组合数学鸽巢原理例题
组合数学第二章鸽巢原理
在[0,mn]内有唯一解. 证明: 下面的n个数(模m都是a)
a, m+a, 2m+a, …, (n-1)m+a, 模n的余数两两不同.
中国剩余定理(完全形式)
令m1,…,mr两两互素, a1,…,ar为整数, 则同余方程组
存在k<l使得rk=rl , 即m|(ak+1+ak+2+…+ al).
应用:国际象棋大师
一位国际象棋大师有11周的时间备战比赛, 他决定每天至少下1盘棋,但每周不超过12盘. 则存在连续若干天,他恰好下了21盘棋. 证明: 令ai为到第i天下的总盘数, (ai+21=aj?)
1 a1 < a2 < …< a77 1112=132, 22 a1+21 < a2+21 < …< a77+21 132+21=153
mk1 mk2 mkn1
若ak1 ak2则必有mk1 > mk2,于是:
ak1 ak2 akn1
ak 5 4 6 3 4 2 3 1 9 2 mk 3 3 2 3 2 3 2 2 1 1
Ramsey问题
命题: 6人中或者至少存在3人互相认识, 或者至少存在3人互相不认识.
例: K17K3, K3, K3. 作业: 第2章 ex1, ex5, ex8, ex15, ex20.
作业
第二章 P25： ex1, ex5, ex8, ex15, ex20. 编程题见网络教室。
射雕英雄传中的问题
黄蓉给瑛姑出题: 今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数之剩三, 七七数之剩二, 问物几何.
组合1鸽巢原理
]
7
[205,540 [219, 1031] [252, 1713] [292, 2826]
]
8
[282,1870] [329, 3583] [343, 6090]
9
[565,6588] [591,12677]
10
[798,23581]
2023/1/3
27
3 Ramsey问题与Ramsey数
定理 1.3.2 对任意正整数a≥3，b≥3，有 r(a,b)≤r(a-1,b) + r(a,b-1).
2023/1/3
4
1 鸽巢原理：简单形式
可以看出，应用鸽巢原理可以巧妙的解决看似复 杂的问题，其关键是如何去构造问题中的“鸽子” 和“鸽巢”.
2023/1/3
5
1 鸽巢原理：简单形式
【例3】 ：一位象棋大师以11 周时间准备一次比赛， 他决定每天至少下一盘棋，为了不至于太累，他限定 每一周不多于12 盘对局，证明，存在连续若干天， 在这些天中他恰下了21 盘棋。
的，m , n 是正整数，则 (1) S 有一长度为 m+1 的严格递增子序列或长度为 n+1 的严格递减子序列; (2) S 有一长度为 m+1 的严格递减子序列或长度为 n+1的严格递增子序列．
2023/1/3
12
2 鸽巢原理：加强形式
例 将 1 到 16 这16个数划分为3个子集，必有一个子
36
[40, 42]
4
18
25
[35,41] [49,61] [59,84] [73, 115] [92, 149]
5
[43,48] [58,87] [80,143] [101,216] [133, 316] [149, 442]
鸽巢问题
鸽巢问题基础知识：1.鸽巢原理又称抽屉原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家侠利克雷明确地提出出来地，因此，也称为侠利克雷原理。
把3个苹果放进2个抽屉里，一定有一个抽屉里放了2个或2个以上地苹果。
2.鸽巢原理（一）：如果把m个物体任意放进n个抽屉里（m>n，且n是非零自然数），那么一定有一个抽屉至少放进了2个物体。
3.鸽巢原理（二）：如果把多于kn个物体任意分别放进n个空抽屉（k是正整数，n是非0自然数），那么一定有一个抽屉至少放进了（k+1）个物体。
如：把10本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进4本书。
