向量及其运算
向量的概念及运算
b
)
MD
1 2
(b
a
)
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
a4
a5
a3 s
a2 a1
2. 向量的减法
a
三角不等式
3. 向量与数的乘法
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
规定 :
总之:
a a
运算律 : 结合律 ( a ) ( a) a
分配律
可见 1a a
1a a ;
(a b) a b
则有单位向量 ea
“ ” 已知 b＝ a , 则
b＝0 a , b 同向 a , b 反向
a∥b
例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
试用a 与b 表示 MA, MB , MC , MD.
解: a b AC
2 MA
D
C
b a BD2 MBbM源自MA1 2(
a
b)
MB
1 2
(
b
a
)
A
a
B
MC
1 2
(
a
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a , 或 a .
向量的模 : 向量的大小,
自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 记作 e 或e . 零向量: 模为 0 的向量,
线性代数第二章2-2向量及其线性运算
代数形象：向 量 的 坐 标 表 示 式
a a1 a2
an
空
解析几何
点空间：点的集合
间
线性代数
向量空间：向量的集合
( n 3)
坐 标
几 何 形 象： 空间直线、曲线、 空间平面或曲面
系
代 数 形 象： 向量空间中的平面
( x, y, z ) ax by cz d r ( x , y, z )
解
四、向量空间 1、定义 设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足
①对加法封闭
if V , V V ; if V , R V . ②对数乘封闭 那么就称向量组Ｖ为向量空间（Vector Space）．
例1 全体ｎ维向量所组成的集合是一个向量空间, 记作 ：
第二节 向量及其线性运算
１、引入 确定小鸟的飞行状态， 需要以下若干个参数： 小鸟身体的质量ｍ 小鸟身体的仰角ψ 鸟翼的转角ψ 鸟翼的振动频率ｔ 小鸟身体的水平转角θ 小鸟重心在空间的位置参数 P ( x , y , z ) 还有… 所以，为确定小鸟的飞行状态，会产生一组有序数组 m t x y z
i 1,2,
, n
5、负向量： (a1, a2 ,
, an ), (a1, a2 , , an )
二、向量的运算 1、加法 a1
a2 an , b1 a2 b2 b2 bn ,
规定 a1 b1
an bn an bn
所以 V2不是一个向量空间.
例3
V3 x x1
有
k R,
V4 x x1
判别下列集合是否为向量空间.
向量的基本运算
向量的基本运算在数学和物理中，向量是一个具有大小和方向的量。
向量可以进行多种基本运算，如相加、相减、数乘等。
本文将详细介绍向量的基本运算及其性质。
1. 向量的表示方法向量通常用带箭头的字母表示，例如$\vec{A}$，箭头表示向量的方向。
向量也可以用坐标表示，如$\vec{A}=(x，y，z)$表示三维向量。
在向量上还有一些常用记号，例如向量的模表示向量的大小，记作$|\vec{A}|$或$||\vec{A}||$。
2. 向量的加法向量的加法是将两个向量的对应分量相加。
设有两个向量$\vec{A}=(x_1，y_1，z_1)$和$\vec{B}=(x_2，y_2，z_2)$，则它们的和为$\vec{A}+\vec{B}=(x_1+x_2，y_1+y_2，z_1+z_2)$。
向量的加法满足交换律和结合律。
3. 向量的减法向量的减法是将两个向量的对应分量相减。
设有两个向量$\vec{A}=(x_1，y_1，z_1)$和$\vec{B}=(x_2，y_2，z_2)$，则它们的差为$\vec{A}-\vec{B}=(x_1-x_2，y_1-y_2，z_1-z_2)$。
求向量的差可以看作是求向量的和再乘以$-1$。
4. 数乘运算数乘是指将向量的每个分量都乘以一个实数。
设有一个向量$\vec{A}=(x，y，z)$和一个实数$k$，则$k\vec{A}=(kx，ky，kz)$。
数乘的运算性质包括交换律和结合律。
5. 内积内积是向量的一种重要的运算，它可以用来计算两个向量之间的夹角。
设有两个向量$\vec{A}=(x_1，y_1，z_1)$和$\vec{B}=(x_2，y_2，z_2)$，它们的内积表示为$\vec{A}\cdot\vec{B}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。
