第四章 分形041019105835
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分形的概念和应用
起源：分形概念起源于1975年，由数学家Benoit Mandelbrot提出
概念：分形是指具有自相似性的几何形状，即无论放大或缩小，其形状保持不变
应用：分形在数学、物理学、生物学、经济学等领域都有广泛的应用
发展：分形概念的发展推动了许多学科的研究，如混沌理论、复杂系统等
生物学：分形理论在生物学பைடு நூலகம்的应用，如分形生物学、分形生态学等
计算机科学：分形理论在计算机科学中的应用，如分形图像处理、分形建模等
数学：分形理论在数学中的广泛应用，如分形几何、分形分析等
物理学：分形理论在物理学中的应用，如分形物理学、分形宇宙学等
分形渲染：利用分形算法进行3D渲染，提高渲染效率和效果
分形建模：利用分形原理进行3D建模，如分形城市、分形建筑等
平面设计：分形图案在平面设计中的应用，如海报、广告、包装等
艺术创作：分形图案在艺术创作中的应用，如绘画、雕塑、装置艺术等
汇率市场：分形理论可以用来预测汇率市场的波动和趋势
金融风险管理：分形理论可以用来评估和管理金融风险
股票市场：分形理论可以用来预测股票市场的波动和趋势
经济周期：分形理论可以用来解释经济周期的波动和规律
生成纹理：为3D模型添加分形纹理，增强视觉效果
生成动画：制作分形动画，如分形爆炸、分形生长等
生成自然景观：模拟山脉、河流、树木等自然景观
生成艺术作品：创作分形艺术作品，如分形图案、分形动画等
数学：分形理论在数学中的广泛应用，如分形几何、分形分析等
计算机科学：分形理论在计算机科学中的广泛应用，如分形算法、分形图像处理等
分形市场假说：描述金融市场的复杂性和不可预测性
分形时间序列分析：用于分析金融数据的时间序列特征
4-1分形
我是一只蛹 躲在封闭的茧中 虽向往外面的世界 却不敢一步向前 你 对我说 出来吧 外面很精彩 我 最终 还是蜷缩在 小小的壳中 我知道 你 不明白 只是我没告诉你 只要你努力一点点 我 便会为你 变成 世界上最美的 蝴蝶
郭亚菊
03印刷5班
我眼中的分形
分 形 应 用
提问：中国封建制的组织特征是什么？
什么是分形?
曼德勃罗曾经为分形下过两个定义：
（1）满足下式条件
Dim(A)>dim(A)的集合A，称为分形集。其中， Dim(A)为集合A的Hausdoff维数（或分维数）， dim(A)为其拓扑维数。一般说来，Dim(A)不是整数， 而是分数。 （2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。
分形不仅仅创造了美妙绝伦的图片，它与混沌学一起 试图在混沌的宇宙中寻找某种秩序——更大范围的
自相似性 无限嵌套
M集
J集
牛顿法求根
Z 1 0
6
分形作品欣赏
沙 是海湾的母亲 她柔软的爱给海湾 无限延伸的力量 李柳青2002
分形作品
孙博文分形作品——《海湾》
题：不死的太阳 即使被切割 太阳的火热 同样锐不可当 李柳青2002
孙博文分形作品——《变换的太阳》
美丽的羽毛空中飘扬 那是孔雀的灵魂舞蹈 李柳青2002
可爱的分形小诗 跳蚤被小跳蚤啮噬， 小跳蚤被小小跳蚤叮咬， 如此这般，没完没了。
[荷兰]埃舍尔 《昼与夜》
[ ]
荷 兰 埃 舍 尔 《 魔 鬼 与 天 使 》
[ ]
荷 兰 埃 舍 尔 《 骑 士 图 》
四．分形的特点:
非线性 分数维
如：M集
如：挪威海岸线 1.52维，丢勒的五边形分形 1.67维
分形
F lim Fk
k
即是所谓的Koch曲线 Koch曲线的修改规则R是将每一条直线段F0用一 条折线F1替代，称F1为该分形的生成元。分形图形的 基本特性完全由生成元决定。