我们把这些例子中的“苹果”“鸽子”“信”看作一种物体，把“盒子”“鸽笼”“信箱”看作鸽巢，可以得到鸽巢原理最简单的表达形式：物体个数÷鸽巢个数=商......余数至少个数=商+1摸同色球计算方法：①要保证摸出同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多1。
物体数=颜色数×（相同颜色数-1）+1②极端思想（最快打算）：用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球，再无论摸出一个什么颜色的球，都能保证一定有两个球是同色的。
鸽巢问题的计算总结：有余数：知道抽屉和至少数（同类）求物体时至少数=商+1 物体数=（至少数-1）×抽屉数=1物体数÷抽屉数（要分的份数）没有余数：当至少数为2时，物体数=抽屉数+1 至少数=商知道抽屉数和至少数（不同类）求物体时知道物体和至少数求抽屉数物体数=（至少数-1）×抽屉数+1 （物体数-1）×（至少数-1）=商......余数（每种个数）（商是所求抽屉数）至少情况：例题：把四只鸽子放进笼子，会有哪些情况呢？总结：1.最多的笼子里，最少有2只鸽子，我们叫做有一个笼子至少有2只鸽子。
2.4只鸽子飞进3个鸽笼，不管怎么飞，总有一个鸽笼至少飞进2只鸽子。
思考把5个桃子放进4个抽屉里，米可以得出什么结论？分析：枚举法：共种，分别是（），（），（），（），（），（）。
鸽巢问题(一)
枚举法
把7本书放进3个抽屉，不管Hale Waihona Puke 么放，总有 1个抽屉里至少放进3本书。
数的分解法
7 700
7 430
7 610
7 421
7 511
7 331
7 520
7 322
把7分解成3个数，总有1个数不小于3。
假设法 7 ÷ 3 ＝ 2（本）…… 1（本）
先平均分，余下的1本放在任意抽屉都会 “总有1个抽屉里至少放进3本书”。
只要铅笔比笔筒的数量多( 1 ),总有1个笔筒 里至少放( 2)支铅笔。
鸽巢原理 铅笔……鸽子 笔筒……鸽巢
（n+1）只鸽子飞进n个鸽巢里（n为非0自然 数）,总有1个鸽巢里至少飞进2只鸽子。
把7本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉里 至少放进3本书。为什么？
你是怎么想的？
把7本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉里 至少放进3本书。为什么？
… … …
…
… … …
总物 鸽抽 平均每 本体 巢屉 个抽商屉 数 数 的本数
余的数余数下本
平商均每+余1下＝至少数 个抽屉的本 的不本论数余数数？是几， 都只加1。
7÷3＝2……1
把7本书放进3个抽屉里，总有1个抽 屉里至少放进3本书。
8÷3＝2……2
把8本书放进3个抽屉里，总有1个抽 屉里至少放进3本书。
2. 8个小朋友打篮球，一共投进 45个球，其中 一定有1个小朋友至少投进6个球。为什么？
鸽巢数
物体数
45÷8 = 5（个）……5（个） 5 + 1 = 6（个）
每人投进 5 个球，还剩下 5 个 球 。剩下的 5 个 球 不论怎么分，总有1人至少投 进 6 个球。
鸽巢原理 与 双重计数
鸽巢原理(Pigeon-hole principle)
鸽子总数≤ m1 + m2 +… +mn－n ， 与假设相矛盾．
推论１ m只鸽子进n个巢，至少有一个巢 m 里有「－ n |只鸽子． 推论２ n(m－1) + 1只鸽子进n个巢，至少 有一个巢内至少有m只鸽子． 推论３ 若m1 , m2 , … , mn是正整数，且 m1 + … +mn > r－1,则 m1,… , mn至少有一个 n 不小于r
鸽巢原理 与 双重计数 Pigeon-hole and double counting
福州大学数学与计算机科学学院
常安 2014年10月16日
鸽巢原理(Pigeon-hole principle)
鸽巢原理是组合数学中最简单也是最基本 的原理，也叫抽屉原理。即
“若有n个鸽子巢，n+1个鸽子，则至少有 一个巢内有至少有两个鸽子。”
例 1 设G=(V, E)是一个简单图，其中V是 顶点集，E是边集. 则有
证明可以通过考虑集合SVE, 即所有 序对(v, e)的集合，这里vV是边eE的一 个端点.
