理工大泛函分析复习题.docx
泛函分析考试题型及答案
泛函分析考试题型及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设函数空间E为所有连续函数的集合，定义泛函F(u)=∫₀¹u(x)dx，则F(u)是线性的。
A. 正确B. 错误答案：A2. 每一个线性泛函都可以表示为一个内积。
A. 正确B. 错误答案：B3. 泛函分析中的“泛函”一词指的是函数的函数。
A. 正确B. 错误答案：A4. 弱收敛和强收敛是等价的。
A. 正确B. 错误答案：B5. 紧算子总是有界算子。
A. 正确B. 错误答案：A6. 每一个闭算子都是有界的。
A. 正确B. 错误答案：B7. 每一个有界线性算子都是紧算子。
A. 正确B. 错误答案：B8. 每一个线性泛函都可以用Riesz表示定理表示。
A. 正确B. 错误答案：A9. 每一个线性算子都可以分解为一个紧算子和一个有界算子的和。
A. 正确B. 错误答案：B10. 每一个线性算子都可以分解为一个有界算子和一个紧算子的和。
A. 正确B. 错误答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设X是赋范线性空间，如果对于X中的每一个序列{x_n}，都有‖x_n‖→0当且仅当x_n→0，则称X是______空间。
答案：完备2. 设T是线性算子，如果T(X)是X的闭子空间，则称T是______算子。
答案：闭3. 设E是Hilbert空间，如果对于每一个x∈E，都有∥Tx∥≥∥x∥，则称T是______算子。
答案：正4. 设E是Banach空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑‖x_n‖<∞当且仅当∑x_n收敛，则称E是______空间。
答案：自反5. 设E是线性空间，如果对于每一个序列{x_n}⊂E，都有∑x_n收敛当且仅当∑‖x_n‖<∞，则称E是______空间。
答案：序列完备三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述Hahn-Banach定理的内容。
答案：Hahn-Banach定理指出，如果X是一个赋范线性空间，p是X 的一个线性子空间，f是p上的一个线性泛函，并且存在一个常数M使得对于所有x∈p，有|f(x)|≤M‖x‖，则存在X上的一个线性泛函F，使得F|p=f，并且对于所有x∈X，有|F(x)|≤M‖x‖。
(完整word版)大连理工大学泛函分析复习题与答案
泛函分析期末复习题和答案（2005-2006年度）此为答案 复习题在后面1、 所有元素均为0的n ×n 矩阵2、 设E 为一线性空间，L 是E 中的一个子集，若对任意的x ，y ∈L ，以及变数λ和μ均有λx ＋μy ∈L ，则L 称为线性空间E 的一个子空间。
子空间心室包含零元素，因为当λ和μ均为0时，λx ＋μy ＝0∈L ，则L 必定含零元素。
3、 设L 是线性空间E 的子空间，x 0∈E\L ，则集合x 0+L={x 0+l ，l ∈L}称为E 中一个线性流形。
4、 设M 是线性空间E 中一个集合，如果对任何x ，y ∈M ，以及λ＋μ＝1，λ≥0，μ≥0的λ和μ，都有λx ＋μy ∈M ，则称M 为E 中的凸集。
5、 设x ，y 是线性空间E 中的两个元素，d(x ，y)为其之间的距离，它必须满足以下条件：（1） 非负性：d(x ，y)＞0，且d(x ，y)＝0＜―――＞x=y （2） 对称性：d(x ，y)=d(y ，x)（3） 三角不等式：d(x ，y)≤d(x ，z)+d(y ，z) for every x ，y ，z ∈E n 维欧几里德空间常用距离定义：设x={x 1，x 2，…x n }T ，y={y 1y 2，…y n }Td 2(x ，y)=(21||niii x y=-∑)1/2d 1(x ，y)=1||ni i i x y =-∑d p (x ，y) = (1||np iii x y=-∑ )1/p d ∞(x ，y)=1max ||i i i nx y ≤≤-6、距离空间(x ，d)中的点列{x n }收敛到x 0是指d(x n ，x 0)→0(n →∞)，这时记作0lim nn xx -->∞=，或简单地记作x n →x 07、设||x||是线性空间E 中的任何一个元素x 的范数，其须满足以下条件： （1）||x||≥0，且||x||＝0 iff x=0 （2）||λx||=λ||x||，λ为常数（3）||x+y||≤||x||+||y||，for every x ，y ∈E8、设E 为线性赋范空间，｛x n ｝∞n=1是其中的一个无穷列，如果对于任何ε>0，总存在自然数N ，使得当n>N ，m>N 时，均有|x m -x n |<ε，则称序列{x n }是E 中的基本列。
(完整word版)理工大泛函分析复习题
一、（10分）设(,)d x y 为空间X 上的距离。