分形树 分形树的生成方法是：将一条线段三等分，在 等分点上各画一条长度为原线段长度三分之一的线 段，该线段与元线段成固定的夹角。
尽管分形几何的提出只有三十年左右的时间， 但它已经在自然科学的各个领域如数学、物理、化 学、地理、天文、材料、生命乃至经济、社会、艺 术等极其广泛的领域有着广泛的应用。 该实验的目的是以迭代的观点介绍分形的基本 特性以及生成分形图形的基本方法。
生成元产生的分形图形 由IFS(迭代函数系)所生成的分形图形
Sierpinski垫 w a 1 0.5 2 0.5 3 0.5 b 0 0 0 c 0 0 0 d e f P 0.5 0 0 0.333 0.5 0.25 0.433 0.333 0.5 0.5 0 0.333
用IFS迭代绘制分形图形的方法如下： 首先设定迭代的可视区域为 V {( x , y ) | x min x x max , y min y y max } 再按分辨率大小的要求将V分成a*b的网格 网格点为 ( x i , y i )
1 生成元
由生成元产生的分形是一种规则分形，是数学 家按一定规则构造出来的，相当于物理中的模型。 这类图形的构造方式都有一个共同的特点：
最终图形F都是按照一定的规则R通过 对初始图形F0不断修改得到的。
最具代表性的图形有Koch雪花 曲线、分形树
Koch曲线的构造方式是： 给定一条直线段F0，将该直线三等分，并将中间 的一段用以该线段为边的等边三角形的另外两边代替， 得到图形F1，然后，再对图形F1中的每一小段都按上 述方式修改，以至无穷。则最后得到的极限曲线
k
即是所谓的Koch曲线 Koch曲线的修改规则R是将每一条直线段F0用一 条折线F1替代，称F1为该分形的生成元。分形图形的 基本特性完全由生成元决定。
分形树 分形树的生成方法是：将一条线段三等分，在 等分点上各画一条长度为原线段长度三分之一的线 段，该线段与元线段成固定的夹角。
尽管分形几何的提出只有三十年左右的时间， 但它已经在自然科学的各个领域如数学、物理、化 学、地理、天文、材料、生命乃至经济、社会、艺 术等极其广泛的领域有着广泛的应用。 该实验的目的是以迭代的观点介绍分形的基本 特性以及生成分形图形的基本方法。
生成元产生的分形图形 由IFS(迭代函数系)所生成的分形图形
Sierpinski垫 w a 1 0.5 2 0.5 3 0.5 b 0 0 0 c 0 0 0 d e f P 0.5 0 0 0.333 0.5 0.25 0.433 0.333 0.5 0.5 0 0.333
用IFS迭代绘制分形图形的方法如下： 首先设定迭代的可视区域为 V {( x , y ) | x min x x max , y min y y max } 再按分辨率大小的要求将V分成a*b的网格 网格点为 ( x i , y i )
1 生成元
由生成元产生的分形是一种规则分形，是数学 家按一定规则构造出来的，相当于物理中的模型。 这类图形的构造方式都有一个共同的特点：
最终图形F都是按照一定的规则R通过 对初始图形F0不断修改得到的。
最具代表性的图形有Koch雪花 曲线、分形树
Koch曲线的构造方式是： 给定一条直线段F0，将该直线三等分，并将中间 的一段用以该线段为边的等边三角形的另外两边代替， 得到图形F1，然后，再对图形F1中的每一小段都按上 述方式修改，以至无穷。则最后得到的极限曲线
第四章 分形在振动信号特征提取中的应用
问题：A、B两国有一段共同的陆
地边界线 ，并向 B 国呈弧形 弯曲
（20）. 横跨 边界线有一战略高地 原属两国所共有. 20世纪80年代， A国对边界重新进行测量，测得的 边界长度比原记载长度大，按新
测长度这块高地完全落在A国境内.
于是A国向B国提出，要求将高地
全部归属A国，引起两国争端.
英国的海岸线有多长(续)?
英国的海岸线地图
英国的海岸线有多长?
