有心力场中质点运动的研究—数学竞赛论文
解该微分方程得：
arccos
2 E0 m GMm 2 2 ( ) M 02 M 02
,
2 E0 m GMm2 2 GMm2 ,b ( ) , 得： 令a M 02 M 02 M 02
1 1 a r , a b cos 1 b cos a
x2 y 2 z 2 ,
因此 curl = 0 ，即有心力场为无旋力场。
r r
1.2
有心力场中的动量矩定理 设在有心力场运动质点的质量为 m ，其速度为 v ，则其动量 m v 关于定点 O 的动量矩
r
r
为：
uu r r r r M O (mv) r mv,
作用在质点上的有心力关于 O 点的力矩为：
故在此三维直角坐标系中，设此有心力场为：
vx g i v y gj vz gk ( f (r ) i f (r )
则该有心力场的旋度：
r
u u rr u u r r
u u r r
xr r
yr zr j f (r ) k ), r r
r y r x z r y x r curl ( z )i ( )j( )k y z z x x y z y x z y x [ f (r ) ] [ f (r ) ] r [ f (r ) ] [ f ( r ) ] r [ f ( r ) ] [ f ( r ) ] r r r )i ( r r ) j( r r )k , ( y z z x x y
2
1
有心力场中质点运动特性研究
1.1 有心力场无旋性
旋度是向量分析中的一个向量算子，是从流体力学、电动力学、热传学等学科中抽象出 来的场论中的四个重要概念（梯度、散度、旋度和调和量）之一，可以表示三维向量场对某 一点附近的微元造成的旋转程度。 这个向量提供了向量场在这一点的旋转性质。 在三维直
角坐标系 Oxyz 中，设向量场为：
2.2
求解微分方程时可寻找与两个变量都相关的同一变量作为媒介进行求解。如在本文中
研究行星运动轨迹时，以时间 t 为媒介，求解 r 与 的微分方程：
2 E0 2GM M dr ( 0 )2 , dt m r mr
d M 0 dt mr 2 ，
两式相除得：
dr mr 2 d M 0
uu r u r r u r r MO( f ) r f =0 ，
即此质点关于 O 点的动量矩的导数为零，亦即动量矩的变化率为零，所以指点关于 O 点的 动量矩为常量。 由此证得有心力场中的动量矩定理：在有心力场中质点关于定点的动量矩为常量。
1.3
太阳系行星运动轨迹与开普勒第二定律 对于行星与其所围绕旋转的恒星所构成的体系， 星体间相互作用力为保守力——万有引
r
力的大小仅与质点到定点的距离 r 以表示为：
x 2 y 2 z 2 有关，记为 f (r ) ，则有心力向量可
r o u r r x y z x y z F f (r ) r f (r ) f (r ){ , , } { f (r ) , f (r ) , f ( r ) } ， r r r r r r r
由此可得行星运动的轨迹为圆锥曲线，离心率 e
M 02 b a GMm2
2 E0 m GMm2 2 ( ) ； M 02 M 02
对于任意一段间隔相同的时间区间内 [t , t t0 ] ,行星向径扫过的面积 M0 r d tt t0 r 2 02 dt tt t0 dt t0 为常量。 2 2 mr 2 m 2 m
有心力场中质点运动的研究[2]
——以万有引力为例
桂绍军[1]
化学与分子工程学院
摘要：有心力是自然界中一种十分普遍的力，其作用特性——作用力恒通过 定点——造成了受力物体在运动时的各种有趣的规律。本文以万有引力为例，运用高 等数学知识探究推理质点有心力场中的运动规律，包括有心力的旋度、质点的动量矩 定理以及开普勒定律. 关键词：有心力；动量矩；轨迹；开普勒定律 如果质点所受的力，无论质点位置如何，恒通过一个定点，则称此力为有心力，这 样的力向量场称为有心力场。此时，力的大小一般是位置坐标的函数，力的方向则恒在 质点与定点的连线上，称定点为力心。当力指向力心时为引力，离开力心时为斥力。在 力学中有很多有心力的例子，如万有引力，弹性回复力等都是有心力，它们都为引力， 前者力的大小与 r 成反比，后者则与 r 成正比。有心力场是自然界中最普遍、最重要 的力场之一。 通过有心力理论分析质点的运动状况， 在天体研究、 原子结构与核力研究、 太空安全和相关技术发展、先进通讯、地球资源探测和军事侦等方面具有重要的意义。
uu r r r r r u r r d 2 M O (mv) r mv r m( r ) mr 2 m r M0 ， dt
1 ○ 2 两式，有： 结合○
2 ○
1 dr 2 1 M 0 2 GMm m( ) m( ) E0 , 2 dt 2 mr r
