有心力场中的运动.ppt
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§3-7 质点在有心力场中的运动
地球 相对太阳的速度 v 29.8 103 m / s 物体相对于地球的发射速度
v3 v3 v
从地面发射物体要飞出太阳系，既要克服地球 引力，又要克服太阳引力，所以发射时物体的动能 必须满足
2 vm v m v m 3 1 2 2 2 1 2 2 3 1 2
v3
v v3
2 2 2
v (v3 v)
2 2
2
16.7 10 (m s )
3
1
第三宇宙 速度
地球 相对太阳的速度 v 29.8 103 m / s 物体相对于地球的发射速度
v3 v3 v
从地面发射物体要飞出太阳系，既要克服地球 引力，又要克服太阳引力，所以发射时物体的动能 必须满足
2
v
G0 M r
(2 )
卫星在地球表面时
G0 Mm 1 mg 2 R
( 2 ) (3 )
1 g G0 M (3 ) 2 R
gR r
2
环绕速度
v
(4 )
宇宙速度
将 (4 ) 代入 (1 )
发射速度
v1
R) 2 Rg (1 2r
r
当r R 时
v1 Rg
2 vm v m v m 3 1 2 2 2 1 2 2 3 1 2
v3 Leabharlann v v3 2 2 2
v (v3 v)
2 2
2
16.7 10 (m s )
3
1
第三宇宙 速度
§3-7
质点在有心力场中的运动
1. 有心力
有心力的定义：运动质点所受的力的作用线始 终通过某个给定点，而且力的大小也只依赖于质点 对该给定点的距离，这种力叫做有心力。这个给定 点叫做力心。 有心力场中质点运动的性质：（1）质点在有 心力作用下，它的角动量守恒；（2）质点在有心力 作用下，它的机械能守恒； （3）有心力是保守力。
§1.8 有心力
§1、8有心力1、有心力的基本性质（有心运动的特点）有心力 质点所受力的作用线始终通过定点，定点为力心；有心运动 质点在有心力作用下的运动⇒有心运动 这时)(r F F =方向沿质点与力心联线， 又分引力，斥力；有心运动在物理学中占有极其重要的地位；有心运动求解方法：运动微分方程；三个基本定理。
（1）有心运动⇒动量矩守恒⇒质点作平面曲线运动选力心为原点 0=M c J=∴ 质点作平面曲线运动 运动平面垂直于J选用极坐标系 θθv r m v m v m r P r J r⨯=+⨯=⨯=)( mh mr mrv J ===θθ 2θ 2r h =⇒ （1） h 由初始条件确定（2）有心力为保守力，质点作有心运动时机械能守恒在极坐标系下，00)(r F r r F F r== 00θθ rd r dr r d +=则)()(12V V Vdr dr r F rd F dr F r d F W BABABABAr --=∇-==+=⋅=⎰⎰⎰⎰θθ这时 E V T =+ E r V r rm =++)()(21222θ （2） ⎪⎩⎪⎨⎧=++=⇒E r V r rm h r )()(212222θθ 两个运动积分（关于θ,r 的一阶微分方程组）2、轨道微分方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=)2()()(21)1(2222E r V r rm h r θθ 由（1）⇒)(r θ ，代入（2）)()(t r r r r=⇒⇒ 代入（1）)()()()(θθθθθr r t t r r t =⇒⎩⎨⎧==⇒=⇒运动方程 轨道方程亦可由)(),(r r rθ 消去时间t 得22222)(2rmh r V E rmhd dr --±=θ⇒积分)(θr r =⇒现导出比耐（Binet ）公式0=θF )()(2r F r r m =-∴θ取 ru 1= 则2hu =θ又 θθθθθd du h d du uhu ud dhud dr r-=⋅-===2221)1(2222)()(θθθθθd u d uh d du d d hd dudt dh r -=-=-=mu F u d u d u h )()(2222-=+∴θ轨道微分方程 又称比耐（Binet ）公式其中⎩⎨⎧〉〈=) 0 0)(质点散射斥力（引力（万有引力）αr F u F 有心力⇔运动轨道 联系在一起3、平方反比引力—行星的运动 sun M; planet m 222umk rMm GF -=-= 其中GM k =2与行星质量无关，称为太阳的高斯常数， 代入Binet 公式得2222hk u d u d =+θ令22h k u -=ξ则022=+ξθξd d 其解为 )cos(0θθξ-=A 则220)cos(hk A u +-=θθ)cos(1/102222θθ-+==∴kh Ak h ur 其中0,θA 为积分常数，通过坐标变换（极轴转过一角度），使得00=θ 则得轨道方程 θcos 1e p r +=（圆锥曲线，力心在其焦点处）半正焦弦 22kh p =偏心率 Ap e =当0=θ时，ep r +=1 极小 对应近日点；由解析几何知，e 是几何常数1<e 椭圆 1=e 抛物线 1>e 双曲线※由动力学常数h E ,确定e ，既由E 判定轨道类别，e 与E 的关系？