有心力作用下物体运动的稳定性研究
如何在理论力学中进行稳定性分析？
如何在理论力学中进行稳定性分析？在理论力学的领域中，稳定性分析是一个至关重要的课题。
它帮助我们理解和预测物体或系统在各种条件下的稳定状态，对于工程设计、物理学研究以及许多实际应用都具有深远的意义。
首先，让我们来明确一下什么是稳定性。
简单来说，稳定性就是指一个物体或系统在受到微小扰动后，能否恢复到原来的平衡状态。
如果能够恢复，我们就说它是稳定的；如果不能恢复，甚至偏离得越来越远，那就是不稳定的。
那么，如何进行稳定性分析呢？这通常需要我们从多个角度入手。
一个常见的方法是通过势能来判断。
势能是物体或系统由于其位置或状态而具有的能量。
在稳定平衡状态下，势能通常处于极小值。
例如，一个放在山谷底部的球是稳定的，因为它的势能处于最低；而放在山顶的球是不稳定的，稍微一动就会滚下去，势能增加。
通过计算和分析势能函数的性质，我们可以初步判断系统的稳定性。
接着，考虑动力学方程也是必不可少的。
动力学方程描述了物体或系统的运动与所受力之间的关系。
通过对方程进行求解和分析，我们可以了解系统在受到扰动后的动态响应。
如果系统的响应是逐渐衰减的，那么它是稳定的；反之，如果响应不断增大或持续振荡，就可能是不稳定的。
在分析稳定性时，线性化方法常常被采用。
对于复杂的非线性系统，我们可以在平衡位置附近对其进行线性近似。
这样可以将问题简化，利用线性系统的稳定性理论来进行初步判断。
但需要注意的是，线性化方法只能给出局部稳定性的信息，对于全局稳定性可能不够准确。
另外，特征值分析也是一个重要的工具。
对于线性化后的系统，通过求解特征方程得到特征值。
如果所有特征值的实部均为负数，那么系统是稳定的；如果存在实部为正的特征值，系统就是不稳定的。
特征值的大小和性质还可以提供关于系统稳定程度和响应速度的信息。
还有一种方法是通过李雅普诺夫函数来进行稳定性分析。
李雅普诺夫函数是一个具有特定性质的函数，如果能够找到这样一个函数，并且它在系统的动态过程中始终是递减的或者保持不变，那么就可以证明系统是稳定的。
有心力作用下物体运动的稳定性研究
有心力作用下物体运动的稳定性的研究摘要稳定是物体或系统在外干扰的作用下偏离其运动后返回该运动的性质。
若逐渐返回原运动则称此运动是稳定的，否则就是不稳定的。
通过推导有心力势场中粒子的运动轨道方程，以及利用等效势能曲线对中心力场中运动轨道的闭合性、封闭性条件以及中心力场中圆轨道运动的稳定性条件作出了定性的判断。
对于轨道的有界性、封闭性以作出定性研究，具有实际意义。
本文在此基础上进一步讨论有心力运动中的稳定性条件和封闭性条件。
通过查阅各种资料，我对宇宙多种天体的运动有了很深刻的认识。
关键词稳定性;封闭性；有心势场The study of the stability of the movement under the affectionof centripetal forceSchool of Physics and Electronic Information, Huai Bei Normal University, Anhui Huaibei, 235000 Abstract S tability is a object or system under the condition of outside interference from its campaign to return to the nature of the movement . If gradually returned to the original movement called the motion is stable, otherwise it is not stable. Motion orbit equation derived by central force of particle in potential field, and the use of equivalent potential energy