定积分基本计算定律-定积分的计算定律
第三章物理学中定积分的数值计算方法
第三章 物理学中定积分的数值计算方法一、填空题1、库仑常数k 等于 9×109mV/C ，真空中的介电常数ε0等于8.85×10-12F/m 。
2、对于电量为Q 的点电荷，在距离r 处产生的电场强度为21ˆˆ()4QrE r rrrπε==。
3、已知定积分()ba f x dx ⎰，被积分函数为()f x ，积分区间为[],ab 。
将该区间N 等分，步长()/x b a N ∆=-，用曲线下的虚矩形面积和近似替代积分值，该方法称为矩形法。
积分近似计算公式为1()()N bi ai I f x dx f x x -==≈∆∑⎰。
4、毕奥—萨伐尔定律所描述的公式为034Idl rdB r μπ⨯=。
5、玻尔兹曼常数是 k=1.38×1023 J/K 。
6、麦克斯韦速率分布律公式23/22/2()4()2v kTdN f v dv v e dv N kTμμππ-==。
7、在计算物理中求解定积分的方法有 辛普森法 、 龙贝格法 、 高斯求积法等。
二、简答1、写出库仑常数、真空中的介电常数和玻尔兹曼常数的值。
答：库仑常数k= 9×109mV/C ，真空中的介电常数ε0= 8.85×10-12F/m ，玻尔兹曼常数是 k=1.38×1023 J/K 。
2、什么是矩形法？答：已知定积分()ba f x dx ⎰，被积分函数为()f x ，积分区间为[],ab 。
将该区间N 等分，步长()/x b a N ∆=-，用曲线下的虚矩形面积和近似替代积分值，该方法称为矩形法。
积分近似计算公式为1()()N bi ai I f x dx f x x -==≈∆∑⎰。
3、毕奥—萨伐尔定律和麦克斯韦速率分布律公式。
答：毕奥—萨伐尔定律所描述的公式为034Idl rdB rμπ⨯=。
麦克斯韦速率分布律公式23/22/2()4()2v kTdN f v dv v e dv N kTμμππ-==。
定积分的概念与微积分基本定理(优质课)教案
定积分的概念与微积分基本定理（优质课）教案教学目标：掌握定积分的计算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面积.教学过程：一、定积分的概念：从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现，它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限，()()i ni n ni i x f n x f S ξξ∑∑=∞→=→∆=∆•=1101lim lim ()()i ni n n i i t v nt v S ξξ∑∑=∞→=→∆=∆•=1101lim lim事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限1定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b −=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x −上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：()()i ni ni i f n ab x f ξξ∑∑==−=∆•11当n →+∞）时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baf x dx ⎰即()baf x dx ⎰=()i ni n f n ab ξ∑=∞→−1lim其中函数()f x 叫做 ，x 叫做 变量，区间[,]a b 为 区间，b 积分 ，a 积分 。
说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ−∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=−∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=−=∑⎰ （3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰2定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数()f x 连续且恒有()0f x ≥。
数学定律大全