drdV rm k F -=-=22rm k r V 2)(-=， rm k r rm E 2222)(21-+=θ对近日点 0=r ep r +=1 222)1(e ph rh +==θ 代入上式得pe m k e ph e pmE )1()1()1(21244222+-++=)1(2)1(22222e k e h pmE +-+=⇒422111mkEh e +±=+∴ 22)(21kh mE e +=⇒可见 0<E 1<e 椭圆； 0=E 1=e 抛物线； 0>E 1>e 双曲线。
2.1-2.2 有心力和有心运动
第二章 有心运动和两体问题
§2.1 有心力和有心运动
一、有心力
1、有心力的定义：力的作用线始终通过某一点，该力叫有心力， 该点叫力心。
表示式：F = F (r )er
1
2、有心力的特点
1)有心力对力心的动量矩 守恒，即LO = 恒矢量
∵ 证： M = r × F = rer × F (r )er = rF (r )er × er = 0 ∴ dLO = Mdt = 0 即LO = 恒矢量
cos θ = 2 cos 2
t=
θ0
−
∫ θ
0
p p dθ = 2 h (1 + cos θ ) h
∫ θ
0
2 1 p2 dθ ======== 2 (1 + cos θ ) h
θ
−1
θ0
−
∫ θ
1 4 cos 4
0
θ
2
dθ
=
p 2h
2 θ0 −
∫ θ
0
θ p d = θ 2 h cos 4 2 1
2 θ0
θ d ∫ 4θ 2 0 cos 2 1
20
查积分表可知： dx n−2 dx 1 sin x ∫ cosn x = n cosn−1 x + n −1 ∫ cosn−2 x dx ∫ cos2 x = tgx + C
θ θ0 2 2 1 sin 2 2 θ p p 1 θ θ 2 θ ∴t= tg sec 2 + tg + tg = h 3 cos 3 θ 3 2 h 3 2 2 3 2 0 2 0
p 注意：当 e = 0时， r = = p 为圆， 1 + e cos θ 这说明轨道为圆时可按 照椭圆规律来处理。
§2.1 有心力和有心运动
一、有心力
1、有心力的定义：力的作用线始终通过某一点，该力叫有心力， 该点叫力心。
表示式：F = F (r )er
1
2、有心力的特点
1)有心力对力心的动量矩 守恒，即LO = 恒矢量
∵ 证： M = r × F = rer × F (r )er = rF (r )er × er = 0 ∴ dLO = Mdt = 0 即LO = 恒矢量
cos θ = 2 cos 2
t=
θ0
−
∫ θ
0
p p dθ = 2 h (1 + cos θ ) h
∫ θ
0
2 1 p2 dθ ======== 2 (1 + cos θ ) h
θ
−1
θ0
−
∫ θ
1 4 cos 4
0
θ
2
dθ
=
p 2h
2 θ0 −
∫ θ
0
θ p d = θ 2 h cos 4 2 1
2 θ0
θ d ∫ 4θ 2 0 cos 2 1
20
查积分表可知： dx n−2 dx 1 sin x ∫ cosn x = n cosn−1 x + n −1 ∫ cosn−2 x dx ∫ cos2 x = tgx + C
θ θ0 2 2 1 sin 2 2 θ p p 1 θ θ 2 θ ∴t= tg sec 2 + tg + tg = h 3 cos 3 θ 3 2 h 3 2 2 3 2 0 2 0
p 注意：当 e = 0时， r = = p 为圆， 1 + e cos θ 这说明轨道为圆时可按 照椭圆规律来处理。
有心力场中的运动
引向
的矢量)
(
用一个变量r表示 )
系统的拉格朗日为:
——与质量为m,矢径为r的质点在有心力场中的拉格朗 日函数一样.即:二体问题可转化为在有心力场中 运动的单体问题.