curves of motion in central force field closed, closed conditions as well as the central force field in circular motion stability conditions made a qualitative judgment. The orbit of the bounded closed, in order to make a qualitative research, practical significance. In this paper, on the basis of further discussion of stability conditions of central force motion and closed condition. Through access to a variety of materials, I have a very profound understanding of the movements of celestial bodies. Keywords S tability; Closed; Centripetal force目次1 引言 (1)2 中心势场中粒子运动的轨道 (1)2.1由运动方程消去参数t导出轨道方程 (1)3 r的幂律中心势场中粒子运动轨道的闭合性 (2)3.1 和r的变化对轨道的影响 (2)4 r的幂律中心势场中粒子运动圆轨道的稳定性 (3)5 非r的幂律函数势场中粒子运动轨道的稳定性和封闭性 . 66 结论 (8)参考文献 (8)致谢 (9)1 引 言开普勒第一定律[1,2]认为行星运动的轨道是一个椭圆，同样根据牛顿万有引力和理论力学[1,2]可以得出，地日系统也是一个椭圆轨道，太阳在椭圆的一个焦点之上。
物质运动的稳定性
物质运动的稳定性
物质运动的稳定性是科学研究中一个重要的概念，在实际应用中也受到了广泛的重视。
物质运动的稳定性是指一种物质在某一温度和压力条件下能够维持其在特定状态下的化学性质，不会发生可见的变化。
一般而言，物质运动的稳定性可以通过物理参数的变化，包括温度和压力，来控制。
物质运动的稳定性对现代科学研究具有重要意义，比如生物、化学和物理实验中，物质必须保持稳定的运动状态，才能获得有效的数据和准确的结果。
物质运动的稳定性还可以应用于药物研发、营养研究、医疗技术等方面，可以让这些技术和研究发挥最大效力。
此外，物质运动的稳定性也可以为医疗科学和疾病预防提供重要的参考材料。
比如，在实验过程中，特定物质的稳定性可以用来检测病毒感染情况，并及时采取有效措施，因此，物质运动的稳定性也成为了公共卫生领域中一项重要的测试指标。
总的来说，物质运动的稳定性对科学研究和实际应用具有重要意义，我们需要深入研究各种条件下物质运动及其稳定性，从而有效利用物质本身的性质，加强科学研究和技术应用效率。
理论力学中的力学系统稳定性分析
理论力学中的力学系统稳定性分析在理论力学中，力学系统的稳定性分析是一项重要的研究内容。
稳定性分析旨在研究力学系统在受到外界扰动时是否能维持原有的平衡状态，以及在扰动的作用下会出现什么样的动态行为。
稳定性分析的结果对于预测力学系统的运动状态、设计稳定的工程结构以及解释自然现象等方面具有重要意义。
力学系统的稳定性分析可以从两个方面进行：平衡状态的稳定性和轨道的稳定性。
下面将分别对这两个方面进行详细的讨论。
一、平衡状态的稳定性力学系统的平衡状态是指系统在没有受到外部扰动时处于的状态。
平衡状态的稳定性分析是研究力学系统在受到微小扰动时是否能够回到原来的平衡状态。
具体来说，可以通过构造势能函数的形式，来判断力学系统的平衡状态是否稳定。
对于具有势能函数的力学系统，其平衡状态的稳定性可以通过势能函数的凸凹性来判断。
如果势能函数在平衡状态周围局部呈现凸起，那么该平衡状态是不稳定的；如果势能函数在平衡状态周围局部呈现凹陷，那么该平衡状态是稳定的。
