迭代初值及公式对迭代收敛速度影响
初值的选取对迭代法的影响实验报告
迭代法的分类
线性迭代法
适用于线性方程组的求解，如高斯-赛德尔迭代法、 雅可比迭代法等。
非线性迭代法
适用于非线性方程或方程组的求解，如牛顿法、拟牛 顿法等。
共轭梯度法
适用于大规模稀疏线性方程组的求解，具有较好的数 值稳定性和收敛性。
迭代法的收敛性
01
迭代法的收敛性是指随着迭代的进行，解的近似值会逐渐接近 于精确解。
实验方法
1
选择常用的迭代法，如雅可比迭代法、高斯-赛德 尔迭代法等
2
设计不同初值，观察迭代法的收敛速度和精度
3
通过实验数据对比，分析初值选取对迭代法的影 响
实验步骤
01
准备实验数据和迭代法所需的基础知识
02 设计不同初值，并记录迭代法的收敛速度和精度
03
对实验数据进行整理和分析，得出结论
04
实验结果与分析
迭代精度
初值的选择对迭代法的精度也有影 响，合适的初值可以提高迭代法的 精度。
不同初值对迭代法的影响
初始解的选取
不同的初始解会导致迭代法收敛到不同的解，因此初始解的选择 对迭代法的结果有很大影响。
初始误差
初始误差的大小也会影响迭代法的收敛速度和精度，初始误差越 大，迭代法需要的时间和迭代次数越多。
VS
本实验为实际应用中迭代法的选择和 使用提供了有益的参考。在处理具体 问题时，应充分考虑初值和参数的影 响，并采取适当的策略进行优化。
05
初值选取的影响
初值选取的重要性
迭代法的收敛性
初值的选择直接影响到迭代法的 收敛性，如果初值选择不当，迭 代法可能不收敛或收敛到错误的
结果。
迭代速度
初值的选择也会影响迭代法的速度 ，合适的初值可以加快迭代法的收 敛速度。
求立方根的迭代公式
求立方根的迭代公式1. 引言在数学上，立方根是指一个数的三次方根。
因此，立方根是大多数计算中必须用到的运算之一。
在实际生活中，立方根被广泛应用于物理学、化学、工程学等领域。
然而，手工计算立方根耗时费力，因此迭代公式逐渐成为计算立方根的常用方法。
在本篇文章中，将介绍立方根的迭代公式及其一些特点。
2. 叠代公式从代数角度出发，我们可以得出立方根的迭代公式：对于一个数x，如果我们知道其立方根的近似值y，可以通过以下公式算出更加精确的立方根的近似值z：z = (2/3)y + (1/3)x/y^2当以某个数为开始的时候，计算迭代公式多次，可以逐渐趋近于该数的立方根值。
3. 特点立方根的迭代公式具有以下几个特点：1. 逼近性：开始时，选择一个数作为初值，然后重复使用迭代公式，可以逐渐逼近目标值。
尽管有时需要较多次迭代才能达到精确值，但迭代公式的逼近性极高，因此是计算立方根的常用方法。
2. 收敛速度：每次使用立方根的迭代公式进行迭代时，与精确值的误差会减小。
但不能保证每次迭代都会提高精度，迭代次数增多也不一定能增加精度，这取决于初值和所要求的精度。
因此，选择一个适当的初值很重要。
3. 数值稳定性：迭代公式具有很好的数值稳定性，因为它可以避免出现零点问题和离散噪声的影响。
4. 总结立方根是一个重要的数学运算，它在生活中广泛应用，包括物理学、化学、工程学等领域。
立方根的迭代公式是计算立方根的常用方法，具有逼近性、收敛速度和数值稳定性等特点。
然而，正确选择初值很重要，同时应该在需要精确度和速度之间做出权衡。
牛顿迭代法收敛速度
牛顿迭代法的收敛速度取决于多个因素，包括步长的大小、步长的稳定性、特征空间的大小、目标函数的形状和极值点处的斜率等。
具体来说，牛顿迭代法是一种在求解优化问题时有效的收敛算法，它的收敛速度受到以下因素的影响：
1.步长的大小和稳定性：步长的大小和稳定性都会影响牛顿迭代法的收敛速度。
如果步长
过大，可能会导致迭代发散；如果步长过小，可能会导致收敛速度变慢。
因此，需要选择合适的步长，以保持收敛的稳定性。
2.特征空间的大小：特征空间的大小也会影响牛顿迭代法的收敛速度。
如果特征空间较窄，
梯度较大，收敛速度可能会变慢；如果特征空间较宽，梯度较小，收敛速度可能会变快。
3.目标函数的形状和极值点处的斜率：目标函数的形状和极值点处的斜率也会影响牛顿迭
代法的收敛速度。
如果目标函数陡峭，收敛速度会比较快；如果目标函数平缓，收敛速度会比较慢。
此外，极值点处的斜率也会影响收敛速度，斜率越大，收敛速度越快。
4.初始点选择：牛顿法的收敛速度还受到初始点选择的影响。
当初始点选择不当时，可能
会导致不收敛。
因此，需要选择合适的初始点，以加速收敛过程。
归纳来说，牛顿迭代法的收敛速度受到多个因素的影响，需要综合考虑这些因素来提高收敛速度。
在实际应用中，可以通过不断调整步长、选择合适的初始点、选择合适的目标函数等手段来加速收敛过程。
牛顿迭代法收敛定理
关于牛顿迭代法的课程设计实验指导非线性方程（或方程组）问题可以描述为求 x 使得f (x ) = 0。