数学定律大全在数学领域，有许多重要的定律被广泛应用于各种数学问题的解决和推导中。
这些定律涵盖了各个数学分支，包括代数、几何、概率论等。
本文将介绍一些数学定律的基本概念和应用。
希望通过阅读本文，读者能更好地理解和应用这些数学定律。
一、代数定律1. 加法交换律：对于任意两个实数a和b，a + b = b + a。
2. 加法结合律：对于任意三个实数a、b和c，(a + b) + c = a + (b +c)。
3. 乘法交换律：对于任意两个实数a和b，a × b = b × a。
4. 乘法结合律：对于任意三个实数a、b和c，(a × b) × c = a × (b ×c)。
5. 分配律：对于任意三个实数a、b和c，a × (b + c) = a × b + a × c。
二、几何定律1. 皮亚诺公理：几何推理的基础，包括点、线、平行线、共线等基本概念。
2. 直角三角形定理：直角三角形的斜边平方等于两直角边平方之和。
3. 同位角定理：同位角互补或同位角相等。
4. 锐角三角函数定理：正弦函数、余弦函数和正切函数等定义和性质。
5. 平行线定理：包括同位角定理、内错角定理、同旁内角定理等。
三、概率论定律1. 概率的加法定律：对于两个事件A和B，其和事件的概率为P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
2. 独立事件定律：对于两个独立事件A和B，其交事件的概率为P(A∩B) = P(A) × P(B)。
3. 贝叶斯定理：用于计算条件概率的定理，根据已知信息计算未知的概率。
四、微积分定律1. 导数定义：函数在某点的导数表示函数曲线在该点的切线斜率。
2. 导数的四则运算：包括导数的加减乘除法则，用于计算复杂函数的导数。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：函数的不定积分与定积分之间的关系，用于计算函数的积分。
4. 泰勒展开式：将一个函数表示为无限次求导的多项式形式，用于近似函数。
高考数学总复习定积分与微积分基本定理理新人教A讲课文档
b1dx＝______
a
bkF(x)dx＝____________(其中k为常数)
a
b[F1(x)±F2(x)]dx＝bF1(x)dx±bF2(x)dx
a
a
a
bF(x)dx＝cF(x)dx＋bF(x)dx(其中a<c<b)
a
a
c
第九页，共55页。
(1)已知
1
F(x)dx＝2，
2
F(x)dx＝3，则
D. 6
第十五页，共55页。
[审题视点]
计算
b
F(x)dx的关键是找到满足F′(x)＝
a
F(x)的函数F(x)，其中F(x)可将基本初等函数的导数公式逆
向使用得到．
第十六页，共55页。
[解析] (1)1－1(x2＋Sinx)dx＝(13x3－coSx)1－1 ＝23. (2)由于F(x)＝xm＋ax的导函数为F′(x)＝2x＋1，所以
0
0
＝2(x－x22)10 ＝1.
第二十一页，共55页。
例2 若定积分m－2 －x2－2xdx＝4π，则m等于(
)
A．－1
B．0
C．1
D．2
第二十二页，共55页。
[审题视点] 被积函数y＝ －x2－2x 的原函数不易直接 求出，其图象与圆有关，故可用定积分的几何意义求解．
第二十三页，共55页。
[解析] 根据定积分的几何意义知，定积分 m － 2 －x2－2x dx的值，就是函数y＝ －x2－2x 的图象与x轴及
b
F(x)dx＝________，这个结论叫做微
a
积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼兹公式，可以把F(b)
－F(a)记作________，即bF(x)dx＝________＝______. a
三角函数的积分变换与定积分计算
理论推导：定积分在物理理论推导中也有着重要的作用，例如在电 磁学和量子力学等领域中的应用。
定积分在经济学中的应用
计算经济成本和收益 分析经济现象和趋势 预测经济指标和未来发展 制定经济政策和计划
定积分在生物学中的应用
定积分表示函数图像与x轴 所夹的面积
定积分的性质
线性性质：定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的积分，可以 分别对每个函数进行积分后再求和或求差。
区间可加性：定积分的区间可加性，即对于函数在一个区间上的定积分， 如果将该区间分成若干个子区间，则定积分等于各个子区间的定积分之和。
