算子，算子范数等1、设[,]x X C a b ∈=，定义X 上的线性算子T ：若[,],()()()(),[,]f C a b Tf t x t f t t a b ∈=∈。
求证：T 有界，并求||||T 。
2、设0[,],[,]X C a b t a b =∈。
定义X 上的线性泛函f ：若0,()()x X f x x t ∈=。
求证：f 有界，并求||||f 。
3、设 12123[,],,,,[,],,,,n X C a b t t t a b C λλλ=∈∈（全体复数集），定义X 上的线性泛函f : 若1,()()n i i i x X f x x t λ=∈=∑，f 有界，并求||||f 。
二、关于共轭空间的定义及其求解三、内积空间的定义及内积空间与赋范空间的关系，常见的内积空间四、变分引理极小化向量定理P245定理1及推论，P247引理1，P251引理1五、投影定理，投影算子及其性质，六、Hilbert 空间的连续线性泛函，共轭算子，自伴算子，正常算子，酉算子七、完全规范正交基及其判定定理八、Banach 空间的基本定理及其应用九、Banach 共轭算子的定义及其求法十、逆算子定理与闭图像定理之间的关系与证明十一、强收敛，弱收敛，弱星收敛，一致收敛及其关系十二、完备度量空间的定义及其应用十三、压缩映射原理及其应用十四、h ?lder 不等式，Minkowski 不等式，Schwarz 不等式十五、稠密，可分，完备，柯西序列十六、度量空间定义及其常见度量空间，赋范线性空间的定义及其常见赋范线性空间。
泛函分析知识点
泛函分析知识点 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-泛函分析知识点知识体系概述（一）、度量空间和赋范线性空间第一节度量空间的进一步例子1.距离空间的定义：设X是非空集合，若存在一个映射d：X×X→R，使得∀x,y,z∈X,下列距离公理成立：（1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0⇔x=y;（2）对称性：d(x,y)=d(y,x);（3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);则称d(x,y)为x与y的距离，X为以d为距离的距离空间，记作（X，d）2.几类空间例1离散的度量空间例2序列空间S例3有界函数空间B(A)例4可测函数空M(X)例5C[a,b]空间即连续函数空间例6l2第二节度量空间中的极限，稠密集，可分空间1.开球定义设（X,d）为度量空间，d是距离，定义U(x0,ε)＝{x∈X|d(x,x0)<ε}为x0的以ε为半径的开球，亦称为x0的ε一领域.2. 极限定义若{x n }⊂X,∃x ∈X,s.t.()lim ,0n n d x x →∞=则称x 是点列{x n }的极限. 3. 有界集定义若()(),sup ,x y Ad A d x y ∀∈=<∞，则称A 有界4. 稠密集定义设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令M 表示M 的闭包，如果E M ⊂,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。
5. 可分空间定义如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。
第三节连续映射1.定义设X=(X,d),Y=(Y,~d )是两个度量空间，T 是X 到Y 中映射，x0X ∈,如果对于任意给定的正数ε，存在正数0δ>，使对X 中一切满足()0,d x x δ< 的x ，有()~0,d Tx Tx ε<，则称T 在0x 连续.2.定理1设T 是度量空间（X,d ）到度量空间~Y,d ⎛⎫ ⎪⎝⎭中的映射，那么T 在0x X ∈连续的充要条件为当()0n x x n →→∞时，必有()0n Tx Tx n →→∞3.定理2度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的原像1T M -是X 中的开集.第四节柯西（cauchy ）点列和完备度量空间1.定义设X=(X,d)是度量空间，{}n x 是X 中点列，如果对任意给定的正数0ε>，存在正整数()N N ε=,使当n,m>N 时，必有(),n m d x x ε<，则称{}n x 是X 中的柯西点列或基本点列。
应用泛函分析复习
泛函分析复习1、设M 是n R 中的有界闭集，映射M M T →:满足),(),(y x Ty Tx ρρ<()y x M y x ≠∈∀,,。
求证T 在M 中存在唯一的不动点。
证明： 因为),(),(00x x Tx Tx ρρ<，所以0),(0),(00→⇒→Tx Tx x x ρρ。