此外，如果势能函数在平衡状态附近的局部呈现平坦的形状，那么该平衡状态是中立的。
二、轨道的稳定性力学系统的轨道是指在力学系统中物体的运动轨迹。
轨道的稳定性分析是研究力学系统在受到外部扰动时，其轨道的演变规律以及是否趋于稳定。
稳定的轨道可以通过判断系统的拉格朗日函数是否满足哈密顿方程的正则形式来确定。
对于满足哈密顿方程的力学系统，其轨道的稳定性可以通过哈密顿函数的性质来判断。
如果哈密顿函数是系统动量和广义坐标的函数，并且在轨道附近的局部满足正则方程，那么该轨道是稳定的。
如果哈密顿函数在轨道附近的局部呈现奇点，那么该轨道是不稳定的。
稳定性分析在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在工程领域中，通过稳定性分析可以预测结构在受到外力作用时是否会发生破坏，从而设计出更加稳定的结构。
在天文学领域中，通过稳定性分析可以解释行星轨道的演化规律，从而揭示行星与恒星之间的相互作用。
在生物学领域中，通过稳定性分析可以研究生物系统的稳定性和鲁棒性，从而深入理解生物体内部复杂的动力学过程。
大学物理中的力学平衡物体的平衡与稳定性
大学物理中的力学平衡物体的平衡与稳定性大学物理中的力学平衡：物体的平衡与稳定性在大学物理学习中，力学平衡是一个基本概念，也是我们研究物体静止与稳定性的重要工具。
了解物体的平衡与稳定性对于我们理解力学规律、应用于实际问题具有重要意义。
本文将详细介绍大学物理中的力学平衡、物体的平衡以及稳定性，并从实例角度加深理解。
物体的平衡分析物体的平衡可以分为两种情况：平衡在一维的情况称为一维平衡，平衡在三维的情况称为三维平衡。
一维平衡在一维平衡中，物体的平衡状态仅需考虑物体在水平方向上的力平衡。
假设物体在水平面上，当物体受到力的合力为零时，物体处于一维平衡状态。
这个概念比较容易理解，就像在一个水平的桌面上放置一个书本，只有当受到的外力合力为零时，书本才能保持静止不动。
三维平衡在三维平衡中，物体同时受到多个方向的力作用，物体的平衡状态需要考虑力的合力以及力矩平衡。
力矩的概念涉及到物体的旋转，当物体受到的合力矩为零时，物体处于平衡状态。
例如，如果我们将一个木块放在桌子的边缘，只有当木块受到的合力矩为零时，它才能保持在桌子上不掉下来。
稳定性分析物体的稳定性是指物体在平衡状态下，受到干扰时能否返回原始的平衡位置。
根据稳定性的不同，物体可以分为稳定平衡、不稳定平衡和部分稳定平衡。
稳定平衡当物体在平衡位置附近发生微小偏移时，回归平衡位置的趋势增强，我们称这种平衡状态为稳定平衡。
例如，将一个圆球放在一个U型凹槽中，无论它发生微小偏移，都会回归到凹槽的底部，保持原有平衡。
不稳定平衡当物体在平衡位置附近发生微小偏移时，回归平衡位置的趋势减弱，甚至偏移越大越不容易回归平衡位置，我们称这种平衡状态为不稳定平衡。
例如，将一个圆球放在一个尖顶上，即使微小的偏移也会导致圆球离开尖顶，不再保持平衡。
部分稳定平衡部分稳定平衡是介于稳定平衡和不稳定平衡之间的状态。
当物体在平衡位置附近发生微小偏移时，回归平衡位置的趋势存在，但其强度较弱。
例如，将一个圆锥形物体放置在一个斜面上，当它发生轻微偏移时，可能会回到原位，但在较大偏移时可能会滚落。
力学中的稳定性分析与设计施工控制
力学中的稳定性分析与设计施工控制稳定性是力学中一个重要的概念，它涉及到结构物在外力作用下的平衡状态。
稳定性分析是工程设计的关键环节之一，它可以帮助工程师确定结构物在不同工况下的稳定性，并为设计施工提供指导。
本文将探讨力学中的稳定性分析与设计施工控制的相关问题。
一、稳定性分析的基本原理稳定性分析的基本原理是通过分析结构物的受力特性，确定其在外力作用下的平衡状态。
在力学中，稳定性可以分为静力稳定和动力稳定两个方面。
静力稳定是指结构物在静态荷载作用下的平衡状态，而动力稳定则是指结构物在动态荷载作用下的平衡状态。
稳定性分析的方法主要有静力分析和动力分析两种。
静力分析是通过分析结构物的受力平衡条件，确定其稳定性。
动力分析则是通过考虑结构物的振动特性，确定其在动态荷载作用下的稳定性。