证明(,)(,)1(,)d x y d x y d x y =+ 也是X 上的距离。
1、 求证 为 空间。
（其中 为 空间, 为 空间）2、 S 是由一切序列 组成的集合, 在S 中定义距离为3、 , 求证S 是一个完备的距离空间。
4、 Hilbert 空间X 中的正交投影算子为线性有界算子。
5、 附加题开映射定理( ) 设 都是 空间, 若 是一个满射, 则 是开映射。
Hahn —Banach 延拓定理( ) 设 是 空间, 是 的线性子空间, 是定义在 上的有界线性泛函, 则在 上必有有界线性泛函 满足：()()()()()()()000012f x f x x X f f =∀∈=延拓条件；保范条件，其中00f 表示0f 在0X 上的范数。
闭图像定理( ) 设 都是 空间, 若 是 的闭线性算子, 并且 是闭的, 则 是连续的。
共鸣定理( ) 设 是 空间, 是 空间, 如果, 那么存在常数 , 使得()A M A W ≤∀∈。
五、（10分）在 上定义内积:（1）如果21(),6f x x x =-+求||||f ； （2）证明任一函数()g x a bx =+都正交于21()6f x x x =-+。
六、（10分）设 为Hilbert 空间 的闭子空间, 证明对每个 必存在唯一的 有0inf y Mx x x y ∈-=- 七、（15分）设 , 求证: 。
八、（15分）简答题1.试说明 与 中函数的差异；一、2.泛函分析也称无穷维分析, 为什么要研究无穷维分析, 试举例说明；3.Hilbert 空间是最接近有限维Euclid 空间的空间，请做简要说明。
二、在 上定义内积 ,若记 为 中奇函数全体, 为 中偶函数全体, 求证： 且。
三、设 为内积空间 中的一个稠密子集, 且 , 证明 。
在 中赋予距离 问 是完备空间吗？ 为什么？设 若 是从 的算子, 计算 若 是从 的算子再求 。
泛函分析总复习
泛函分析总复习（按与课本先后顺序排列）1、设M 是n R 中的有界闭集，映射M M T →:满足),(),(y x Ty Tx ρρ<()y x M y x ≠∈∀,,。
求证T 在M 中存在唯一的不动点。
证明： 因为),(),(00x x Tx Tx ρρ<，所以0),(0),(00→⇒→Tx Tx x x ρρ。
再由三角不等式，得到),(),(),(),(0000Tx Tx x x Tx x Tx x ρρρρ+≤-。
由此可见，),()(Tx x x f defρ==在M 上连续。
因为M 是n R 中的有界闭集，所以Mx ∈∃0，使得),(m i n )(m i n )(),(000Tx x x f x f Tx x Mx Mx ρρ∈∈===。
如果0),(00=Tx x ρ，那么0x 就是不动点。
今假设0),(00>Tx x ρ。
根据假设，我们有),(min ),(),(00020Tx x Tx x x T Tx Mx ρρρ∈=<。
但是M x T Tx ∈020,，这与),(00Tx x ρ是最小值矛盾。
故0),(00=Tx x ρ，即存在不动点0x 。
不动点的唯一性是显然的。
事实上，如果存在两个不动点1x ，2x ，则从),(),(),(212121x x Tx Tx x x ρρρ<<即得矛盾。
2、对于积分方程)()()(1t y ds s x e t x s t =∈⎰-λ，其中]1,0[)(C t y ∈为一给定函数，λ为常数，1<λ，求证存在唯一解]1,0[)(C t x ∈。
证明： 考虑由)()()(1t y ds s x e t x s t =∈⎰-λ),()()(10t y e ds s x e t x e tst---=-⇒⎰λ),()(),()(t y e t t x e t z t t def--===ζ则原方程等价于ds s z t t z ⎰+=1)()()(λζ。
(完整word版)泛函分析试卷
泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分）1、设X 是赋范线性空间，X y x ∈,，T 是X 到X 中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）.A ．10<<-≤-αα， y x Ty Tx B.1≥-≤-αα， y x Ty Tx C.10<<-≥-αα， y x Ty Tx D.1≥-≥-αα， y x Ty Tx 2、设X 是线性空间，X y x ∈,，实数x 称为x 的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）.A. 0等价于0且,0==≥x x xB.()数复为任意实,αααx x =C. y x y x +≤+D. y x xy +≤ 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A ．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C ．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X 的子集空间Y 为完备的充要条件是（ ）. A ．集X 是开的 B.集Y 是开的 C.集X 是闭的 D.集Y 是闭的5、设(1)p l p <<+∞的共轭空间为q l ，则有11p q+的值为（ ）.A. 1-B.12 C. 1 D. 12- 二、填空题（每个3分，共15分）1、度量空间中的每一个收敛点列都是（ ）。