双重计数（Double counting ）
例2 An extremal problem on graphs
双重计数（Double counting ）
ห้องสมุดไป่ตู้
鸽巢原理(Pigeon-hole principle)
例 将[ 1 , 65 ]划分为４个子集，必有一个 子集中有一数是同子集中的两数之差． 证 用反证法．设此命题不真．即 存在划分P1∪ P2∪ P3∪P4＝[ 1，65 ]，Pi 中不存在一个数是Pi中两数之差，i=1,2,3,4 因 65 = 17，故有一子集，其中至少有17 4 个数，设这17个数从小到大为a1 , … , a17 ． 不妨设 A={a1 , … , a17 } P1。 令bi－1= ai－a1，i = 2，· · · ，17。
高中数学祖暅原理的典型例题
高中数学祖暅原理的典型例题
高中数学中，祖暅原理（也称为鸽巢原理或抽屉原理）是一种重要的组合数学思想，用于解决箱子和物品之间的配对问题。
它指出，如果有n个物品要放入m个箱子，而n>m，那么至少有一个箱子中会放置多个物品。
下面是一个典型的例题，用于帮助理解祖暅原理的应用：
例题：假设有8个苹果和4个盘子，要将这些苹果放入盘子中。
按照祖暅原理，至少有一个盘子中会放置多个苹果。
解析：根据祖暅原理，我们可以得出结论，即使每个盘子只放一个苹果，我们也至少需要5个盘子来放置8个苹果。
而这里只有4个盘子，因此至少有一个盘子中会放置多个苹果。
这个例题很好地展示了祖暅原理的应用。
当物品的数量大于箱子的数量时，必然会出现至少一个箱子中装有多个物品的情况。
祖暅原理在实际生活中有很多应用，例如：
1. 生日问题：在一个房间里，至少有多少人才能确保至少两人生日相同？根据祖暅原理，这个数量为23人。
因为一年有365天，所以
至少要有365+1=366人才能确保至少有两人生日相同。
2. 选课问题：如果有50门选修课程，而每个学生只能选择5门课程，那么至少要有多少名学生才能确保每门课程都有学生选择？根据祖暅原理，至少需要11名学生。
因为每个学生可以选择5门课程，所以总共可以选择的组合数为50选5，约为2118760。
而如果学生人数少于11人，就无法满足每门课程都有学生选择的条件。
综上所述，祖暅原理是高中数学中的重要思想，可以帮助我们解决一些组合问题。
在解题过程中，我们需要注意正确理解问题并合理运用祖暅原理，以得出准确的结论。
鸽巢问题数学试题及答案
鸽巢问题数学试题及答案试题：1. 鸽巢原理是数学中的一个基本概念，它描述了当把n+1个物品放入n个容器中时，至少有一个容器会包含两个或更多的物品。
请简述鸽巢原理的基本概念。
2. 假设有10个乒乓球被随机放入9个盒子中，根据鸽巢原理，至少有几个盒子会包含至少2个乒乓球？3. 某班级有40名学生，如果将他们随机分配到6个不同的兴趣小组中，根据鸽巢原理，至少有几个兴趣小组会包含至少8名学生？4. 鸽巢原理在实际生活中的应用有哪些？请列举至少两个例子。
5. 鸽巢原理的数学表达式是什么？请用数学公式表示。
答案：1. 鸽巢原理，又称抽屉原理，是数学中的一个基本定理，它指出如果把多于容器数量的物品放入有限数量的容器中，那么至少有一个容器会包含多于一个的物品。
这个原理在组合数学、概率论和算法设计等领域有着广泛的应用。
2. 根据鸽巢原理，如果有10个乒乓球被放入9个盒子中，那么至少有一个盒子会包含至少2个乒乓球。
这是因为10除以9的商是1余1，所以至少有一个盒子会包含1+1=2个乒乓球。
3. 如果40名学生被随机分配到6个兴趣小组中，根据鸽巢原理，至少有一个兴趣小组会包含至少8名学生。
这是因为40除以6的商是6余4，所以至少有一个兴趣小组会包含6+1=7名学生，但因为余数是4，所以实际上至少有一个兴趣小组会包含8名学生。
4. 鸽巢原理在实际生活中的应用非常广泛，例如：- 在统计学中，鸽巢原理可以用来估计一个群体中至少具有某种特征的个体数量。
- 在计算机科学中，鸽巢原理可以用于设计哈希表，确保在最坏情况下，哈希表的冲突数量不会超过某个阈值。
5. 鸽巢原理的数学表达式可以表示为：如果有\( n \)个物品放入\( m \)个容器中，且\( n > m \)，则至少有一个容器包含的物品数不少于\( \lceil \frac{n}{m} \rceil \)，其中\( \lceil \cdot\rceil \)表示向上取整。
鸽巢原理经典例题及解析
鸽巢原理经典例题及解析鸽巢原理，也称为抽屉原理，是组合数学中的一个基本概念。
它指的是，如果有n+1个物体放入n个盒子中，那么至少有一个盒子会放入两个或以上的物体。
这个概念类似于我们熟知的“抽屉放东西”的现象，即如果有n个抽屉，放入n+1个东西，则至少有一个抽屉中会放入两个或以上的东西。
鸽巢原理是比较直观且易于理解的，它在解决组合数学中的问题时经常被使用。
下面我们将通过几个经典例题，来进一步理解鸽巢原理的应用。
例题1：从1到10的整数中选择6个数，至少存在两个数，使得它们的和或差能被11整除。