积分常数：积分常数是一个确定的数，它表示函数在一个无穷区间上的定 积分。
探讨心理学中人类行为、决策制 定等问题的量化研究
定积分的跨学科应用价值
物理学中的应 用：计算物体 在流体中的运 动阻力、电磁 场中的电势和
电流等。
工程学中的应 用：优化设计、 控制工程、信 号处理等领域 中都有广泛的
应用。
经济学中的应 用：用于研究 供需关系、市 场均衡、投资 回报等问题。
生物学中的应 用：用于研究 种群增长、生 物循环等问题。
电磁学中的定积分应用
电磁学中的定积分应用：计算 电场和磁场分布
电磁学中的定积分应用：计算 电磁波的传播
电磁学中的定积分应用：计算 电磁感应现象
电磁学中的定积分应用：计算 电路中的电流和电压
定积分在物理问题中的重要性
描述物体运动规律：定积分可以用来描述物体的运动规律，例如速度、 加速度和位移等。
计算物理量：定积分可以用来计算物理量，例如功、力和能量等。
三角函数的定积 分公式： ∫sec(x)dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C， 其中C为积分常 数
高中公式大全
高中公式大全高中阶段是学习数理化知识的关键时期，而掌握一些常用的数理化公式是非常重要的。
下面将为大家整理一份高中公式大全，帮助大家更好地学习和记忆这些重要的公式。
数学公式：1. 一元二次方程的根公式：对于方程ax^2+bx+c=0，其根的公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
2. 三角函数的关系公式：包括正弦定理、余弦定理、正切定理等，用于求解三角形的各种问题。
3. 二项式定理：(a+b)^n的展开公式为∑(k=0)^n(C(n,k)a^(n-k)b^k)。
4. 等差数列的通项公式：对于公差为d的等差数列an=a1+(n-1)d。
5. 等比数列的通项公式：对于公比为q的等比数列an=a1*q^(n-1)。
6. 三角函数的导数公式：包括sin(x)的导数为cos(x)，cos(x)的导数为-sin(x)，tan(x)的导数为sec^2(x)等。
7. 积分的基本公式：包括定积分的计算公式，如∫f(x)dx=F(x)+C。
物理公式：1. 运动学公式：包括匀速直线运动公式、匀加速直线运动公式、自由落体运动公式等，用于描述物体运动的规律。
2. 牛顿定律：包括牛顿第一定律、牛顿第二定律、牛顿第三定律，用于描述物体受力和运动的关系。
3. 力学功和功率公式：功的公式为W=F·s·cosθ，功率的公式为P=W/t。
4. 万有引力定律：F=G*(m1*m2)/r^2，用于描述物体之间的引力关系。
5. 电学公式：包括欧姆定律、库仑定律、电场强度公式等，用于描述电流、电荷和电场的关系。
6. 磁学公式：包括洛伦兹力公式、磁感应强度公式、电磁感应公式等，用于描述磁场和电磁感应的关系。
化学公式：1. 摩尔定律：V1/n1=V2/n2，用于描述气体的摩尔关系。
2. 热力学公式：包括焓的计算公式、熵的计算公式、自由能的计算公式等，用于描述化学反应的热力学性质。
3. 化学平衡常数公式：Kc=[C]^c[D]^d/[A]^a[B]^b，用于描述化学平衡反应的平衡常数。
定积分第五节定积分的应用
=p
b2 a2
[a
2
x
-
1 3
x3 ]a-
a
=
4 p ab
3
2
.
例8由y x3 x 2 y 0所围成的图形 分别绕x轴及y轴旋转 计算所得两个旋转体的 体积
解：
绕x轴旋转所得旋转体 的体积为
绕y轴旋转所得旋转体 的体积为
Vx02y2dx02x6dx
2
Vy22808x2dy3208y3dy
3233y5864 1x7 2 128 5 05 7 0 7
给出, 其中f(x)在区间[a, b]上具有一阶连续导数. 现
在来计算这曲线弧的长度. 弧长元素(弧微分) :
y
yf(x)
ds
ds(x d)2(d y)2 1y2dx
因此所求弧长 s b 1y2 dx o a xxdxb x a
曲线
y f(x)(a x b)的
弧长：
解：
例12
sab1y2d x
计算曲线y ln x上相应于
曲线弧的长为 s 2 ( ) 2 ( ) d
da22sa2da12d
s02a12d2a[2142l2n142)( ]
sab1y2d x
s02a12d2a[2142l2n142)( ]
曲线
( )(
)的弧长：
例15 求阿基米德螺线 a (a>0)相应于 从0到2 一段的弧长.
解
立体的体积为
平行截面面积为已知 的立体的体积
A(x)dx.