这两种方法在工程设计中都具有重要的意义，可以帮助工程师评估结构物的稳定性，并进行相应的设计施工控制。
二、设计施工控制的要点设计施工控制是指在工程设计和施工过程中，通过合理的控制措施，保证结构物的稳定性。
设计施工控制的要点包括以下几个方面。
1. 结构形式选择：在设计阶段，工程师需要根据结构物的用途和受力特点，选择合适的结构形式。
不同的结构形式在稳定性方面有所差异，因此选择合适的结构形式对于保证结构物的稳定性至关重要。
2. 材料选择：材料的选择对于结构物的稳定性具有重要影响。
工程师需要根据结构物的受力特点和使用环境，选择合适的材料。
合理的材料选择可以提高结构物的稳定性，并延长其使用寿命。
3. 施工控制：在施工过程中，工程师需要采取一系列措施，保证结构物的稳定性。
这包括合理的施工工艺、严格的质量控制和安全监测等。
只有通过科学的施工控制，才能保证结构物在施工过程中的稳定性。
4. 监测与维护：结构物的稳定性需要进行长期的监测与维护。
工程师需要定期对结构物进行检查，及时发现并修复可能存在的问题。
只有保持结构物的良好状态，才能保证其稳定性。
三、案例分析为了更好地理解稳定性分析与设计施工控制的重要性，我们可以通过一个实际案例进行分析。
力学中的平衡与稳定性
力学中的平衡与稳定性力学是一门探究物体运动和力的学科，而平衡与稳定性则是力学中的重要概念之一。
平衡与稳定性不仅在物体的静止状态下起着关键作用，同时也在物体的运动过程中发挥着重要的作用。
在本文中，我们将探讨力学中的平衡与稳定性，并分析其在实际生活中的应用。
首先，我们来了解平衡的概念。
在力学中，平衡是指物体在不受外部力的作用下保持静止或匀速直线运动的状态。
平衡可以分为稳定平衡和不稳定平衡两种情况。
稳定平衡是指物体受到微小干扰后能够自行返回原来的位置，而不稳定平衡则是指物体受到微小干扰后会继续偏离原来的位置。
在力学中，稳定性是指物体在受到外力干扰后恢复平衡状态的能力。
稳定性的大小取决于物体的形状、质量分布以及支持点的位置等因素。
一个具有高稳定性的物体会迅速恢复平衡，而一个稳定性较低的物体则可能会出现晃动或翻倒的情况。
在实际生活中，平衡与稳定性的概念可以应用于各个领域。
以建筑学为例，建筑物在设计和建造过程中需要考虑到平衡和稳定性的因素。
建筑物的结构需要能够承受各种天气条件和外力干扰，并保持稳定。
设计师会根据建筑物的功能和形状等因素来确定建筑物的稳定性要求，并采取相应的设计和施工措施来确保建筑物的平衡与稳定性。
另一个领域是交通工程。
汽车、火车等交通工具的设计也需要考虑到平衡与稳定性。
车辆在行驶过程中需要保持平衡，以确保驾驶员和乘客的安全。
为了提高车辆的稳定性，工程师会采取一系列的措施，如降低车身重心、增加车辆的悬挂系统等。
这些措施可以提高车辆的稳定性，减少翻车的风险。
在航空航天工程中，平衡与稳定性更是至关重要。
航空器在高空飞行时面临着强大的空气阻力和外部扰动的干扰，因此需要具备高度的平衡和稳定性。
航天器的设计和调整需要考虑到重心位置、机翼的形状和大小等因素，以确保航天器在各种环境下保持平衡和稳定。
总结起来，平衡与稳定性是力学中的重要概念，对于各种物体的静止和运动都起到关键作用。
在建筑、交通和航空航天等领域，平衡与稳定性的概念被广泛应用。
力学中的平衡与稳定性分析
力学中的平衡与稳定性分析力学是一门研究物体运动和物体受力等问题的学科，其中平衡与稳定性是力学中重要的概念。
在物体受力的过程中，平衡是指物体处于不动或匀速直线运动状态下的力学条件，而稳定性则是指物体在平衡状态下对微小扰动的相应能力。
下面将从力学的角度探讨平衡与稳定性的分析。
平衡是物体处于静止状态或匀速直线运动状态下的力学条件。
在平衡状态下，物体所受合力为零，这是基本的平衡条件。
根据平衡的特点，我们可以将平衡分为静平衡和动平衡两种情况。
静平衡是指物体处于静止状态下的平衡。
在静平衡中，物体所受合力和合力矩都为零。
合力为零意味着物体受力的方向和大小平衡，不会产生加速度。
而合力矩为零则意味着物体受力的力矩相互平衡，使物体不发生旋转。
