the 1 质点在有心力场中运动的一般规律第十章有心力guide download

dr = dt 2 L2 [E − V (r )] − 2 2 m m r
（A）
因而可得
t=∫
r (t )
dr 2 L2 [E − V (r )] − 2 2 m m r
r ( t =0 )
原则 上从这个积分可求出 r = r (t ) . 再将 求 得 的 r 代入角动量守恒式, 可得积分 Ldt θ = ∫ 2 +C （B） mr 式中 C 为积分常数, 原则上通过积分可求得 θ 与 t 的关系: θ = θ (t ) .
(1) 由于 r 和 v 始 终在 垂 直 于角动量 LO 的平
面内, 所以质点必做平面曲线运动; (2) 从角动量 大 小 为 常 数可 得出 位矢 的 掠面 速度为常量. 用极坐标表示得 =h r 2θ h 是两倍的掠面速度.
通 常 有 重 要 意义 的有心力的大 小 都是质点 到 力心距离的函数, 故力可写成 r F = F (r ) r
第十章
有心力
万有引力, 两荷电质点间的库仑引力或斥力, 都是有心力 . 两种力与两质点间距离的关系是平 方反比关系, 是非线性的， 给求解问题带来困难. 单体问题——二体问题； 三体问题是 19 世纪 经典力学中两大难题之一 , 最终证明它的解不可 能表达为解析形式 . 实际问题大多要用计算机数 值计算解决. 在数值计算研究中, 20 世纪 80 年代 发现了圆型限制性三体问题中也有混沌现象. 经典力学理论虽很古老, 但在现代宇航中仍然 创造着令人惊叹的辉煌成就.
§10.1 质点在有心力场中运动的一般规律
一、单体问题 最 简 单最 基本 的问题是单体问题 , 即 研究一 个 质点的 运动 , 它 所受 的 作 用力的 作 用线 始 终都 通过惯 性系中一 固定 点 , 即 力心是 固定 的 . 这 种 力 ( 力 场 ) 称 为有心力 ( 有心力 场 ). 行星绕太阳运 动时受到 的万有引力 , 电 子绕原子核转动时受到 的库仑引力, 都可近似看做有心力. ——模型 二、质点在有心力场中运动具有的守恒律、 动力
r= p 1 + e cos θ
其中 p 为半正焦弦, e 为偏心率, 极轴沿椭圆长轴 方 向 . 为了 应 用方 便 , 把 一 些 常 用的关系式也 随 之列出, a, b, c 分别为半长轴、 半短轴、 半焦距.
e = c a
a2 − b2 = c2
b = a 1− e2
b2 p = a 1− e = a
2 并引入变量 u = 1 r 代替 r , 消去时间（ h = r θ ）
= h = hu 2 θ r2
= r dr dr d 1 2 1 du 2 du θ = hu = − h = hu = − 2 dt dθ dθ u dθ dθ u
2 d du d du d du 2 2 2 d u r = − h = − h θ = − h hu = −h u dt dθ dθ dθ dθ dθ dθ 2
容易证明此力的旋度为零, 即
∇× F = 0
又由于力场是稳定的, 所以， 这样的有心力是保 守 力 , 因此 , 质点在 运动过 程 中 还 有 第 二 个守恒 律: 机械能守恒, 它的极坐标表示式为
1 2 + V (r ) = E (常数） 2 + r 2θ mr 2
(
)
既已 证明在有心力 场 中质点 做 的是平 面曲 线 运动 , 则 可 按 两 个 自 由 度处 理 , 由 两 个守恒律得 出 的两 个 一 阶微分 方 程 作 为解决单体问题的 动 力 学方 程 是 足够 的 . 根据 力 场具 有 球对 称 性 , 我们 采用极坐标是最适宜的. 我们 也可 从 牛顿 运动定律出 发 建立 动 力学 基 本方程: 2 ) = − ∂V m( r − rθ ∂r
引入有效势能(简称有效势) Veff , 令