故 d[M O (mv)] vdt mv mr adt r f dt ，
uu r
r
r
r
r r
r u r
uu r r r uu r u r d [ M O (mv)] r u 即动量矩的倒数 r f M O ( f ), dt
而在有心力场中，由于力的方向与其径矢在同一直线上，故有力矩：
参考文献： [1]朱崇军.发现星空秩序的路线简图.物理通报,2011,40(10);107-110
[2]徐慧婷.矢量场环量强度方向特性的一种证明过程.电气电子教学学报,2012,34(6);38-40 [3]潘继环.质点在中心势场 V（r）中的运动.河池学院学报,2010,30(2);46-53
点，但是轨迹方程 r
p 所包含信息远比第谷和开普勒所观察到的要多——当 e 取 1 e cos
不同的值时，轨迹亦将变化，而不仅限于椭圆一种： 当 E0 0 ，离心率 0 e 1 ,行星运动轨迹为椭圆； 当 E0 0 ，离心率 e 1 ,行星运动轨迹为抛物线； 当 E0 0 ，离心率 e 1 ,行星运动轨迹为双曲线。 由此可以说明， 行星的运动轨迹除了现存于某一恒星系的行星所表现出的椭圆轨迹外， 还有 那先曾经经过该星系而已远离星系的天体所表现出的双曲线或者抛物线轨迹。 笔者认为任何数学结果（尽管有些被定义为无意义）都有其存在的现实意义，研究者通过实 践所观察不到的规律和答案，往往会蕴含在笔和纸当中，启迪着探索者不断发现新的天地。
uu r u r r uu r MO( f ) r f ,
对 M O (mv) 进行微分：
uu r
r
uu r r r r r r r r d[M O (mv)] d (r mv) d r mv mr dv,
r r r dr r dv 又由于 v ,a , dt dt
由此证得开普勒第二定律：行星在相同时间内其径向所扫过的面积相等。
2
感悟与体会 在数学特别是微积分学尚不发达时，物理学或者说整个自然科学的许多规律的得出往
2.1
往依靠的是长期、繁重而又模糊的实践所获取的大量数据。例如开普勒三大定律，丹麦天文 学家第谷穷其一生通过观测获取天体运动的准确数据， 未能揭开太阳系天体运动的真正规律。 而开普勒很幸运地第谷·布拉赫 20 多年所观察与收集的非常精确的天文资料。即使如此， 开普勒站在巨人的肩膀上好久才摘到苹果。大约于 1605 年，根据布拉赫的行星位置资料， 沿用哥白尼的匀速圆周运动理论， 通过 4 年的计算发现第谷观测到的数据与计算有 8' 的误差，
2 E0 2GM M 2 E0 m GMm2 2 1 GMm2 2 ( 0 )2 r 2 ( ) ( ) m r mr M 02 M 02 r M 02
。
2.3 2.4
多元函数微分方法在处理向量函数问题上具有很大的优越性。 太阳系的行星轨道都近似为椭圆， 使用微积分方法求解得到的轨迹方程可以证明这一
解得：
2 E0 2GM M dr ( 0 )2 , dt m r mr
又由于：
3 ○
d M 0 ， dt mr 2
3 ○ 4 相除得： ○
4 ○
dr mr 2 d M 0
2 E0 2GM M 2 E0 m GMm2 2 1 GMm2 2 ( 0 )2 r 2 ( ) ( ) ， m r mr M 02 M 02 r M 02
r o r 其中 f (r ) f ( x 2 y 2 z 2 ) 为万有引力的大小， r 为定点指向质点的单位向量。 r
由于该有心力场的有心力向量表示为：
r o u r r x y z x y z F f (r ) r f (r ) f (r ){ , , } { f (r ) , f (r ) , f ( r ) }, r r r r r r r
开普勒坚信第谷的数据是正确的，从而他对“完美”的神运动（匀速圆周运动）发起质疑， 经过近 6 年的大量计算，开普勒得出了第一定律和第二定律，又经过 10 年的大量计算，得 出了第三定律。 而现如今， 一个受过高等数学教育的人就足以在一两天内严格推理出这些定 律。 时至而今， 当自然科学的研究愈发微观化时， 数学在研究中所起的作用往往是决定性的。
又由于 r 故
z y [ f (r ) ] [ f (r ) ] ' 2 2 2 2 2 2 ' 2 2 2 2 2 2 r r zy f ( x y z ) f ( x y z ) zy f ( x y z ) f ( x y z ) 0, y z x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 x z [ f (r ) ] [ f (r ) ] ' 2 2 2 2 2 2 ' 2 2 2 2 2 2 r r zx f ( x y z ) f ( x y z ) zx f ( x y z ) f ( x y z ) 0, 2 2 2 2 2 2 z x x y z x y z y x [ f (r ) ] [ f (r ) ] ' 2 2 2 2 2 2 ' 2 2 2 2 2 2 r r yx f ( x y z ) f ( x y z ) yx f ( x y z ) f ( x y z ) 0, 2 2 2 2 2 2 x y x y z x y z
