专题02 变轨问题(解析版)
02.变轨问题—万有引力与航天
绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所需向心力由万有引力提供，rmrTmmarvmrGMm222224，轨道半径r确定后（在轨），与之对应的卫星线速度rGMv，周期GMrT32，向心加速度a2rGM等也都是唯一确定的。如果卫星的质量是确定的，那么，与轨道半径r对应的卫星的动能、重力势能、总机械能也是唯一确定的。一旦卫星发生了变轨，即轨道半径r发生了变化，上述所有物理量都将随之变化。
一类变轨是卫星因为受稀薄大气的影响速度变小，从而做向心运动，使卫星在更低的轨道运行；另一类变轨例如发射同步卫星，先将卫星发射到近地轨道I，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为1v，变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由1v增加到2v，使卫星进入椭圆形转移轨道 II；卫星运行到远地点Q时，速率为3v，此时进行第二次点火加速，短时间内将速率由3v增加到4v，使卫星进入同步轨道III，绕地球做匀速圆周运动。如图所示：
1.如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行，在P变轨后进入轨道2做匀速圆周运动下列说法正确的是
A.不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P点的速度都相同
B.不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同
C.卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度
D.卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量
【答案】B
【解析】从1到2，需要加速逃逸，A错；2MmGmaR可得21aR,半径相同，加速度相同，卫星在椭圆轨道1上运动时，运动半径变化，a在变，C错B对；卫星在圆形轨道2上运动时，过程中的速度方向时刻改变，所以动量方向不同，D错。
2.如图6所示，飞船从轨道1变轨至轨道2。若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的
A.动能大
B.向心加速度大
C.运行周期长
D.角速度小
【解析】根据rmrTmmarvmrGMm222224， 得，动能kErGMm2，r变大，所以动能变小，A错误；加速度a2rGM，r变大，所以加速度变小，B错误；周期GMrT32，r变大，所以周期变大，C正确；角速度3rGM，r变大，所以角速度变小，D正确。
【答案】CD
3. 一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后做匀速圆周运动，动能减小为原来的1/4，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的 A.向心加速度大小之比为4:1 B.角速度大小之比为2:1
C.周期之比为1:8 D.轨道半径之比为1:2
【解析】根据rmrTmmarvmrGMm222224，动能kErGMm2，因动能减小为原来的1/4，则r增大为原来的4倍，即轨道半径之比为1:4，A错误；加速度a2rGM，因r增大为原来的4倍，所以加速度变为原来的41，即向心加速度大小之比为1:4，A错误；角速度3rGM，因r增大为原来的4倍，所以角速度变为原来的81，即角速度大小之比为1:8，B错误；周期GMrT32，因r增大为原来的4倍，所以角速度变为原来的8倍，即周期之比为1:8，C正确。
【答案】C
4.人造地球卫星在运行过程中由于受到微小的阻力，轨道半径将缓慢减小。在此运动过程中，卫星所受万有引力大小将 (填“减小”或“增大”)；其动能将 (填“减小”或“增大”)。
【答案】增大，增大
【解析】根据2rMmGF因r减小而增大；根据rGMmEk21因r减小而增大
5．探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比
A.轨道半径变小 B.向心加速度变小
C.线速度变小 D.角速度变小
【答案】A
【解析】根据万有引力提供向心力222224mMvrGmmrmmarrT向
A.得324GMTr,因为T变小，所以r变小，A正确；
B.因为r变小，所以a变大，B错误；
C.rGMv，因为r变小，所以v变大，C错误；
D.3rGM, 因为r变小，所以变大，D错误； 6． 2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有
（A）在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度
（B）在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能
（C）在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
（D）在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
【答案】ABC
【解析】逐项判断
A．根据开普勒定律，近地点的速度大于远地点的速度，A正确；
B．由I轨道变到II轨道要减速，所以B正确；
C．根据开普勒定律，cTR23，12RR，所以12TT。C正确；
D．根据2RGMa,应等于，D错误；
7. 2008年9月25日至28日我国成功实施了“神舟”七号载入航天飞行并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。下列判断正确的是（ ）