内积满足交换律、结合律和分配律。
6. 外积外积是向量的另一种运算，它用于计算向量之间的垂直分量和面积。
设有两个向量$\vec{A}=(x_1，y_1，z_1)$和$\vec{B}=(x_2，y_2，z_2)$，它们的外积表示为$\vec{A}\times\vec{B}=(y_1z_2-y_2z_1，z_1x_2-z_2x_1，x_1y_2-x_2y_1)$。
10.1向量及其运算(1-30)
数乘运算的性质 :
例 设 AD , BE ,CF 是三角形 ABC 的中线 ,
求 解
AD BE CF
1 AD ( AC AB) 2
F A E
B
因为
D
C
1 BE ( BA BC ) 2 1 CF (CB CA) 2
1 AD BE CF ( AC AB BA BC CB CA) 2 1 ( AC AB AB BC BC AC ) 0 2
(5)
(b )a
a b cos (a ,ˆ b ) b cos (a ,ˆ b ) a
1 ab b a b a a a
ba (b )a
(6)
ab cos (a ,ˆ b ) ab
(5) 外积与混合积
外积: 两个向量 a 与 b 的外积 a b 是一个向量,
它的长度为
a b a b sin(a ,ˆ b )
b , a b ) 形成 右手系 . 若 a , b 中有一是零向量 , 则外积规定为
例 设 M 点是三角形 ABC 的重心 , 证明 : 对
任意一点 O , M 点相对于 O 的位置向量
1 OM (OA OB OC ) 3
F A E
O
C
B
M
D
解 由于 OM OA AM
OM OB BM OM OC CM
将三式相加得
3OM OA OB OC AM BM CM
OC OB (OA OB ) BC BA ( ) AB
向量及向量的基本运算
4.下列算式中不正确的是( (A) AB+BC+CA=0 (C) 0· AB=0
B )
(B) AB-AC=BC (D)λ(μa)=(λμ)a
5. 已知正方形 ABCD 边长为 1 ， AB=a,BC=b,AC=c, 则 a+b+c 的模等于( C ) (A)0 (B)3 (C)22 (D)2
2）向量加法 ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设 a b+ AB ，则 = BC AC = AB a, BC b 。向量加法有“三角形法则”与“平行四边 0a 0 a 形法则”。 说明：（ 1a ） ； （2）向量加法满足交换律与结合律；
【课堂小结】 1）向量的有关概念: ①向量②零向量③单位 向量④平行向量（共线向量）⑤相等向量 2）向量加法减法: 3)实数与向量的积 4)两个向量共线定理
5)两个向量共线定理 a 向量 b与非零向量 共线 实数 ，使得 b = a 。
有且只有一个
例1、判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)若 a b , 则a b (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 (5)两相等向量若共起点 ,则终点也相同 a c (6)若a ， ，则 ； b b c (7)若a // b ，b // c ，则 a // c (8) 四边形ABCD是平行四边形,则 AB CD, BC DA (9)已知A（3，7），B（5，2），将 AB按向量 a =（1，2）平移后得到的向量 AB 的坐标为 （3，－3 ） (10） a b 的充要条件是| a || b | 且 a // b ；
向量及其加减法,向量与数的乘法
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
以M1为起点，M2 为终点的有向线段.
向量的模： 向量的大小.| a| 或 | M1M2 |
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1 M 20
零向量：模长为0的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
四、小结
向量的概念（注意与标量的区别） 向量的加减法（平行四边形法则） 向量与数的乘法（注意数乘后的方向）
思考题
已知平行四边形ABCD的对角线
AC a,
BD b
10、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的
11、始 要使点，a则b终点a构 b成成__立__，__向__量_a__,_b_应__满__足_____；_____
12、_要__使__a___b___a____b_成_；立，向量a,
b 应满足_______
___________ .
二、用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平 行四边形 .