通过分析物体所受力的大小、方向和作用点，我们可以解决静平衡问题，进一步确定物体处于平衡状态。
动平衡是指物体处于匀速直线运动状态下的平衡。
在动平衡中，物体所受合力为零，但合力矩不一定为零。
合力为零保证物体保持匀速直线运动，而合力矩不为零则意味着物体会围绕着某一轴心点旋转。
通过分析物体所受的合力和合力矩，我们可以确定物体的运动轨迹和角速度，进而判断物体是否处于动平衡状态。
稳定性则是指物体在平衡状态下对微小扰动的相应能力。
在力学中，我们通常使用弹簧常数和势能函数来描述物体的稳定性。
当物体受到微小的扰动时，如果它的势能增加，那么它将回到原始平衡位置，这种稳定状态被称为稳定平衡。
相反，如果物体受到微小的扰动后势能减小，那么它将远离原始平衡位置，这种不稳定状态被称为不稳定平衡。
稳定性分析可以帮助我们评估一个物体在平衡状态下的可靠性，从而更好地设计和优化物体的结构。
在平衡与稳定性分析中，我们经常遇到复杂的问题，例如弹性体的平衡和稳定性分析、多体系统的平衡和稳定性分析等。
针对这些问题，我们可以运用力学相关的数学方法，例如牛顿定律、拉格朗日方程和哈密顿原理等。
通过建立合适的动力学模型，我们可以数值求解出平衡和稳定性的解析解，对物体的力学性质进行全面的了解。
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有心力作用下物体运动的稳定性的研究摘要稳定是物体或系统在外干扰的作用下偏离其运动后返回该运动的性质。
若逐渐返回原运动则称此运动是稳定的，否则就是不稳定的。
通过推导有心力势场中粒子的运动轨道方程，以及利用等效势能曲线对中心力场中运动轨道的闭合性、封闭性条件以及中心力场中圆轨道运动的稳定性条件作出了定性的判断。
对于轨道的有界性、封闭性以作出定性研究，具有实际意义。
本文在此基础上进一步讨论有心力运动中的稳定性条件和封闭性条件。
通过查阅各种资料，我对宇宙多种天体的运动有了很深刻的认识。
关键词稳定性;封闭性；有心势场The study of the stability of the movement under the affectionof centripetal forceSchool of Physics and Electronic Information, Huai Bei Normal University, Anhui Huaibei, 235000 Abstract S tability is a object or system under the condition of outside interference from its campaign to return to the nature of the movement . If gradually returned to the original movement called the motion is stable, otherwise it is not stable. Motion orbit equation derived by central force of particle in potential field, and the use of equivalent potential energy curves of motion in central force field closed, closed conditions as well as the central force field in circular motion stability conditions made a qualitative judgment. The orbit of the bounded closed, in order to make a qualitative research, practical significance. In this paper, on the basis of further