A．飞船变轨前后的机械能相等
B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态
C．飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度 P地球 Q 轨道1 轨道2 D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度
【答案】BC
【解析】飞船点火变轨，前后的机械能不守恒，所以A不正确。飞船在圆轨道上时万有引力来提供向心力，航天员出舱前后都处于失重状态，B正确。飞船在此圆轨道上运动的周期90分钟小于同步卫星运动的周期24小时，根据2T可知，飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度，C正确。飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时只有万有引力来提供加速度，变轨后沿圆轨道运动也是只有万有引力来提供加速度，所以相等，D不正确。
提示：若物体除了重力、弹性力做功以外，还有其他力(非重力、弹性力)不做功，且其他力做功之和不为零，则机械能不守恒。
根据万有引力等于卫星做圆周运动的向心力可求卫星的速度、周期、动能、动量等状态量。由22MmvGmrr得GMvr，由222()MmGmrrT得32rTGM，由22MmGmrr得3GMr，2nMmGmar可求向心加速度。
8.我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发生“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是
A、使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B、使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C、飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D、飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
【答案】C
【解析】若使飞船与空间站在同一轨道上运行，然后飞船加速，则由于向心力变大，故飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道，不能实现对接，选项A错误；若使飞船与空间站在同一轨道上运行，然后空间站减速，则由于向心力变小，故空间站将脱离原轨道而进入更低的轨道，不能实现对接，选项B错误；要想实现对接，可使飞船在比空间试验室半径较小的轨道上加速，然后飞船将进入较高的空间试验室轨道，逐渐靠近空间站后，两者速度接近时实现对接，选项C正确；若飞船在比空间试验室半径较小的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道，从而不能实现对接，选项D错误；故选C.
9. 2011年11月3日，“神舟八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接。任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神舟九号”交会对接。变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为v1、v2。则12vv等于
A．3132RR B．21RR C．2221RR D．21RR
【解析】根据RvmRMmG22，得RGMv，所以12vv=21RR，B正确。
【答案】B
10.宇宙飞船在半径为R。的轨道上运行，变轨后的半径为R2，R1>R2。宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，则变轨后宇宙飞船的
A．线速度变小 B．角速度变小
C．周期变大 D．向心加速度变大
【答案】D
【解析】根据222224mMvrGmmrmmarrT向得GMvr，可知变轨后飞船的线速度变大，A错。角速度变大B错。周期变小C错。向心加速度在增大D正确。
11.目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小。若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是
A.卫星的动能逐渐减小
B.由于地球引力做正功，引力势能一定减小
C.由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变
D.卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小 【解析】本题考查万有引力定律、牛顿第二定律和动能定理。由于有空气阻力做功，卫星地球系统的机械能不守恒。由可知，因此随着轨道半径的变小，卫星速率增大，动能增大。卫星动能增大，说明引力与阻力的总功大于零，因此，引力的功，即减少的引力势能大于克服阻力的功。选项AC错误BD正确。
【答案】BD
12.人造地球卫星做半径为r，线速度大小为v的匀速圆周运动。当其角速度变为原来的42倍后，运动半径为______________，线速度大小为_______________。
【解析】根据万有引力等于向心力，rmrGMm22，得32GMr，代入数据得rr2'。根据rv得vv22'。
【答案】2r，v22
专题02 相交线与平行线【易错题型专项训练】解析版
1 专题02 相交线与平行线【易错题型专项训练】
易错点一：两条直线的位置关系
