2018-2019学年河北省冀州中学高二下学期第二次月考数学(理)试题(解析版)

2018-2019学年河北省冀州中学高二下学期第二次月考数学（理）试题一、单选题1．若复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数是（ ） A ．1i -- B ．1i + C ．1i -+ D ．1i -【答案】B【解析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 【详解】解：由1z i i =+g，得21(1)()1i i i z i i i ++-===--， ∴1z i =+，故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，属于基础题． 2．设集合102x A xx ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，{|lg(23)}B x y x ==-，则A B =I （ ）A ．322x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭B ．{|1}x x >C ．{|2}x x >D ．322xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】解分式不等式102x x -<-，得集合A ，再计算函数()lg 23y x =-的定义域，得集合B ，求集合A 与集合B 的交集可得答案 【详解】因为102x x -<-，即(1)(2)0x x --<，得()1,2A =，令230x ->，得3,2B ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，所以3,22A B ⎛⎫⋂= ⎪⎝⎭，选择D 【点睛】用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，常借助数轴来解决数集间的关系3．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则4a =（ ）A ．52B ．3C ．72D ．4【答案】C【解析】利用等差数列前n 项和公式，代入844S S =即可求出112a =，再利用等差数列通项公式就能算出4a . 【详解】∵{}n a 是公差为1的等差数列，844S S =， ∴1187143184422a a ⨯⨯⨯⨯⎛⎫+=⨯+ ⎪⎝⎭解得112a =，则4173122a =+⨯=，故选C. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及其前n 项和公式的运用，是基础题。

4．ABC ∆是边长为1的正三角形，O 是ABC ∆的中心，则()()·OA OB OA OC ++=u u u v u u u v u u u v u u u v（ ） A ．16-B ．12-C ．12D ．16【答案】A【解析】根据三角形的重心的性质及向量加法平行四边形法则，根据条件进行向量数量积的运算即可求出. 【详解】因为O 是等边ABC ∆的中心，所以O 是等边ABC ∆的重心，所以0OA OB OC u u u v u u u v u u u v v++=，所以()()()···OA OB OA OC OC OB OC OB ++=--=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，又ABC ∆是边长为1的正三角形，所以3OC OB ==u u u v u u u v ，2·3OC OB π=u u u v u u u v ,所以1·cos ?6OC OB OC OB OC OB ==-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，故选A.【点睛】本题考查了三角形重心的概念及性质，等边三角形的概念，向量加法的平行四边形法则，以及向量的数乘运算，向量数量积的运算及计算公式．5．如图是希腊著名数学家欧几里德在证明勾股定理时所绘制的一个图形，该图形由三个边长分别为,,a b c 的正方形和一个直角三角形围成.现已知3a =，4b =，若从该图形中随机取一点，则该点取自其中的直角三角形区域的概率为( )A ．328B ．356C ．325D ．625【答案】A【解析】根据正方形的面积公式、直角三角形的面积公式求出图形总面积，由几何概型概率公式可得结果. 【详解】因为3a =，4b =，5c ∴=，2221916256562S a b c ab ∴=+++=+++=，其中6S V =，∴该点取自其中的直角三角形区域的概率为635628=，故选A ． 【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线x ﹣y+2=0垂直，则它的离心率为（ ）A ．12B ．3 C ．2D ．1【答案】C【解析】根据双曲线的标准方程知渐近线方程为by x a=±，其中一条与直线x ﹣y+2=0垂直，可知1ba=，即可计算离心率. 【详解】由双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>可知渐近线方程为b y x a =±，且一条渐近线与直线x ﹣y+2=0垂直， 所以1ba-=-， 22222211b c a e a a-∴==-=，即2e =. 故选C. 【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线，离心率，属于中档题.7．执行如图所示的程序框图，若输出的S ＝，则判断框内填入的条件不可以是A ．k≤7?B ．k ＜7?C ．k≤8?D ．k ＜8? 【答案】C【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k ，S 的值，当k=8时，退出循环，输出S 的值为，故判断框图可以填入的条件是k ＜8,由此得结果. 