从分数到分式- (课件)

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第一课时从分数到分式

A 3、若A、B都是整式，则一定是分式。（） × B
4、已知，当x=5时，分式 2 x k 的值等于零， 3x 2 则k =-10
作业: 当 x 取什么值时，下列分式有意义？
8 (1) x 1
x (2) 2 x 9
若使分式的值为零，需满足两个条件： ①分子值等于零；
| x | 1 当 x 为何值时，分式的值为零． x 1
x （2）当x 时，分式有意义； x 1 分母 x－1≠0 即 x≠1
（3）当b
1 时，分式有意义； 5 3 b 5
3
分母 5－3b≠0 即 b≠
（4）当x、y 满足关系
分母 x－y≠0 即 x≠y
x y 时，分式有意义。 x y
x 2、式子中，因含有字母 x ，所以它是分式。（×） 3
60 x6
来表示。
(2) n公顷麦田共收小麦m吨,
m 平均每公顷产量可以用式子 n 吨来表示.
类比分数、分式的概念及表达形式:
被除数÷除数=商数如: 3 ÷ 5 = 3 5 整数整数分数被除式÷除式=商式类比如: (v-v0) ÷ t =
v-v0 t
整式(A) 整式(B) 分式( A ) B
单项式和多项式统称整式 3、整式的概念：
单项式
整式
多项式
回顾与思考
1、下列两个整数相除如何表示成分数的形式： 3÷4= 3 , 4
10 10 ÷ 3= 3 ,
2、整式的除法也可以类似地表示。试用类似分数的形式表示下列整式的除法：
⑴ 90÷x 可以用式子
60÷(x-6)可以用式子
90 x
来表示。
注意：分式的分母中含有字母是分式的一大特点.

八年级-人教版-数学-上册-第1课时-从分数到分式

x 的值为正；
x－1
当分子x＜0，分母x－1＜0，即x＜0时，
x x－1
的值为正．
例3
（1）当 x 取何值时，分式
x x－1
的值为正？
（2）当
b
取何值时，分式
b 5－3b
的值为负？
解：（2）当分子b＞0，分母5－3b＜0，即b＞ 5 时，
3
b 5－3b
的值为负；
当分子b＜0时，分母5－3b＞0 ，即b＜0时，
使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？
答：∵分式的分母表示除数， ∴分母不能为0，即B不能为0， ∴当 B≠0 时，分式 A 才有意义．
B
例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
（1）
2 3x
；
（2）
x x－1
；
解：（1）要使分式
2 3x
பைடு நூலகம்
有意义，则分母 3x≠0
，
即 x≠0；
（2）要使分式
x1
解：由分子x2－1＝0，得x＝1或x＝－1，当x＝1时，分母x－1＝1－1＝0；当x＝－1时，分母x－1＝－1－1＝－2；故当x＝－1时，原分式的值为0．
例3
（1）当 x 取何值时，分式
x x－1
的值为正？
（2）当
b
取何值时，分式
b 5－3b
的值为负？
解：（1）当分子 x＞0，分母 x－1＞0，即x＞1时，
第1课时从分数到分式
1．一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行 90 km 所用时间，与以最大航速逆流航行 60 km 所用时间相等，江水的流速为多少？
问题1 顺流航行的速度、逆流航行的速度与轮船在静水中的速度、水流速度之间有什么关系？

八年级上册数学课件：从分数到分式

思考: 1、分式概念的形成过程，体现了什么数学思想方法？（如分类、整体、类比、数形结合等思想）
2、分式与整式的区别是什么？分母中必须含有字母
知识讲解
下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
根据分式的概念,试着写出一个具有实际背景意义的分式.
知识讲解
二、分式有意义的条件
5 x 3
注意：分式中字母的取值不能使分母为零．因为当分母的值为零时，分式就没有意义．
新课导入
问题二：奥帆中心规定，学生单价为60元/人，成人单价为70元/人。我们
共有a位学生，b位教师，买门票需要多少元？平均每张门票多少元？
问题三：按照奥帆中心规定，m个人享受团购价，交了600元门票钱，那么
平均每个人多少元？
知识讲解
一、分式的概念
把除式 A÷B 写成的形式，其中 A，B 都是整式，且 B 中含有字母，我们把代数式叫做分式.
第十五章分式
第十五章分式
15.1.1 从分数到分式
学习目标
1 了解分式的概念，能区别分式与分数的相同与区别之处.（重点）
2 能确定分式有，无意义的条件，能确定分式为零的条件 .（重、难点）
新课导入
问题一：周末，部分老师和学生去青岛
奥帆中心研学，早上7点乘车从学校出发，9点到达目的地，行程 145千米，那么汽车的平均速度约为多少千米/小时？
知识讲解
a 1
2a a 1
2a
4a3 3-2 a
2
a 1
知识讲解
三、分式值为0的条件
问题1：通过上面的学习知道分式的分母不能为0，那分子能为 0吗？
问题2: 在分母不为0的前提下，分子为0，分式的值将怎样？
知识讲解

