向量及其代数运算
线性代数第二章2-2向量及其线性运算
代数形象：向 量 的 坐 标 表 示 式
a a1 a2
an
空
解析几何
点空间：点的集合
间
线性代数
向量空间：向量的集合
( n 3)
坐 标
几 何 形 象： 空间直线、曲线、 空间平面或曲面
系
代 数 形 象： 向量空间中的平面
( x, y, z ) ax by cz d r ( x , y, z )
解
四、向量空间 1、定义 设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足
①对加法封闭
if V , V V ; if V , R V . ②对数乘封闭 那么就称向量组Ｖ为向量空间（Vector Space）．
例1 全体ｎ维向量所组成的集合是一个向量空间, 记作 ：
第二节 向量及其线性运算
１、引入 确定小鸟的飞行状态， 需要以下若干个参数： 小鸟身体的质量ｍ 小鸟身体的仰角ψ 鸟翼的转角ψ 鸟翼的振动频率ｔ 小鸟身体的水平转角θ 小鸟重心在空间的位置参数 P ( x , y , z ) 还有… 所以，为确定小鸟的飞行状态，会产生一组有序数组 m t x y z
i 1,2,
, n
5、负向量： (a1, a2 ,
, an ), (a1, a2 , , an )
二、向量的运算 1、加法 a1
a2 an , b1 a2 b2 b2 bn ,
规定 a1 b1
an bn an bn
所以 V2不是一个向量空间.
例3
V3 x x1
有
k R,
V4 x x1
判别下列集合是否为向量空间.
深入理解向量代数中的向量运算法则
深入理解向量代数中的向量运算法则向量代数是数学中的一个重要分支，它主要研究向量的性质、运算法则以及在几何和物理等领域中的应用。
深入理解向量代数中的向量运算法则对于解决实际问题、推导物理定律以及进行科学研究都具有重要意义。
本文将从向量的基本概念开始，逐步介绍向量的运算法则，包括向量的加法、减法、数量乘法以及向量的点积和叉积。
一、向量的基本概念在向量代数中，向量是由大小和方向共同确定的几何量。
通常用有向线段来表示，线段的长度表示向量的大小，而线段的方向表示向量的方向。
向量一般用小写字母加箭头表示，如$\vec{a}$、$\vec{b}$等。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律，即$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$和$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。
向量的加法可以通过平行四边形法则进行图形化表示，即将两个向量的起点放在一起，然后将它们的箭头相连，新向量的起点为原向量的起点，箭头为原向量的箭头。
三、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
向量的减法可以通过将减去的向量取反，再进行向量的加法来实现，即$\vec{a} - \vec{b} =\vec{a} + (-\vec{b})$。
向量的减法也可以通过平行四边形法则进行图形化表示，即将减去的向量取反，然后进行向量的加法。
四、向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。
数量乘法可以改变向量的大小和方向，当实数为正数时，向量的方向不变；当实数为负数时，向量的方向相反。
数量乘法也满足分配律，即$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} +l\vec{a}$和$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。
线性代数向量的定义及运算
例： (1,2,3,, n)
(1 2i ,2 3i ,, n ( n 1)i )
n维实向量 n维复向量
第2个分量 第1个分量 n维向量的实际意义： 例：n-1次代数多项式
第n个分量
f (t ) a1 a2t ant n1 (a1 , a2 ,, an ) 系数向量
所有可能的线性组合构成的集合称为由 1 , 2 ,, p 张成（生成）的 R n 的子集，记为 span 1 , 2 , , p , 即
span 1 , 2 , , p k11 k2 k p p | k1 , k2 ,..., k p R.
α1
例4.1.2 向量 1 和 2 的几个线性组合：
1 1 31 2 , 1 1 0 2 , 0 01 02 . 2 2
例4.1.4 证明：任意n维向量 k1, k2 ,, kn 是向量组 e1 1,0,,0 , e2 0,1,,0 ,, en 0,0,,1 的线性组合. 证明：由向量的线性运算，得
第四章 向量空间
§4.1 向量的定义及运算
平面上的向量的全体：
R x, y | x, y R.