物体在有心力场中运动的分析(毕业论文)
本科毕业论文题目：物体在有心力场中运动的分析目录1.引言 (1)2.有心力基本概念及它的性质： (1)3.推出动力学方程 (2)4.用开普勒定律推出引力公式 (6)5.两体问题 (7)6.结论 (9)7.参考文献 (10)8.致谢......................................................... - 10 -物体在有心力场中运动的分析摘要有心力场中的运动是经典力学和天体力学的一个重要问题.本文概括地介绍了有心力及其有关它的一些重要结论.首先研究质点和质点系在有心力作用下的运动，有心力的基本性质.用动力学方法推导关于有心力的公式,及在开普勒三定律的基础上推导万有引力方程.,介绍有心力场在物理学中的应用。
关键词有心力；动力学；开普勒定律；两体问题。
1.引 言经典力学的发展是与对天体运行的观察和研究分不开的.早在17世纪初叶，开普勒（J.Kepler ）通过对太阳系各行星运动的观察，总结出行星运动的三个定律，于1620年发表在《论天体之协调》（On Celestial Harmonics ）一书中.在此基础上，牛顿建立了著名的万有引力定律.行星绕恒星的运动属于所谓“有心运动”一类的运动.有心运动是一类常见的运动，天体的运行，原子核外的电子运动都属于这类运动.火箭和人造卫星的发射和运行都离不开对有心运动的研究.首先我们介绍有心力的基本概念及它的性质，然后利用开氏三定律推导出引力公式并对公式进行分析.2.有心力基本概念及它的性质：一般来讲，如果运动质点所受力的作用线始终通过惯性系中某一个固定点，则我们就说这个质点所受的力是有心力，此固定点称为力心.有心力的量值，一般是矢径（即质点和力心之间的距离）r 的函数，而力的方向则始终沿着质点和力心的连线，凡是趋向定点的是引力，离开定点的是斥力。
行星绕太阳运动时受到的力，电子饶原子核转动时受到的库仑引力，近似看做有心力.有心力场是自然界中最普遍、最重要的力场之一.有心力构成的力场称为有心力场.我们平时假定力心不动研究有心力场问题.这时以力心作为坐标质点,变成一个平面问题.质点受变力作用而沿曲线运动时，变力所作的总功为d W B A .⎰= （1）在平面极坐标系中，力所做的功为θθd F dr F W B A r +=⎰ （2）因为有心力只具有径矢方向的分量)(r F F r =,而横向分量为0=θF ，故质点由A 点运动到B 点时有心力作的功是dr r F dr r F W B A r r ⎰⎰==21)()( (3)这个顶积分的值只取决于起点和终点的矢径，与质点运动的路径无关，这就证明了有心力是保守力.而平面力,力和位置坐标相互平行且应满足0=⨯∇,那么角动量守恒.这是有心力场的一个特点，根据有心力场的特点，下面推导有心力场的动力学方程及加讨论。
高一物理科技小论文
篇一：高一物理科技小论文摘要：电磁学已成为物理学的一个重要分支，是研究电磁运动基本规律的学科。
电磁学理论的发展不仅是电工学、无线电电子学、电子计算机技术及其他新科学、新技术发展的理论依据，而且也与人们的日常生活和生产技术有着十分密切的关系。
关键词：电磁感应，电磁炉，电磁炮正文：电磁学从原来互相独立的两门学科——电学、磁学，发展成为物理学中一个完整的分支学科，主要是基于两个重要的实验发现，即1820年丹麦物理学家奥斯特发现的电流的磁效应和1831年英国物理学家法拉第发现的电磁感应现象。
这两个实验现象，以及1865年英国物理学家麦克斯韦提出的感应电场和位移电流的的假说，奠定了电磁学的整个理论体系。
如今，电磁学已成为物理学的一个重要分支，是研究电磁运动基本规律的学科。
电磁学理论的发展不仅是电工学、无线电电子学、电子计算机技术及其他新科学、新技术发展的理论依据，而且也与人们的日常生活和生产技术有着十分密切的关系，下面举例说明电磁学在生活中应用。
先来谈谈电磁炉。
随着生活水平的提升，人们对安全卫生的炊事用具逐渐接受，电磁炉也进入千家万户。
电磁炉是现代厨房革命的产物，它无需明火或传导式加热而让热直接在锅(转载于: :大学物理物理小论文)底产生，因此热效率得到了极大的提高。
电磁炉的功率一般在700～1800W之间，它的结构主要由外壳、高级耐热晶化陶瓷板、PAN 电磁线盘、加热电路板、控制电路板、显示电路板、风扇组件及电源等组成。