A(x)
VabA(x)d x
截面面积为A(x)的立体体积V ： a b A ( x ) d
例10 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角. 计算这平面截圆柱所得立体的体积.
计算物理学(郭立新)章 (3)
dE
1 4πε0
ds
l2
根据电荷分布对称性可知，场强沿着与x轴垂直的方向
为0，场强仅沿x方向有值，而dE沿x方向的投影为
dEx
cos
dE
1 4πε0
xds
l3
第3章 物理学中定积分的数值计算方法
其中cosα= x。对上式做积分可得解析解 l
Ex
2 πr 0
1 4πε0
xds
l3
Qx 4πε0
1[ 2
f
(x0 )
f
(x1)]x
1[ 2
f
(x1)
f
(x2 )]x
1[ 2
f
(xN 1)
f
(xN )]x
(3.3)
第3章 物理学中定积分的数值计算方法
积分近似计算公式为
I
b
a
f
(x)dx
N
Ci
f
( xi
)x
i0
其中，系数C0=CN=
1 2
，C1=C2=…=CN-1=1。
(3.4)
第3章 物理学中定积分的数值计算方法
第3章 物理学中定积分的数值计算方法
y3=y3+2./3.*f(x3)*(b-a)/float(N) else y3=y3+4./3.*f(x3)*(b-a)/float(N) end if end if 30 continue write(1,*)N,y3 write(*,*)N,y3 end function f(x) f=cos(x) end
3．抛物线法(辛普森法) 将区间［a，b］分成N(偶数)个均等的小区间，步长仍为 Δx=(b-a)/N 抛物线法是整个曲线f(x)下方的面积用N/2个以抛物线为边 界的四边形来替代(见图3.3)。设y=Ax2+Bx+C，则有
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2x
x
0
f
(t )dt
1在[0,1]上只有一个解.
证
令
F(x)
2x
x
0
f
(t )dt
1,
f ( x) 1, F ( x) 2 f ( x) 0,
F ( x)在[0,1]上为单调增加函数. F (0) 1 0,
F (1)
1
1
0
f
(t )dt
1
0 [1
f
(t )]dt
0,
所以F ( x) 0即原方程在[0,1]上只有一个解.
y x
x2 2 x 0
2
o 1 2x
x
0 x1 ,
x
2
1 x2
原式
0 x2dx
1
xdx
2 x2dx 11.
2
0
1
2
例7 求 1 1dx.
2 x
解 当 x 0时， 1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln |
x
| 1 2
ln1
ln 2
ln 2.
例 8 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
x a t , x 0 t 0,
2
原式 2
a cos t
dt
0 a sin t a2 (1 sin2 t)
2 0
cos t dt sin t cos t
1 2
2 0
1
cos t sin t
sin cos
t t
dt
1 2
2
1 2
ln
sin
t
cos
t
2 0
. 4
例11 当 f ( x)在[a, a]上连续，且有
① f ( x)为偶函数，则 f (t) f (t),
a
a
f
( x)dx
0
a
f
( x)dx
a
0
f
( x)dx
a
20 f (t)dt;
② f ( x)为奇函数，则 f (t) f (t),
a
a
f
( x)dx
0
a
f
( x)dx
a
0
f
( x)dx
0.
例12 计算
1 2x2 x cos x dx. 1 1 1 x2
§4. 定积分的计算
一 定积分计算的基本公式
设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续，并且设 x为
[a, b]上的一点，考察定积分
x
a
f
( x)dx
x
a
f
(t )dt
如果上限 x在区间[a, b]上任意变动，则对
于每一个取定的 x值，定积分有一个对应值，所
以它在[a, b]上定义了一个函数，
x
三、定积分的分部积分法
定理 3 设函数u( x)、v( x)在区间a, b上具
有连续导数，则有
b
a udv
b
uv a
b
a vdu
.