discussion of stability conditions of central force motion and closed condition. Through access to a variety of materials, I have a very profound understanding of the movements of celestial bodies. Keywords S tability; Closed; Centripetal force目次1 引言 (1)2 中心势场中粒子运动的轨道 (1)2.1由运动方程消去参数t导出轨道方程 (1)3 r的幂律中心势场中粒子运动轨道的闭合性 (2)3.1 和r的变化对轨道的影响 (2)4 r的幂律中心势场中粒子运动圆轨道的稳定性 (3)5 非r的幂律函数势场中粒子运动轨道的稳定性和封闭性 . 66 结论 (8)参考文献 (8)致谢 (9)1 引 言开普勒第一定律[1,2]认为行星运动的轨道是一个椭圆，同样根据牛顿万有引力和理论力学[1,2]可以得出，地日系统也是一个椭圆轨道，太阳在椭圆的一个焦点之上。
这个椭圆轨道是稳定的。
地球和太阳这个地日系统的稳定性是一件可喜可贺的事情。
稳定是物体或系统在外干扰的作用下偏离其运动后返回该运动的性质。
若逐渐返回原运动则称此运动是稳定的，否则就是不稳定的。
关于有心力运动轨道，根据前人得出的结论，理论上可以由运动微分方程、等效一维运动方程或轨道微分方程解得[1,2]。
对于有心力场轨道稳定性的问题，已先后有许多文章利用不同方法对圆形轨道、平方反比力场中的轨道[48]-、立方反比引力场中的个别轨道[5]的稳定性做了十分有益的讨论。
实际上由于解的繁复性，也并非是十分容易的，甚至很难获得精确解。
因此，对于轨道的有界性、封闭性以作出定性研究，具有实际意义。
本文在此基础上进一步讨论有心力运动中的稳定性条件和封闭性条件。
2 中心势场中粒子运动的轨道2.1 由运动方程消去参数t 导出轨道方程有心力运动具有角动量守恒和机械能守恒两大运动特征。
它的两个运动微分式为：2mr l θ= （2.1.1）()2()m r r F r θ-= （2.1.2） 引进变换1u r= （2.1.3）则有 2l u m θ= , dr du l du r du d m d θθθ==- , 22222d l du l d u r u dt m d m d θθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 将它们代入（2.1.2）式，得到轨道微分方程2222d u mu u F d l θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（2.1.4）3 r 的幂律中心势场中粒子运动轨道的闭合性3.1 θ和r 的变化对轨道的影响对于在一般有心力场中运动的质点而言，运动轨道还因r 变化的同时，θ也是在变化，现在讨论θ和r 的变化对轨道的影响。
由（2.1.1）式知道，21l m rθ= ，θ 是随时间单调地变化的，θ 的值和2r 成反比，远离中心时粒子绕中心旋转得慢，近时旋转得快。
把21l m r θ= 代入（2.2.1）式，化为等效一维问题得方程[2]：()()222211222off l E mr V r mr V r mr =++=+ （3.1.1） （3.1.1）式指出，中心势场中粒子的运动可以等效为粒子在有效势场()222offl V V r mr =+中沿径向r 的一维运动，222l mr 称为离心势能，r 变化的范围由（3.1.1）式中0r= 的条件决定，即()222l V r E mr += （3.1.2） 解（3.1.2）式得到的r 是轨道的“转变点”，表示()r t 从增加变为减少，或者相反。
4 r 的幂律中心势场中粒子运动圆轨道的稳定性所谓圆运动的稳定性，就是指在微小的扰动下，质点将在原来的轨道附近作微振动，而不远离原轨道。