电磁炉是利用电磁感应加热原理制成的电气烹饪器具。
使用时，加热线圈中通入交变电流，线圈周围便产生交变磁场，交变磁场的磁力线大部分通过金属锅体，在锅底中产生大量涡流，从而产生烹饪所需的热。
在电磁炉内部，由整流电路将50Hz的交流电压变成直流电压，再经过控制电路将直流电压转换成频率为15～40kHz 的高频电压，高速变化的电流流过扁平空心螺旋状的感应加热线圈(励磁线圈)，线圈会产生高频交变磁场。
有心力作用下物体运动的稳定性研究
有心力作用下物体运动的稳定性的研究摘要稳定是物体或系统在外干扰的作用下偏离其运动后返回该运动的性质。
若逐渐返回原运动则称此运动是稳定的，否则就是不稳定的。
通过推导有心力势场中粒子的运动轨道方程，以及利用等效势能曲线对中心力场中运动轨道的闭合性、封闭性条件以及中心力场中圆轨道运动的稳定性条件作出了定性的判断。
对于轨道的有界性、封闭性以作出定性研究，具有实际意义。
本文在此基础上进一步讨论有心力运动中的稳定性条件和封闭性条件。
通过查阅各种资料，我对宇宙多种天体的运动有了很深刻的认识。
关键词稳定性;封闭性；有心势场The study of the stability of the movement under the affectionof centripetal forceSchool of Physics and Electronic Information, Huai Bei Normal University, Anhui Huaibei, 235000 Abstract S tability is a object or system under the condition of outside interference from its campaign to return to the nature of the movement . If gradually returned to the original movement called the motion is stable, otherwise it is not stable. Motion orbit equation derived by central force of particle in potential field, and the use of equivalent potential energy curves of motion in central force field closed, closed conditions as well as the central force field in circular motion stability conditions made a qualitative judgment. The orbit of the bounded closed, in order to make a qualitative research, practical significance. In this paper, on the basis of further discussion of stability conditions of central force motion and closed condition. Through access to a variety of materials, I have a very profound understanding of the movements of celestial bodies. Keywords S tability; Closed; Centripetal force目次1 引言 (1)2 中心势场中粒子运动的轨道 (1)2.1由运动方程消去参数t导出轨道方程 (1)3 r的幂律中心势场中粒子运动轨道的闭合性 (2)3.1 和r的变化对轨道的影响 (2)4 r的幂律中心势场中粒子运动圆轨道的稳定性 (3)5 非r的幂律函数势场中粒子运动轨道的稳定性和封闭性 . 66 结论 (8)参考文献 (8)致谢 (9)1 引 言开普勒第一定律[1,2]认为行星运动的轨道是一个椭圆，同样根据牛顿万有引力和理论力学[1,2]可以得出，地日系统也是一个椭圆轨道，太阳在椭圆的一个焦点之上。
与r的一次方成正比有心力作用下质点的运动研究
（ ） ８
）的解析解为 式（ ８
／ 图 ３ 初速度 ｖ ． ４ １ ４ｍ ｓ时的ｒ， ｒ 相图 ０ ＝１
·
— ５ —
２ ０ １ ５ 年第 １ ２ 期 物理通报 大学物理教学
／ 图１ ０ 初速度 ｖ ０ｍ ｓ时的θ， θ 相图 ０ ＝１
· ·
（ ） ６