1.若∠=54°，∠的两边与∠两边互相垂直，则∠=____________．
【难度】★★
【答案】54或126．
【解析】∠和∠是相等或者互补的关系．
【总结】考察垂线的意义以及两解问题，注意分类讨论．
2.平面上三条直线两两相交，最多有m个交点，最少有n个交点，则mn=____________．
【难度】★★
【答案】4．
【解析】最多有3个交点，最少有1个交点．3m，1n，4mn．
【总结】考察学生的作图分析能力．
3.作图：已知线段AB上一点Q及线段外一点P．
（1） 过点Q作线段AB的垂线；
（2） 过点P作线段AB的垂线．
【难度】★★
【答案】如右图．
【解析】注意标注垂直符号，以及字母的标注．
【总结】画图一定要写结论．
4.下列说法中正确的是（ ）
A．有公共顶点、公共边且和为180°的两个角是邻补角
B．有公共顶点且相等的是对顶角
C．对顶角的补角一定相等
D．互为邻补角的两个角不可能相等
【难度】★
【答案】C
【解析】有一条公共边，并且另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角，故选项
A错误；有公共顶点且相等的两个角不一定是对顶角，故选项B错误；
C正确；互为邻补角的两个角可能都为90，故选型D错误．
【总结】本题主要考查了对顶角和邻补角的概念．
5.下列说法正确的是（ ）
A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等
2 D．联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【难度】★
【答案】D
【解析】对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故选项A错误；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选项B错误；
专题02有理数计算常用技巧与方法(方法清单)(6个题型解读+提升训练)(解析版)
专题02有理数常用技巧与方法（方法清单）（6个题型解读+
提升训练）
【方法清单】
有理数运算是代数入门的重点，又是难点，是中学数学中一切运算的基础，怎样突破这难点，除了要
正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，一定要正确运用有理数的运
算法则和运算律，从而使复杂问题变得较简单。
一、四个原则
1.整体性原则:乘除混合运算统一化乘，统一进行约分;加减混合运算按正负数分类分别统一计算，或
把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。
2．简明性原则:计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来:运算中尽量运用简便方法，
如五个运算律的运用。
3口算原则:在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一习惯于口算，有
助于培养反应能力和自信心。
4分段同时性原则: 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算二、运算技巧
题型一：巧用凑整法计算
将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数(如互为相反数)相消。将相加可得整数的数放在一起进行
运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率
【例1】（
2022
秋·湖南永州·七年级校考期中）10.52.755.5
4æö---++-+ç÷èø
【答案】3-【分析】先将分数化为小数，然后去掉括号，利用加法结合律和交换律进行计算即可求出答案．
【详解】解：10.52.755.5
4æö---++-+ç÷èø
0.50.252.755.5=-++-
0.55.50.252.75=-+++
63=-+
3=-
【点睛】本题考查有理数的加减运算，解题的关键是熟练运用有理数的加减运算法则，属于基础题型．
【变式】(1)31＋(－28)＋28＋69； (2)16＋(－25)＋24＋(－35)；
(3)(＋63
5)＋(－52
3)＋(42
5)＋(1＋12
3)．
解：(1)31＋(－28)＋28＋69＝31＋[(－28)＋28]＋69＝31＋0＋69＝100；
专题02 平行线及其判定 (题型归纳)【2022春人教七下数学核心考点题型归纳+变式集训】(解析版)
专题02 平行线及其判定（一题三变）
【思维导图】
◎考点题型1 平面内两直线的位置关系
例．（2022·全国·七年级）下列说法正确的是 ( )
A．不相交的两条直线是平行线．
B．如果线段AB与线段CD不相交，那么直线AB与直线CD平行．
C．同一平面内，不相交的两条射线叫做平行线．
D．同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行线的定义逐项分析即可．
【详解】
A、同一平面内不相交的两条直线是平行线，故此说法错误；
B、两条线段不相交也可以不平行，故此说法错误；
C、同一平面内，不相交的两条射线可以平行，也可以既不平行也不相交，故此说法错误；
D、同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，此说法正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了平行线的定义，理解此定义是关键，属于概念基础题．
变式1．（2022·江苏·南京市第二十九中学七年级期末）下列说法正确的是（ ）
A．不相交的两条直线叫做平行线