15.1.1从分数到分式课件2024-2025学年八年级上学期数学人教版

x 3
x3
的值是零.
提升：当求使分式值为零的字母的取值时，我们可以先求满足分子的值为零
时字母的值，再代入分母，检验是否为零，舍掉使分母为零的值；也可以直
接利用分子的值为零、分母的值不为零这两个条件共同确定字母的取值.
x 1
的值为1，求x的值.
3x 2
x 1
（2）若分式 3 x 2 的值为正数，求x的取值范围.
2

思考1：分式概念中的关键词是什么？
2.当x取何值时，下列分式有意义？
5
x
（1）；（2）
；
2x
x 4
2x
x2
（3） 2 ；（4）
.
x +1
x 31 x
思考2：分式有意义、无意义的条件是什么？
3.当x取何值时，下列分式的值为零？
x +3
（1）
;
2x 7
x 2
（2）
x4
x 5x 6
x3
3.求当x取何值时，分式
的值：
x5
（1）为正数；
（2）为负数
4.当x为何值时，分式
x 3
的值是非负数？
x2 1
6
5.若整数m满足
为正整数，求整数m的值.
1+m
1
6.如果对于任何实数x，分式 x 2 2 x c 总有意义. 求c的取值范围.
x
7.若对于任意数x，分式 2
都有意义. 求m的取值范围.
x +m
(2) 5a 5b3c 15a 4b ;
(3) 12a 3 6a 2 3a 3a .
除法分为单项式除单项式；多项式除单项式的形式，整式除法的计算

《从分数到分式》优课一等奖课件

应用迁移，巩固提高：
例1、填空：
2
（1）当x 0 时，分式 3x 有意义；
（2）当x
1
时，分式
x 有意义；
x 1
（3）当b 5 时，分式（4）当x 3y时，分式
1 有意义； 5 3b 有意义。
x y x y
例2. 当m为何值时，下列分式的值为0.
(1)、 m m 1
(2)、m 2
m3
课堂跟踪反馈：
1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？
9x+4,
7, x
9 y, 20
m
5
4
,
8y y2
3
,
1 x9
2. 当x取何值时，下列分式有意义？
(1)、 3 x2
(2)、 x 5
3 2x
(3)ห้องสมุดไป่ตู้2
x
x
2
5 4
3
x≠-2
x≠ 2
x ≠±2
3. 当x为何值时，下列分式的值为0？
(1)、x 7
2、当分式的分母为零时，分式无意义。
3、当分式的分母不等于零时，分式有意义。
4、当分式的分子是零而分母不等于零时，分式的值等于零。
课后反思: 今天学会了什么？
5x
(2)、 7x
21 3x
(3)、xx22
1 x
(1)解:当分式值为零时 x+2=0且5x≠0. 所以x=-7
(2)解:当分式值为零时7x=0 且21-3x ≠0.所以x=0
(3)解:当分式值为零时x2-1=0 且x2-x ≠0，所以x=-1
归纳小结:
A
1、一般地，形如 B 的式子叫做分式，其中A和B均为整式，B中含有字母。分式的分子和分母都是整式，分子可以含有字母，也可以不含有字母，而分母中必须含有字母，这是分式与整式的根本区别。

从分数到分式课件(共27张PPT)

（B ）
A.xx2+11
x1 B. x2
x2 1 C.x2 1
D.
x2 x1
4.已知，当x=5时，分式 2x k 的值等于零， 3x 2
则k =-10 .
侵权必究
当堂练习
列式表示下列各量：
(1)某村有n个人，耕地40 hm2，则人均耕地面积
40
为 n hm2.
(2)△ABC的面积为S，BC边的长为a, 则高AD为
侵结
侵权必究
讲授新课
知识点 1 分式的定义
填空：
10
（1）长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，则宽为__7__
S
cm;长方形的面积为S，长为a，则宽为 a .
（2）把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱
200
形容器中，则水面高度为__3_3_ cm；把体积为V的
问题引导
已知分式
x2 4 x2
,
(1) 当 x=3 时，分式的值是多少?
当 x=3 时，分式值为 32 4 1 32
(2) 当x=-2时，你能算出来吗?
一般到特殊思想类比思想
不行，当x=-2时，分式分母为0，没有意义.
(3)当x为何值时，分式有意义？
即当x___≠_-2__时，分式有意义.
侵权必究
2S
__a___.
(3)一辆汽车b h行驶了 a km,则它的平均速度为
a
__b___km/h;
一列火车
行驶a
km比这辆汽车
a
少用1 h，则它的平均速度为__b__1 km/h.
（来自教材）
侵权必究
当堂练习
能力提升题
5.在分式