2
2 2
任意
x1, y1 R , x2 , y2 R , k R,
规定加法和数乘为：
x1 , y1 x2 , y2 x1 x2 , y1 y2 R 2 , k k x1 , y1 kx1 , ky1 R 2 .
将2、3维向量推广到n维向量.
定义4.1.1 由n个数构成的有序数组，记作 (a1 , a2 ,..., an ) a1 称为n维行向量；若记作
向量的运算的所有公式高中
向量的运算的所有公式高中向量是线性代数中非常重要的概念之一，向量的运算是线性代数中的重要内容。
向量的运算主要包括向量的加法、减法、数量积、向量积等。
本文将详细介绍向量的运算的所有公式。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的运算。
向量的加法满足交换律和结合律。
1. 两向量相加的定义：设向量a和向量b的起点相同，分别为点O，终点分别为点P和点Q，则向量a和向量b的和向量c为：c=a+b，其起点为点O，终点为点R，R为向量a和向量b的终点所在的点。
2. 向量的加法满足交换律和结合律：交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新向量的运算。
向量的减法也满足交换律和结合律。
1. 两向量相减的定义：设向量a和向量b的起点相同，分别为点O，终点分别为点P和点Q，则向量a和向量b的差向量c为：c=a-b，其起点为点O，终点为点R，R为向量a和向量-b的终点所在的点。
2. 向量的减法满足交换律和结合律：交换律：a-b=-(b-a)结合律：(a-b)+c=a-(b-c)三、数量积数量积又称为点积或内积，是两个向量的乘积的数量。
数量积的结果是一个标量（即实数），数量积满足交换律和分配律。
1. 两向量的数量积的定义：设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a和向量b的数量积为：a·b=|a|·|b|·cosθ。
其中，|a|和|b|分别为向量a和向量b的模，θ为向量a和向量b的夹角。
2. 数量积满足交换律和分配律：交换律：a·b=b·a分配律：(k·a)·b=k·(a·b)四、向量积向量积又称为叉积或外积，是两个向量的乘积的向量。
向量积的结果是一个垂直于原来的两个向量的向量，其大小等于原来两个向量围成的平行四边形的面积。
向量积满足反交换律和分配律。
向量代数的基本概念及运算法则
向量代数的基本概念及运算法则向量代数是数学的一个重要分支,它研究向量空间及其运算。
向量代数为我们认识和描述三维空间中的物理现象提供了有效的工具,广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等诸多领域。
下面将详细介绍向量代数的基本概念及其主要运算法则。
向量的概念与表示向量是一个有大小和方向的量,用于描述物体在空间中的位置和运动。
一般用粗体字母如a、b、c等表示向量,也可用箭头符号表示,如a⃗、b⃗、c⃗。
向量的大小称为模或长度,用"|a|"或"‖a‖"表示。
向量的方向用单位向量e⃗表示,其模等于1。
向量的加法和标量乘法向量的加法遵循平行四边形法则:将两个向量的尾端对齐,然后以它们的头端为顶点作平行四边形,对角线就是它们的和向量。
标量乘法是将一个向量乘以一个标量(实数),结果仍是一个向量,其大小发生改变,方向可能发生改变。
向量的点积和叉积两个向量的点积定义为两个向量对应分量的乘积之和,用"·"表示,如a·b = ax*bx + ay*by + az*bz。
点积反映了两个向量之间的夹角余弦。
两个向量的叉积定义为以这两个向量为邻边的平行四边形的有向面积,用"×"表示,如a×b = (ay*bz - az*by, az*bx - ax*bz, ax*by - ay*bx)。
叉积结果仍是一个向量,垂直于这两个向量。
向量的应用向量代数在物理学中有广泛应用,如描述位移、速度、加速度、力、电磁场等,以及计算功、功率、动量、角动量等量。
在计算几何和计算机图形学中,向量也是一种基本的数据结构,用于表示位置、方向、法线等。
向量还广泛应用于复杂系统的建模和仿真,如流体力学、气动学等。
总之,向量代数是一种强大的数学工具,为我们研究和理解自然界提供了有力支撑。
《高等数学》各章知识点总结——第6章
《高等数学》各章知识点总结——第6章第6章《向量代数与空间解析几何》是高等数学中的重点章节之一，主要讲述了向量及其运算、空间直线与平面方程、空间曲线及其切线等内容。