讨论:若
,则
重的 m2 固定在质心位置上不动,成为力心; 轻的 m1 在 m2 产生的有心力场中运动. 例子:地球绕太阳的运动.
§1.3.2 有心力场中运动的一般分析
碰撞: a,在另一些初始条件下,它们也可能相互飞开,无限 远离.如果两个质点先互相飞近,然后再飞开,就 称为碰撞; b,两个质点之间是排斥力,则它们不可能形成束缚体 系,而只能发生碰撞. 6.数学上看两体问题: 对N个无约束的质点系统,当 N ≥ 3时求解运动方程 很困难,N=2(两体问题),运动方程易于求解. 7.有心力场中的运动:归结为两体问题.
一,守恒量 在有心力场中,角动量 守恒
运动过程中,
:质点的位置始终在一个垂直于L
的平面上.即:有心力场中的运动是平面运动. 设:质点运动所在的平面为xz平面( 则: )
L不包含变量 与
:循环变量
对应的广义动量(角动量)守恒
2.L不显含t
能量守恒
上式说明:两维(平面)运动能量等效一维运动的能量 (一维运动最简单)
一,运动形式的分类
设:平方反比引力为 质点移动 ,F做功: F ;
对dw积分,得势能:
设:
时,
,则
等效势能:
又:
则 :
——限制了质点的运动区域 中运动
由图:E<0: 质点限制在有限区域 E E>0: 运动区域
E=0: 过渡情况,质点也能运动到无穷远 即运动形式分两类: 束缚运动 无限运动
(完整版)第五章有心力场中的运动
p3 d 0 (1 cos )2
此式就是质点的运动方程。
式中积分常数为 0，即矢径r与e重合的时刻，称为
过近地点时间。
轨道平面方位（，i）和偏心率矢量e的方位确定后，轨道
方程和时间积分即完全确定二体问题的运动规律。
以上积分过程中出现8个积分常数，E，L，，i，，p，e，
，称为轨道根数，由于有关系式e
mr v F (r) r r 0 r
d (r v) 0
dt
r v L(常矢量）
称为动量矩积分（守恒）。L为单位质量的质点对O的动
量矩。常矢量L垂直于r与v构成的平面，因此质点必永远在此
平面内运动，此平面称为轨道平面。
因此可以采用极坐标来研究问题。
动量矩积分在极坐标中的的标量形式：
上节讨论的二体问题是多体问题中唯一可导出解析积分 的最简单情况。三体问题，即三个相互以万有引力吸引的质 点运动，不存在解析积分。
若三体问题中有一体质量m远小于另外两体的质量m1，m2， 以至于它对后两者运动的影响可以忽略不计，则可以认为m1， m2作为独立的二体运动，只需要讨论m在m1，m2的共同引力场 中的运动。这种简化的三体问题称为限制性三体问题。考虑 地球和月球引力共同作用的航天器运动就是典型的限制性三 体问题。
可以看出e在轨道面内且与速度方向垂直。在近地点e与e
方向一致，在远地点e与e方向相反，在其它位置e与e有夹角。
由此可以得出结论：在近地点或远地点施加冲量对改变偏 心率有最好的效果。
在近地点，e与e一致，使e增
加，轨道椭圆更扁。相反在远地点，
e与e相反，e减小，轨道椭圆更圆。
利用此原理，同步地球卫星的 发射过程设计为先进入近地圆轨道， 然后施加冲量，转移至远地点为同 步卫星高度的椭圆轨道(称为霍曼转 移轨道)，然后在远地点施加冲量使 偏心率减为0，变成以远地点为半径 的同步圆轨道。
理论力学第二章-PPT精品
第二章：有心运动
• §2.1 有心力和有心运动
– 如果运动质点受到的力及其作用先总是通过 惯性系中的某一固定点，这样的力(场)叫做 有心力（场），力所指向或背向的固定点叫 做力心，指向力心的有心力叫做引力，背向 力心的是斥力。