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
二、向量的加减法
[1]
加法：a
b
c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若 a‖
a b
向量及其运算
№2向量及其运算1. 向量的生成①逐个元素直接输入向量元素需要有“[ ]”括起来,元素之间可以用空格、逗号或分号分隔。
用空格和逗号分隔生成行向量，用分号分隔生成列向量。
例：a=[1 2 3 0 -4 5.1]b=[0.1;3;5;8]②利用冒号表达式生成通过设定“步长(step)”，生成一维行向量，通用格式为：x=x0:step:x n。
x0表示向量的首元素值，x n表示尾元素数值限，step表示从第个元素开始，每一个元素与前一个元素的差值. step=1时，可省略此项的输入，直接写成x=x0:x n。
例：x=0:2:10y=1:2:10z=1:5③定数线性采样生成设定总点数n下，均匀采样生成一维行向量。
通用格式为x=linspace(a,b,n)。
a，b分别是生成向量的第一个和最后一个元素，n是采样总点数。
该指令生成的数组相当于由a:(a-b)/(n-1):b生成的数组。
缺省n时，生成100维的行向量。
clear %清除工作空间中的所有变量.x=linspace(-5,5,11)y=-5:10/10:5z=linspace(-5,5)④定数对数采样生成向量设定总点数n下，经“常用对数”均匀采样生成一维行向量。
通用格式为x=logspace(a,b,n) 。
生成数组的第一个元素值为10a，最后一个元素值为10b，n为采样总点数，缺省时，生成50维的行向量。
例如：clear %清除工作空间中的所有变量.x=logspace(1,5,5)y=1:(5-1)/(5-1):5xx=10.^yz=logspace(1,5)2. 向量元素的引用格式为：向量名（下标范围或元素所满足的条件）。
例：clearrand('state',0) %把均匀分布伪随机发生器置为初始状态x=rand(1,5) %产生（1×5）的均匀分布随机数组x(3) %引用数组x的第三个元素y=x([1 2 5]) %引用数组x的第一、二、五个元素z=x(1:3) %引用数组x的前三个元素w=x(3:end) %引用数组x的从第三个元素以后的元素v=x(3:-1:1) %由数组x的前3个元素倒排构成的了数组u=x(find(x>0.5)) %数组x中大于0.5的元素构成的子数组t=x([1 2 3 4 4 3 2 1]) %重复引用数组x中的元素构成的数组3. 向量与标量、向量与向量的运算①四则运算（＋－ * / \ .* ./ .\）标量a与向量x进行四则运算是a分别与x中的每个元素进行四则运算并生一个与x 等长的向量。
向量及其运算
以a、b的坐标表示式代入, 即得 x=2(2, 1, 2)-3(-1, 1, -2) =(7, -1, 10), y=3(2, 1, 2)-5(-1, 1, -2) =(11, -2, 16).
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四、利用坐标作向量的线性运算
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•向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个
向量平行. 向量a与b平行, 记作a//b. 零向量认为是与任何向量都平行.
•共线向量与共面向量
a//b//c
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它们的终点和公
共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
(2) 数 轴 的 的 正 向 通 常 符 合 右手规则.
原点
y轴 x轴
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•坐标面 在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平
面, 这种平面称为坐标面. 三个坐标面分别称为xOy 面, yOz面和zOx面.
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•坐标面
在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平 面, 这种平面称为坐标面.
❖空间直角坐标系
在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k, 就 确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴, 依次记为x轴(横 轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴), 统称为坐标轴. 它们构成一个空 间直角坐标系, 称为Oxyz坐标系.
z轴
说明：
(1)通常把x轴和y轴配置在水 平面上, 而z轴则是铅垂线;
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三个坐标面分别称为xOy 面, yOz面和zOx面.
•卦限 坐标面把空间分成八个部分, 每 一部分叫做卦限, 分别用字母I、II、 III、IV等表示.
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向量的坐标分解式
任给向量 r, 对应有点 M, 使 OM = r . 以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体, 有
r = OM = OP+ PN+ NM = OP+ OQ+ OR ,
•
•
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四、利用坐标作向量的线性运算
设a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz), 则
ab=(axbx, ayby, azbz), a=(ax, ay, az).
提示： a=axi+ay j+azk, b=bxi+by j+bzk, a+b =(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k,
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2.向量与数的乘法 向量a与实数的乘积记作a, 规定a是一个向量, 它的模 |a|=|||a|, 它的方向当>0时与a相同, 当<0时与a相反. 当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
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•向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反 , 就称这两个 向量平行. 向量a与b平行, 记作a//b. 零向量认为是与任何向量都平行. •共线向量与共面向量 当两个平行向量的起点放在同一点时 , 它们的终点和公 共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
•向量与数的乘积的运算规律 (1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a; (a+b)=a+b. •向量的单位化 a 设a0, 则向量 是与a同方向的单位向量, 记为ea. |a | 于是a=|a|ea.
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例1 例 1 在平行四边形 ABCD 中, 设 AB = a , AD = b . 试用
点 M 、向量 r 与三个有序 x 、 y 、 z 之间有一一对应的关系
M r = OM = xi + yj + zk (x, y, z) . •有序数x、y、z称为向量r的坐标, 记作r=(x, y, z);
•有序数x、y、z也称为点M的坐标, 记为M(x, y, z).
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一、向量概念
向量 既有大小, 又有方向的量叫做向量. 向量的表示法
•向量用一条有方向的线段(称为有向线段)表示.
→ •以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作AB. •向量可用粗体字母、 或加箭头的书写体字母表示.
例如, a、r、v、F 或 a 、 r 、 v 、 F .
OM - OA = (OB- OM ) , 1 OM = (OA+ OB) 从而 1+ x1 + x2 x1 + x2 x1 + x2 =( , , ), 1+ 1+ 1+ 这就是点M的坐标.