B．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
C．平角是一条直线
D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线的定义，垂直的性质，平角的定义，两点确定一条直线的性质依次判断．
【详解】
解：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故选项A错误；
过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，故选项B正确；
平角是角的两边在同一直线上的角，故选项C错误；
过同一平面内三点中任意两点，能画出1条或3条直线故选项D错误；
故选：B．
【点睛】
此题考查语句的正确性，正确掌握平行线的定义，垂直的性质，平角的定义，两点确定一条直线的性质是解题的关键．
变式2．（2022·江苏江阴·七年级期末）有下列说法：①两条不相交的直线叫平行线；①同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；①两条直线相交所成的四个角中，如果有两个角相等，那么这两条直线互相垂直；①有公共顶点的两个角是对顶角．其中说法正确的个数是（ ）
专题02 连接体模型-2023年高三物理常见模型与方法强化专训专练(解析版)(解析版)
12023年高三物理常见模型与方法强化专训专练
专题02连接体模型
特训目标特训内容
目标1高考真题（1T—4T）
目标2
三大力场和热学中连接体的平衡问题（5T—12T）
目标3三大力场中应用牛顿第二定律应用处理连接体问题（13T—18T）
目标4应用能量的观点处理连接体问题（19T—23T）
【特训典例】
一、高考真题
1．（2020山东卷）如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通
过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行。A与B间、B与木板间的动摩擦
因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则
μ的值为（）
A．1
3B．1
4C．1
5D．1
6
【答案】C
【详解】当木板与水平面的夹角为45
时，两物块刚好滑动，对A物块受力分析如图
2沿斜面方向，A、B之间的滑动摩擦力
1cos45fNmg
根据平衡条件可知sin45cos45Tmgmg
对B物块受力分析如图
沿斜面方向，B与斜面之间的滑动摩擦力
23cos45fNmg
根据平衡条件可知2sin45cos453cos45mgTmgmg
两式相加，可得2sin45sin45cos45cos453cos45mgmgmgmgmg
解得1
5
故选C。
2．（2022全国卷）如图，一不可伸长轻绳两端各连接一质量为m的小球，初始时整个系统静置于光滑水平
桌面上，两球间的距离等于绳长L。一大小为F的水平恒力作用在轻绳的中点，方向与两球连线垂直。当两球运动至二者相距3
5L
时，它们加速度的大小均为（）
A．5
8F
mB．2
5F
mC．3
8F
mD．3
10F
m
【答案】A
3【详解】当两球运动至二者相距3
5L
时，,如图所示由几何关系可知3
3
10
sin
5
2L
L
设绳子拉力为
T，水平方向有2cosTF
解得5
8TF
对任意小球由牛顿第二
专题02代数推理题(真题2个考点模拟16个考点) (解析版)
专题02代数推理题（真题2个考点模拟16个考点）
一、等式的性质
1．（2021•安徽）设a，b，c为互不相等的实数，且b＝a+c，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．a﹣b＝4（b﹣c）D．a﹣c＝5（a﹣b）
【分析】根据等式的基本性质，对已知等式进行变形即可．
【解答】解：∵b＝a+c，
∴5b＝4a+c，
在等式的两边同时减去5a，得到5（b﹣a）＝c﹣a，
在等式的两边同时乘﹣1，则5（a﹣b）＝a﹣c．
故选：D．
【点评】本题主要考查等式的基本性质，结合已知条件及选项，对等式进行合适的变形是解题关键．
二、因式分解
2．（2019•安徽）已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（ ）
A．b＞0，b2﹣ac≤0B．b＜0，b2﹣ac≤0
C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＜0，b2﹣ac≥0
【分析】根据a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，可以得到b与a、c的关系，从而可以判断b的正负和b2﹣ac的
正负情况，本题得以解决．
【解答】解：∵a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，
∴a+c＝2b，b＝，
∴a+2b+c＝（a+c）+2b＝4b＜0，
∴b＜0，
∴b2﹣ac＝＝﹣ac＝＝≥0，
即b＜0，b2﹣ac≥0，
故选：D．
【点评】本题考查因式分解的应用、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出b和b2﹣ac的
正负情况．一．绝对值（共1小题）
1．（2023•合肥三模）已知三个实数a，b，c满足a+b+c＝0，|a|＞b|＞|c|，则下列结论可能成立的是（ ）
A．a＞0，b＞0，c＜0B．a＞0，c＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0，c＞0D．a＜0，c＜0，b＞0
【分析】根据绝对值的几何性质和有理数的加法意义可知实数a在原点一侧，实数b和c在原点的另一
