组合数学_C2_4_sequences
组合数学——组合数问题（四类汇总）
组合数学——组合数问题（四类汇总）组合数问题⼀：给定n解决⽅法：杨辉三⾓ 因为a,b范围⾮常⼩，直接利⽤杨辉三⾓打表即可。
代码实现：#include <cstdio>#include <algorithm>#include <iostream>using namespace std;const int N = 2010, mod = 1e9+7;int s[N][N];void start(){s[0][0]=1;for(int i=1;i<=N-5;i++)for(int j=1;j<=i;j++)s[i][j]=(s[i-1][j]+s[i-1][j-1])%mod;}int main(){start();int n;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);printf("%d\n",s[a+1][b+1]);}return0;}组合数问题⼆给定n 模板题链接：问题特点：数据组数较多，a,b范围较⼤，且要求对⼀个定值取模。
解决⽅法：乘法逆元 利⽤乘法逆元将a/b mod p转化成a*b-1 mod p。
然后将阶乘与阶乘的逆元分别打表即可。
递推式：① n! = (n-1)! * n② n!-1 = (n-1)!-1 * n p-2②的证明： (n-1)!-1 = (n-1)!p-2 (n-1)!p-2 * n p-2 = n!p-2代码实现：#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;typedef long long ll;const int N = 100000+10, mod = 1e9 + 7;int jc[N],ny[N];int qmi(int a,int k,int p){int res=1%p;while(k){if(k&1)res=(ll)res*a%p;a=(ll)a*a%p;k>>=1;}return res;}void start(){jc[0]=1;ny[0]=1;for(int i=1;i<=N-5;i++){jc[i]=(ll)jc[i-1]*i%mod;ny[i]=(ll)ny[i-1]*qmi(i,mod-2,mod)%mod;}}int main(){start();int n;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);int ans=(ll)jc[a]*ny[b]%mod*ny[a-b]%mod;printf("%d\n",ans%mod);}return0;}组合数问题三给定 模板题链接：问题特点：数据组数较少，a,b范围很⼤，p的值⾮定值。
【高中数学】组合数课件 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
43
∙
33
34
3
，所以4，
= 3
3
同样地，求“从n个不同元素中取出m个元素的排列数A mn ”，可以看作
由以下两个步骤得到：
第1步，从n个不同元素中取出m个元素，共有 C m
种不同的取法；
n
m
A
第2步，将取出的m个元素作全排列，共有 m 种不同的排法.
abc bac cab acb
bca cba
abd
abd bad dab adb
bda dba
acd
acd cad dac adc
cda dca
bcd
bcd cbd dbc bdc
cdb dcb
系了吗？
探究新知
组合
排列
abc
abc bac cab acb bca cba
abd
abd bad dab adb bda dba
3 21 21
8 7 6
5 4
3
2
(4) 3C8 2C5 3
2
168 20 148 .
3 21
21
2
6
课本P25
m 1 m 1
2. 求证：C
C n 1 .
n1
m
n
m 1 m 1 m 1
( n 1)!
m 1
( n 1) n !
解：（1）C42 = 6；（2）C43 = 4；（3）C53 = 10；
（4）C54 = 5；（5）C64 = 15
追问：观察练习1的计算结果，你有什么发现和猜想？能否证明
和解释你的猜想？
C42 + C43 = C53
组合数学简介
映射的个数
n元集上的幂等映射的个数 n元集上的部分映射的个数
n
C
k n
k
n
k
k 1
n
Cnk nk (1 n)n
k 0
例题
• 问题一：对三角形的三个顶点u,v,w染以红、蓝两 种颜色，求不同的染色方案数。
• 问题二：求集合{u,v,w}到集合{r,b}的映射的数目。
例题
• 问题1：求n元集合上有多少个不同的自反关系？
组合数学 Combinatorics
教材
课程安排
• 组合数学简介 • 排列组合公式 • 母函数 • 递推关系 • 容斥原理 • 抽屉原理 • Polya计数
组合数学简介
• 组合数学也称为组合分析或组合学，按研究的对象 归于离散数学家族。
• 早在中国古代的洛书、河图中就有组合数学的思想。 • 组合数学的历史渊源扎根于数学娱乐和游戏中。 • 现代组合数学在纯粹和应用科学上都有重要的价值。 • 组合数学与抽象代数、拓扑学、数学基础、图论、