再由三角不等式，得到),(),(),(),(0000Tx Tx x x Tx x Tx x ρρρρ+≤-。
由此可见，),()(Tx x x f defρ==在M上连续。
因为M是n R 中的有界闭集，所以Mx ∈∃0，使得),(m i n )(m i n )(),(000Tx x x f x f Tx x Mx Mx ρρ∈∈===。
如果0),(00=Tx x ρ，那么0x 就是不动点。
今假设0),(00>Tx x ρ。
根据假设，我们有),(min ),(),(00020Tx x Tx x x T Tx Mx ρρρ∈=<。
但是M x T Tx ∈020,，这与),(00Tx x ρ是最小值矛盾。
故0),(00=Tx x ρ，即存在不动点0x 。
不动点的唯一性是显然的。
事实上，如果存在两个不动点1x ，2x ，则从),(),(),(212121x x Tx Tx x x ρρρ<<即得矛盾。
2、对于积分方程)()()(1t y ds s x e t x s t =∈⎰-λ，其中]1,0[)(C t y ∈为一给定函数，λ为常数，1<λ，求证存在唯一解]1,0[)(C t x ∈。
证明： 考虑由)()()(1t y ds s x e t x s t =∈⎰-λ),()()(10t y e ds s x e t x e tst---=-⇒⎰λ),()(),()(t y e t t x e t z t t def--===ζ则原方程等价于ds s z t t z ⎰+=1)()()(λζ。
应用泛函分析复习小结精讲
应用泛函分析复习小结精讲第一章实分析概要本章将简要的介绍数学分析与实变函数的一些基础知识，特别是点集的勒贝格测度与勒贝格积分理论。
这些知识不仅是学习泛函分析的必要准备，而且在数学及其它学科中有直接的应用。
第一节集合及其运算第二节实数的完备性第三节可数集与不可数集第四节直线上的点集与连续函数第五节点集的勒贝格测度与可测函数1第六节勒贝格积分第一节集合及其运算1）A∪A=A,A∩A=A;2）A∪ Φ=A,A∩ Φ=Φ；3）若A?B，则A∪B=B,A∩B=A,A\B=Φ；4) 设X为基本集，则A ∪ A C= X , A ∩ A C=Φ, ( A C)C= A, A \B = A ∩ B C又若A?B，则A C?B C。
集合的运算法则：2交换律A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A ；结合律( A∪B) ∪C=A∪ (B∪C) =A∪B∪C；( A∩B) ∩C=A∩ (B∩C) =A∩B∩C；分配律( A∪B) ∩C= ( A∩C) ∪ (B∩C) ；( A∩B) ∪C= ( A∪C) ∩ (B∪C) ；( A \ B) ∩C= ( A∩C) \ (B∩C) .定理 1.1 设X为基本集，Aα为任意集组，则1) ( U Aα )C=I ( Aα )C (1.6)α∈I α∈I2) ( I Aα )C=U ( Aα )C (1.7)α∈I α∈IA \ ( A \ B)= A I B3第二节实数的完备性2.1有理数的稠密性2.2实数的完备性定理定义 2.1(闭区间套)设{[a n,b n]}(n=1,2,L, )是一列闭区间，a n1）渐缩性，即[a1,b1]?[a2,b2]?L?[a n,b n]?L;2) 区间长度数列{b n?a n }趋于零，即lim(b n?a n)=0n→∞4定理 2.1 (区间套定理)设{[a n,b n]}为实数轴上的任一闭区间套，其中a n与b n都是实数，那么存在唯一的一个实数ξ属∞于一切闭区间[a n,b n](n=1,2,L)，即ξ∈ ∩[a n,b n]，并且n=1lim a n= lim b n=ξn→∞n→∞利用区间套定理，可以直接推出所谓的列紧性定理（定理 2.2），这个定理的名称的含义在第二章中解释。
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泛函分析期末复习提要
一、距离空间与拓扑空间
(一)教学内容
1. 距离空间的基本概念：定义与例子、收敛性、距离空间的连续映射与等距。
2. 距离空间中的点集：开集与闭集、稠密子集，可分距离空间。
3. 完备距离空间：Cauchy 列，完备性、闭球套定理、纲，纲定理、距离空间完备化。
4. 压缩映射原理：不动点，压缩映射原理、压缩原理的一些应用。
5．拓扑空间的基本概：拓扑空间的定义、拓扑基、拓扑空间中的连续映射，同胚、分离公理。
6．紧性和距离空间的紧性：紧性的概念、紧空间的连续映射。
7．距离空间的紧性：列紧集，全有界集、Arzela 定理。
重点 掌握距离空间的基本概念、 距离空间中的点集、 完备距离空间、 压缩映射原理、拓扑空间的基本概念、紧性和距离空间的紧性。
难点 完备距离空间、 压缩映射原理。
(二)教学基本要求
1.理解距离空间、距离空间中的点集等基本概念。