侧可得结果．
【解答】解：∵|a|＞|b|＞|c|，
∴表示实数a的点在数轴距离原点最远，表示b，c的点在数轴上距离原点比a要近一些，
专题02 一次函数(难点)(解析版)
专题02 一次函数（难点）
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，将一次函数2yxb=+
的图象向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后
经过点
1,0-
，则b的值为（
）
A．4-B．2-C．2D．4
【答案】B
【分析】将点
1,0-
，先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到平移后的点，该点一次函
数2yxb=+
的图象上，利用待定系数法求出b的值即可．
【解析】解：将点
1,0-，先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点
13,02-++，即
2,2
，
由题意，得：
2,2在一次函数2yxb=+
的图象上，
∴222b=´+，
∴2b=-
；故选B．
【点睛】本题考查一次函数图象的平移．将图象的平移，转化为点的平移，利用待定系数法求解析式，是
解题的关键．
2．如图，直线4
8
3yx=-+
与x轴、y轴交于A、B两点，BAOÐ
的平分线所在的直线AM的解析式是（ ）
A．15
22yx=-+
B．1
3
2yx=-+
C．17
22yx=-
+
D．1
4
2yx=-+
【答案】B
【分析】对于已知直线，分别令x
与y
为0求出对应y
与x
的值，确定出
A与
B的坐标，在x
轴上取一点
B¢
，使ABAB¢
=，连接
MB¢，由AM为BAOÐ
的平分线，得到
BAMBAM¢
Ð=Ð，利用SAS
得出两三角形全
等，利用全等三角形的对应边相等得到BMBM¢
=，设
BMBMx¢
==，可得出8OMx=-
，在RtBOM¢
V
中，
利用勾股定理列出关于x
的方程，求出方程的解得到x
的值，确定出M坐标，设直线AM解析式为
ykxb=+
，将
A与M坐标代入求出k
与b
的值，即可确定出直线AM解析式．
【解析】
解：对于直线4
8
3yx=-+
，
令0x=
，求出8y=
；令0y=
求出6x=
，
(6,0)A\
，(0,8)B
，即6OA=
，8OB=
，
根据勾股定理得：10AB=
，
在x
轴上取一点B¢
，使ABAB¢
=，连接
MB¢，
AMQ为BAOÐ
的平分线，
BAMBAM¢
\Ð=Ð，
Q
在ABMV和'ABMV中，
专题02圆周运动-2022-2023学年高一物理下学期期中期末考点大串讲(人教版2019)(解析版)
专题02圆周运动
一、描述圆周运动的物理量和常见的传动装置特点
1．匀速圆周运动的特点
(1)“变”与“不变”
描述匀速圆周运动的四个物理量中，角速度、周期和转速恒定不变，线速度是变化的。
(2)性质
匀速圆周运动中的“匀速”不同于匀速直线运动中的“匀速”，这里的“匀速”是“匀速率”
的意思，匀速圆周运动是变速运动。
2．匀速圆周运动各物理量间的关系
3.传动装置及其特点同轴传动皮带传动齿轮传动
装置A、B两点在同轴的一
个圆盘上两个轮子用皮带连接，A、B
两点分别是两个轮子边缘的
点两个齿轮轮齿啮合，A、B两点
分别是两个齿轮边缘上的点
特点角速度、周期相同线速度大小相同线速度大小相同
转动方向相同相同相反
规律线速度与半径成正比：vAvB＝rR角速度与半径成反比：ωAωB＝rR。
周期与半径成正比：TATB＝Rr角速度与半径成反比：ωAωB＝r2r1。
周期与半径成正比：TATB＝r1r2
【例1】如图所示，秒针绕O点转动，A、B为秒针两端的两个质点，A点比B点离O更近。
在转动时，关于A、B两质点的向心加速度a、线速度v、周期T、角速度的说法正确的是
（）
A．ABaaB．ABTTC．ABvvD．AB【答案】AC
【详解】A、B为秒针两端的两个质点，可知A、B的角速度相等，周期相等，则有AB，
ABTT
根据vr，2ar由于A点比B点离O更近，则有ABvv，ABaa故选AC。
【例2】如图是磁带录音机的磁带盒的示意图，A、B为缠绕磁带的两个轮子边缘上的点，
两轮的半径均为r，在放音结束时，磁带全部绕到了B轮上，磁带的外缘半径R＝3r，C为
磁带外缘上的一点，现在进行倒带。此时下列说法正确的是（）
A．A、B、C三点的周期之比3∶1∶3
B．A、B、C三点的线速度之比3∶1∶3
C．A、B、C三点的角速度之比1∶3∶3
D．A、B、C三点的角速度之比3∶1∶1
【答案】BD
【详解】CD．根据磁带传动装置的特点可知，A、C两点的线速度大小相等，即: 1:1ACvv
高考数学命题热点名师解密：专题(02)函数问题的解题规律(文)(含答案)
1 专题02 函数问题的解题规律
一、函数问题的解题规律解题技巧及注意事项
1.定义域陷阱
2.抽象函数的隐含条件陷阱
3.定义域和值域为全体实数陷阱
4.还原后新参数范围陷阱
5.参数范围漏解陷阱
6.函数求和中的倒序求和问题
7.分段函数问题
8.函数的解析式求法
9.恒成立问题求参数范围问题
10.任意存在问题
二．知识点
【学习目标】
1．了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域、值域及函数解析式；
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法(图象法、列表法、解析法)表示函数；
3．了解简单的分段函数，并能简单应用；
4．掌握求函数定义域及解析式的基本方法．
【知识要点】
1．函数的概念
设A，B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然{f(x)|x∈A}⊆B.