2、任何赋范线性空间的共轭空间是（ ）。
3、1l 的共轭空间是（ ）。
4、设X按内积空间<x,y>成为内积空间，则对于X中任意向量x,y 成立不等式（）当且仅当x与y线性相关时不等式等号成立。
5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子，则T为自伴算子的充要条件是（）。
三、判断题（每个3分，共15分）1、设X是线性赋范空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。
( )2、距离空间中的列紧集都是可分的。
( )3、若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。
( )4、任何一个Hilbert空间都有正交基。
泛函分析试题及答案
泛函分析试题及答案一、选择题1. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数对于输入变量的敏感程度？A. 泛函B. 导数C. 凸函数D. 可测函数答案：B. 导数2. 设X和Y是两个Banach空间，f:X→Y是一个线性算子。
以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是可逆的B. f是连续的C. f是紧致的D. f是自共轭的答案：B. f是连续的3. 在泛函分析中，以下哪个概念描述了一个函数在每个点上的局部模式与全局模式之间的一致性？A. 可微性B. 凸性C. 全纯性D. 一致连续性答案：B. 凸性4. 设X和Y是两个赋范空间，f:X→Y是一个线性算子。
以下哪个条件可以保证f是有界线性算子？A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤C||x||B. 对于每个有界集A ⊂ X，f(A)是有界集C. f是连续的D. f是满射答案：A. f是单射且存在常数C>0，使得对于所有x∈X都有||f(x)|| ≤ C||x||二、填空题1. 在Hilbert空间中，内积运算满足线性性和_____________性。
答案：共轭对称性2. 设X是一个有界完备度量空间，那么X是一个____________空间。
答案：Banach空间3. 在泛函分析中，将一个函数的导数定义为其_____________。
答案：弱导数4. 设X是一个线性空间，D是X上的一个有界线性算子。
如果对于所有x和y都有⟨Dx, y⟩ = ⟨x, Dy⟩，那么D被称为______________。
答案：自伴算子三、解答题1. 请简要说明什么是范数，并给出一些范数的例子。
范数是定义在一个线性空间上的一种函数，用于衡量该空间中的向量的大小。
它满足以下三个性质：- 非负性：对于任意向量x，其范数必须大于等于0，即||x|| ≥ 0，并且当且仅当x为零向量时，范数等于0。
- 齐次性：对于任意向量x和任意实数α，有||αx|| = |α| ||x||，其中|α|表示α的绝对值。
（完整word版）北京理工大学数学专业泛函分析期末试题（MTH17060）
（完整word版）北京理⼯⼤学数学专业泛函分析期末试题（MTH17060）北京理⼯⼤学2012-2013学年第⼀学期2010级泛函分析试题（A 卷）⼀、（10分）设T 是赋范线性空间X 到⾃⾝的线性映射。
证明以下三条等价：（1）T 连续；（2）T 在零点连续；（3）T 有界。
⼆、（10分）设H 是Hilbert 空间。
证明：（1）若n x x →，则对于任意固定的y H ∈，()(),,n x y x y →；（2）若n x x →，n y y →，则()(),,n n x y x y →。
三、（10分）设H 是Hilbert 空间，()A B H ∈且存在0m >使得()2,,x H Ax x m x ?∈≥，证明：存在()1A B H -∈。
四、（10分）设H 是Hilbert 空间，M 是H 的线性⼦空间。
证明：M 在H 中稠密的充分必要条件是{}M θ⊥=。
注：M 仅为H 的⼦集时充分性不成⽴，试举反例五、（15分）设[]0,1C 为区间[]0,1上连续函数的全体，对于[]0,1f C ∈，令[]()0,1max x f f x ∈=。
证明：（1）[]0,1C 是完备的赋范线性空间，即Banach 空间；（2）对于[]0,1t ∈，令()()t F f f t =，则t F 是[]0,1C 上线性有界泛函，求t F 。