【详解】模拟执行程序框图，可得： S=0，k=0满足条件，k=2，S= 满足条件，k=4，S=+ 满足条件，k=6，S=+ 满足条件，k=8，S=++=由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出S 的值为．结合选项可得判断框内填入的条件可以是：k ＜8．所以不可以的是k≥8的所有k. 故选：C ． 【点睛】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的S 值是解题的关键，属于基础题．8．某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积不可能是( )A ．πB ．2C ．4D ．6【答案】C【解析】判断几何体的形状，几何体可能是圆锥、正四棱锥、三棱锥，然后求解几何体的体积，判断选项即可． 【详解】几何体可能是圆锥，底面半径为1，高为3，几何体的体积为：21133ππ⨯⨯⨯=，排除A ；几何体如果是正四棱锥，底面是正方形边长为2，高为3，几何体的体积为：212362⨯⨯=，排除D ； 几何体如果是三棱锥，底面是等腰三角形，底边长为2，三角形的高为2，三棱锥的高为3，几何体的体积为：11223232⨯⨯⨯⨯=，排除B ,故选C ． 【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 9．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中0>ω）的最小正周期为π，函数()()4g x f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若对x R ∀∈，都有()3g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则ϕ的最小正值为（ ） A ．3πB ．23π C ．43π D ．53π 【答案】B【解析】将函数表达式展开合并，再用辅助角公式化简，得f （x ）=12sin （2x+6π）-14．再根据正弦函数对称轴的公式，求出f （x ）图象的对称轴方程. 【详解】由函数()f x 的最小正周期为π，可求得ω=2∴f （x ）=()sin 2x ϕ+，()()4g x f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=()sin 2sin 24x x πϕϕ⎡⎤⎛⎫++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=()() cos 2sin 2x x ϕϕ++=2sin （2x ϕ++6π）， ∴()2sin26g x x πϕ=++，又()3g x g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴x=3π是g(x)的一条对称轴，代入2x ϕ++6π中，有23πϕ⨯++6π=k 2ππ+(k Z)ò,解得ϕ=k 3ππ-+(k Z)ò,k=1时，23πϕ=，故选B.【点睛】本题考查了三角函数的化简与三角函数性质，运用了两角和差的正余弦公式，属于中档题．10．如图，在矩形ABCD 中，//EF CD ，//GH BC ，2BC =，1AF FG BG ===，现分别沿,EF GH 将矩形折叠使得AD 与BC 重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为（ ）A ．83πB ．163πC ．6πD ．24π【答案】B【解析】分析题意得折叠后的几何体为正三棱柱，底面边长为1，高为2．根据正三棱柱的外接球的特征求出球半径后可得其表面积． 【详解】由题意得，折叠后的几何体为正三棱柱，且该三棱柱的底面边长为1，高为2．如图所示的正三棱柱111ABC A B C -．设上下底面的中心分别为12,O O ，则球心O 为12,O O 的中点，连2,OC O C ， 则222331)13O C OO =⨯==，∴OC ===，即球半径R =∴该几何体的外接球的表面积为24164433S R πππ==⨯=． 故选B ． 【点睛】解答本题时注意两点：（1）分析得到折叠后的几何体的形状；（2）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，然后根据题意并结合勾股定理得到关于球半径的方程，解方程可得球的半径．11．直线l 是圆224x y +=在(-处的切线，点P 是圆22430x x y -++=上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值等于（ ）A ．1BCD ．2【答案】D【解析】先求得切线方程，然后用点到直线距离减去半径可得所求的最小值． 【详解】圆224x y +=在点(-处的切线为:4l x -+=，即:40l x -+-=， 点P 是圆22(2)1x y -+=上的动点，圆心(2,0)到直线:40l x -+=的距离3d ==，∴点P 到直线l 的距离的最小值等于1312d -=-=．故选D ． 【点睛】圆中的最值问题，往往转化为圆心到几何对象的距离的最值问题．此类问题是基础题. 12．已知函数()()3222631216f x x a x ax a =-+++（0a <）只有一个零点0x ，则a的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭C ．3,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】利用函数的导数，研究函数的极值，结合函数只有一个零点，得出满足条件的不等式，即可求解. 