大学物理矢量代数
矢量代数的基本知识
r x i yj zk x x x(t t ) x(t ), y y(t t ) y(t ) z z(t t ) z(t )
强调：位移的大小只能写成：| r | 或 r 。
2 2 2 | r | ( x ) ( y ) ( z ) 位移的大小：
8
二、参照系和坐标 • 物质的运动具有绝对性 • 描述物质运动具有相对性 参考系： 为描述物体的运动而选取的参考物体。 参照系可以根据对象的不同或问题的需要来选择。 注意：参照系不一定是静止的。
坐标系： 用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统。
坐标系是固定在参照系上的，物体相对于坐标系 的运动就是相对于参照系的运动。坐标系实际上是参 照系的数学抽象。
9
运动学
（龚炎芳编）
10
一、质点运动的描述
1.位置矢量 描写质点空间位置的物理量。
在直角坐标系中，可以从原点 O向质点P所在位置画 一矢量 r 来表示质点位置。 z P( x, y, z ) r 称为位置矢量，简称位矢。 位矢可表示为：
r xi yj zk
o
12
在运动方程中，消去t即得轨迹方程：f(x,y，z)=0。
2.位移
描写质点位置变化的物理量。
z
P(x, y, z)
AB位移： Δr r (t Δt) r (t)
大小为PQ的距离,方向从P指向Q。 在直角坐标系中：
o
r (t )
r
Q
r ( t t )
y
矢量代数的基本知识
1
一、标量和矢量
标量只有大小， 例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。
矢量既有大小又有方向，并有一定的运算规则，
矢量代数基础
A×B B×A = － A×B
• 约束矢量对点的矩
• 作用于点P的定位矢量A对空间任意固定 点O之矩定义为
MO (A) = r×A
式中r为矢量A的作用点P相对于定点O的 矢径。
MO(A) = r×A P
r
Q
• 注意到当矢量A沿其作用线PQ滑动时，并不 影响矩MO (A)的大小和方向，故上述定义对 滑动矢量同样是有效的。
A = A (A / A) = AeA
式中eA为A方向的单位矢量：eA = A / A .
3. 矢量的分解
• 平面矢量的分解
设 A1 和 A2 是 平 面 内 任 意 两 个 线 性 无 关 （不共线）的矢量，则平面上任意矢量
可表示为：
B =λ1 A1 +λ2 A2
By
B
正交分解 B = Bx + By 式中 Bx⊥By
(d) 25 i－15j－10k.
• 上述答案未经核算，仅供参考。
※
A⊥B
A·B = 0
矢量在某轴上的投影
设轴N上的单位矢量为en，则矢量A在轴N 上的投影为
An = A·en =︱A︱cos (A,en) 注意矢量在轴上的投影An是一个代数量， 正负号取决于A与en之间的夹角。
A eB
B
θ AB= A · eB
矢量A在轴 B上的投影:
AB= A · eB
任意两个矢量A 与B之间的夹角:
• 模等于1的矢量 称为单位矢量。
矢量在图中的表示
F2
a
O
F1
r
F3
A
VA
自由矢量与约束矢量
• 上述定义的矢量有时也称为自由矢量， 物理学中应用的某些矢量有时还具有一 些附加的特征，有的教材称这类矢量为 约束矢量，包括定位矢量和滑动矢量。
大学物理矢量运算公式(一)2024
大学物理矢量运算公式（一）引言概述:
大学物理中，矢量运算是一门重要的基础课程。
矢量运算公式是在处理矢量量的运算过程中所使用的关键工具。
本文将介绍大学物理矢量运算公式的一些基本概念和常见公式，以帮助读者更好地理解和应用矢量运算。
正文内容:
一、矢量的表示和性质
1. 矢量的定义和表示方法
2. 矢量的加法和减法运算
3. 矢量的数量积和矢量积定义及其性质
4. 矢量的分解和合成
5. 矢量的单位化和模长计算
二、矢量的坐标表示
1. 直角坐标系和矢量的坐标表示
2. 极坐标系和矢量的坐标表示
3. 球坐标系和矢量的坐标表示
三、矢量的运算公式
1. 矢量的加法和减法公式
2. 矢量的数量积公式和性质