因此
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五、向量的模、方向角、投影
对于轴上任一点 P, 必有唯一的实数 x, 使 OP =xi, 并且 并且轴上的点P与实数x有一一对应的关系: 点P实数x. 实数x称为轴上点P的坐标.
定理证明 首页 上页 返回 下页 结束 铃
三、空间直角坐标系
空间直角坐标系 在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k, 就 确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴, 依次记为x轴(横 轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴), 统称为坐标轴. 它们构成一个空 间直角坐标系, 称为Oxyz坐标系. z轴 说明： (1)通常把x轴和y轴配置在水 平面上, 而z轴则是铅垂线; (2) 数轴的的正向通常符合 右手规则.
a 和 b 表示向量 MA 、 MB 、 MC 、 MD , 其中 M 是平行四边 形对角线的交点.
解 由于平行四边形的对角线互相平分, 所以 于是
a + b =AC = 2AM = -2 MA , MA= - 1 (a + b) ; 2 MC = - MA= 1 (a + b) . 2
5x - 3 y = a 例 2 例 2 求解以向量为未知元的线性方程组 , 3x - 2 y = b 其中a=(2, 1, 2), b=(-1, 1, -2).
解 如同解二元一次线性方程组, 可得
x=2a-3b, y=3a-5b.
以a、b的坐标表示式代入, 即得 x=2(2, 1, 2)-3(-1, 1, -2) =(7, -1, 10), y=3(2, 1, 2)-5(-1, 1, -2) =(11, -2, 16).
•向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、 a 、 AB 的模分别记为|a|、 | a | 、 |AB | . •单位向量 模等于1的向量叫做单位向量. •零向量
模等于 0 的向量叫做零向量, 记作 0 或 0 . 零向量的起点与终点重合, 它的方向可以看作是任意的.
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设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同一点时, 如果k 个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
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二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a的终点重合, 则从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和, 记作a+b, 即c=a+b.
向量的坐标分解式 任给向量r, 存在点M及xi、yj、zk, 使
则 r = OM = xi + yj + zk . •上式称为向量r的坐标分解式. • xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量.
•有序数x、y、z称为向量r的坐标, 记作r=(x, y, z); •有序数x、y、z也称为点M的坐标, 记为M(x, y, z). •向量 r = OM称为点M关于原点O的向 径.
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四、利用坐标作向量的线性运算
设a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz), 则
ab=(axbx, ayby, azbz), a=(ax, ay, az).
平行四边形法则
三角形法则
利用坐标判断两个向量的平行 设a=(ax, ay, az)0, b=(bx, by, bz), 因为 b//a b=a, 即 b//a (bx, by, bz)=(ax, ay, az ), 所以 b//a bx = by = bz . ax ay az
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坐标轴上及坐标面上点的特征 • 坐标面上和坐标轴上的点, 其坐标各有一定的特征. 例如: 点M在yOz面上, 则x=0; 点M在zOx面上的点, y=0; 点M在xOy面上的点, z=0. 点M在x轴上, 则y=z=0; 点M在y轴上,有z=x=0; 点M在z轴上的点, 有x=y=0. 点M为原点, 则x=y=z=0.
1.向量的模与两点间的距离公式
设向量 r=(x, y, z), 作 OM = r , 则
r = OM = OP+ OQ+ OR , 按勾股定理可得
| r |=|OM |= |OP |2 + |OQ |2 + |OR |2 ,
由 OP = xi , OQ = yj , OR = zk , 有 |OP|=|x|, |OQ|=|y|, |OR|=|z|, 于是得向量模的坐标表示式
§7.1 向量及其运算
一、向量概念
二、向量的线性运算
三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向解、投影
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一、向量概念
向量 既有大小, 又有方向的量叫做向量. 向量的表示法
•向量用一条有方向的线段(称为有向线段)表示. 有向线段的长度表示方向的大小 , 有向线段的方向表示 向量的方向.
•自由向量 与起点无关的向量 , 称为自由向量 , 简称向量.
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•向量的相等 如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 则说向量a和b是 相等的, 记为a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合.
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•向量的相等 如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 则说向量a和b是 相等的, 记为a=b.
>>>
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2.向量与数的乘法 向量a与实数的乘积记作a, 规定a是一个向量, 它的模 |a|=|||a|, 它的方向当>0时与a相同, 当<0时与a相反. 当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
AB = OB- OA =(x2, y2, z2)-(x1, y1, z1) =(x2-x1, y2-y1, z2-z1),
因为 - a + b = BD = 2 MD ,