– 有心力的量值，一般只是力心与质点间距离 r 的函数，在有心力作用下质点的运动叫做 有心运动。
有心力是保守力，质点在运动过程中，其总的机械
能守恒
ETV12m(rm)2krm 2
rm2h
p rm1e
m2h pk2
r p
1ecos
E2m k42(h e21)
2m2h e1k4 E
质点的总 机械能与 轨道偏心 率的关系
e<1, 则 E<0, 则轨道为椭圆 e=1, 则 E=0, 则轨道为抛物线 e>1, 则 E>0, 则轨道为双曲线
进行变换 u 1 r
将
r h du
d hu 2
代入 r r 2 F(r)
m
r
h
d 2u
d 2
h 2u 2
d 2u
d 2
mh2u2(d2uu)F(u)
d2
有心运动的轨道微分方程 --- Binet （比内)公式
p
mh2
p
u2
mh2
p
1 r2
§2.2 距离平方反比引力下的质点运动
•
距离平方反比引力形式
k2 GMm
F
k2 r2
er
er
作变量代换 u 1 r
F(r)F(u)k2u2
d2u u k2
• §2.1 有心力和有心运动
– 如果运动质点受到的力及其作用先总是通过 惯性系中的某一固定点，这样的力(场)叫做 有心力（场），力所指向或背向的固定点叫 做力心，指向力心的有心力叫做引力，背向 力心的是斥力。
– 有心力的量值，一般只是力心与质点间距离 r 的函数，在有心力作用下质点的运动叫做 有心运动。
有心力是保守力，质点在运动过程中，其总的机械
能守恒
ETV12m(rm)2krm 2
rm2h
p rm1e
m2h pk2
r p
1ecos
E2m k42(h e21)
2m2h e1k4 E
质点的总 机械能与 轨道偏心 率的关系
e<1, 则 E<0, 则轨道为椭圆 e=1, 则 E=0, 则轨道为抛物线 e>1, 则 E>0, 则轨道为双曲线
进行变换 u 1 r
将
r h du
d hu 2
代入 r r 2 F(r)
m
r
h
d 2u
d 2
h 2u 2
d 2u
d 2
mh2u2(d2uu)F(u)
d2
有心运动的轨道微分方程 --- Binet （比内)公式
p
mh2
p
u2
mh2
p
1 r2
§2.2 距离平方反比引力下的质点运动
•
距离平方反比引力形式
k2 GMm
F
k2 r2
er
er
作变量代换 u 1 r
F(r)F(u)k2u2
d2u u k2
功和能_第9讲_有心力场中质点的运动简介2
v0 r0
E<0
椭圆
E>0 双曲线
E=0 抛物线
E = E1 > 0 ，双曲轨道
rmin = r1 ≤ r < ∞
E = E2 = 0 ，抛物轨道
rmin = r2 ≤ r < ∞
E = E3 < 0 ，椭圆轨道
r3min ≤ r ≤ r3max
近地点、远地点
E = E0 = Veff min ，圆轨道
§4.9 有心力场中质点的运动简介2**
一. 有效势和轨道特征
1 2
m r& 2
+
L2 2mr
2
+V (r)
=
E
径向动能： 1 mr&2 离心势能：等效斥力势能
2
有效势能：
Veff
(r)
=
L2 2mr 2
+V (r)
在径向 r 方向，质点相当于在保守场 Veff (r ) 中运动，径向动能和有效势能相互转化。
对万有引力场：
1 2
mr&
2
+
L2 2mr
2
− GMm r
=E
近、远地点： r& = 0
r 2 + GMm r − L2 = 0 E 2mE
rr vr
E < 0 时 2 根，椭圆轨道 — 束缚态。
E = 0 时 1 根，抛物轨道，刚好逃逸， 动能全部转化为势能。