人教版(五四制)初中数学八年级上册-22.1 从分数到分式课件

即：当
x≠-
1 4
时，
分式
x 1 4x 1有意义。
小小心得：
使分式有意义的条件：分母≠ 0
变式练习：若把题目改为“当 x 取什么值时，上面分式无意义呢？ ”
2、当x取什么值时，下列分式有意义？
(1)
x2
x
4
(2) 2x | x | 3
x (3) x2 1
如无特别声明，本章出现的分式
都有意义。
如果设江水的流速为v千米/时。
= 最大航速顺流航行 90km所用时间
最大航速逆流航行 60km所用的时间
90
30 v
60 30 v
从分数到分式
学习目标
1、了解分式的概念，能用分式表示实际问题中的数量关系；
2、能确定分式有意义的条件； 3、体会“类比”思想在本节课中
的运用。
导学提纲
请同学们认真自学课本P127－P128练习以上的内容，并完成下列问题。 1、独立完成P127中的两个思考，理解什么叫分式，
3、当 x 取什么值时，下列分式的值为零 :
(1)
x2 2x 5
,
(2)
解⑴：由分子x+2=0，得
| x | 2 . 2x 4
x=-2。
而当 x=-2时，分母 2x－5=-4－５≠0。
所以当x=-2时，分式 x 2 的值是零。
解⑵
：
2x 5 由分子|x|－2=0，得 x=±2。
当x=2时，分母 2x+4=4+4=0。
渔船在静水中的最大航速为30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km 所用时间相等，江水的流速为

从分数到分式

时，分式 x 有意义；
x－1
分母 x－1≠0 即 x≠1
（3）当b
时，分式
1 5－3b
有意义；
分母 5－3b≠0 即 b≠
5 3
（4）当x、y 满足关系
时，分式
x＋y x－y
有意义。
分母 x－y≠0 即 x≠y
思考
2、当分式等于0时，分子和分母应满足什么条件？
∵分式的分母不能为0
∴只有分式的分子为0时，分式才能为0
1
3
2
51 分式
从分数到分式
知家出品
（1）长方形的面积为10cm2 ，长为7cm，宽应
为
cm；长方形的面积为S，长为a，宽为。
（2）把体积为200cm3的水倒入底面积为33cm2 的圆柱形容器
中，水面高度为
cm；把体积为V的水倒入底面积为
S的圆柱形容器中，水面高度为
。
10
2x＋a
零；当 x＝﹣2 时，分式没有意义.求 a＋b
解：∵ x＝2 时，分式的值为零 ∴ x－b=0, ∴ 2－b=0， ∴ b=2
又∵ x＝﹣2 时，分式没有意义 ∴ 2x＋a＝0 ∴ a=4 ∴ a＋b＝6
小结
1、认识了分式 2、分式有意义的条件 3、分式值为0的条件
B 中含有字母，那么式子 A 就叫做分式。
B
是分数形式
A，B 都是整式
分母中含有字母
判断下列各式中那些是分式？
2
300
2
b－s
3000－a
7
V
S
2x2＋ 1
S
32
5
4 5b＋c
－5
5x－7
x2－xy＋y2 2x－1

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2.下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？两
类式子的区别是什么？
1 ，x ， 4 x 3 3b2
, 2a 53
5 ,m m

n n
,3 4
x

y ,2x π
y
.
解：分式：1 ， 4 , m n
x 3b2 5 m n
整式：x ，2a 5 , 3 x y , 2x y
x-y 0 ，即 x y ．
1.列式表示下列各量.
（1）某村有n个人，耕地40公顷，人均耕地面积
为 40
n
公顷.
（2）△ABC的面积为S，BC边长为a，高AD长为
2S
a.
（3）一辆汽车行驶a千米用b小时，它的平均车速
为少用ba1小千时米，/小它时的；平一均列车火速车为行b驶a- a1千千米米比/小这时辆.汽车
3x
x 1
5 3b
x y
解：（1）要使分式
2 3x
有意义，则分母
3x