定积分的分部积分公式
证 uv uv uv,
b
b
(uv)dx uv ,
a
a
uv b
b
uvdx
b
uvdx,
a
a
a
b
b
b
udv uv vdu.
a
aa
记 ( x) f (t)dt. 积分上限函数 a
定理１ 如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限的函
数( x)
x
a
f
(t)dt 在[a, b]上具有导数，且它的导
数是
(
x)
d dx
x
a
f (t)dt
f (x)
(a x b)
证
( x
x)
xx
a
f
(t )dt
y
( x x) ( x)
则有
b
a f ( x)dx
f [ (t)] (t)dt .
证 设F ( x)是 f ( x)的一个原函数，
b
a f ( x)dx F (b) F (a),
令 (t ) F[ (t )],
(t) dF dx f ( x) (t) f [(t )](t),
dx dt
(t )是 f [ (t )] (t )的一个原函数.
f
[(t )](t )dt
()
(),
( ) a、 ( ) b,
( ) ( ) F[( )] F[( )]
F(b) F(a),
b f ( x)dx F(b) F(a) ( ) ( ) a f [ (t)](t)dt.
注意 当 时，换元公式仍成立.
应用换元公式时应注意:
解
原式
1
1
1
2x2 1
x2
dx
1
1
x cos x 1 1 x2
dx
偶函数
奇函数
1
40 1
x2 1
x2
dx
1
40
x
2(1 1 (1
1
x x2)
2
)
dx
1
40
(1
1
x2
)dx
4
1
40
1 x2dx
单位圆的面积
4 .
例 13 若 f ( x) 在 [0,1] 上 连 续 ， 证 明
xf (sin x)dx f (sin x)dx . 由 此 计 算
82
08 4
1 ln(1 x)
例16
计算 0
(2 x)2 dx.
解
1 ln(1 x)
0 (2 x)2 dx
1 0
ln(1
x)d
2
1
x
ln(1 x 2 x
)1 0
1
0
2
1
x
d
ln(1
x)
ln 2 1 1 1 dx
3 0 2 x 1 x
11 1 x 2 x
ln 2 3
ln(1
x x
x
f (t)dt f (t)dt
a
a
( x)
o a x x x b x
x
x x
x
a f (t)dt x f (t)dt a f (t)dt
x x
y
f (t)dt, x
由积分中值定理得
( x)
f ( )x, 在x与x ox之a间. x x x b x
f ( ), lim lim f ( )
0 f (sin x)dx 0 xf (sin x)dx,
xf (sin x)dx
f (sin x)dx.
0
20
0
1
x
sin x cos2
x
dx
2
01
sin x cos2
x
dx
2
01
1 cos2
x
d (cos
x)
arctan(cos
2
x )0
( ) 2 . 2 44 4
x
证明函数F ( x)
0 tf
x
(t )dt
在(0,)内为单调增
0 f (t)dt
加函数.
证
d dx
x
0
tf
(t )dt
xf
( x),
dx
dx 0
f (t)dt
f ( x),
x
x
F ( x) xf ( x)0
f (t )dt f ( x)0 tf (t )dt
x
0
f
(t )dt
2
x
F(x)
的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．
注意
当a
b
时，
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)仍成立.
例4
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
2 sin
x
cos
x
x
2
3
.
0
2
例5
设
f
(x)
2x 5
0 1
x x
(a)
a
a
f
(t )dt
0
F(a) C,
F ( x)
x
a
f
(t )dt
C,
x
a f (t)dt F ( x) F (a),
令x b
b
a f ( x)dx F (b) F (a).
牛顿—莱布尼茨公式
b
a
f
( x)dx
F (b)
F (a)
F
x
b a
基本公式表明
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于它
x)
ln(2
x)10
5 3
ln
2
ln
3.
x2 sin t
1
例17
解
因设为fs(inxt)没 有1 初等t 形dt式, 的求原0x函f 数( x，)dx.
t
无法直接求出 f ( x)，所以采用分部积分法
1
0 xf ( x)dx
11
2 0
f ( x)d( x2 )
1 2
x2
f
(