／ 图 ２ 初速度 ｖ ． ４ １ ４ｍ ｓ时的ｒ ｔ 曲线 － ０ ＝１
ｈ κ ３ ｈ ＋ ｘ － ＝０ （ ｍ ｌ ） ｌ
４ ０ ３ ０
２
２
（ ） ７
２ ２ ｍ ｌ ｈ ｈ ０ κ ３ ２ ａ＝ ４ ω ＝ ＋ ４ ｍ ｌ ｌ ｍ ｈ２ κ ０ ０ ＋３
）可化为 则式 （ ７
之一 ． 在理论 力 学 中 ， 人们研究较多的是竖直平面内 的弹簧摆运动
［ １～４］
， 对于水平面上受稳定约束的弹
实 际 上， 它 是 一 个 与 距 离ｒ 簧振子运动研究的较少 ， 的一次方成正比有心力作用下质点的运动问题 ． 截止目前 ， 人们 已 经 研 究 了 与 距 离 ｒ 的 二 次 方 成反比 、 三次方成反比 、 五次方成反比有心力作用下
· ·
若考 虑 小 球 在 （ ｌ ０）点 附 近 的 微 振 动 ， 将 ０，
ｘ） ＝ ｆ（
１ 在该 点 作 泰 勒 级 数 展 开 ， 并保留 ３ （ ｘ ＋ｌ ０）
至一阶小量 ， 可得 １ ３ ｘ） ０ ＋ｆ ′（） ０ ｘ ＝ ３ － ４ｘ ｆ（ ≈ ｆ（） ｌ ｌ ０ ０ ）代入式 （ ） ， 将式 （ 整理可得 ６ ５ ｘ ＋ 令
·
／ 图 ４ 初速度 ｖ ． ４ １ ４ｍ ｓ时的θ ｔ 曲线 － ０ ＝１
万有引力作用下质点运动问题
引言日月升落，星光闪烁，自古以来就吸引着人们探究其运行规律。
这固然是航海、农业等生活、生产的需要，却也是人类了解自身环境秩序的渴求。
今天，电子计算机和射电望远镜的使用不但使我们认识到星系的大小、结构，还为探求宇宙起源的大爆炸理论提供了证据。
人造天体的升空实现了在太阳系内的实地考察。
1990年4月由“发现者号”航天飞机送入太空的哈勃空间望远镜是探索宇宙空间的利器，它可以观测远在4000～5000万光年的造父星系，它还有能力发现遥远的非常暗、非常小的处于生长期的星系，寻找黑洞。
1994年7月17日休梅克-列维9号彗星与木星相撞，哈勃空间望远镜已送回了清晰地图像。
应该说，是牛顿的万有引力定律为我们今日对宇宙的认识开辟了道路，而万有引力定律开始形成就是植根于对宇宙中地、月、日运行的探索之中[1]。
1行星运动和开普勒定律在古代，人们对天体的运动存在着地心说和日心说两种对立的看法。
无论是地心说还是日心说，古人都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美的、最和谐的匀速圆周运动。
德国天文学家开普勒用了20年的时间研究了丹麦天文学家第谷的行星观测记录，发现如果行星的运动是匀速圆周运动，计算所得的数据与观测数据不符。
只有假设行星绕太阳运动的轨迹不是圆，而是椭圆，才能解释这种差别。
他还发现了行星运动的其他规律。
开普勒分别于1609年和1619年发表了他发现的下列规律，后人称为开普勒行星运动定律，即，开普勒三定律。
1.所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
2.对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，如图1.1。
图1.13.所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
32a T 恒量2万有引力定律开普勒定律只能说明行星运动的规律，而不能解释出现这种现象的原因。
牛顿在进一步研究的基础上，得出结论：使行星绕太阳运动的力，是源于太阳的一种吸引力，其作用线始终通过太阳。
有心力场中的运动
运动过程中,
:质点的位置始终在一个垂直于L
的平面上.即:有心力场中的运动是平面运动. 设:质点运动所在量
对应的广义动量(角动量)守恒
2.L不显含t
能量守恒
上式说明:两维(平面)运动能量等效一维运动的能量 (一维运动最简单)
说明: (1) 轨道方程:可用势能表示,也可用力表示; (2) 由比耐公式,可求运动轨道; (3) 若已知轨道,则可求作用力F. .
§1.3.3 平方反比引力
开普勒问题
重要的有心力:平方反比有心力(和 成反比的力) 例:万有引力,带异号电荷之间的库仑力 任务: 任务:研究行星的运动 近似处理:行星只受到太阳引力的作用,而忽略行星 之间的相互作用. 行星的运动是在平方反比引力作用下的运动.
但:开普勒不知道行星和太阳之间有平方反比引力. 牛顿:由开普勒三定律 万有引力定律
任务:弄清这一推证过程. 行星运动三定律 第一定律: 第一定律:行星绕太阳作椭圆运动,并以太阳为椭圆 的一个焦点; 第二定律: 第二定律:从太阳引向行星的矢径在相等时间内扫过 相等的面积;
第三定律: 第三定律:行星公转周期的平方和轨道半长轴的立方 成正比.
由于已知 将 代入比耐公式得: ,所以由比耐公式可求运动轨道.