如果是不稳定的，则在微扰下质点将远离而不再回到原轨道附近。
设质点作有心力运动，等效势能曲线如图4所示，不难看出，当质点的总能量为a E 、b E 时，运动轨道分别为半径r a =和r b =的圆轨道。
这种圆轨道可以是稳定的，即当质点受到外界扰动时质点能保持在圆轨道附近作偏离轨道的微振动；也可以是不稳定的，即质点受到外界扰动会离开圆轨道。
只有稳定的圆轨道才能继续下去。
因此，分析圆轨道的稳定也是十分必要的。
可以从有心力运动的运动微分方程（2.1.1）、（2.1.2）式和轨道微分方程（2.1.4）式入手讨论。
设对应总能量E ，质点运动轨道为圆，轨道半径r a =，且存在径向微扰动x （一级微量）。
则t 时刻r a x =+，l 不变，式（2.1.2）变为：22()()l mx F a x m a x =+++（4.1）()U rr式中()3a x -+，()F a x +应用幂级数展开，略去二阶以上微量，取：()33413a x x a a -+=- ()()()F a x F a F a x '+=+式中 ()r a dF F a dr =⎛⎫'= ⎪⎝⎭代入式（4.1）得：()()22343l l mx x F a F a x ma ma'=-++ （4.2） 考虑圆轨道r a =，1u a =，220d ud θ=，由式（2.1.4）得到：()23l F a ma=- （4.3）代入式（4.2）整理，得到：()()130x F a F a x m a ⎡⎤'-+=⎢⎥⎣⎦（4.4） 令()()13c F a F a m a ⎡⎤'=-+⎢⎥⎣⎦（4.5） 式（4.4）为：0x cx += （4.6）不难看出，当0c >时，即()()30F a F a a'+< （4.7） 式（4.6）为简谐振动方程，其解为))cossin x A B =+ （4.8）x 为有限值，质点以圆轨道r a =为平衡位置作径向微振动，圆轨道是稳定的。
质点圆运动周期T 为：22ma T lπ=径向微振动周期T 为：x T =而且x T 与T 之比为整数，即 xT T=整数 （4.9） 时，轨道完全封闭。
当0c ≤时，x 不是有限值，因而此轨道是不稳定的。
由此可知式（4.7）即为圆轨道稳定条件。
考虑关系dVF dr=-，此条件还可表示为：()()30V a V a a'''+> （4.10）式中 ()r adV V a dr =⎛⎫'=⎪⎝⎭，()22r ad V V a dr =⎛⎫''= ⎪⎝⎭应用稳定性条件式（4.7）或式（4.10），不难从有心力场判断质点存在圆轨道的稳定性。
例如n F kr -=-的引力场，相对于质点总能量E ，存在圆轨道r a =，计算()n F a ka -=-，()()1n F a kna -+'=-，由式（4.7）可知，如果满足()()130n n ka kna a-+--+< 即3n <有稳定的圆轨道，否则即使理论上存在圆轨道，但是由于此圆轨道不满足稳定性条件，实际上也不可能存在。
5 非r 的幂律函数势场中粒子运动轨道的稳定性和封闭性按汤川核力学说，中子与质子间的引力势函数为[9]：()rke V r rα-= ()0,0k α<>现在讨论这种引力势作用下的轨道。
对应这种引力场，质点受作用力 ()()21r dV kF r r e dr rαα-=-=+ （5.1） 等效势能为()2222()22r l ke l U r V r mr r mrα-=+=+ （5.2） 因而式（3.2.4）可变为d θ=（5.3） 分析可以知道，当0r α→，()F r 即为平方反比引力，则在对应质点总能量E ，轨道有界的情况下，2θπ∆=，轨道为封闭椭圆。
当r α为小量，应用幂级数展开有：()()231112!3!r e r r r αααα-=-+-+ 取前两项，1r e r αα-=-，由式（5.3）可得轨道方程：()01cos pr e θθ=++适当选取极轴，使00θ=，有：1cos pr e θ=+ （5.4）式中 2mh p k=；e =由此可以推知，此情况轨道为近似为圆锥曲线。