E > 0 时 1 根，双曲轨道，不受约束。
r = r0
【思考】由势能曲线求椭圆轨道周期
二. 变轨 改变初始条件 rr0 , vr0 可改变轨道特征。 【例】宇宙飞船变轨：圆 → 椭圆轨道
2.2 有心运动 理论物理概论 倪致祥 黄时中编 ppt
2.2.1 一般性质
• 当质点做有心运动时，通常取力心为坐标原点，这时有心力F 可表为
F F r er
如F(r)>0,则力的方向背离原点，表现为斥力； 如F(r)<0,则力的方向趋于原点，表现为引力。
因为有心力F与位矢r共线 M r F 0，故其对原点的力矩，由动量 矩守恒定律可知，做有心运动时质点的动量矩
其中， h L m 为单位质量的角动量，质点的微分方程为
2 F m 2 0 m
例1.4.1中证明了有心力场是保守场，其势函数为
V F d
0
其中，0 为势能零点。 对于有心力场中的运动质点，机械能守恒定律成为
F
, V 2
其中， 为比例常量，对应的有效力和有效势能分别为
L2 Fe 2 , 3 m
L2 Ve 2m 3
我们首先研究运动轨道，将上式代入轨道微分方程（2.2.17）后进行 积分，得到 L m
以动量矩的方向为Z轴建立柱坐标，这时质点的运动平面为Z=0，其位矢为
r e zk e
即 er e , r 。有心力又可表示为
F F r er F e
2 k，动量矩守恒定律可表示为 L m 这样，动量矩就可以表示为
L 常数 或 2 h 常数 m 2
，即可得到（2.2.10）式。因此这两个方 F 将上式两边对时间t求导数，并注意到 dt d dt 程也是完全等价的，统称为径向方程。
dV
dV d
2.2.3 平方反比引力场
平方反比引力场是一种广泛应用的有心力场，行星绕日运动和电子 绕原子核运动都属于这种情况。在这种情况下有
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§1.3.2 有心力场中运动的一般分析
一、守恒量
在有心力场中，角动量
守恒
运动过程中,
:质点的位置始终在一个垂直于L
的平面上。即：有心力场中的运动是平面运动。
设：质点运动所在的平面为xz平面(
)
则：
L不包含变量
：循环变量
与 对应的广义动量(角动量)守恒
2．L不显含t 能量守恒
上式说明：两维(平面)运动能量等效一维运动的能量 (一维运动最简单)
4.两体问题：实际上力心并非静止，所以行星和太阳、 电子和原子核应分别作为一个整体同时 考虑，即它们实际上组成了两体问题。
定义：由两个相互作用着的质点组成的封闭系统，在 惯性系中的运动问题，称为两体问题。
5.两体问题的类型 束缚运动：
如果两个质点之间有吸引力，则在一定的初始条件 下，它们可能形成一个束缚体系，在有限空间范围内运 动；
——万有引力定律
令：
——等效势能 (等效一维运动的“势能”)
——离心能
——效力
——惯性离心力
产生惯性离心力的原因： 上述等效的一维运动实际上是在以角速度转动的
转动坐标系中观察质点的运动，而转动坐标系是非惯 性系。
二、等面积定律———开普勒第二定律
角动量守恒
的几何意义：
设：
；
：矢径r在时间 内扫过的面积
: r在单位时间扫过的面积，又 ——在有心力场中运动的质点的矢径在相等时间内
扫过相等的面积。
三、运动方程的解：利用守恒律来解
由能量守恒：
得： 分离变量：
积分：
——确定了r=r(t) 。 r是t的隐函数。
四、轨道微分方程——比耐公式
由： 得：
令
，则
对 求导：
——运动微分方程 (比耐公式)
说明： (1) 轨道方程：可用势能表示，也可用力表示； (2) 由比耐公式，可求运动轨道； (3) 若已知轨道，则可求作用力F。