3. 矢量的矢量积公式和性质
4. 矢量的混合积公式和性质
5. 矢量的分解和合成公式
四、应用举例
1. 矢量运算在力学中的应用
2. 矢量运算在电磁学中的应用
3. 矢量运算在波动学中的应用
4. 矢量运算在光学中的应用
5. 矢量运算在热学中的应用
五、矢量运算的常见错误和注意事项
1. 矢量运算中常见的错误类型
2. 矢量运算中需要注意的细节
3. 矢量运算的常见问题及解答
4. 矢量运算的常见应用技巧
5. 矢量运算的进一步深入学习建议
总结:
本文概述了大学物理矢量运算公式的基本概念和常见公式，包括矢量的表示和性质、矢量的坐标表示、矢量的运算公式、应用举例以及矢量运算的常见错误和注意事项。
矢量运算公式在物理学中有着广泛的应用，通过学习和掌握这些公式，读者可以更好地理解和应用矢量运算。
对于进一步深入学习，本文还提出了建议。
矢量代数简介
长度)的有向线段
矢量代数简介
二 矢量的加法和减法
1 加法:满足平行四边形法则
B
C
A
B
C A B
C
R
A
B
D
A
C
R A B C D
三角形法则
多边形法则
矢量代数简介
B Bxi By j Bz k
Cx Ax Bx
Cy Ay By
Cz Az Bz
矢量代数简介
矢量 A 和 B 的差是 D ,同理有
Dx Ax Bx
Dy Ay By
Dz Az Bz
式中, Dx , Dy , Dz是 D 在 ox, oy和oz轴上的分量.
A B B A (1) 服从交换律,即 (2) 服从分配律,即 A ( B C) A B A C
矢量代数简介
3 直角坐标系中的分量形式
A Axi Ay j Az k
B Bxi By j Bz k
2 减法(略)
A B A (B)
y
三 矢量合成的解析法
A Axi Ay j Az k
A A A A
2 x 2 y 2 z
Ay
A
Ax cos A Az cos A
cos
Ay A
Az
k
o
j
*
x
ห้องสมุดไป่ตู้
i
z
Ax
矢量代数简介
大学物理矢量代数
大学物理矢量代数在大学物理的学习中，矢量代数是一个非常重要的基础知识领域。
它不仅在理论物理中有着广泛的应用，还在工程技术、计算机科学等众多领域发挥着关键作用。
首先，让我们来明确一下什么是矢量。
矢量是一种既有大小又有方向的量。
与只有大小的标量不同，矢量的方向对于其描述和运算有着至关重要的影响。
比如，力、速度、位移等都是常见的矢量。
在大学物理中，矢量的表示方法有多种。
常见的是用箭头来直观地表示矢量的方向，箭头的长度表示矢量的大小。
同时，也可以用坐标分量的形式来表示矢量。
矢量的运算包括加法、减法、乘法等。
矢量的加法遵循平行四边形法则或者三角形法则。
假设我们有两个矢量 A 和 B，要将它们相加，我们可以以 A 和 B 为邻边作平行四边形，其对角线就是 A ＋ B 的结果；或者将 B 的起点移动到 A 的终点，从 A 的起点到 B 的终点的矢量就是A ＋ B。
矢量的减法可以看作是加上一个相反的矢量。
例如，A B 就等于 A ＋（B)。
而矢量的乘法有两种，一种是点乘（也称为数量积或内积），另一种是叉乘（也称为矢量积或外积）。
点乘的结果是一个标量。
其定义为 A·B ＝｜A| ｜B| cosθ，其中θ是 A 和 B 之间的夹角。
点乘在计算功、计算矢量在某一方向上的投影等方面有着广泛的应用。
叉乘的结果是一个矢量。
其大小为｜A×B| ＝｜A| ｜B| sinθ，方向遵循右手定则。
在计算磁场对电流的作用力、计算角动量等方面，叉乘发挥着重要作用。
在解决物理问题时，熟练运用矢量代数可以使问题变得清晰和简洁。
例如，在研究物体的运动时，速度和加速度都是矢量。
如果只考虑大小而忽略方向，就无法准确描述物体的运动状态。
再比如，在电场和磁场的研究中，电场强度和磁感应强度都是矢量。
通过矢量的运算，可以得到电场力和洛伦兹力等重要的物理量。
学习矢量代数需要我们具备较强的空间想象力和逻辑思维能力。
通过大量的练习和实际应用，我们能够更好地掌握这一工具。
大学物理：矢量 (VECTOR)
设
A
2a
3b ,
B
3a
b,
a
2,
b
1
解.
