2015年湖南省中学数学教师解题比赛试题+答案(word版)

2015年湖南省中学数学教师解题比赛高中组初赛试卷(考试时间：2015年10月24日9:00-11:00)说明：1. 请用蓝色、黑色或蓝黑色钢笔或签字笔作答；2. 答案请写在本试卷相应位置，试卷范围以外作答无效；一、选择题（本大题共8小题，每题5分，满分40分）1. 如果将整数集Z 中所有被3除所得余数为()2,1,0=k k 的整数构成的集合称为一个“类”，并记为[]k ，则下列结论中错误的是 （ ） A .[]22015∈ B.[][][]210 =Z C.“整数b a ,属于同一‘类’”的充要条件是“[]0∈+b a ”D ．“整数b a ,属于同一‘类’”的充要条件是“[]0∈-b a ”解：选C （提示：对于A 选项，由于2015被3除余2，所以[]22015∈；对于B 选项，任何一个正整数被3除的余数只可能是0,1,2，所以[][][]210 =Z ；对于C 选项，因为b a ,属于同一‘类’，不妨设5,2==b a 则7=+b a ，而[][]017∉∈，所以C 错；对于D 选项，因为b a ,属于同一‘类’，可设r k b r k a +=+=213,3（其中2,1,0=r ），则[]0)(321∈-=-k k b a ）. 2. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且()cos23cos 20B A C +++=，b =那么，ABC ∆周长的最大值是 （ ）B. C. D.解：C （提示：由已知()cos23cos 20B A C +++=得01cos 3cos 22=+-B B ， 即0)1)(cos 1cos 2(=--B B ，则)(1cos 21cos 舍或==B B ，所以3π=∠B .由正弦定理得2sin sin sin ===Cc B b A a ，则)32sin(2sin 2,sin 2A C C A a -===π. 所以+=++3c b a )32sin(2sin 2A A -+π)6sin(323π++=A ）3. 若已知()θθθθn i n i ncos sin cos sin +=+,则由棣莫佛定理可知满足10241≤≤n的n 的个数为 ( )A .128B .256C .512D .1024 解：选B （提示：由棣莫佛定理可得：()nni i ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=+)2sin()2cos(cos sin θπθπθθ)2sin()2cos(θπθπn n i n n -+-=. ① 又)2sin()2cos(cos sin θπθπθθn i n n i n -+-=+ ②由①②得))(2(22Z k n k n n ∈-+=-θππθπ解得14+=k n .又因为10241≤≤n ，N n ∈, 所以432550≤≤k ，故满足条件的共有256个）.4. 已知四面体有两个面为正三角形，因而有5条棱长相等，设第6条棱的长为x ，则体积)(x V （ ）A. 是增函数但无最大值 B . 是增函数且有最大值 C . 不是增函数且无最大值 D. 不是增函数但有最大值解：D （提示：不妨设1=====AC BD CD BC AB ，设x AD =；，取BC ，AD 的中点分别为E ，F ，可知平面AED 垂直BC ；由1,2AED S AD EF EF ∆=⨯== 得三棱锥体积()11312AED V x S BC ∆=⨯⨯=由()()223111121228x x V x +-=≤⨯=，知函数()y f x =在其定义域不是增函数但有最大值18．故选D .）5. 对所有满足15n m ≤≤≤的,m n ，极坐标方程1cos +=θρρnm C 表示的不同双曲线条数为 （ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 解：选A （提示：当m n =时，11cos nm C ρθ=-表示的是抛物线.当m n ≠时，令1nm e C =>，注意到1412132355334455,,,C C C C C C C C ====，所以离心率e >1的取值共有6410=-个还不同的值.）6. 已知非零向量,满足0=⋅⎪⎫⎛+BC21=，则A B C ∆为 （ ）A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 等边三角形解：选D+ABC ∆的内心，则由0=⋅⎪⎫ ⎛BC21=,知︒=∠60A ，则ABC ∆为等边三角形 .） 7. 已知d c b a ,,,均为正数，且ba d da d c c d cb bc b a a M +++++++++++=，则M 的取值范围为 （ ）A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡234，B. ⎥⎦⎤⎝⎛341， C. ()21， D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡344053， 解：选C （提示：由1=+++++++++++++++>+++++++++++d c b a d d c b a c d c b a b d c b a a b a d d a d c c d c b b c b a a 2=+++++++<+++++++++++db dc a cd b b c a a b a d d a d c c d c b b c b a a则21<<M .）8. 