关于质点在有心力场中

由(1) (2)解得: (r1/r2)2-(r1/r2)/a+1/a-1=0 解出两个根｛
r1/r2=1 r1/r2=(1-a)/a
其中r1/r2=1为圆轨道,不合题意,舍去. 应取 r1/r2=(1-a)/a 由于 0<r1/r2<1 故有 前速度为v1,设发射后飞 船速度为v1’,设探测器相对飞船得速度为u, 由动量守恒， mv1 = (m-m0)v1’+m0(u+v1’) (1) 发射后，探测器沿抛物线运动，总机械能为 0。即 E = 1/2*m0(u+v1’)2-GMm0/r1 = 0 (2) 发射探测器后，飞船作圆运动，故 GM(m-m0)/r12 = (m-m0)v1’2/r1 式中M为地球质量，即 v1’ = GM / r1 = v1/2a (3)
故
1 -2a + a v2'+ u = 1 -a 2GM 2bGM = r2 r2
式中
(1 -2a + a ) b= 1 -a
2
• 令
y = (1 -2a + a ) -(1 -a)
探测器轨道得类型可根据其总能量E来判断 E=1/2mv2-GMm/r 其中v探测器速度可写成
2 E 2GM 2GM v= + = m r r GMm E= (b -1) r
• 故发射后探测器的速度为 u+v2’ = [mv2+(m-m0)u]/m = v2+(1-m0/m)u 式中的相对速度 u前已求出， 利用已知的关系 v1 = (r2/r1)v2 r1/r2 = (1-a)/a 可将u用v2表示，得： 2 -1 r 2 2 -1 a u= v2 = v2 2a r1 2a 1 -a
(6)
• 代入（6）式，并注意到m0/m已由（5）式 给出，有
2a -1 2 -1 a u + v 2 ' = v 2 + (1 ) v2 2 -1 2a 1 -a 1 -2a + a = v2 1 -a
• 因
r1 2aGM r1 r1 2GM v 2 = v1 = = a r2 r1 r 2 r2 r2 = a 1 -a 2GM 2GM = 1 -a a r2 r2
（1）试证明 ½<a<1
v1
u+v1’
m0 m
v1’
m-m0
（2）如力图4－7－2， 飞船在近地点向前发 射探测器，并使探测 器沿抛物线轨道运动， 发射后，飞船沿圆轨 道运行，试求：质量 比m0/m及发射探测器 的相对速度u。
发射前
发射后
力图 4－7－2
m-m0 m v2’
（3）如力图4－7－3， 若在远地点以上述相 对速度u发射探测器， 试求探测器运行的轨 道。
2
• 对于椭圆轨道，E<0,b<1；对于抛物线轨道 E=0,故b=1;对于双曲线轨道，E>0,b>1.因此 探测器轨道得类型可由b的值来判断。 由前1/2<a<1,可用对y的定义判别
当 y<0, b<1, 为椭圆轨道 y=0, b=1, 为抛物线轨道 y>0,b>1, 为双曲线轨道
• 把（7）展开并化简
引子
• 质点在有心力场中运动，其角动量守恒， 机械能也守恒。有了这“两大法宝”，解 决该类问题就容易多了，下面以一具体的 例子来讨论该类问题。
题目
• 如力图4－7－1，飞船 总质量为m, 内装质量 为m0的探测器，绕地 球沿椭圆轨道运行， 近地点与地心距离为 r1,速度为v1= 2aGM
r1
v1 r2 v2 力图4－7－1 r1
y = 2 a ( a -1)(2a -1)
因前已得出1/2 < a < 1, 故y<0 探测器将沿椭圆轨道运动
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小结
• 通过对上题的具体的讨论，我们对质点在 有心力场中的运动有了比较清晰的认识， 当然设计到天体问题，通常运算量比较大， 需要我们有足够多的细心和耐心，才能把 这类问题解答好。
m0 v2 u+v2’ 发射后 力图 4－7－3
发射前
分析
• 1.飞船绕椭圆轨道运行时，角动量守恒，机 械能守恒，它们确定了飞船的运动特征，限 制了a的取值。 • 2.发射探测器前后，飞船（包括探测器）动 量守恒。发射后，探测器沿抛物线运动，其 机械能应为零，飞船（不包括探测器）作圆 轨道运动所需向心力来自地球引力。 • 3.发射探测器前后，飞船（包括探测器）动 量守恒，探测器轨道的特征由其机械能E确定， E<0为椭圆或圆轨道，E=0为抛物线，E>0为 双曲线。
解答
• 1.直接求a显然很困难,但由于飞船轨道受约 束的特性,可解出远近地点与地心的距离r2与 r1的约束关系,根据它们的关系解出 a的取值 范围。
飞船绕地球作椭圆轨道运动,设在远地点r2处 的速度为v2:
由角动量守恒 mr1v1=mr2v2 即 mr1 2aGM = mr2v2
r1
(1)
由飞船地球系统的机械能守恒 ½m(2aGM/r1)-GMm/r1 = ½mv22-GMm/r2 (2)
• 将（3）式代入，得 m/m0 = ( 2 -1)/( 2a-1) 所以质量比为 m0/m = ( 2a -1)/ ( 2 -1) (5) 代入（4）式，得出探测器得相对速度为
u = ( 2 -1) /( 2a -1)(v1 -v1/ 2a ) = ( 2 1) / 2av1
• 3.飞船及探测器在发射探测器前在远地点得 速度为v2,在近地点得速度为前述v1,作椭圆 轨道运动，由角动量守恒， mr1v1 = mr2v2 即 v2=(r1/r2)v1 设飞船在远地点以上述相对速度 u发射探测 器后，飞船得速度变为v2’,则探测器得速度 应该为v2’+u,由动量守恒得： mv2 = (m-m0)v2’+m0(v2’+u) 即 mv2 = (m-m0)(u+v2’)-(mm )u+m (u+v2’)
• 由（1）式 mv1 = mv1’+m0u 即 u = m/m0(v1-v1’) (4) 由(2)(3)式，得： (u+v1’)2-2v1’2 = 0 即 u2+2uv1’-v1’2 = 0 把（4）式代入上式，得出m/m0满足得方程为 (m/m0)2(v1-v1’)2+2(m/m0)(v1-v1’)v1’v1’2 = 0 舍去负根后，解出： 2 m/m0 = ( -1)v1’/(v1-v1’)