• 主要内容：把有限集合的元素按一定的规则进行安排。 • 这种安排被考究地称为组态（Configuration）。
解决的问题
• 组态的存在性 • 组态的枚举、分类和计数 • 组态的构造 • 组态的优化
幻方
• 幻方是最古老最流行的一个数学游戏之一。 • 在中世纪时期曾存在与幻方相关的玄想，人们将
幻方佩戴身上辟邪。 • 本杰明·富兰克林就是一个幻方迷，他的论文中包
有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在ห้องสมุดไป่ตู้n类 办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不 同方法。
c++ 二维四节点四边形等参元刚度矩阵
C++ 二维四节点四边形等参元刚度矩阵在计算机辅助工程领域，C++语言被广泛应用于有限元分析（FEA）和计算力学等方面。
而在有限元分析中，等参元（Isoparametric Element）是一种常用的元素类型，用于对复杂的结构和材料进行建模和分析。
本文将围绕C++语言下的二维四节点四边形等参元刚度矩阵展开讨论。
1. 了解四节点四边形等参元在开始讨论C++下的四节点四边形等参元刚度矩阵之前，首先应该对四节点四边形等参元有所了解。
四节点四边形等参元是指在二维空间中，以四个节点构成的四边形元素，同时该元素的几何形状和内部分布的自由度均由相同的形函数进行描述的元素。
在有限元分析中，等参元的应用可以大大简化模型建立的复杂度，并提高计算的精度。
2. 实现C++中的四节点四边形等参元在C++语言中，实现四节点四边形等参元需要考虑节点的坐标、材料属性、边界条件等因素，并结合有限元理论中的导出公式进行编码。
通过C++语言的面向对象特性，可以将节点、单元、材料等抽象为对象，以便更好地管理和组织相关数据和函数。
3. 深入分析四节点四边形等参元的刚度矩阵四节点四边形等参元的刚度矩阵是描述该元素对外加载的响应性能，是有限元分析中至关重要的一部分。
通过推导理论公式，并结合C++语言进行具体实现，我们可以得到该元素的刚度矩阵。
在这一过程中，需要考虑矩阵装配的方法、高效的数据结构、数值计算的稳定性等因素。
4. 个人观点和总结通过对C++下的二维四节点四边形等参元刚度矩阵的探讨，我深刻地意识到了有限元分析与计算力学领域的复杂性和重要性。
C++语言作为一种高效、灵活的编程语言，为工程领域的数值计算提供了强大的支持。
对于工程师和研究人员来说，深入理解和掌握有限元分析的原理和实现方法，将有助于提升对复杂结构和材料行为的认识和预测能力。
对于C++语言下的四节点四边形等参元刚度矩阵，需要我们不仅要掌握有限元分析的理论知识，还需要熟练掌握C++语言的编程技巧和工程应用。
组合数学之排列组合生成算法
思路类似数的10进制、 进制和p 思路类似数的10进制、2进制和p进制 进制 表示. 表示.
n = ∑ak 10 , 0 ≤ak ≤ 9;
k k =0
m−1
n = ∑ak 2 , 0 ≤ak ≤ 1;
k k=0
m−1
n = ∑ak p , 0 ≤ak ≤ p − 1.
k k =0
5
m−1
这相当于自然数与某种序列之间建立 了一一对应关系. 了一一对应关系. 可以利用置换来表示整数: 可以利用置换来表示整数: n!=n(n- =(n-1+1)(nn!=n(n-1)! =(n-1+1)(n-1)! = (n-1) (n-1)!+(n-1)! (n- (n-1)!+(n(n-1)!= (n-2) (n-2)!+(n-2)! (n(n- (n-2)!+(nn!= (n-1) (n-1)!+ (n-2) (n-2)! (n- (n(n- (n+ (n-3) (n-3)!+ …+2•2!+1•1!+1 (n- (n•2!+1
21
n=4: 1234, 1243, 1423, 4123 1234 124 14 4132, 1432, 1342, 1324 14 134 1324 3124, 3142, 3412, 4312 124 314 34 4321, 3421, 3241, 3214 34 324 3214 2314, 2341, 2431, 4231 234 24 4213, 2413, 2143, 2134 24 214 2134
2
一. 排列生成算法
排列生成有几种典型算法, 排列生成有几种典型算法, 这些算法 都很有成效. 都很有成效. 它们在实际中具有广泛 应用价值. 应用价值. 序数法 字典序法 邻位互换法(Johnson邻位互换法(Johnson-Trotter) 轮转法
组合数学
範 例
2013/7/14
組合數學
17
坑 洞 原 理
請注意，坑洞原理很自然地可以延伸成： 「如果有 r 根蘿蔔放入 r 個坑洞裡，那麼 一個坑洞放一根蘿蔔若且唯若每一個坑 洞都有放蘿蔔。」
2013/7/14
組合數學
18
範 例
2013/7/14
組合數學
19
排 列 與 組 合
這個結果可以解釋成 0 個物件的有序排列方式 只有一種－空集合。
P(n,1) n! n (n 1)!