令: 则: ——谐振动方程
其解为:
令:
,有:
又:
将r的表达式代入得到:
E<0: e<1 E=0: e=1 E>0: e>1
椭圆轨道
(束缚运动)
抛物线轨道 (无限运动) 双曲线轨道 (无限运动)
三,行星的运动
开普勒问题
运动规律
已讲:已知平方反比引力
令:
the 1 质点在有心力场中运动的一般规律第十章有心力guide download
（A）
因而可得
t=∫
r (t )
dr 2 L2 [E − V (r )] − 2 2 m m r
r ( t =0 )
原则 上从这个积分可求出 r = r (t ) . 再将 求 得 的 r 代入角动量守恒式, 可得积分 Ldt θ = ∫ 2 +C （B） mr 式中 C 为积分常数, 原则上通过积分可求得 θ 与 t 的关系: θ = θ (t ) .
(1) 由于 r 和 v 始 终在 垂 直 于角动量 LO 的平
面内, 所以质点必做平面曲线运动; (2) 从角动量 大 小 为 常 数可 得出 位矢 的 掠面 速度为常量. 用极坐标表示得 =h r 2θ h 是两倍的掠面速度.
通 常 有 重 要 意义 的有心力的大 小 都是质点 到 力心距离的函数, 故力可写成 r F = F (r ) r
第十章
有心力
万有引力, 两荷电质点间的库仑引力或斥力, 都是有心力 . 两种力与两质点间距离的关系是平 方反比关系, 是非线性的， 给求解问题带来困难. 单体问题——二体问题； 三体问题是 19 世纪 经典力学中两大难题之一 , 最终证明它的解不可 能表达为解析形式 . 实际问题大多要用计算机数 值计算解决. 在数值计算研究中, 20 世纪 80 年代 发现了圆型限制性三体问题中也有混沌现象. 经典力学理论虽很古老, 但在现代宇航中仍然 创造着令人惊叹的辉煌成就.
§10.1 质点在有心力场中运动的一般规律
一、单体问题 最 简 单最 基本 的问题是单体问题 , 即 研究一 个 质点的 运动 , 它 所受 的 作 用力的 作 用线 始 终都 通过惯 性系中一 固定 点 , 即 力心是 固定 的 . 这 种 力 ( 力 场 ) 称 为有心力 ( 有心力 场 ). 行星绕太阳运 动时受到 的万有引力 , 电 子绕原子核转动时受到 的库仑引力, 都可近似看做有心力. ——模型 二、质点在有心力场中运动具有的守恒律、 动力
质点在中心势场V(r)中的运动
质点在中心势场V(r)中的运动潘继环【摘要】讨论中心势场中有心力为引力的情况下质点的运动,对中心势场中质点的运动状况作了一般分析,给出了质点在有心力场中运动的守恒量、运动方程、轨道方程及其运动的经典特征.【期刊名称】《河池学院学报》【年(卷),期】2010(030)002【总页数】8页(P46-53)【关键词】有心力;中心势场;有心力场;质点运动【作者】潘继环【作者单位】河池学院,物理与电子工程系,广西,宜州,546300【正文语种】中文【中图分类】G427天体、人造卫星、电子的运动等,是一类广泛存在于自然界中的质点在中心势场V(r)中运动的束缚态的问题.研究质点在中心势场中的运动情况,除了促进太空安全外,也是促进先进通讯、地球资源探测和军事侦探等方面发展的一种不可或缺的工具.质点在中心势场中受到有心力的作用,所以研究质点在中心势场中的运动情况时,将用有心力场的规律分析质点的运动状况.在历史上,对有心力的研究是由天文学的行星运动问题和玻尔原子中的轨道问题引起的 .从希腊著名学者拖勒密提出的“地心说”,到波兰天文学家哥白尼提出的“日心说”,都没有非常准确地描述行星的运动问题.直到 17世纪德国天文学家开普勒利用第谷多年积累的观测资料,经过仔细分析研究,发现了行星沿椭圆轨道运行,并且提出行星运动三定律 (即开普勒定律),为牛顿发现万有引力定律打下了基础.1687年,牛顿根据开普勒定律及分析大量实验 (包括天文学方面的实验)结果的基础上,总结出一条规律:自然界中任何两个物体之间都存在着相互吸引的力,如果物体可视为质点,那么这两质点的相互吸引力F沿两质点连线的方向,与两质点的质量和的乘积成正比,同它们之间距离 r的平方成反比,即其中 G为引力常量[2].万有引力定律成功地解释了太阳系中,各行星在太阳的强大引力作用下,都是按各自的轨道和方向围绕太阳运转.将万有引力定律推广到整个宇宙,同样可以解释宇宙星系之间的相互作用及相互制约的关系.对相互作用的两个质点,如图 1所示,以一个质点的位置为原点,从原点到另一点的位置矢量为 r,沿着 r作用有力 F,F的大小是两点间距离 r的函数.