(a,b)
,
求A B,
3
Pr
jA B,
A B (2a 3b) (3a b)
Pr
jB A .
6
a
2
7a
b
3
b
2
28
2 A
A
A
37,
2 B
BB
31,
Pr
jA B
A B
A
28 , 37
Pr
jB A
A B
两矢量A和B的矢量差C可看成为矢量A和矢量(-B)的矢量和
B -B
A
或者直接三角形减法
B A
C
B C
A
物理教研室，药大
2.3 多个矢量的加法
n
F F1 F2 Fn Fi
i 1
逐个矢量相加，可以采用多边形法则
A2
A4 An-1
A1
A3
An
O
2.4矢量加法的性质：
交换律(commutative
3) 两个矢量的夹角
cos A B
AB
4) 性质：
交换律(commutative law): 分配律(distributive law): 结合律(associative law):
AB B A ( A B) C AC B C ( A B) A (B), 为实数
物理教研室，药大
例3.
矢量和标量乘 矢量和矢量乘
结果是一个矢量。大小、方向？ 结果是一个标量。大小？ 结果是一个矢量。大小、方向？
物理教研室，药大
矢量代数的基本知识
M1
数量积的坐标表达式
A Ax i Ay j Az k ,
B B x i B y j Bz k A B ( Ax i Ay j Az k ) ( B x i B y j Bz k ) Ax Bx Ay B y Az Bz
7
矢量的加法满足下面的运算规律：
A Ax i Ay j Az k B B x i B y j Bz k A B C C xi C y j Czk A B ( Ax B x )i ( Ay B y ) j ( Az Bz )k
矢量加法在直角坐标系中的正交分解式
C x Ax B x C y A y B y C z Az Bz
2、矢量的减法运算 矢量的减法运算是加法运算的逆运算，实际上与加 法运算是一回事。 8
矢量的乘法运算 3、数量乘矢量： 实数与矢量a的乘积是一个矢量，记 做 a ,它的
矢量积的坐标表达式
k
j
i
23
a b ( a x i a y j a z k ) ( bx i by j bz k ) k a x bx (i i ) a x b y ( i j ) a x bz ( i k ) j k a y b x ( j i ) a y b y ( j j ) a y bz ( j k ) i a z bx (k i ) a z b y (k j ) a z bz ( k k )
a
a
4
1 ei e j ij
矢量代数的基本知识
含平行四边形法则和三角形法则平行四边形法则 三角形法则B AC ρρρ+= 加法满足：交换律：A B B A +=+结合律：C B A C B A ++=++)()( 零矢量的定义：A A =+0 2. 矢量的数乘⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧<>==反向与同向与方向大小A C A C A C C A 0 0 λλλλ 结合律：A A ) () ( μλμλ= 分配律：B A B A )( λλλ+=+0)1(=⨯-+=-A A A A3. 矢量的分解在一个平面内，若存在两个不共线的矢量1e 和2e ，则平面内的任一矢量可以分解为：2211e A e A A +=。
（1）正交分解：选择21e e ⊥（2）三维空间中应有3个不共面的矢量 4. 矢量的标积（点积、内积）（1）定义 cos θAB B A S =⋅=；其中θ 为A 与B 的夹角。
如果B 为单位矢量，则B A ⋅为矢量A 在B 方向上的投影（分量）。