以下是该章节的知识点总结：一、向量及其运算1.向量的定义：具有大小和方向的量，用有向线段表示。
2.向量的运算：(1)向量的加法：满足交换律和结合律。
(2)向量的数乘：向量乘以一个实数。
(3)向量的数量积：等于两个向量的模的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
(4)向量的向量积：等于两个向量模的乘积与它们夹角的正弦的乘积。
(5)向量的混合积：等于三个向量的向量积与第三个向量的数量积。
二、空间直线及其方程1.空间直线的定义：两点确定一条直线。
2.空间直线的方程：(1) 参数方程：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct(2)对称方程：(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c(3)一般方程：Ax+By+Cz+D=0三、空间平面及其方程1.空间平面的定义：三点共面确定一个平面。
2.空间平面的方程：(1)一般方程：Ax+By+Cz+D=0(2)点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0(3)法线方程：(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n四、空间曲线及其切线1.切线的定义：曲线上特定点的切线是通过该点且与曲线相切的直线。
2.参数方程表示的曲线的切线方程：(1)曲线上一点的切线方程：x=x0+h,y=y0+k,z=z0+l(2)曲线的切线方程：(x-x0)/h=(y-y0)/k=(z-z0)/l以上是《高等数学》第6章《向量代数与空间解析几何》的主要知识点总结。
通过学习这些知识点，我们可以了解并掌握向量的定义和运算、空间直线和平面的方程、曲线的切线方程等内容，为后续的学习打下坚实的基础。
向量运算加减乘除
向量运算加减乘除向量运算是线性代数中的重要内容之一，它包括加法、减法、乘法和除法。
本文将对向量运算的四种基本操作进行介绍，以帮助读者更好地理解和应用向量运算。
一、加法运算：向量的加法是指将两个向量相应位置的元素分别相加得到一个新的向量。
假设有两个向量 A 和 B，它们的维度相同，即都有 n 个分量。
向量加法的运算规则如下：A = (a1, a2, ..., an)B = (b1, b2, ..., bn)A +B = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)例如，给定向量 A = (2, 3, 4) 和向量 B = (1, -1, 2)，则它们的和为 A + B = (2+1, 3+(-1), 4+2) = (3, 2, 6)。
二、减法运算：向量的减法是指将一个向量的每个分量减去另一个向量相应位置的分量，得到一个新的向量。
向量减法的运算规则如下：A = (a1, a2, ..., an)B = (b1, b2, ..., bn)A -B = (a1 - b1, a2 - b2, ..., an - bn)例如，给定向量 A = (2, 3, 4) 和向量 B = (1, -1, 2)，则它们的差为 A - B = (2-1, 3-(-1), 4-2) = (1, 4, 2)。
三、乘法运算：向量的乘法包括数量乘法和点乘法。
数量乘法是指将一个向量的每个分量与一个标量相乘得到一个新的向量。
假设有一个向量 A 和一个标量 k，数量乘法的运算规则如下：A = (a1, a2, ..., an)k为标量kA = (ka1, ka2, ..., kan)例如，给定向量 A = (1, 2, 3) 和标量 k = 2，则 kA = (2*1, 2*2, 2*3) = (2, 4, 6)。
点乘法是指将两个向量对应位置的元素相乘，并将结果相加得到一个标量。
假设有两个向量A 和B，它们的维度相同，即都有n 个分量。
向量代数的基本公式
向量代数的基本公式向量代数是数学中的一个分支，主要研究在向量空间中向量的代数运算及其相关性质。
向量代数中包括很多基本公式，这些公式不仅是向量代数研究中的重要内容，也是我们日常生活中常常用到的数学工具。
在这篇文章中，我们将介绍向量代数中的一些基本公式及其重要性。
1. 向量加法的基本公式向量加法是向量代数中最基本的运算之一，它表达了两个向量相加的结果。
对于任意两个向量a和b，它们的和向量c可以表示为：c = a + b该公式意味着，当我们把向量a和向量b相加时，向量c的大小和方向取决于a和b的大小和方向。