把 K(r)作为位置的标量函数,有这里 r=|r|.作曲线运动的质点,所受的力指向某一点,如果是作圆周运动,则指向圆心.例如作用于天体间的万有引力,点电荷上的静电力如图 2等等,都由 (1)式表示.这样的力被称为有心力,K(r)>0时是斥力,K(r)<0时是引力.例如万有引力就是有心力.我们知道,各大行星都是绕太阳作椭圆运动的,这是因为它们之间存在着万有引力的作用.对任一行星例如 (地球)而言,它所受到的力主要是太阳对它的引力,即有心力.人造地球卫星也是这样,它所受到的力几乎仅仅是地球对它的引力,也就是受到有心力的作用.在有心力的作用下,质点始终在一平面内运动.有心力构成的力场即为有心力场.有心力场是自然界中最普遍、最重要的力场之一.2.2.1 角动量守恒由质点的角动量定理即表明,质点的角动量对时间的变化率等于质点所受的力矩,而质点对力心的位矢 r与有心力 F共线,有心力对力心的力矩M=r×F=0,所以质点在运动过程中的角动量守恒,即L=r×P=常矢量,这样质点在与常矢量L垂直的平面上运动.这是一个平面问题,为了研究的方便,我们常用坐标(r,θ)来研究它的运动.取力心为极坐标的极点,则由式中 h是常数.(9)式为角动量守恒的数学表达式,它与开普勒第二定律存在一定的联系 .[3]如图 2所示,在曲线轨道上的质点,在微小时间 dt内从点 P移到点Q,r增加了 dr成为 r+dr,角度变化为dθ;设从 P向OQ所作垂线的垂足为P′,可以认为PP′=rdθ.把dt时间内动径OP扫过的面积 ds看成ΔOPQ的面积,略去高阶小量,得从 (11)式知道,中心力场作用下,常数,它与开普勒第二定律“行星运动的面积速度是常数”是一致的,与角动量是常矢量有相同的含义.2.2.2 机械能守恒利用保守力的判据▽ ×F=0,在平面极坐标系中,其分量形式为因为所受的力为有心力,所以Fθ=0,Fr=F(r),故▽ ×F=0.可见,有心力是保守力.质点在有心力场中运动,其机械能守恒.既然有心力是保守力,那么它所做的功与其路径无关,因而它一定存在势能 V,且 F=-▽V[4].因为势能差与原点选取无关,故可写出这时势能函数V当然也是矢径 r的函数,即V=V(r).所以机械能是恒定的具体表达式是其中 E是质点的总能,它是一个常数.实际碰到的中心力场问题,常常是两体问题.由两个物体组成的孤立系统,若内力是有心力,则它们的质心将作匀速运动[5].为了简单起见,把质心取作坐标系原点如图 3所示,并设 r1和r2相应的表示质点m1和 m2相对于质心的位置矢量,用 R表示质点 1相对于质点 2的位置矢量.由在质点组中,质心 C对同一原点 O的位矢 rc满足的关系:又因为我们把质心取作坐标系原点,则rc=0.所以根据 (14)式,得质点 1相对于质心运动的微分方程为(19)式表示质点 1相对于质点 2的运动,这个方程与一个质量为μ的质点在有心力场中的运动方程完全相同.所以,两个物体相对于他们质心的有心力运动总是能够归结为一个等效的一体问题.对于两个彼此受到万有引力作用的物体来说,有这与一个质点在平方反比的有心力场下的运动方程是一样的.若把地球和月亮看作一个孤立系统,则月球的轨迹是一个椭圆,以地心为焦点;地球的轨迹也是一个椭圆,但它以月心为焦点.2.4.1 由运动方程消去参数 t导出轨道微分方程中心势场中质点的运动的基本方程为若给定一径向的力函数,从理论上讲,我们可以解 (20)式的两个微分方程,从而得到 r 和θ对 t的函数,但人们往往对空间路径 (即质点的轨道)更感兴趣.为了求得轨道方程我们引入新的变量 u,并设 r的倒数为u,即那么,由方程组 (20)的第二式,得这就是所要求的轨道微分方程,即比耐公式.当质点所受的是引力时,F为负号;当为斥力时,F为正号.该公式对质点在有心力场中运动的描述有着重要地位.2.4.2 由能量守恒和角动量守恒导出轨道方程这就是利用能量守恒和角动量守恒结合起来,作为解决有心力问题的基本方程,从而求出的含有能量 E的轨道方程.若考虑一个质点在中心势场中的经典运动.行星围绕太阳的运动就是这种运动的典型例子.2.5.1 按偏心率 e对轨道分类现在让我们利用比耐公式来求质点在与距离平方成反比的引力作用下的轨道方程. 同样令太阳的质量为M,行星的质量为m,则由万有引力定律,我们可以知道它们之间的作用力为式中 k2=GM是一个与行星无关而只与太阳质量有关的量,叫做太阳的高斯常量,r 为太阳和行星的距离.把 (27)式代入 (23)式即比耐公式中,得这个微分方程的形式与谐振动方程完全一样,所以它的解是式 (32)就是我们要求的轨道方程.