六、（15分）设[]2,0,1,1,2,k f f L k ∈=L ，且[],..0,1k f f a e →。
证明：lim k k f f →∞=当且仅当lim 0k k f f →∞-=，其中()[][]12220,1,0,1f f x dx f L ?? ?=∈ ?。
七、（15分）设12,f f 是Hilbert 空间H 上的线性⽆关的线性有界泛函，12ker ker M f f =I。
证明：（1）M 是闭的线性⼦空间；（2）存在12,y y H ∈使得对于x H ∈，有01122x x y y λλ=++，其中0x 为x 在M 上的正交投影，12,λλ∈￡。
(完整word版)北京理工大学数学专业泛函分析期末试题(MTH17060)
北京理工大学2012-2013学年第一学期2010级泛函分析试题（A 卷）一、（10分）设T 是赋范线性空间X 到自身的线性映射。
证明以下三条等价： （1）T 连续； （2）T 在零点连续； （3）T 有界。
二、（10分）设H 是Hilbert 空间。
证明： （1）若n x x →，则对于任意固定的y H ∈，()(),,n x y x y →； （2）若n x x →，n y y →，则()(),,n n x y x y →。
三、（10分）设H 是Hilbert 空间，()A B H ∈且存在0m >使得()2,,x H Ax x m x ∀∈≥，证明：存在()1A B H -∈。
四、（10分）设H 是Hilbert 空间，M 是H 的线性子空间。
证明：M 在H 中稠密的充分必要条件是{}M θ⊥=。
注：M 仅为H 的子集时充分性不成立，试举反例 五、（15分）设[]0,1C 为区间[]0,1上连续函数的全体，对于[]0,1f C ∈， 令[]()0,1max x f f x ∈=。
证明：（1）[]0,1C 是完备的赋范线性空间，即Banach 空间；（2）对于[]0,1t ∈，令()()t F f f t =，则t F 是[]0,1C 上线性有界泛函，求t F 。
六、（15分）设[]2,0,1,1,2,k f f L k ∈=L ，且[],..0,1k f f a e →。
证明：lim k k f f →∞=当且仅当lim 0k k f f →∞-=，其中()[][]12220,1,0,1f f x dx f L ⎛⎫ ⎪=∈ ⎪⎝⎭⎰。
七、（15分）设12,f f 是Hilbert 空间H 上的线性无关的线性有界泛函，12ker ker M f f =I。
证明：（1）M 是闭的线性子空间；（2）存在12,y y H ∈使得对于x H ∈，有01122x x y y λλ=++，其中0x 为x 在M 上的正交投影，12,λλ∈£。
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-、(10分)设d(x, y)为空间X上的距离。
证明
l + d(3)
也是X上的距离。
1、求证/(X,r)为3空间。
(其中X为/空间，丫为B空间)
2、S是由一切序列兀=(召，兀2,•…,£，・・・)组成的集合，在S中定义距离为
p(x，y ,求证S是一个完备的距离空间。
3、Hilbert空间X中的正交投影算子为线性有界算子。
4、附加题
开映射定理(P92) 设x,y都是B空间，若TG/(x,r)是一个满射，则卩是开映射。
Hahn—Banach延拓定理(%) 设X是T空间，X。
是X的线性子空间，人是定义在X。
上的有界线性泛函，则在X上必有有界线性泛函/满足:
⑴芦(兀)=九(兀)(办丘Xo)(延拓条件);
(2)||/|| = UII0(保范条件),
其中表示人在X。
上的范数。
闭图像定理(乙8)设都是3空间，若丁是X T Y的闭线性算子，并且D(T)是闭的，则卩是连续的。
共鸣定理(毘9)设X是B空间，丫是£空间，如果
Wu/(X,Y),使得sup||Ar||<oo(VxG X),那么存在常数M ,使得
AeW
|A||<M(VAG w)0
五、(10 分)在C[0,1]上定义内积：厶[0,1],(x)g(x)必
(1)如果 /(兀)=疋一X + ；,求11/11；
6
9 1
(2)证明任•一函数g(x) = a + bx都正交于/(x) = x2 -X + — o
六、(10分)设M为Hilbert空间X的闭子空间，证明对每个xw X必存在唯一的x o eM,
x-x0 = inf x-y
yeM
七、（15分）设/（兀）=匸兀（『）力—[比）力，求证：/G（C[-1,1]）\且求||/||。
八、（15分）简答题
1•试说明C[a,b]与I3[a,b]中函数的差异;
2.泛函分析也称无穷维分析，为什么耍研究无穷维分析，试举例说明；
3.H订bert空间是最接近有限维Euclid空间的空间，请做简要说明。
一、在C[-1,1]上定义内积V /,g〉=[/（f）ga）〃，若记M为C[-1,1]屮奇函数全
体，N为C[-l,l]中偶函数全体，求证：M㊉W二且丄。
设厶为内积空间H中的一个稠密子集，且x丄厶，证明x = 0.