证明这个结论。
解析：我们需要选择6个数，我们可以利用鸽巢原理来解决这个问题。
首先，我们观察到，我们有5个余数，因为1到10的整数除以11的余数是0到10。
如果我们选择6个数，那么至少有两个数的余数是相同的，因为有6个数，但只有5个余数。
假设我们选择的两个数的和或差能被11整除，那么它们的余数必然相等，于是我们就证明了这个结论。
例题2：有20盒饼干，其中19盒都装有正数个饼干，而只有1盒装有0个饼干。
证明，如果我们从这20盒中选择11个盒子，那么至少有两个盒子是包含饼干的。
解析：我们假设每个盒子都是0个饼干，那么我们需要选择11个盒子，因为只有1个盒子是包含饼干的，所以我们无论如何选择都无法找到两个盒子都包含饼干。
但是根据鸽巢原理，我们知道，如果我们选择了11个盒子，至少有两个盒子是包含饼干的。
所以，我们证明了这个结论。
例题3：有N个正整数，它们的和是2N-1，证明至少有一个整数是1。
解析：我们假设所有的正整数都不是1，那么我们可以得到每个正整数至少是2。
这样，我们所有的正整数加起来至少是2N，而不是2N-1，与题目条件矛盾。
所以，我们证明了结论至少有一个整数是1。
鸽巢原理的应用非常广泛，可以用于解决各种数学问题和概率问题。
通过以上例题的解析，我们可以更好地理解鸽巢原理的含义和应用。
在实际问题中，我们可以利用鸽巢原理巧妙地解决一些问题，提高问题求解的效率和准确性。
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设a1,a2,…,an是1,…,n的一个排列，证明，当n是奇数 时，(a1-1)(a2-2)…(an-n)是一偶数。
证明：只须证明上述因子中有一个是偶数即可。因 为只要有一个因子是偶数，则积必为偶数。 n是奇数时，1~n中有(n+1)/2个奇数， (n-1)/2个偶 数。 从而，a1,a3,…,an中至少有一个是奇数,设为a2i+1 这样以来，(a2i+1-(2i+1))为偶数。 乘积为偶数。证毕。
思考题
1. 2. 一个1*1的方格里任选5个点，则必存在两点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ其 距离<√2/2. 空间直角坐标系中，我们把(x,y,z)坐标均为整数 的点简称为格点，证明，任意9个格点中，必存 在两点，其连线的中点亦是格点。 设西工大在北京的办事处有90间房间。每次总 是有100人中的90人到那里出差，试设计一种配 钥匙方案，保证这100人中的任意90人到北京出 差时，至少有一间房间可让其使用。试问在这 一方案下，共配了多少把钥匙？
证明：构造数列：S1=a1, S2=a1+a2, …, Sn=a1+a2+…+an; 若某个Si已经可被m整除，则得证。 设不存在被整除的情况，则每个Si模m的余数ri满足： 1≤ri ≤m-1。 这样的ri共有m个。 根据鸽巢原理，存在i<j，但ri=rj。即Si与Sj同余。 从而有： Sj-Si=km=ai+1+ai+2+…+aj. 得证。
证明：在1~200中可选取100个数它 们中任何两个数互素。并证明所选 的100个数中的最小数不小于16。
显然，当选出的数为101时，可用鸽巢原理证 明，必存在两个数是倍数（或整除）关系。 本题证明参见《辅导》P301，7.7题
证明：任给m个正整数a1, a2, … , am， 必存在连续的若干项，其和是m的倍 数（能被m整除）。
3.
续：22题的情况
• • 若存在某一周没有做满12题，则a77+22<154,使得这154 个数最多到153,从而仍有aj=ai+22; 若每周都做满12题，那么a1,a2,…,a77, a1+22, a2+22, …,a77+22这154个数恰在1~154之间。
•
• •
若不存在i,j使得aj=ai+22,则它们取值遍历1,2,…,154。 即有a1=1,a2=2,…,a22=22。
一人以11周时间准备考试，他决定每天至少做一道 题，但每周不多于12题。证明：存在连续的若干天， 在这些天时他恰好做了21题。改为更少的题数如何？ 改为22题如何？ 令ai表示从第一天到第i天所做的题数之和。因为每 天至少做一题，有：a1<a2<…<a77<=12*11=132。 考虑序列:a1+21,a2+21,…,a77+21(<=153). 两个序列共有154个数，而ai≠aj(当i≠j时), 同理， ai+21≠aj+21(当i≠j时), 所以，必有某个aj=ai+21,即从第i+1天到第j天共做 了21题。 原命题改为小于21题，显然是成立的。
鸽巢原理例题
证明[1,2n]中任意n+1个不同的数中 至少有一对数互质
设这n+1数为a1<a2<…<an+1,令bi=ai+1 (i=1,2,…,n)。显然，b1<b2<…<bn<=2n, a1,…,an+1,b1,…,bn这2n+1个数中必有二数相 等，即存在bi与ai+1相等，而bi=ai+1,而ai与 ai+1（即ai+1)是互质的。