【详解】()()3222631216f x x a x ax a =-+++Q2()62(63)126(1)(2),0f x x a x a x x a a '∴=-++=--<,令()0f x '=，解得121,2x x a ==， 则当(,2)(1,)x a ∈-∞+∞U 时，()0f x '>，故函数在(,2)(1,)a -∞+∞，上单调递增， 当(2,1)x a ∈时，()0f x '<，函数为减函数，所以当1x =时，函数取得极小值，极小值为2(1)1661f a a =+-， 当2x a =时，函数取得极大值，极大值为(2)f a ， 且x →-∞时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞， 因为函数只有一个零点0x ，所以2(1)16610f a a =+->或322(2)164(63)400f a a a a a =-++<， 解得12a <-或18a >或72a >， 因为0a <， 所以12a <-， 故选：A 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的极值，函数的零点，属于中档题.二、填空题13．已知2cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于______.【答案】23【解析】由4πα-与4πα+的和为2π，利用诱导公式把4sin πα⎛⎫- ⎪⎝⎭转化成cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭ ，从而可得结果.【详解】cos 424sin πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2cos 33πα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故答案为23.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．14．已知点(),P x y 在不等式组20020x y x y y -≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩表示的平面区域上运动，则z x y =+的最大值是______ 【答案】4【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分)由020x y y -=⎧⎪⎨⎪-=⎩可得()2,2A ， 由z x y =+得y x z =-+， 平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点()2,2A 时， 直线y x z =-+的截距最大，此时z 最大．将()2,2A 代入目标函数z x y =+得224z =+=，故答案为4． 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值． 15．已知数列{}n a 是等差数列，且26710215a a a a +++=，数列{}n a 的前n 项和为S n ，则S 13＝_____． 【答案】39【解析】利用等差数列通项公式推导出163a d +=，由此能求出13S ． 【详解】Q 数列{}n a 是等差数列，且26710215a a a a +++=，1111562(9)15a d a d a d a d ∴+++++++=，整理得163a d +=， 数列{}n a 的前n 项和为n S ， 则13113113()13(6)133392S a a a d =+=+=⨯=． 故答案为：39． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．已知函数()cos,02e1,0xx xf xxπ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪->⎩，若()1f x ax≥-恒成立，则实数a的取值范围是______.【答案】0a e≤≤【解析】作出函数()f x图象，利用数形结合法，将不等式恒成立问题转化为图象的交点问题，利用导数求切线的斜率，即可求解.【详解】由题意,可作出函数()cos,021,0xx xf xe xπ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪->⎩sin,01,0xx xe x-≤⎧=⎨->⎩与函数1y ax=-的图象，如图所示：若不等式()1f x ax-…恒成立，则必有0a k≤≤，其中，k是1xy e=-过点()0,1-的切线的斜率．设切点为(),1xx e-，因为'xy e=，所以()()111xxek ex---==-，解得01x=，所以k e=，所以0a e≤≤．故答案为：0a e≤≤．【点睛】本题考查利用导数研究函数的切线的斜率和恒成立问题，考查创新意识和推理论证能力，数形结合的思想，属于中档题.三、解答题17．已知a ,b ,c 分别是∆ABC 的内角A ,B ,C ,所对的边，2222sin sin sin b c a C Abc B+--=（1）求角B 的大小；（2）若∆ABC ∆ABC 周长的最小值． 【答案】（1）3π（2）6 【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得c 2+a 2﹣b 2＝ac ，根据余弦定理可求cosB 12=，结合范围B ∈（0，π），可求B 的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求ac ＝4，利用余弦定理，基本不等式，即可计算得解△ABC 周长的最小值． 【详解】（1）222b c a 2sinC sinAbc sinB+--=Q ， 由a b c sinA sinB sinC==得222c a b ac +-=， 222c a b 1cosB 2ac 2+-∴==，0B π<<Q ，πB 3∴=；（2）由（1）得πB 3=，ΔABC 1S acsinB 2∴===ac 4∴=，b Q == 2=，a c 4+≥=，对上述两个不等式，当且仅当a c 2==时等号成立， 此时ΔABC 周长取最小值6. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，CB 2GF,BF CF ==.