二、在R中赋予距离p（x,y） =| arctan x-arctan y |,问（R,p）是完备空间吗?为什么？设Tx（t） = rx（r）,若T是从厶[0,1] t厶[0,1]的算了，计算||T||;若T是从
Q0,1]T Q0,1]的算子再求||门
四论述题：
1、证明C[a,b]完备，并叙述证明空间完备的一般步骤。
2、论述紧集、相对紧集、完全有界集、有界集的关系。
3、证明||x||=maxx（r）为心，刃上范数，并论述证明范数的一般步骤。
ie[a,b]
设H是内积空间，£，兀儿则当X" t X,儿Ty时，（£,几）T（x,y）,即内积
关于两变元连续。
10・设叭叭皿赋范空何，©“ 八码），证明
⑴+ 7V,
（2）
fit （】）任取f€E;及则
（T: + T t） V（r）r s）«> f（T^） + /（r»z >
-r：/（z） + Ty（x） = （T： +T；）/（z） •
山人工的任尴性.得：
《珀 + T护= +
<2）由共馳算子性质1•■即得:工
7. i 殳T 足賦范空何E 到赋范空间上的线性右界算 子，如果存在正数乩 使符对任何乂€戌
|Tz|>6|x|
证明T 仔在逆算子T J 时仪幷H"1是仔界的・
a 対f •线竹奔十儿？？氏UEE )划由关系式 ”工14“阖为彩="・因此T 起材到&上的1-1映谢。
所U 厂>“任。
任取必疗住唯一的心:,使
Tx^y
令则易证足吊到£的找性算子・由于 \Tx\>b\x\.所以
IT «!/PkKj
因此T ' ;&閃到E 的线性仆界算子・沫
4・设M.是区间［a, &］上有界瓯数的全体，％中的 线性运祥与C ［a 』］中的相同，在M 。
上定义范敷
l«l" sup ［«(0| «<(<*
证明时。
是巴拿般空间.
証 M 证耐。
关于|・|成为賦范空间•现证M 。
是完备的.
设仗■｝为M.中的基本列，那么对v^>O.^a ：N >0. g n>N 时，有
«up I«4O-x w (t)|<«.
・•・対”堆［a#h 右
JxXt)-x nl (O|<«
(n, m >N) ・・・・・・(▲)
P!此{况化”为一致墓本列•从而存在xW.使
一致 ..
'
x,(O — x(O (n — oo) 显然x€ *V 0.在(▲》式中，固定"，令加一oo,便仔 1^(0 - x(i)|*5« (n^N)
・：
|观・兀|= sup «(t )l • c • ■ t <b 即 “ •■・：・
… 7.证明：设｛e l9e 2,...,ej 是Hilbert 空间中的一个标准正交集，令 M =里初｛勺,勺,•••，£”｝，如果P 是H 到M 上的正交投影算子，则办w H,有
Px = ^{x,e k )e k o
k=\
3•设M 是Hilbert 空间H 的闭线性子空间，仁H ,且f.eM 是满足
||/z-/o|| =
M 。
为巴拿赫空间.※
rf(7z,M) = inf||x-/z||的唯一元素,那么,h-f Q丄M。
4设X是内积空间,｛e n：nEN｝是X中的标准正交系，则对任意的xeX#成立Bessel 不等式：
£|v心“ ＞『外『・
n=l
7.证明：设｛勺心,…,—｝是Hilbert空间中的一个标准正交集，令
M =也劝｛勺,02，・・・,匕｝,如果P是H到M上的正交投影算子，则0兀w H,有
川
Px = ^(x9e k)e kO
k=l。