碰撞： a、在另一些初始条件下，它们也可能相互飞开，无限
远离。如果两个质点先互相飞近，然后再飞开，就 称为碰撞； b、两个质点之间是排斥力，则它们不可能形成束缚体 系，而只能发生碰撞。
6.数学上看两体问题： 对N个无约束的质点系统，当N 3时求解运动方程
很困难，N=2(两体问题)，运动方程易于求解。
对dw积分，得势能：
设： 时，
，则
等效势能：
又：
则：
——限制了质点的运动区域
由图：E<0: 质点限制在有限区域
中运动
E>0: 运动区域
E=0: 过渡情况，质点也能运动到无穷远
即运动形式分两类：
束缚运动
无限运动
二、轨道运动
由于已知
，所以由比耐公式可求运动轨道。
将
代入比耐公式得：
令： 则：
——谐振动方程
开普勒第一定律 行星的轨道：椭圆
椭圆方程： 比耐公式：若已知轨道，则可求力。
——行星受到太阳的平方反比力
开普勒第三定律
比例系数
由
积分：
经过一周期：
几何关系：
：与行星无关的常量，只可能与太阳的性质 (太阳的质量)有关。
显然： 行星与太阳之间的引力应该正比于而不是反
比于太阳的质量M
令
(G：普适常量)
其解为： 令：
，有：
又：
将r的表达式代入得到：
E<0: e<1 E=0: e=1 E>0: e>1
椭圆轨道 (束缚运动) 抛物线轨道 (无限运动) 双曲线轨道 (无限运动)
三、行星的运动 开普勒问题
已讲：已知平方反比引力
运动规律
但：开普勒不知道行星和太阳之间有平方反比引力。
牛顿：由开普勒三定律 万有引力定律
7.有心力场中的运动：归结为两体问题。
§1.3.1 二体问题 约化质量
设：两个质点
，且不存在外场
则：由两个质点组成的系统的总动量守恒
(V:质心的速度)
——两质点系统不处于外场中时，它们的质心作匀速 直线运动(不感兴趣，转到质心系)。
在质心系中：V=0 ——质心固定不动
以质心为坐标原点建立坐标系 质心系的矢径为0。 而
第三章 有心力场中的运动
1.力心：如果运动质点所受力的作用线始终通过质点和 空间某固定点，则称此力为有心力，此固定点 称为力心。
2.有心力场：有心力构成的力场。 3.研究有心力场的原因：有心力场是自然界中最普遍、
最重要的力场之一。 宏观：行星绕太阳的运动 微观：电子绕原子核的运动 研究有心力场的前提：假定力心不动
§1.3.3 平方反比引力 开普勒问题
重要的有心力：平方反比有心力(和 成反比的力) 例：万有引力，带异号电荷之间的库仑力 任务：研究行星的运动 近似处理：行星只受到太阳引力的作用，而忽略行星
之间的相互作用。 行星的运动是在平方反比引力作用下的运动。
一、运动形式的分类
设：平方反比引力为
；
质点移动 ，F做功：
任务：弄清这一推证过程。
行星运动三定律
第一定律：行星绕太阳作椭圆运动，并以太阳为椭圆 的一个焦点；
第二定律：从太阳引向行星的矢径在相等时间内扫过 相等的面积；
第三定律：行星公转周期的平方和轨道半长轴的立方 成正比。
已学：
——矢径在单位时间扫过的
面积正比于角动量
开普勒第二定律
常数
常数
空间各向同性
行星所受到的力只能是有心力(可用有心力运动规律)
又令： 则
(r：由 引向 的矢量)
( 用一个变量r表示 )
系统的拉格朗日为：
——与质量为m、矢径为r的质点在有心力场中的拉格朗 日函数一样。即：二体问题可转化为在有心力场中 运动的单体问题。
讨论：若
，则
重的 m2 固定在质心位置上不动，成为力心； 轻的 m1 在 m2 产生的有心力场中运动。
例子：地球绕太阳的运动。