这个公式在计算中非常实用，因为在求解向量问题时，通常需要将多个向量相加或相减。
2. 向量数量积的基本公式向量数量积指的是两个向量的标量积，也称为点积。
对于向量a和向量b，它们的数量积可以表示为：a·b = |a||b|cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示它们之间的夹角，cosθ表示它们之间的夹角的余弦值。
该公式的意义在于，它为我们提供了两个向量之间的度量方法。
例如，我们可以使用该公式计算两个向量之间的夹角，也可以计算出它们之间的投影等。
3. 向量矢量积的基本公式向量矢量积指的是两个向量的向量积，也称为叉积。
对于向量a和向量b，它们的向量积可以表示为：a×b = |a||b|sinθn其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示它们之间的夹角，n表示一个垂直于a和b所在平面的单位向量，sinθ表示它们之间夹角的正弦值。
该公式的重要性在于它可以用于计算平面区域、体积和方向向量等问题。
例如，在计算三角形面积时，我们可以利用向量积的大小。
此外，在物理学、工程学等领域中，向量积的应用也非常广泛。
4. 向量三角函数的基本公式向量三角函数指的是向量和角度之间的关系。
与传统的三角函数类似，向量三角函数包括正弦、余弦、正切等。
对于向量a和向量b，它们的三角函数可以表示为：sinθ = |a×b|/|a||b| cosθ = a·b/|a||b| tanθ = |a×b|/a·b其中，sinθ表示向量a和b的夹角的正弦值，cosθ表示它们之间的夹角的余弦值，tanθ表示它们之间的夹角的正切值。
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(4) 2 12 (7 z ) 2
解得
2 ( 2 z ) 3 5
2
2
故所求点为 M (0 , 0 , 14 ) .
9
思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
提示:
(1) 设动点为 M ( x , y , 0) , 利用 M A M B , 得 且 (2) 设动点为 M ( x , y , z ) , 利用 M A M B , 得
s a1 a2 a3 a4 a5 a4 a3 a5
s
a2 a1
2. 向量的减法
a
三角不等式
3. 向量与数的乘法 规定 :
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
可见 总之: a a 1 a a ; 运算律 : 结合律 ( a ) ( a ) a 1 a a ;
第八章
空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数
第二部分
空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念
第八章
二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系
四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
记作－a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称
两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
例4. 已知两点
解: A B
和
求
AB
AB 3 1 2 , , 14 14 14
1 (3 ,1, 2) 14
2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量 记作 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 , , 为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦. x x cos 2 2 2 r x y z 任取空间一点 O , 称 =∠AOB (0≤ ≤ ) 为向量
N
2 2 2
o
P x
r OM
对两点 与 因
x y z
得两点间的距离公式:
( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2
例3. 在 z 轴上求与两点
离的点 .