在求解非线性方程的方法中，牛顿迭代法是求非线性方程（非线性方程组）数值解的一种重要的方法。
牛顿是微积分创立者之一，微积分理论本质上是立足于对世界的这种认识：很多物理规律在微观上是线性的。
近几百年来，这种局部线性化方法取得了辉煌成功，大到行星轨道计算，小到机械部件设计。
牛顿迭代法正是将局部线性化的方法用于求解方程。
一、牛顿迭代法及其收敛速度牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ），是一种在实数域和复数域上通过迭代计算求出非线性方程的数值解方法。
方法的基本思路是利用一个根的猜测值x 0做初始近似值，使用函数f (x )在x 0处的泰勒级数展式的前两项做为函数f (x )的近似表达式。
由于该表达式是一个线性函数，通过线性表达式替代方程中的求得近似解x 1。
即将方程f (x ) = 0在x 0处局部线性化计算出近似解x 1，重复这一过程，将方程f (x ) = 0在x 1处局部线性化计算出x 2，求得近似解x 2，……。
详细叙述如下：假设方程的解x *在x 0附近（x 0是方程解x *的近似），函数f (x )在点x 0处的局部线化表达式为)()()()(000x f x x x f x f '-+≈由此得一次方程 0)()()(000='-+x f x x x f求解，得 )()(0001x f x f x x '-= 如图1所示，x 1比x 0更接近于x *。
该方法的几何意义是：用曲线上某点（x 0，y 0）的切线代替曲线，以该切线与x 轴的交点（x 1，0）作为曲线与x 轴的交点（x *，0）的近似（所以牛顿迭代法又称为切线法）。
设x n 是方程解x *的近似，迭代格式)()(1n n n n x f x f x x '-=+ ( n = 0，1，2，……) 就是著名的牛顿迭代公式，通过迭代计算实现逐次逼近方程的解。
线性方程组的迭代解法及收敛分析
1.9583
0.8468
0.2974
9
1.0975
2.0954
2.8217
1.9788
0.8847
0.2533
10
1.0850
2.0738
2.8671
1.9735
0.8969
0.2041
11
1.0673
2.0645
2.8802
1.9843
0.9200
0.1723
12
1.0577
2.0509
2.9077
1.9828
0.9303
0.1400
13
1.0463
2.0437
2.9191
1.9887
0.9448
0.1174
14
1.0392
2.0350
2.9363
1.9886
0.9527
0.0959
15
1.0318
2.0297
2.9451
1.9920
0.9620
0.0801
16
1.0267
2.0241
Keywords：MATLAB,Mathematical model,Iterative method,ConvergenceSystem of linear equations
1
在实际生活中，存在着大量求解线性方程组的问题。这些方程组具有数据量大，系数矩阵稀疏，在一定精度保证下，只需要求解近似解等特点。线性方程组的迭代解法特别适合于这类方程组的求解，它具有程序设计简单，需要计算机的贮存单元少等特点，但也有收敛性与收敛速度问题。因此，研究线性方程组的迭代解法及收敛分析对于解决实际问题具有非常重要的作用。
数值计算方法中的迭代收敛速度分析
数值计算方法中的迭代收敛速度分析数值计算方法是一种通过使用数值逼近来解决数学问题的方法。
在数值计算中，迭代方法是一种常用的技术，它通过反复应用某个迭代公式来逼近问题的解。
然而，迭代方法的收敛速度对于问题的求解效率和准确性有着重要的影响。
本文将针对数值计算方法中的迭代收敛速度进行分析。
1. 迭代收敛速度的概念迭代收敛速度是指迭代过程中逼近解的速度。
在数值计算中，我们通常希望迭代方法能够尽快地收敛到问题的解，以提高计算效率。
迭代收敛速度可以通过迭代误差的变化来评估，即每次迭代后解的改变程度。
2. 收敛速度的度量方法为了衡量迭代方法的收敛速度，我们可以使用多种度量方法，其中一种常用的方法是利用迭代误差的变化率。
具体而言，我们可以计算每次迭代后解的改变程度，然后将其与前一次迭代的误差进行比较。
如果每次迭代后误差的变化趋于减小，那么我们可以认为迭代方法具有较快的收敛速度。
3. 收敛速度的影响因素迭代方法的收敛速度受多个因素的影响，包括初始估计解、迭代公式的选择和问题的性质等。
首先，初始估计解的选择对于迭代收敛速度有着重要的影响。
如果初始估计解与真实解较为接近，那么迭代方法往往能够更快地收敛。
其次，迭代公式的选择也会对收敛速度产生影响。