這個公式反映了事實－從 n 個物件中選出一個 物件做排列有 n 種排列方式。
P(n, n)選出 n 個物件做排 列有 n! 種排列方式。
C(n,r)
n! C (n,1) n 1!(n 1)!
這個公式反映了事實－從 n 個物件中選 出一個物件有 n 種方式。
n! C (n, n) 1 n!(n n)!
這個結果說明從 n 個物件中選出 n 個物 件只有 1 種選法－全部都選。
2013/7/14 組合數學 28
範 例
2013/7/14
組合數學
20
排 列
從 n 個不同物件中挑出 r 個不同物件做 排列，所可能產生的情況數目表示為 P(n,r)。 一般來說，P(n,r) 可以表示成下列的公式
n! P(n, r ) ， (n r )! 0rn
2013/7/14
組合數學
21
P(n,r)
P(n,0) n! n! 1 (n 0)! n!
37
消 除 重 複 計 算 項
問題是這麼產生的：假設大雄跟宜靜都 是大一生。 在第一個子工作中，假設我們已經挑出 大雄做為我們至少一個大一生的保證， 我們並且從剩餘的 52 位同學當中選出其 餘的 7 位協會委員，假設這其中包括了 宜靜，另外 6 位是 c1, c2, c3, c4, c5, c6。
组合数学初步 - 复旦大学精品课程
2）例5.6设a1, a2 ,...an2 1，是n 1个不同实数的序列，
2
则必可从此序列中选出n+1个数的子序列，使这子序列 为递增序列或递减序列。
习题解析
鸽笼原理 用于判断是否存在满足鸽笼原理条件的对象，
若鸽笼原理的条件成立，则存在满足条件的 对象。 运用鸽笼原理时必须确定哪些对象相当于鸽 子，而哪些对象相当于鸽笼。
一些指定规则的格式。 1.排列的存在性: 排列在什么样的(充分和必要) 条件下能够实现? 2.排列的计数和分类: 如果一个排列是可能的, 那么就会存在多种方法实现它. 此时, 就可以 计数并将它们分类.
组合学问题形式： 能否排列……? 存在一个……吗? 能用多少方法……? 计算……的数目.
证明：固定大盘，对小盘上任一段，在它旋
转过程中，可有200个可能旋转位置，与大盘 上的所有段构成200种颜色组合，其中同色的 有100组，因小盘上共有200段，故小盘上的 所有段在旋转一周后，与大盘对应段构成的 同色组共有20000个。而旋转一周后，共可转 去200段，设i段的同色组为mi（I=1, 2, …, 200），而总的同色组就是m1 + m2 +…+ m200 =20000，因此200个整数m1, m2 ,…, m200的 平均数满足不等式：20000/200=100>100-1， 所以，由推论10.2，某个位置,使得小盘上至 少有100个小段与大盘上对应段颜色相同。
习题解析
5.1 在边长为2的正三角形中任意放置5个点,
证明至少有两个点之间的距离不大于1.
解题要点：确定鸽子和鸽笼
/*将三角形分成边长为1的4个正三角形*/
5.4
将一个圆盘分为36段，将1, 2, …, 36这36个数字任意标在每一段上，使得每一 段恰有一个数字。证明：必存在相继的3段， 它们的数字之和不小于56。
组合数学之排列组合生成算法
我们可以如下建立序列与排列的对应:
(an-1,an-2, ,a2,a1)满足条件(2.1). 则它所对应的排列为(p)=p1p2pn, 其 中ai 可以看作是排列(p)中数i+1所在位 置后面比i+1小的数的个数. 要说明这种对应的合理性, 必须清楚. 如何由序列产生出它所对应的排列. 我们通过一个具体的例题说明思想方 法.
a3a2a1 200 201 210 211 220 221 300 301 310 311 320 321
p1p2p3p4
1423 2413 1432 2431 3412 3421 4123 4213 4132 4231 4312 4321
14
比如其中的序列(221)所对应的排列:
先由a3=2决定4的位置 再由a2=2决定3的位置 再由a1=1决定2的位置
12
利用序列得到相应排列是关键,
可以设 想为给n个格子中填写1,2,…,n. 如上面 的例题:
4 2 1 3
例2.2 设集合S=1,2,3,4, 用序数法生成S 的全部排列. 解 用序数法, 由各个序列对应生成的排 列, 如表2.1所示.