Veff L2 = V (r ) + 2mr 2
于是机械能守恒方程成为
1 2 + Veff (r ) = E mr 2
我们看到 , 引 入 有 效势 能的 好处 是 把 原 来二 维 问题 化 为一 维 问题 , 即 化 为质点在一 维势 场 中 运动 , 这 是一种 重 要的 处 理 问题的方 法 . 在不 同 问题中, 有效势能的表达式是不同的. 从上t 并代入(B)式得轨道方程
dr = dt 2 L2 [E − V (r )] − 2 2 m m r
（A）
θ =∫
L dr 2 r 2m[E − V (r )] − L r2
2
+C
从(A)式可知, 当
2 L2 [E − V (r )] − 2 2 = 0 m m r 时, r 将取极值. 若上式有两个根, 通常一个是极
+ 2r ) = 0 θ m ( rθ 或 d =0 mr 2θ dt
通过它们可导出上述两个守恒律. 三、有效势 利用角动量守恒消去 θ 变量, 即利用
= mh = L mr θ
2
或
= L θ mr 2
机械能守恒方程可改写为
1 2 L2 + V (r ) + mr =E 2 2 2mr
2
(
)
试利用比尼公式求出行星所受的力. 解 将轨道方程用 u 来表达, 则为
u=
2 2
1 + e cos θ p
− e cos θ 1 + e cos θ F = − mh u + p p
mh 2 2 =− p u
即
mh 2 1 F (r ) = − p r2
进一步研究将导致万有引力定律的发现.
代入并以 F ( r ) 代替 −
∂V ∂r , 即得轨道微分方程
2 d 1 u ( ) − mh 2 u 2 + u = F dθ 2 u
这个方程又称为比尼(比耐)公式. 式中 F (1 u ) 是有 心力在径向的投影, 斥力取正值, 引力取负值. 引 入变 量 u = 1 r , 进 行 变 量 变 换 , 是一种 巧 妙 的方 法 , 它不 仅 导 出 了 轨道微分 方 程 , 而 且 有 利 于 微分 方 程 的求解 . 我们看到通过这 种 变 换 , 对于与距离 2 次、 3 次平方成反比的有心力, 它的 轨道微分方程都将变为线性的. 例题 1 已知一行星在有心力场中运行的轨道 为圆锥曲线
小值 rmin 另一个是极大值 rmax , 轨道一般将不闭合. 质点从 rmax → rmin → rmax 矢径转过的角度为 L dr 2 rmax r ∆θ = 2 ∫ rmin L2 2m[E − V (r )] − 2 r 只有当经 n 次这样的循环后, 矢径转过的角度 n∆θ 等 于 2π 的整 数 (m ) 倍时 , 即 ∆θ = 2π (m n) , 而 (m n ) 为 有 理 数 时 , 轨道才 是 闭合曲 线 . 经研究证明 当 有 心力大 小 与距离平方 成 反比或与距离一 次 方 成 正 比(即各向同性谐振子情况)时, 轨道是闭合曲线, 问题是可 积 的 . 一 般 情况 , 轨道将 不 闭合 , 经 无 限长时间后, 轨道将填满两个同心圆之间的区域.
学方程 本节 研究质点在有心力 场 中 运动具 有的一 般 规律, 不涉及力的具体形式. 首先我们关心运动中存在哪些守恒律. 假设 质点 仅受 有心力的 作 用 , 若取 力心为 参 考点, 则在运动中所受力矩恒为零 r×F =0 因此有角动量守恒 r × mv = c (常矢) 从这一守恒律又可得出:
四、轨道微分方程 为避开求积分的困难, 先解决运动轨道问题. 从运动微分方程开始, 通过变量变换, 消去 t , 建 立轨道微分 方 程 ( 这 是一种 重 要数学方 法 ), 即 建 立力和轨道之间的直接联系:
力 ⇔ 轨道
我们从如下两方程出发
2 ) = − ∂V m( r − rθ ∂r + 2r ) = 0或 d mr 2θ =0 θ m ( rθ dt