一些迭代公式具有更快的收敛速度，而另一些则相对较慢。
最后，问题的性质也会对收敛速度产生影响。
一些问题可能具有较快的收敛速度，而另一些则可能需要更多的迭代次数才能达到收敛。
4. 常见的迭代方法及其收敛速度分析在数值计算中，有多种常见的迭代方法，如牛顿法、Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法等。
这些方法具有不同的收敛速度，并且适用于不同类型的问题。
4.1 牛顿法牛顿法是一种用于求解非线性方程的迭代方法。
它通过不断逼近函数的根来求解方程。
牛顿法的收敛速度通常是二阶收敛的，这意味着每次迭代后误差的平方会减小到原来的四分之一。
4.2 Jacobi迭代法Jacobi迭代法是一种用于求解线性方程组的迭代方法。
不动点迭代法收敛速度判断准则
一、概述不动点迭代法是数值分析中常用的一种数值求解方法，广泛应用于求解方程及优化问题。
而判断不动点迭代法的收敛速度，对于有效地应用该方法具有重要意义。
本文将针对不动点迭代法的收敛速度判断准则展开讨论，以期为相关领域的研究和应用提供一定的参考。
二、不动点迭代法概述不动点迭代法（Fixed-Point Iteration Method）是一种通过不断迭代逼近解的常见求解方法。
其基本思想是利用迭代公式不断更新初始值，直至满足一定的条件为止。
其迭代公式通常具有如下形式：xn+1 = g(xn)其中，xn为第n次迭代的近似解，xn+1为第n+1次迭代的近似解，g(x)为迭代函数。
不动点迭代法的核心在于选择合适的迭代函数g(x)，并通过迭代逼近不动点，即满足x = g(x)的点，从而得到近似解。
三、不动点迭代法的收敛速度不动点迭代法的收敛速度是指在迭代过程中，解逼近真实解的速度。
通常情况下，我们希望迭代能够快速收敛，即在迭代次数较少的情况下就能得到满足精度要求的近似解。
判断不动点迭代法的收敛速度是一个至关重要的问题。
四、判断不动点迭代法收敛速度的准则判断不动点迭代法收敛速度的准则有多种，下面将介绍几种常用且较为实用的方法：1. 利普希茨常数条件利普希茨常数条件是判断不动点迭代法收敛速度的重要准则之一。
对于迭代函数g(x)，如果存在一个常数L，满足对于任意x1和x2有： |g(x1) - g(x2)| <= L|x1 - x2|则称L为迭代函数g(x)的利普希茨常数。
此时，如果L < 1，则不动点迭代法收敛速度较快，反之则收敛速度较慢。
2. 收敛域分析收敛域分析是判断不动点迭代法收敛速度的另一种常用准则。
通过对迭代函数的性质进行分析，可以确定不动点迭代法的收敛速度。
对于某些特定的函数形式，可以利用收敛域的性质来判断不动点迭代法的收敛速度。
3. 收敛速度估计收敛速度估计是通过对迭代过程中的误差进行分析，从而估计不动点迭代法的收敛速度。
线性方程组迭代法收敛速度
线性方程组迭代法收敛速度摘要：迭代法是按照某种规则构造一个向量序列{x k },使其极限向量x *是方程组Ax=b 的精确解。
本实验主要用Jacobi,G_S 和SOR 迭代法解线性方程，认识迭代法的含义以及迭代法初始值和方程组系数矩阵对收敛速度的影响。
关键词：Jacobi,G_S.SOR 迭代法，以及误差分析0.引言：一个方法是否有效要看得到具有某个精确度的近似解而付出的代价如何，通常以运算量和储存量的要求为标志。
在这个标准下，直接在很多情况下比迭代法号，但是对于大型的稀疏方程组来说，迭代法更适用。
学习迭代法一般有几个问题：（1）如何构造迭代数列？（2）构造迭代数列是否收敛？ 在什么情况下收敛？（3）如果收敛。
收敛速度如何，迭代法初始值会对收敛速度有什么影响？1.实验内容：用迭代法求解b Ax =，其中2020⨯∈R A 为五对角矩阵202011324111322411113422411113422411113422411342A ⨯⎫⎛--⎪ ⎪ ---⎪ ⎪ ----⎪ =⎪⎪----⎪⎪ ----⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭（1）选取不同的初始向量X)0(及右端向量b ，给定迭代误差要求，用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解，观察得到的序列是否收敛？若收敛，记录迭代次数，分析计算结果并得出你的结论。
（2）用SOR 迭代法求上述方程组的解，松驰系数ω取21<<ω的不同值，在()(1)510k k X X +-∞-≤时停止迭代，记录迭代次数，分析计算结果与松驰系数ω的关系并得出你的结论。
（3）用MathCAD 指令求出系数矩阵的逆矩阵，再求出上述各个方程组的解，并与上述方法求出的解进行比较。