13
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
17
例2.3 设有排列(p) =2763541, 按照字典式 排序, 它的下一个排列是谁? (q) =2764135. (1) 2763541 [找最后一个正序35] (2) 2763541 [找3后面比3大的最后一个数] (3) 2764531 [交换3,4的位置] (4) 2764135 [把4后面的531反序排列为 135即得到最后的排列(q)]
3 4
2
1
满足条件(2.1)的n!个序列很容易产生
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(2-8-11)
5
R( 2 R Rn 1 ) Rn 3R Rn 1
(2-8-11)
an Rn , a1 R, b1 1, bn an1 R(2 R ) 2 因此 a bn1 2 R bn1 Ran1 n . an1 bn 3 Rb a n 1 n 1 3R bn1 令 an 2 R 2bn1 Ran1 , ( 2 8 12) bn 3Rbn1 an1.
1 2 i+1 i+2 n-1 n
存储单元如上图，设某一信息占用了第i+1，i+2两 个单元，把这组单元分割成两个部分，一是从1到i， 另一从i+3到n。 9
1
2
i+1 i+2
n-1 n
由于用相邻两个单元的几率相等，
1 an [(a0 an2 ) ( a1 an3 ) n 1 ( an2 a0 )],
2 3
§2.8 解方程组
a n ( 3 1)( 2 3 ) ( 3 1)( 2 3 ) n R ( 3 1) R. n n bn (2 3) (2 3)
n n
8
§2.8
母函数和递推关系应用举例
例：设有地址从1到n的单元，用以纪录一组信息 。这个信息的每个元素都占用两个单元，而且存放的 地址是完全随机的，因而可能出现两个存放信息单元 之间留下一个空单元无法存放其他信息，求这n个单元 留下空单元的平均数。 设这个平均数为 an。
对应的特征方程为
三重根
a 0 2 A0 a1 2 2 A1 , A1 0, a 2 4 2 A2 , A2 2,
n . a n 2 2 2
15
计算机界的精灵
• 一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，… ，n，有多少个不同的出栈序列?
bn
4
bn1 4 Rbn R bn1 0.
2
b2 4 R, b0 0. 2 2 特征方程是 x 4 Rx R 0
x ( 2 3) R , bn [ A( 2 3) B ( 2 3) ]R .
n n n
7
母函数和递推关系应用举例 A 1 , 2 3R A B 0, 1 B ( 2 3) A ( 2 3) B 1 R. . n 1 2 3R R n n bn [(2 3) ( 2 3) ], 2 3 Rn [( 3 1)( 2 3 ) n ( 3 1)( 2 3 ) n ]. an bn1 3Rbn
C(n) = C(0)*C(n-1) + C(1)*C(n-2) + .......+ C(n-2)*C(1) + C(n-1)*C(0)
G' G
(1 x )G 2 xG ,
G 2x 2 2 , G 1 x 1 x ln G 2 x ln(1 x ) 2 C , G ke 2 x (1 x ) 2 G x 0 a1 1,
k 1.
G e 2 x (1 x ) 2 n 1 ( 2 x ) 2 ( 2 x )3 n 1 ( 2 x ) [1 2 x ( 1) ...](1 2 x 3 x 2 ... nx n 1 ...) 2! 3! ( n 1)! 2 4 1 x2 x3 x4 x5 3 15
历史回顾
• 1988年以及1999年的文献研究表明实际上最 初发现Catalan数的也不是Euler，
– 1753欧拉在解决凸包划分成三角形问题的时候 ，推出了Catalan数。 – 1730年我国清朝时期的明安图（蒙古人）比 Catalan更早使用了Catalan数，见《割圜密率捷 法》。后来他的学生在1774年将其完成发表。
令
6
an 2 R 2bn1 Ran1 , ( 2 8 12) a 3 bn 3Rbn1 an1. Rn n , R1 R, R2 R, a1 R, b1 1.