（1）求证：AB CG ⊥；（2）若BC CF =，求直线AE 与平面BEG 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ6【解析】（Ⅰ）取BC 的中点为D ，连结DF ，易证四边形CDFG 为平行四边形，即//CG DF ，由于BFCF =，D 为BC 的中点，可得到DF BC ⊥，从而得到CG BC ⊥，即可证明CG ⊥平面ABC ，从而得到CG AB ⊥；（Ⅱ）易证DB ，DF ，DA 两两垂直，以DB ，DF ，DA 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，求出平面BEG 的一个法向量为(),,n x y z =v，设AE 与平面BEG 所成角为θ，则sin cos ,AE nAE n AE nu u u v vu u u v v u u u v v θ⋅=〈〉=⋅，即可得到答案．【详解】解：（Ⅰ）取BC 的中点为D ，连结DF .由ABC EFG -是三棱台得，平面//ABC 平面EFG ，从而//BC FG . ∵2CB GF =，∴//CD GF ，∴四边形CDFG 为平行四边形，∴//CG DF . ∵BF CF =，D 为BC 的中点， ∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥.∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且交线为BC ，CG ⊂平面BCGF ， ∴CG ⊥平面ABC ，而AB Ì平面ABC ， ∴CG AB ⊥. （Ⅱ）连结AD .由ABC ∆是正三角形，且D 为中点，则AD BC ⊥. 由（Ⅰ）知，CG ⊥平面ABC ，//CG DF ，∴DF AD ⊥，DF BC ⊥，∴DB ，DF ，DA 两两垂直.以DB ，DF ，DA 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.设2BC =，则()003A ,,，13,3,2E ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，()1,0,0B ，()1,3,0G -， ∴13,3,2AE u u u v ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()2,3,0BG =-u u u v ，33,3,2BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v . 设平面BEG 的一个法向量为(),,n x y z =v.由0{0BG n BE n ⋅=⋅=u u u v v u u u v v 可得，230{333022x y x y z -+=-++=. 令3x =，则2y =，1z =-，∴()3,2,1n =-v.设AE 与平面BEG 所成角为θ，则6sin cos ,4AE n AE n AE nθ⋅=〈〉==⋅u u u v vu u u v v u u uv v .【点睛】本题考查了空间几何中，面面垂直的性质，线线垂直的证明，及线面角的求法，考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属于中档题．19．在全国第五个“扶贫日”到来之前,某省开展“精准扶贫,携手同行”的主题活动,某贫困县调查基层干部走访贫困户数量．A 镇有基层干部60人,B 镇有基层干部60人,C 镇有基层干部80人,每人都走访了若干贫困户,按照分层抽样,从,,A B C 三镇共选40名基层干部,统计他们走访贫困户的数量,并将走访数量分成5组,[)[)[)[)[]5,15,15,25,25,35,35,45,45,55,绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)求这40人中有多少人来自C 镇,并估计,,A B C 三镇的基层干部平均每人走访多少贫困户；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色,以频率估计概率,从,,A B C 三镇的所有基层干部中随机选取3人,记这3人中工作出色的人数为X ,求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）40人中有16人来自C 镇，28.5户（2）见解析【解析】（1）先确定抽样比，再由C 镇有基层干部80人即可求出结果；求平均数时，只需每组的中间值乘以该组的频率再求和即可；（2）先确定从三镇的所有基层干部中随机选出1人，其工作出色的概率，由题意可知X 服从二项分布，进而可求出结果. 【详解】解：（1）因为,,A B C 三镇分别有基层干部60人，60人，80人，共200人， 利用分层抽样的方法选40人，则C 镇应选取408016200⨯=（人）， 所以这40人中有16人来自C 镇因为100.15200.25300.3x =⨯+⨯+⨯ 400.2500.128.5+⨯+⨯=， 所以三镇基层干部平均每人走访贫困户28.5户（2）由直方图得，从三镇的所有基层干部中随机选出1人，其工作出色的概率为35显然X 可取0，1，2，3，且33,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()32805125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()12133236155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()21233254255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()332735125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 所以X 的分布列为所以数学期望()8365427901231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题主要考查频率分布直方图，以及二项分布，由频率分布直方图求平均数，只需每组的中间值乘以该组频率再求和即可，对于二项分布的问题，熟记二项分布即可求解，属于常考题型.