（1）Jacobi 迭代法内容：对Ax b =求解的一种方法，令A D L U =--，其中[]ij A a =，1122(,,,)nn D diag a a a = ，21313212,10000n n n n a a a L a a a -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦， 121312321,0000n n n n a a a a a U a ----⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦则方程Ax b =可以写成1k k x Bx g -=+，其中11(),.B D L U g D b --=+=给定一个初始向量0x ，就可得到一个新的向量10x Bx g =+，以此类推，求出2x ，3x 。
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本科生课程设计报告实习课程数值分析
学院名称管理科学学院
专业名称
学生姓名
学生学号
指导教师
实验地点
实验成绩
二〇一六年六月
填写说明
1、专业名称填写为专业全称，有专业方向的用小括号标明；
2、格式要求：格式要求：
①用A4纸双面打印（封面双面打印）或在A4大小纸上用蓝黑色水笔书写。
②打印排版：正文用宋体小四号，1.5倍行距，页边距采取默认形式（上下
2.54cm，左右2.54cm，页眉1.5cm，页脚1.75cm）。
字符间距为默认值（缩
放100%，间距：标准）；页码用小五号字底端居中。
③具体要求：
题目（二号黑体居中）；
摘要(“摘要”二字用小二号黑体居中，隔行书写摘要的文字部分，小4
号宋体)；
关键词（隔行顶格书写“关键词”三字，提炼3-5个关键词，用分号隔开，小4号黑体)；
正文部分采用三级标题；
第1章××(小二号黑体居中，段前0.5行)
1.1 ×××××小三号黑体×××××（段前、段后0.5行）
1.1.1小四号黑体（段前、段后0.5行）
参考文献（黑体小二号居中，段前0.5行），参考文献用五号宋体，参
照《参考文献着录规则（GB/T 7714－2005）》。
迭代初值及公式对迭代收敛速度影响
摘要
迭代收敛速度受到迭代函数和初始迭代值的影响。
本实验在于体会在非线性方程求根的迭代法中，迭代函数和初始迭代值的选取对迭代收敛性的影响，sttefensen加速的效果，并试图总结一些规律。
关键词： sttenfensen加速；迭代初值；收敛速度
目录
第1章前言...............................................................
1.1 内容及要求..........................................................................................
1.2 研究思路及结构安排 .......................................................................... 第2章相关理论知识........................................................
2.1 迭代法 .................................................................................................
2.2 迭代收敛 ............................................................................................. 第3章算法分析............................................................
3.1 单一迭代算法步骤及流程图 .............................................................. 第4章算法实现............................................................
4.1程序总体结构.......................................................................................
4.2 源程序清单..........................................................................................