（2）性质举例说明交换律：A B B A ⋅=⋅分配律：C B A C B A ⋅+⋅=+⋅A ) (βαβα02≥=⋅A A A若0=⋅B A ，则可能是0=A 或0=B或B A ⊥。
5. 矢量的矢积（叉积、外积） （1）定义：C B A =⨯大小：)0( sin πθθ<<=⨯=AB B A C ，平行四边形的面积。
方向：A 至B 右手螺旋方向。
（2）性质) () ()( 0)( B A C C A B C B A A A C A B A C B A AB B A ⋅-⋅=⨯⨯=⨯⨯+⨯=+⨯⨯-=⨯βαβαρρρρ6. 矢量的混合积C A B A C B B A C C B A •⨯-=⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯) () () () （几何意义：以A 、B 和C 为棱边的平行六面体的体积。
7. 注意*矢量的非法运算包括：ΛD e C B A,,ln ,1*矢量与标量不能相等！*书写时别忘记加上矢量号（帽子）。
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Ax dAx , Ay dAy ,
Az dAz
A Axi Ay j Azk
8
矢量代数基本知识
1
矢量代数的基本知识
标量：只有大小， 例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。
矢量：既有大小又有方向，并有一定的运算规则，
例如：位移、速度、加速
z
度、角速度、电场强度等。
1、矢量的两种表示方式： 几何表示
A
o
y
——有指向的线段。
x
2
解析表示（直角坐标系）
A Axi Ay j Azk
Байду номын сангаас
AB
结论：两个矢量叉乘得到
B
的结果仍然是一个矢量。
注意 A B B A
A
7
（4）矢量的求导
dA dt
d dt
( Axi
Ay
j
Azk )
d dt
( Axi )
d dt
( Ay
j)
d dt
( Azk )
dAx
i
dAy
j
dAz
k
dt dt dt
（5）矢量的积分
先对矢量的各分量分别进行积分，再 对得到的各分量值进行矢量合成。
那么 A B (Axi Ay j Azk ) (Bxi By j Bzk )
Ax Bx Ay By Az Bz
请问： A dA与 AdA是否相等 ?
6
矢量的叉乘
A
是
B |
A与
A
B
|| B | sin
的夹角，
是一个单位矢量。
并且的跟方矢向量：垂A 直、B于形由成A右、手B 螺所旋构关成系的：平面，
i,
j, k表示沿x,y,z
轴的单位矢量。
矢量的模
A | A | Ax2 Ay2 Az2
矢量方向
可由矢量与三个坐标 轴的夹角的余弦表示。
z
Az A
Axo
Ay
y
x
3
设矢量与x,y,z三轴的夹角为、、。有：
cos Ax ,
A
cos Ay ,
A
cos Az
A
z
此三个角满足关系： cos2 cos2 cos2 1
矢量的减法运算是加法运算的逆运算， 实际上与加法运算是一回事。
5
（3）矢量的乘法运算 矢量的点乘
A B | A || B | cos
是 A与B 的夹角。
结论：两个矢量点乘的结果得到的是 标量，它只有大小，没有方向。
如果 A Axi Ay j Azk ,
B Bxi By j Bzk
2、矢量的运算法则：
（1）矢量的加法运算
B
平行四边形法则 或三角形法则。
Az A
Axo
Ay
y
x
C
A
C
B
A
4
如果
A Axi Ay j Azk , B Bxi By j Bzk
那么
A B (Ax Bx )i (Ay By ) j (Az Bz )k
（2）矢量的减法运算