及
等距
解: 设该点为 M (0 , 0 , z ) , 因为 M A M B ,
AM MB AM OM OA MB OB OM
OM O A ( OB OM )
得
即
o
A
B M
OM 1 ( OA OB 1 1 (x x , y y , z z ) 2 1 2 1 2 1 1
1 (x x , y y , z z ) 2 1 2 1 2 1 1 A 得定比分点公式: M x1 x2 y1 y2 , , B 1 1 z1 z 2 o 1 A 当 1 时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
平行向量对应坐标成比例:
四、利用坐标作向量的线性运算
当 a 0 时,
bx a x by a y
bx b y bz ax a y az
bz a z
例2. 已知两点 在AB直线上求一点 M , 使
及实数 1, 如图所示
解: 设 M 的坐标为
A M B
a b AC b a BD
MC 1 (a b) 2
2 MA 2 MB
MD 1 (b a ) 2
D
b
C
1 (b a ) A MB MA 1 ( a b ) 2 2
M
a
B
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系.
|mn 3 | m n 11
n
m
该平行四边形的对角线的长度各为 3, 11
的模 、方向余弦和方向角 .
解:
M 1M 2 ( 1 2 , 3 2 , 0 2 )
(1, 1, 2 )
(1) 2 12 ( 2 ) 2 2
1 cos , 2 2 , 3
2 cos 2 3 4
3
,
例6. 设点 A 位于第一卦限, 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹
的夹角. a ,b
z
o
r
x
y
x x cos r x2 y2 z 2 y y cos r x2 y2 z 2 z z cos r x2 y2 z 2
方向余弦的性质:
z
o
r
x
y
例5. 已知两点
和
计算向量
2 1 , ) 2 2
(3 , 3 2 , 3)
故点 A 的坐标为 (3 , 3 2 , 3) .
1. 设 m 3 i 5 j 8 k , n 2 i 4 j 7 k , p 5 i j 4 k , 求向量 a 4 m 3 n p 在 x 轴上的投影及在 y
轴上的分向量. 解: 因
练习题
故在 x 轴上的投影为 a x 13
在 y 轴上的分向量为 a y j 7 j
2. 设 m i j , n 2 j k , 求以向量 m , n 为边的平 行四边形的对角线的长度 .
解： 对角线的长为
|mn|
m n ( 1, 1,1) m n (1, 3 , 1)
的坐标为 M ( x , y , z ) , 则
在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
OM ON NM OA OB OC
r x i y j z k (x , y , z )
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
C M r k j B o y i A N x
z
沿三个坐标轴方向的分向量.
设 a ( a x , a y , a z ), b (bx , b y , bz ) , 为实数 ， 则 a b (a x bx , a y by , a z bz ) ( a , a , a ) a x y z
二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
(a b) c a (b c)
c
bc b
b ab
三角形法则:
a
ab b
ab
a
运算规律 : 交换律
ab ba 结合律 ( a b ) c a ( b c ) a b c
a
三角形法则可推广到多个向量相加 .
R(0,0, z )
1 1
1 1
z
B(0, y, z )
C ( x, o, z )
o
r
M
Q(0, y,0)
y
x P( x,0,0)
A( x, y,0)
z
坐标轴 :
o
y
x
坐标面 :
2. 向量的坐标表示
以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量 , 设点 M
b
故 b a.
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ( ) a 0
故 则 b＝ 0 a , b 同向
a ∥b
a , b 反向
例1. 设 M 为 解: ABCD 对角线的交点,
试用 a 与 b 表示 MA , MB , MC , MD .
中点公式:
说明: 由
x1 x2 , 2
y1 y2 , 2
z1 z 2 2
B M
五、向量的模、方向角、投影
则有 设 r ( x , y , z ), 作 OM r , r OM OP OQ OR
由勾股定理得 1. 向量的模与两点间的距离公式
R
z
M Q y
一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
向量的模 : 向量的大小,
向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
M1 M2
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
(a b ) a b 1 a . 因此 a a a 则有单位向量 a a
分配律
定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b 证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝± ( 为唯一实数)
, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
, 角依次为 , 3 4 且 O A 6 , 求点 A 的坐标 .
, , 则 解: 已知 3 4 cos 2 1 cos 2 cos 2 1 4 , 于是 因点 A 在第一卦限 , 故 cos 1 2