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>及点(2,1)D ,若直线OD 与椭圆C 交于点,A B ,且|||AB OD =(O 为坐标原点),椭圆C (1)求椭圆C 的标准方程； (2)若斜率为12的直线l 交椭圆C 于不同的两点,M N ,求DMN ∆面积的最大值． 【答案】(1)2214x y +=；(2)1.【解析】(1)由椭圆C =所以224a b =.设点A 在第一象限,由椭圆的对称性可知OA OB =,所以2OA OD =u u u ru u u r ,因为点D 坐标为()2,1,所以点A 坐标为2⎭, 代入椭圆C 的方程得222112a b+=,与224a b =联立, 可得224,1a b ==,所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.(2)设直线l 的方程为()102y x t t =+≠,由221214y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222220x tx t ++-=. 由题意得,()2244220t t ∆=-->,整理得220t ->，所以20t -<<或02t <<.设()()1122,,,M x y N x y ,则212122,22x x t x x t +=-=-,所以()()2212121252MN x x y y x x =-+-=-=()22121254522x x x x t +-=-.又由题意得,()2,1D 到直线12y x t =+的距离25t d =. DMN V 的面积()22222211252212225tt t S d MN t t t -+==⋅⋅-=-≤=当且仅当222t t -=,即1t =±时取等号,且此时满足0∆>, 所以DMN V 面积的最大值为1. 21．已知函数为常数的图象与y 轴交于点A ，曲线在点A 处的切线斜率为．（1）求a 的值及函数的单调区间； （2）设，证明：当时，恒成立．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）利用导数的几何意义是曲线在切点处切线的斜率可得a ＝3，然后根据导函数的符号可得单调区间；（2）将所证不等式转化为e x ﹣x 2﹣1＞0，然后构造函数h （x ）＝e x ﹣x 2﹣1（x ＞0），通过两次求导可证不等式． 【详解】 (1)令得，则，，解得，当时，，单调递增； 当时，，单调递减．的单调递增区间为，单调递减区间为(2)证明：当时，，令，则， ，当时，，递减； 当时，，递增，在上单调递增，，，当时，．【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为()26cos sin 14ρρθθ=+-.（1）写出圆C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦长AB . 【答案】（1）22(3)(3)4x y -+-=（2）22【解析】（1）运用公式cos x ρθ=，sin y ρθ=直接代入并化简即可；（2）将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用参数t 的几何意义求得弦长AB 【详解】（1）由()26cos sin 14ρρθθ=+-，得圆C 的直角坐标方程为226614x y x y +=+-，即()()22334x y -+-=（2）将直线l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得22134⎫⎫---=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭即260t -+=，设两交点A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，从而12t t +=126t t =则12AB t t =-==【点睛】直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式cos x ρθ=，sin y ρθ=直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难些，常通过变形，进行整体代换；灵活运用参数t 的几何意义可以快速求得弦长 23．已知函数()2123f x x x =++- （1）求不等式()7f x x ≤的解集；（2）若关于x 的方程()f x m =存在实数解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）{}|1x x ≥（2）7m ≥【解析】（1）通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式组，解出即可; （2）求出f (x )的最小值，解关于m 的不等式，解出即可. 【详解】（1）不等式()7≤f x ， 即26217x x x -++≤，可化为①1226217x x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩，或②13226217x x x x⎧-≤≤⎪⎨⎪-+++≤⎩， 或③326217x x x x>⎧⎨-++≤⎩，解①无解，解②13x ≤≤，解③得3x >， 综合得：1x ≥，即原不等式的解集为{}|1x x ≥．（2）因为()2621(26)(21)7f x x x x x =-++≥--+=， 且关于x 的方程()m f x =存在实数解，7m ∴≥m ．∴实数m的取值范围为7【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，利用绝对值不等式求最值，考查分类讨论思想，是一道中档题.第 21 页共 21 页。