4.3程序运行 .............................................................................................. 第5章结果分析............................................................ 参考文献...................................................................
第1章 前 言
1.1 内容及要求
体会在非线性方程求根的迭代法中，迭代函数和初始迭代值的选取对
迭代收敛性的影响。
考虑一个简单的代数方程324100x x +-=，针对这个方程，可以构造多
种迭代法， 如下列几种迭代格式： ①
321410n n n n x x x x +=--++； ②
13211(10)2n n x x +=-； ③12
1104n x x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭；④321241038n n n n n n x x x x x x ++-=-+ 。
要求：
（1）取定某个初始值x0，按如上四种迭代格式进行计算，它们的收
敛性如何？重复选取不同的初始值，反复实验，分析四种迭代法的收敛性与初值选取的关系。
（2）选取第④种迭代格式（Newton 迭代法），取不同的初始值进行迭
代，结果如何？并分析迭代法对不同的初值是否有差异。
（3）对上述四种迭代格式，编制Steffensen 迭代程序，选取不同的
初始值，输出迭代次数和方程的根，并与（1）、（2）中的结果进行比较。
1.2 研究思路及结构安排
按照题目要求分别编写公式1-4以及他们的steffensen 加速公式。
在每一次的计算中，通过输入不同的迭代初值，然后进行8个公式的
的计算，最后得到每个公式在此迭代初值条件下的表现（得到满足精度要求的近似解的迭代次数）。
并且，程序运行过程中通过文件读写将每一次的每个公式的迭代次数都写入到“data.txt”中，对比一目了然。
通过对迭代次数的对比分析可以得到较为清晰的结论。
第2章相关理论知识
2.1 迭代法
迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。
设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g(x)，然后按以下步骤执行：
（1）选一个方程的近似根，赋给变量x0；
（2）将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0；
（3）当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤（2）的计算。
若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。
2.2 迭代收敛
具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：
（1）如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在
程序中对迭代的次数给予限制；
（2）方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败
第3章算法分析
3.1 单一迭代算法步骤及流程图
第4章算法实现
4.1程序总体结构
4.2 源程序清单
4.3程序运行
图二
图三
图四
图五
图六、不同初值在8个公式中的结果
（注：参数表示得到近似解时迭代次数，“0”和“1”表示公式不收敛）图七、公式一的steffensen加速在取初值为17时的表现
（注：迭代结果从17逐渐趋近到1.538后突变为-1.780再突变到27.819
最后稳定）
第5章结果分析
对图六进行分析可知：无论迭代初值取何值，公式一都为发散；公式
二和公式三在迭代初值取1和2时收敛，其他值均发散；公式四始终收敛，只是所需迭代次数随着迭代初值与真实值相差越大而越大。
说明公式一与迭代初值没有关系；公式二和公式三均只能在迭代初值与方程的解（1.365）非常接近时才能收敛，当相差较大时则发散；公式四则只有迭代次数收到迭代初值的影响，所以，迭代法在不同的迭代初值下存在差异。
对四个公式进行steffensen加速后，原本不收敛的公式一变得收敛，并且可以迭代得到方程的近似解，只是迭代次数随迭代初值远离方程的解而发生跳跃式增长（迭代次数从初值为1时的9次到初值为20时的49847）；公式二在对迭代初值的敏感性上没有差异，而在原来的基础上可收敛时收敛速度得到提升；公式三由原来的只对初值1和2收敛变为对所有的初值都收敛，并且都只需要3次迭代，可谓收敛性能最好，稳定性最佳；公式四反而在加入加速公式后收敛速度变慢。
计算中存在一个奇怪现象，公式一的steffensen加速在初值为17时，迭代结果从17逐渐递减趋近到1.538后突变为-1.780再突变到27.819最后稳定。
这应该是一个偶然现象，这里不作特别研究。
综上：
迭代初值对迭代的收敛性存在影响，但是这种影响存在不确定性，没有发现可寻的规律。
Newton迭代法对初值存在一定的相关性，第一段中已作说明。
通过四种公式与其steffensen加速后公式的表现的对比可知，steffensen对公式的加速作用也存在不确定性。
可能收到良好效果（如：
公式三的加速得到一个收敛性能最好，稳定性最佳的公式）；也可能收到更坏的效果（如：公式四反而在加入加速公式后收敛速度变慢）；可能使得原本不收敛的公式变得收敛；也可能对公式的收敛性没有影响。
参考文献
[1] posted on [2006-05-04 22:29]。