把它和在极坐标的标准圆锥曲线方程(33)式轨道方程表示的是:轨道的原点在焦点上的圆锥曲线,力心位于焦点上,p为圆锥曲线正焦弦长度的一半,e为偏心率,此时θ应从是从焦点至准线所作的垂线量起.(32)、(33)两式相比较,得根据 e的数值可画出三种类型的曲线,分别如图 4、图 5和图 6所示.可见,只要知道偏心率 e的数值就能决定轨道是什么形状,而偏心率 e的数值需要根据起始条件来确定.2.5.2 按能量 E对轨道分类我们已经由能量守恒和角动量守恒推导出包含有能量 E的轨道方程以此与标准式(33)式比较,即可得出轨道的偏心率由下式给出那么,我们就得出用能量 E作为轨道类别的判据:E<0,则 e<1,轨道是闭合的 (椭圆或圆);E=0,则 e=1,轨道为抛物线;E>0,则 e>1,轨道为双曲线.中心势场的问题,实际上都遵从了共同的规律——质点在有心力场中运动的规律,这体现出理论物理思维的一个特点:用几个最基本的原理、定律去解释丰富多彩的物质运动.质点在中心势场中运动,角动量和机械能都是守恒的,其运动的轨道会因为起始条件的不同而分为三类即闭合轨道 (椭圆或圆)、抛物线轨道、双曲线轨道.中心势场中两个物体相对于他们质心的有心力运动总是能够归结为一个等效的一体问题.我们用有心力场的规律分析质点的运动状况 (如研究质点的守恒量、轨道方程以及其经典的运动特征)时,作了如下近似处理:假设太阳不动,忽略了行星之间的相互作用.这些近似处理是必要的,因为考虑了太多因素,那么问题求解很困难,有时甚至不能,作近似处理实际上抓住了主要因素忽略了次要因素.另外,近似处理所得结果必须与实验观测结果相符合,如果不符合,则要作进一步修正.【相关文献】[1]戈德斯坦.经典力学[M].汤家镛,陈为询,译.上海:科学出版社,1985:101.[2]王志刚,王耀华,王莉,等.开普勒定律的功绩[J].河北能源职业技术学院学报,2002,(1).[3]江尻有乡.力学 15讲[M].朱为群,译.广州:中山大学出版社,1993:58.[4]周衍柏.理论力学教程 [M].北京:高等教育出版社,1986:67.[5]陈家森,谭树杰,汪宗禹,等.力学[M].上海:华东师范大学出版社,1985:170.。
有心力
目录内容摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)1 引言 (2)2 质点在有心力场中的运动性质 (2)2.1 有心力的意义 (2)2.2 质点在有心力场中的运动性质 (2)3 质点在有心力场中运动的求解方法 (4)3.1 牛顿定律法 (4)3.2 比耐公式 (5)3.3 守恒定律法 (5)3.4 分析力学法 (5)4 应用举例 (7)结束语 (11)参考文献 (12)内容摘要：本题目分析了质点在有心力场中的运动性质和有心力场中质点动力学问题求解方法，并以质点在平方反比引力场中运动为例进行分析比较，以加深对有心力场的理解和对各类方法的合理应用。
关键词：有心力运动性质求解方法Abstract：The title of the particle motion in the nature of the central force field and particle dynamics in the central field problem solving methods,and the inverse square gravitational field of the particle in the case of motion were analyzed and compared in order to deepen the understanding of the central field and the rational application of various methods.Key words：Central force The nature of sports Solution1 引言质点在有心力场中的运动是自然界中的运动之一。
有心力不仅在天文学上有着非常重要的应用，而且在近代物理上也促进了一些新的发现。
对于有心力场中质点动力学问题求解方法在各类教材中介绍了一些不同的方法,其中最常用的是比耐公式法。
质点在有心力场中的运动
学特 征 为动 量矩 守 恒 为 计算 方便
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机 械 能守 恒
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