2.了解完备距离空间的概念，掌握压缩映射原理的证明。
3.理解拓扑空间的基本概念及其运算性质。
二、赋范线性空间
(一)教学内容
1. 赋范空间的基本概念：赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的例。
2. 空间)1(≥p L p
：Holder 不等式与Minkowski 不等式、空间)1)((≥p E L p 、空间)(E L ∞。
3. 赋范空间进一步的性质：赋范空间的子空间、赋范空间的完备化、赋范空间的商空间、赋范空间的乘积、赋范线性空间的基本概念、等价范数。
4. 有穷维赋范空间。
重点 赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的例、Holder 不等式与Minkowski 不等式、空间)1)((≥p E L p 、空间)(E L ∞、赋范空间的子空间、赋范空间的完备化、赋范空间的商空间、赋范空间的乘积、赋范线性空间的基本概念、等价范数。
难点 Holder 不等式与Minkowski 不等式、赋范空间的完备化、空间)1)((≥p E L p 、空间)(E L ∞。
(二)教学基本要求
1.理解赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的子空间、赋范线性空间的基本概念、等价范数。
2.熟练掌握Holder 不等式与Minkowski 不等式。
三、有界线性算子
(一)教学内容
1. 有界线性算子与有界线性泛函：定义与例、有界线性算子空间。
2. Steinhaus Banach -定理及其某些应用。
3. 开映射定理与闭图像定理：逆算子、线性算子的谱、开映射定理、闭图像定理。
4．Banach Hahn -定理及其推论：Banach Hahn -定理、共轭空间与共轭算子。
5．某些赋范空间上有界线性泛函的一般形式：空间],[b a C 上的有界线性泛函、空间)1](,[∞<<p b a L P
上的有界线性泛函、空间c 上的有界线性泛函。
6．自反性与弱收敛：自反性、弱收敛。
7．紧算子：定义、紧算子的基本性质。
重点 有界线性算子空间、逆算子、线性算子的谱、开映射定理、闭图像定理、空间],[b a C 上的有界线性泛函、空间)1](,[∞<<p b a L P 上的有界线性泛函、空间c 上的有界线性泛函、定义、紧算子的基本性质。
难点 Banach Hahn -定理、共轭空间与共轭算子。
(二)教学基本要求
1.了解定义与例、有界线性算子空间。
2.理解Steinhaus Banach -定理、逆算子、线性算子的谱、开映射定理、闭图像定理。
3.理解空间],[b a C 上的有界线性泛函、空间)1](,[∞<<p b a L P 上的有界线性泛函、空间c 上的有界线性泛函。
4.了解自反性、弱收敛。
四、Hilbert 空间
(一)教学内容
1. 内积空间的基本性质。
2. 正交性，正交系：正交性、正交系、可分空间的同构。
3. Riesz 表示定理，Hilbert 空间的共轭空间：Riesz 表示定理、空间的共轭空间。
4. Hilbert 空间中的自共轭紧算子。
重点 内积空间的基本性质、正交性、正交系、可分空间的同构、Riesz 表示定理、空间的共轭空间、Hilbert 空间中的自共轭紧算子。
难点Riesz表示定理、空间的共轭空间。
(二)教学基本要求
1. 了解内积空间的基本性质、正交性、正交系。
2. 理解可分空间的同构、Riesz表示定理、空间的共轭空间。
3. 理解Hilbert空间中的自共轭紧算子。
五、拓扑线性空间
(一)教学内容
1. 拓扑线性空间的基本性质：定义、分离性、平衡集，有界集、距离化、有界线性算子。
2. 半范数、局部凸空间：半范数、局部凸空间。
3. 弱拓扑：分离定理、拓扑线性空间上的弱拓扑、共轭空间上的弱拓扑、凸集的端点。
重点拓扑线性空间的基本性质、半范数、局部凸空间、分离定理、拓扑线性空间上的弱拓扑、共轭空间上的弱拓扑、凸集的端点。
难点分离定理、拓扑线性空间上的弱拓扑、共轭空间上的弱拓扑、凸集的端点。
(二)教学基本要求
1.了解定义、分离性、平衡集，有界集、距离化、有界线性算子。
2.理解半范数、局部凸空间。
3.理解分离定理、拓扑线性空间上的弱拓扑、共轭空间上的弱拓扑、凸集的
端点。
六Banach代数
(一)教学内容
1. Banach定义与例。
2. 正则点与谱：定义、谱的性质。
3. 极大理想与商代数：极大理想、商代数。
4．交换Banach代数的基本定理：连续线性可乘泛函、对合
重点B a n a c定义与例、正则点与谱、极大理想、商代数、连续线性可乘泛函、对合。
难点谱的性质、极大理想、商代数。
(二)教学基本要求
1.了解定义、谱的性质。
2.理解极大理想、商代数。
3.理解连续线性可乘泛函、对合。