材料力学第9章 强度理论

脆性材料受拉 脆性材料受压 第三强度理论和第四强度理论一般适用于塑性材料. 但是，有两种特殊情况：三向受压状态下，铸铁也发 生显著的塑性变形；而在三向受拉状态下，即使是钢 材也会发生断裂。
三 单向与纯剪切组合应力状态的强度条件 危险点的应力状态如图，由第三、第四强度理论建 立其强度条件。

二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷）
材料的强度破坏有两种类型； Ⅰ. 在没有明显塑性变形情况下的脆性断裂； Ⅱ. 产生显著塑性变形而丧失工作能力的塑性屈服。 工程中常用的强度理论按上述两种破坏类型分为 Ⅰ. 研究脆性断裂力学因素的第一类强度理论，其中 包括最大拉应力理论和最大拉应变理论； Ⅱ. 研究塑性屈服力学因素的第二类强度理论，其中 包括最大切应力理论和形状改变能密度理论。
按照这一理论，似乎材料在二轴拉伸或三轴拉伸应力 状态下反而比单轴拉伸应力状态下不易断裂，而这与实际 情况往往不符，故工程上应用较少。
§9.3 关于屈服的强度理论
一 最大切应力理论 (第三强度理论) 1773库仑 特雷斯卡，1868年完善。 认为最大切应力max是引起材料塑性屈服的主要 因素，不论材料在什么样的应力状态下，只要最大 切应力 max 达到材料单向拉伸屈服时的最大切应力 值max，s ，材料就发生屈服。 失效判据：
二 畸变能理论(第四强度理论) 1904胡贝尔提出，米泽斯1913年论证。 物体在外力作用下会发生变形，这里所说的变 形，既包括有体积改变也包括形状改变。 当物体因外力作用而产生弹性变形时，外力在相应 的位移上就作了功，同时在物体内部也就积蓄了能量。 例如钟表的发条(弹性体)被用力拧紧(发生变形)，此外 力所作的功就转变为发条所积蓄的能。在放松过程 中，发条靠它所积蓄的能使齿轮系统和指针持续转 动，这时发条又对外作了功。这种随着弹性体发生变 形而积蓄在其内部的能量称为变形能（应变能）。在 单位变形体体积内所积蓄的变形能称为变形比能。
材料在单向应力状态下的强度(塑性材料的屈服极限，脆性 材料的强度极限)总可通过拉伸试验和压缩试验加以测定；材料 在纯剪切这种特定平面应力状态下的强度(剪切强度)可以通过 例如圆筒的扭转试验来测定。 但是对于材料在一般平面应力状态下以及三向应力状态下 的强度，则由于不等于零的主应力可以有多种多样的组合，所 以不可能总是由试验加以测定。因而需要通过对材料破坏现象 的观察和分析寻求材料强度破坏的规律，提出关于材料发生强 度破坏的力学因素的假设──强度理论，以便利用单向拉伸、 压缩以及圆筒扭转等试验测得的强度来推断复杂应力状态下材 料的强度。
二 畸变能理论(第四强度理论) 1904胡贝尔提出，米泽斯1913年论证。 认为畸变能是引起材料塑性屈服的主要因素， 不论在什么样的应力状态下，只要畸变能密度vd达 到材料单向拉伸屈服时的畸变能密度vds ，材料就 发生屈服，即：
(1 u ) 1 2 2 2 3 2 1 3 2 vd 6E (1 u ) s2 vds 3E 1 2 2 2 1 2 2 3 1 3 s 2
σ1 94 .72MPa σ 3 5 .28MPa
（3）单元体（c）
σ1 80MPa σ 2 -70MPa
σ3 -140MPa
70 MPa
σr 3 220MPa
（4）单元体（d）
σr 4 195MPa
140 94.72 70 30 2 2 ( ) 40 2 2 min 5.28 30MPa
由于物体在外力作用下所发生的弹性变形既包括 物体的体积改变，也包括物体的形状改变，所以可推 断，弹性体内所积蓄的变形比能也应该分成两部分： 一部分是形状改变比能（畸变能） ，一部分是体积改 变比能 。 在复杂应力状态下，物体形状的改变及所积蓄的 形状改变比能是和三个主应力的差值有关；而物体体 积的改变及所积蓄的体积改变比能是和三个主应力的 代数和有关。
2 2 2