将 an1 bn 3 Rbn1 代入 an 2 R 2bn1 Ran1 , 2 得到 bn1 3Rbn 2 R bn1 R (bn 3Rbn1 ),
n 22 23 2 a n1 ( n 1) 2n ( n 1) ( n 2) ( 1) n 2! 3! n! k n k 2 ( n k 1) ( 1) . k! k 0
12 12
§2.8
母函数和递推关系应用举例
例6：设有n条封闭的曲线，两两相交于两 点，任意三条封闭曲线不相交于一点。求 这样的n条曲线把平面分割成几个部分？ 设满足条件的n条封闭 曲线所分割成的域的数目为 an ，其中 n 1 条封闭曲线 所分割成的域的数目为 an1
– 正n边形化分为不重叠的三角形有多少种方法？
C(n) = C(0)*C(n-1) + C(1)*C(n-2) + .......+ C(n-2)*C(1) + C(0)*C(n-1)
回顾历史
• 1758年，Johann Segner 给出了欧拉问题的 递推关系 • 1838年，研究热潮
– Gabriel Lame给出完整证明和简洁表达式 – Eugè ne Charles Catalan在研究汉诺塔时探讨了 相关问题, 解决了括号表达式的问题. – …… – 1900 Eugen Netto在著作中将该数归功于 Catalan.
Rn可以作为由Rn-1等效电阻如图2-8-7所示的 方式串并联构成的.
R R R
图 2-8-7
Rn1
2 R Rn1 R 1 1 1 Rn R 2 R Rn1 R( 2 R Rn1 ) 3 R Rn 1 . R( 2 R Rn1 )
递推关系
R (2 R Rn1 ) Rn 3R Rn 1 3 R1 R, R2 R. 4
a n a n 1 2( n 1) a n 1 a n 2 2( n 2 ) a n 2a n 1 a n 2 2 a n 1 2a n 2 a n 3 2 a n 3a n 1 3a n 2 a n 3 0
x : 2a3 a2 2a1 , x 2 : 3a4 2a3 2a2 , x : 4a5 3a4 2a3 ,
3
_ _)_ _ _ _ _ _ _ __ __ _______ __
G ( x ) xG 2 xG.
11
(ln x )'
1 x
(ln G )'
14
an an 1 2( n 1), a1 2.
a n 3a n 1 3a n 2 a n 3 0
(2 - 8 - 2)
m 3 3m 2 3m 1 ( m 1) 3 0 利用递推关系 (2 - 8 - 2) 得 a0 2.
n , a n A0 A1n A2 2
f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + .......+ f(n-2)*f(1) + f(n-1)*f(0)
• 假设f(0) = 1，那么f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 5 。
Catalan数
• 1751年欧拉在与哥德巴赫的通信中提出一个问 题：
Catalan数
• 比利时的数学家欧仁· 查理· 卡塔兰 (1814– 1894)命名 • OEIS A000108 • 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...
1，2，3, 4
1
2
3
4
17
计算机界的精灵
• 一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，… ，n，有多少个不同的出栈序列?
第一次为空时进行分步？
第一次为空时有k个元素出栈，即1 出栈的序号; 将1~n的序列分成两个序列，其中 一个是1~k-1共k-1个元素 另外一个是k+1~n，共n-k个元素 设f(n)是n个元素的出栈序列数 f(n)= f(k-1)* f(n-k) k =1~n
3
§2.8 母函数和递推关系应用举例 例：求图2-8-6所示的n级网络的等效电阻 Rn。 所谓等效电路，相当于图2-8-6中虚线 所包围的块用一电阻 Rn 取代，使在两端点 n n 之间的效果一样。
n
R
R
R R R R
R R R 图 2-8-6
R R
n
Rn
4
§2.8
母函数和递推关系应用举例
母函数
定义2-1 对于序列a0, a1, a2…, 构造一函数 G(x)= a0+a1x+a2x2+…, 称G(x)为序列a0, a1, a2…的母函数。
母函数就是一列用来展示一串数字序列的挂衣架。 — 赫伯特·维尔夫
拉普拉斯 1812年
x0 a0
x1 a1
x2 a2
x3 a3
x4 a4
x5 a5
13
§2.8 母函数和递推关系应用举例 第n条封闭曲线和这些曲线相交于 2( n 1) 个 点，这 2( n 1) 个点把第n条封闭曲线截成 2( n 1) 条弧，每条弧把 2( n 1) 个域中的每 个域一分为二。故新增加的域数为2( n 1). an an 1 2( n 1), a1 2. (2 - 8 - 2)