华夏文化认为宇宙万事万物皆由阴阳或五行和合而成.和，指和谐、和平、详和；合，指结合、融合、合作.中华“和合”文化源远流长.作为文化重要组成部分的数学最讲“和合”.在数集的扩充的过程中，每一次扩充后同样适用于原来的数集，表现为高度“和合”的是 （ ） A. 大小关系 B. 运算法则 C. 几何意义 D.封闭性质解:选B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）9. 已知实数z y x ,,满足0111=-+z y x ，则()2222z y x z y x ++-+ 值为 . 解:填1(提示:由0111=-+zy x ，有yz xz xy += 从而()22222222222()1x y z x y z xy yz zx x y z x y z+-+++--==++++.)10. 已知三角形三边所在的直线方程是：1l ：0y =； 2l ：210x y -+=；3l ：10x y --=.过三角形三顶点、对称轴为坐标轴的抛物线方程是 . 解：填41412-=x y (提示:由题意知三角形的三顶点即为 ⎩⎨⎧=+-=0120y x y ⎩⎨⎧=--=010y x y ⎩⎨⎧=--=+-01012y x y x 三个方程组的解,所以抛物线上三点分别为)23(),01(),0,1(，，C B A -.又由抛物线关于坐标轴对称知对称轴为y 轴，故可设抛物线方程为)1)(1(-+=x x a y .把)23(，C 代入得41=a ，所以41412-=x y .) 11. 如图所示，作一个边长为1的正三角形ABC ， 且AB 与x 轴的夹角为︒5，易知0=++CA BC AB . 令x 轴上的单位向量为i ，则有()0245cos 125cos 5cos =︒+︒+︒=++⋅i .仿照以上方法,推广以上结论可得0cos cos cos 21=+⋅⋅⋅++n a a a ,若α=1a ,则=n a .解：nn πα)1(2-+(提示:做一个首尾连接而成的正n 边形，取x 轴上的单位向量为i ， 则0)(113221=+++-A A A A A A A A i n n n ,即0))1(2cos()2cos(cos =-++⋅⋅⋅+++nn n παπαα, 所以=n a nn πα)1(2-+.) 12. 已知x x x c b a =+(b c a c >>,)，以c b a ,,为边长构成一个钝角三角形，则x 的取值范围为 .解：填21<<x (提示:由题设x x x c b a =+，b c a c >>,知1)()(=+x x cbc a .由于构成钝角三角形故有0cos <C ,即02cos 222<-+=abc b a C ，即x x c b c a c b c a )()(1)()(22+=<+,由于1,1<<c bc a 因此有2<x .另一方面，由于b a c +<知x x cbc a c b c a )()(1+=>+，同理得1>x .综上x 的范围为21<<x .)13. 已知数列{}n a 是公差0>d 的等差数列，则函数∑=-=191)(i i a x x f 的最小值为 .(用含有d 的式子表示)解：填d 90(提示:易知当10a x =时∑=-=191)(i i a x x f 有最小值，191011101010910310210110min )(a a a a a a a a a a a a a a x f -+-+-+-+-+-+-=d d d d d d 90789+++++++= d 90=14. 已知+∈R ,,z y x 且满足:)1)(1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(222222222222z y x x y z z x y z y x +++=++++++++, 则xyz 的取值范围为 .解：填⎥⎥⎦⎤ ⎝⎛42,0(提示:已知原式可变形为1111222222=+++++z z y y x x ，令a x x =+221，b y y =+221，c z z =+221，则1,,0<<c b a 且1=++c b a ，求得c c z b b y a a x -=-=-=1,1,1222， 注意到abc ab ac bc b a a c c b c b a 8222))()(()1)(1)(1(=⋅⋅≥+++=---， 则81)1)(1)(1(≤---c b a abc ,即420≤<xyz .)三、解答题（本大题共4小题，每小题20分，满分80分）15. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分的茎叶图表示如下：现将用户满意度评分从低到高分为三个等级：生的概率，求事件“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”的概率． 解：记1A C 表示事件“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”；2A C 表示事件“A 地区用户满意度等级为非常满意”；1B C 表示事件“B 地区用户满意度等级为不满意”；2B C 表示事件“B 地区用户满意度等级为满意”，则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C =⋃.