2．映射的概念
设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射．
3．函数的特点
①函数是一种特殊的映射，它是由一个集合到另一个集合的映射；
②函数包括定义域A、值域B和对应法则f，简称函数的三要素；
③关键是对应法则．
4．函数的表示法
函数的表示法：图示法、解析法． 2 5．判断两个函数为同一个函数的方法
两个函数的定义域和对应法则完全相同(当值域未指明时)，则这两个函数相等．
6．分段函数
若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子表示函数，这种形式的函数叫分段函数．
专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型(解析版)
专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型
平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟
悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳
理及对应试题分析，方便掌握。
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
模型2：铅笔头模型
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.
【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ，
∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；
在图2中，过P
1作AM的平行线P
1C，过点P
2作AM的平行线P
2D，
∵AM∥BN，∴AM∥P
1C∥P
2D∥BN，
∴∠1+∠AP
1C＝180°，∠P
2P
1C+∠P
1P
2D＝180°，∠BP
2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，
根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°
．
例1．（2023·江苏南通·校考二模）如图，已知//ABCD，140AÐ=°，120EÐ=°
，则CÐ
的度数是（
）
A．80° B．120° C．100° D．140°
【答案】C
【分析】过E作直线MN//AB，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠1，进而可求出∠2，然后根据平
行于同一条直线的两直线平行可得MN//CD，根据平行线性质从而求出∠C．
【详解】解：过E作直线MN//AB，如下图所示，
专题02 直角三角形三种压轴题型全攻略(解析版)
专题02 直角三角形三种压轴题型全攻略
类型一、与直角三角形有关最值问题
例、如图，在ABC中，90C，30A，点D为边AB的中点，点P在边AC上，则PDB△周长的最小值等于（ ）．
A．ACAB B．AB C．ACBC D．AC
【答案】C
【详解】解：作点B关于AC的对称点H，连接HP、HD，如图所示：
∴BPHP，BCHC，
∴90C，30A，∴2ABBCBH，
∴点D为边AB的中点，∴2ABBD，∴BCBD，
∴ABCHBD，∴ABCHBD≌（SAS），∴ACHD，
∴PBDCBPPDBDHPPDBD，要使其最小，则需满足H、P、D三点共线，即BPPD的最小值为HD的长，∴PBD△的周长最小值为ACBC；
故选C．
【变式训练1】如图，在Rt∴ABC中，∴ACB＝90°，将Rt∴ABC绕顶点C逆时针旋转得到Rt∴A'B'C，M是BC的中点，P是A′B'的中点，连接PM．若BC＝2，∴BAC＝30°，则线段PM的最大值为（ ）．
A．2.5 B．2+3 C．3 D．4
【答案】C
【详解】如图，连接PC
在RtABC中，2BC，30BAC，∴24ABBC
∴将ABC绕顶点C逆时针旋转得到ABC△
∴ABC△也是直角三角形，且4ABAB
∴P是AB的中点，∴122PCAB
∴M是BC的中点。∴1CMBM
则由三角形的三边关系定理得：PCCMPMPCCM
即13PM
当点P恰好在MC的延长线上时，213PMPCCM
当点P恰好在CM的延长线上时，211PMPCCM
综上，13PM
则线段PM的最大值为3
故选：C．
【变式训练2】如图，在ABC中，90ACB，30CAB，63AC，D为AB上一动点（不与点A重合），AED为等边三角形，过D点作DE的垂线，F为垂线上任意一点，G为EF的中点，则线段BG长的最小值是（ ） A．23 B．6 C．33 D．9