0，
即 x 0；
解：（2）要使分式
x
x
有意义，则分母 1
x-1 0，即 x 1 ；
（3）要使分式
5
1
3b
有意义，则分母
5-3b 0，即b 5 ；
3 （4）要使分式
x x

y 有意义，则分母 y
一、分式的概念
问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/ h，它沿江以最大航速顺流航行90 km所用时间与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？
（1）顺流航行的速度、逆流航行的速度与轮船在静水中的速度、水流速度之间有什么关系？
顺流航行的速度=轮船在静水中的速度+水流速度；逆流航行的速度=轮船在静水中的速度-水流速度．
中含有字母，那么式子 A 叫做分式（fraction）.
分式
A B
B 中，A 叫做分子，B
叫做分母.
你追我赶
下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？
x 2
1x
；x - 1 ；
5
y
；
x
1 -
y
3
；π
3
；x
-1
整式：2x
，x
5
y
，3
π
；
分式： x
1 -
1
，
x
1 -
y
，3
x
-
1
.
二、分式有意义或无意义、分式值为零的条件
V
容器中，水面高度为 S .
追问1
上面问题中得到的式子 10 ，S ，200 ，V
7 a 33 S
哪些不是我们学过的整式？
追问2
式子 90 ， 60 ，S ，V 与以前学
30 v 30 v a S
过的整式不同，这些代数式有什么共同的特征？
分式的定义：
一般地，如果A，B 表示两个整式，并且B
第十五章分式
15.1 分式
15.1.1 从分数到分式
人教版八年级上册
5÷3可以写成分数 53，那么x÷y可以写成这样的形式吗？如果你认为行，那么这个式子是我
们以前学习的整式吗？那它是什么式子呢？通
过今天的学习，我们会进一步认识它.
一、教学目标（一）知识与技能
理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围或字母之间的相互关系. （二）过程与方法】
B
B
A 叫做分子，B 叫做分母.
二.分式有意义或无意义、分式值为零的条件
当B≠0时，分式
A B
有意义；当B=0，分式
A B
无意义；
当B≠0且A=0时，分式 A 的值为零.
B
1.从教材“习题15.1”中选取. 2.完成练习册中本课时的练习.
（2）这个问题的等量关系是什么？顺流航行90 km所用时间=逆流航行60 km所用时间．
（3）应怎样设未知数？如何根据等量关系列出方程？
解：设江水的流速为v km/h. 依题意得： 90 60 . 30 v 30 v
思考式子 90 ， 60 与分数有什么相同 30 v 30 v
点和不同点？它们与你学过的整式有什么不同？
（4）填空：
（1）长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，宽应
10
为 7 cm；长方形的面积为S，长为a，宽ห้องสมุดไป่ตู้
S
应为 a cm.
（2）把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2
200
的圆柱形容器中，水面高度为 33 cm；
把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形
334
π
两类式子的区别在于整式的分母中不含字母，
而分式的分母中含有字母.
3.当x取什么值时，下列分式有意义？
(1) 1 ;(2) 1 ;(3) x 5 ;(4) 1 ;(5) x .
3x
3 x 3x 5
x2 16
x 3
解：(1) x ≠ 0 ;
(2) x ≠ 3 ;
(3) x 5 ;
3
(4) x为全体实数;
(5) x ≠± 3 .
4.当x取何值时，分式
x2 2x x2 4
有意义？x 取何
值时，分式的值为0？
解：x 2 时，分式有意义；
x 0 时，分式的值为0.
一.分式的概念
一般地，如果A，B 表示两个整式，并且B 中含有
字母，那么式子 A 叫做分式（fraction）.分式 A 中，
问题5 我们知道，要使分数有意义，分数
中的分母不能为0．要使分式有意义，分式中的
分母应满足什么条件？为什么？
当B≠0时，分式
A B
有意义，当B=0，分式
A
A B
无
意义；当B≠0且A=0时，分式 B 的值为零.
例下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
（1 ）2 ；（2） x ；（3） 1 ；（4）x y ．
在经历探索、思考、类比的过程中，体会分式的意义，感受分式是刻画现实问题中数量关系的一种模型. （三）情感态度
进一步增强从特殊到一般的认知过程，发展学生的数学思维能力. 二、教学重点理解分式的意义，掌握使分式有意义时分母中字母的取值范围的判别方法. 三、教学难点在分式有意义的条件下，分式值为0的字母的取值情况.