s
n
[ ]
实验验证：比第三强度理论更接近实际值；在工 程中得到了更广泛应用。
§9.4 强度理论的应用
一 四种强度理论统一式：
上述四个强度理论所建立的强度条件可统一写作如下形 式：
r
式中，r是根据不同强度理论以危险点处主应力表达的一个 值，它相当于单轴拉伸应力状态下强度条件≤[]中的拉应 力，通常称r为相当应力。表7-1示出了前述四个强度理论 的相当应力表达式。
n
[ ]
塑性屈服：极限应力为 jx s
脆性断裂：极限应力为 jx b 其中，s和b可由实验测得。
上述强度条件具有如下特点 （1）危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态; （2）材料的许用应力,是通过拉（压）试验或纯剪试验测定 试件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指 标,除以适当的安全因数而得,即根据相应的试验结果建立的强度 条件。
n
[]为材料的许用应力；
1构件危险点的最大拉应力；
1
b
n
[ ]
实验证明： 脆性材料在两向或三向受拉断裂时，该理论与实 验结果接近。 当存在压应力的情况下，只要最大压应力不超过 最大拉应力时，该理论也是正确的。 该强度理论较好地解释了石料、铸铁等脆性材料沿 最大拉应力所在截面发生断裂的现象； 无法解释石材在单向受压时，沿纵向开裂。

vd vds



1 2 2 2 1 2 2 3 1 3 s 2


s 1 2 2 2 1 2 2 3 1 3 [ ] 2 n
1 2



1
2 2 3 1 3
所以：

2
2 0 3 2 2 2

2
r 3 1 3 2 4 2
r4
1 2 2 2 1 2 2 3 1 3 2 3
2 2



§9.2 关于断裂的强度理论
一 最大拉应力理论 (第一强度理论)1638伽利略 认为：最大拉应力 1 是引起材料脆性断裂的 主要因素。不论材料在什么样的应力状态下，只 要最大拉应力 1 达到单向拉伸断裂时的最大拉应 力1u，材料就发生脆性断裂。
1u b 失效判据： 1 1u b b [ ] 强度条件： 1
注意：图示应力状态实际上为弯扭组合加载对 应的应力状态，其相当应力如下：
r 3 2 4 2 [ ] 2 2 [ ] r 4 3
可记住，便于组合变形的强度校核。
例1 对于图示各单元体,试分别按第三强度理论及第四强度理论 求相当应力。
120 MPa 140 MPa
1u
1u
E

b
E
1 1 1 2 3 E
1u
1u
E

b
E
1 2 3 b
强度条件为： 1 2 3
b
n
[ ]
实验验证： a) 可解释大理石单压时的纵向裂缝； b) 脆性材料在双向拉伸-压缩应力状态下,且压应 力值超过拉应力值时,该理论与实验结果相符合。
r2 1 u 2 3
r3 1 3
r4 { { 1 2 2
1 2
2 3 2 3 1 2 ]}1 / 2
二 脆性和塑性状态： 一般情况下，脆性材料发生脆性断裂，塑性材料发 生屈服。

第一强度理论和第二强度理论一般适用于脆性材料.
r4
1 2 2 2 [(0 120) ( 120 120) ( 120 0) ] 120MPa 2
140 MPa
（2）单元体（b）
σ1 140MPa
σ 2 110MPa
σ3 0
110 MPa
σr 3 σ1 σ 3 140MPa 1 2 2 2 σr 4 [30 110 ( 140) ] 128MPa 2
2.强度理论
是关于“构件发生强度失效起因”的假说.
根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式 ,进行分 析,提出破坏原因的假说。在这些假说的基础上,可利用材料在单 向应力状态时的试验结果 , 来建立材料在复杂应力状态下的强度 条件。 基本观点 构件受外力作用而发生破坏时,不论破坏的表面现象如何复 杂,其破坏形式总不外乎几种类型,而同一类型的破坏则可能是某 一个共同因素所引起的。
max max,s
max
1 3
2
max,s
s
2
1 3 s
1 3 s
强度条件为： 1 3
s
n
[ ]
实验验证： a) 适用于拉压性能相同的材料； b) 低碳钢单拉时45滑移线吻合； c) 二向应力状态基本符合，偏于安全。 存在问题： 没考虑2对屈服的影响，实验证明其影响为15%。
解：
max
2 2 2

2
1 ＋ 2 2 2

2
min
－ 2 2 2

2
2 0
3 2 2 2

2
1 ＋ 2 2 2
120 MPa
110 MPa
（a ）
70 MPa 30MPa
（ b）
40MPa 70MPa
140 MPa
80 MPa 50MPa （c）
（ d）
解：（1）单元体（a）
120 MPa
σ1 0
σ 2 σ 3 120MPa