…………………………………………………………………（10分） 由所给数据得1212,,,A A B B C C C C 发生的概率分别为()11620A P C =，()2420A P C =，()11020B PC =，()2820B PC =，………………………………………………… ……（15分） 故()()()()()()()()221122112211A B A B A B A B A B A B C P C P C P C P C C P C C P C C C C P C P +=+==48.020420820162010=⨯+⨯=.……………………………………………………………（20分）16. 设+∈R ,,z y x ,且1=xyz .令xyz c z y x b z y x a 3,,333=++=++=.试将c b a ,,组成单调序列,并说明理由.解：可按c b a ,,组成单调递减序列.由323323323333131,333131,333131a z a z a y a y a x a x ≥++≥++≥++有323)(32az y x a a ++≥+，即z y x a ++≥323，……………………………………………………………………（10分） 则)(9)()3()()()(323232z y x z y x xyz z y x z y x z y x a ++=++≥++++=++≥从而b a ≥， ……………………………………………………………………………………………（15分） 又c xyz z y x b =≥++=33，故c b a ≥≥.…………………………………………… （20分） 17. 如图，圆O 的半径是1，点A 是圆O 外一定点，3AO =.过A 作圆O 的割线，交圆O于点B ，延长AB 到点C ，使AB BC =.过点，作//CP OB ，作以AC 为底边，一腰在直线CP 上的等腰三角形ACD ，顶点为D .（1）建立适当的直角坐标系，求顶点D 的轨迹方程；（2）若定点A 在圆O 上或圆O 内，顶点D 的轨迹是什么，并写出其方程.解: 以O 为直角坐标系的原点，AO 所在直线为x 轴，过点O 垂直AO 的直线为y 轴，建立直角坐标系.（1）因为AO 为定长，且//CP OB ，则CP 与x 轴的交点E 是定点，且22CE OB ==.2DE CD CE CD =-=-，而AD CD =，所以 2AD DE -=.因为A ，E 是两定点，所以顶点D 的轨迹是以x 轴为实轴，A ，E 为焦点的双曲线（右半支）.…………………………………………………………………………………………（5分）由前面推导知，()3,0A -，()3,0E ，设(),D x y ，0x >，则2=.化简，得()22108yx x -=>.……………………………………(10分)（2）当A 在圆上时，顶点D 的轨迹是圆O ，轨迹方程是221x y +=.当A 在圆内时，仿照（1），可证A ，E 是定点.2CE DE CD =+=，即有YXEDPCBAOYXE D P CBAO2AD DE +=.那么，顶点D 的轨迹是以x 轴为长轴，A ，E 为焦点的椭圆.………………(15分) 设(),D x y ，(),0A a ，则(),0E a -，11a -<<.2=.化简，得 22211y x a +=-，11a -<<.…………………………………………(20分)18. 采用某种洗涤设备清洗某类物品时，需要经过漂洗和甩干两道程序.洗涤过程由反复漂洗和甩干组成，每次漂洗后甩干前残留物均匀分布于水中，而每次甩干后该物品中含残留物与水分的重量和不变，均为w kg.（1）将漂洗并甩干的次数设计为2次，洗涤过程需要的总用水量为b kg ，确定2次漂洗时各自需要的用水量，使漂洗并甩干后衣物中所含残留物最少；（2）设一共需要n 次漂洗，第n 次洗涤并甩干后残留物的重量与衣物第一次开始洗涤前含残留物的重量之比为常数c ，若51≤≤n ，确定洗涤次数n 以及每次漂洗时需要的用水量，使总的用水量最少，并说明理由.解:设洗涤并甩干后，在进入漂洗阶段前，物品中所含残留物重量为0m ，每次甩干后物品剩余水分（含残留物）为w .（1）在漂洗阶段，两次漂洗并甩干后残留物重量分别为12,m m ，每次加入的清水重量分别为12,x x ，则根据题意，甩干前由于0m kg 的残留物均匀分布于1w x +的水中，因此，物品上残留的污物量1m 与残留的水量w 成正比，即有011m m w x w =+，即有101w m m x w =+，同理得到212wm m x w=+，因此有212(1)(1)m m x xw w=++，其中0m 为定值. ………………………………………(5分)因此，问题1事实上是在12x x b +=的条件下，求污物含量2m 最小的问题，利用基本不等式，当1211x x w w +=+，即122bx x ==时，2m 达到最小，故将b kg 清水平均分成两次使用可使物品上的污物最少. 7（1） 利用（1）的讨论并设第i 次漂洗并甩干后残留物的重量为i m ，加入清水重量为)1(n i x i ≤≤，则同样有)1(110wx m m c i ni n +∏===（1）. ………………………………………(10分) 对于每个给定的n ，求用水量最少的问题就转化为（1）式中乘积：c w x ni i 111=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∏=一定时求n x x x +⋅⋅⋅++21的最小值问题，该问题与求⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++w x w x w x n 111121 的最小值是等价的。