测量方法： 我们想象一个人沿着一段海岸线拣尽可能短的道 路步行，并规定每步长度不超过r，设这样测得的海 岸线长度为L(r).然后重新开始，并使他在海岸线上 最长的步长越来越短。 用一只小老鼠代替人测量。 用苍蝇代替小老鼠测量。
测量结论：随着步长r越来越短，我们测量出来的海 岸线长度越来越长。
我们依然以线段为种子，
让它另外的方式生长，
能得到怎样的图形呢？
以线段为种子
生 长 方 式
线段三等分
以中间线段为边 向外作等边三角 形，然后把中间 线段擦掉
第一次生长
第二次生长
第三次生长
它象什么
？
这也是分形图的一种，叫柯赫曲线
它是瑞典数学家柯赫发现的，因此以他的 名字命名。 你能用类似的方法设计一条与它不同的曲线吗
例 Box-Counting
将E维空间分割成一块块的超立方体盒子，分布在E维空间中的点集会落 在 这 些 盒 子 中 ， 设 Ci 为 落 入 第 i 个 盒 子 的 点 数 ， r 为 盒 子 的 边 长 ，
S(r)=sum(Ci 的平方),log(S(r))与log(r)的斜率为关联维数D2;如果用N(r)表示
轿车
太阳
房子 盒子 黑板
他们象什么物体？ 我们如何画出这两幅图片？
分形
（2）地震。
地震是地球内部的岩石突然断裂而引起的地 球表面的动荡。地震具有多种分形性质，其中地 震的次数在时间上的分布就是一种。地震研究者 采取了分形几何的方法来研究地震在时间上的分 布。其中就运用到了康托尔三分集。在用于地震 时，研究者对康托尔三分集进行了改造，仍是把 一条单位长度的直线段进行三等分，但去掉的不 是中间的三分之一，而是随机地任意去掉三个线 段中的一个。这样产生了无规则的康托尔三分集。 利用康托尔集是为了说明地震的群集现象，并且 分割不是无限次进行下去的，因为在有限的时间 间隔内，地震并不是无限次的。由此计算出的分 形维数可以用来描述群集的程度：群集的程度越 高，分形维的值就越大。
（1）康托尔集（Cantor set）。 假设一条为单位长 度的线段，将其设为基本区间[0,1]，把它三等分，分点 分别为1/3，2/3，去掉该线段中间的三分之一，这样留 下的部分将是两段长度分别为三分之一的线段，总长度 为2/3，用集合表示为[0,1/3] ∪[2/3,1]。接下去我们再 把这两条线段分别去掉中间的三分之一，这时留下的部 分将是四条长度各为九分之一的线段，总长度为4/9,用 集合表示为[0,1/9] ∪[2/9,1/3] ∪[2/3,7/9]∪[8/9,1]。如 此不断地循环操作，最终得到的点的集合就是康托尔三 分集。
云不是球形的，山不是锥形的， 海岸不是圆形的
纵横交错的江河流域，婉转悦耳的古 琴音乐中的旋律，蜿蜒盘旋的山岳高峰，星 际空间物质的分布，尘粉无规则运动的轨迹， 人体复杂的血管分布，如此等等。像如此不 定型的东西，在欧式几何中是无法解释分析 的。因此“分形”应运而生。
分形的定义
曼德布罗:分形是由一些与其整体以某种方式相似的部分所组成的形体。
或电就的的生多胶污态又 生波连走星长须状染物如 活分我向云；须物的质在 常布们，分宏毛，一，某 见都人树布观毛不些以些 的是体枝，世的断流不电 分分血的等界枝因水规化 形形液分等中条新中则学 现的循叉；太状的，的反 象。环以曲阳。沉粘树应 。下系及折黑还积在枝中 面统地绵子有而藻形， 具中震延的微生类状电 体血震的活观长植向极 介管级海动世，物外附 绍的的岸，界成上增近 几分分线奇中为的长沉 种支布，形晶带颗。积 自和等河怪体有粒受的 然脑；流状的许和到固
分形几何
• 分数维的研究对象是不平滑的，不可微分 的。从这个意义上来说，分数维否定(通常 意义下的)微分，这是一个划时代的革命。 另一方面，分数维并没有对时空给出一个 实验性的新概念，并且在动力学意义上给 系统行为的理解获益不多。后者对我们在 座年青学者去建立一个全新的理论体系倒 是存在很多的自由空间 • 先看两个典型的由数学方法产生的分形
• 下面介绍三种分维的计算方法
2.相似维数
• 如上图，对于一条单位长度线段（DT=1）,若将 它等分成N=2段，则每段的长度为R=1/2；若将它 等分成N=3段，则每段的长度为R=1/3，显然有 N*R=1.从测量角度理解，相当于用长为R的尺子 去测量线段的长度，那么测得的尺度数N(R)与尺 度之间有下列关系 • N(R)=R^-1 • 对于一条单位面积的二维正方形平面（DT=2）， 将其等分成N=4份，则分割的小正方形面积为 R^2=1/4; 将其等分成N=9份，则分割的小正方形 面积为R^2=1/27. 显然有N*R^2=1.那么二维平面 的小正方形测量数目N(R)为 • N(R)=R^-2
分形几何
• 分形几何学产生于20世纪70年代末80年代 初，是一门以非规则几何形态为研究对象 的新兴学科。由于在自然界中普遍存在不 规则的对象或现象，因此分形几何又称为 大自然的几何学。 • 分形是具有自相似性的一类形状，也就是 说，这类形状在不同的放大倍率下看起来 一样
• 分形对象在自然界中普遍存在，海岸线、山脉、 河流、炊烟、云彩、树干、闪电、血管等都是分 形。 • 分数维图形最大的特点是——无特征长度，或者 是它的自相似性。于是，他们可以从局部发现整 体，不论你从哪一个层次看问题都会获得同样的 变化规律。非整数维数，早在100多年前即有人 探索，为什么只有到近几十年才崭露头角呢？最 重要的是因为computer的飞速发展，它不仅把原 先不能计算的问题变成完全可算，而且种类繁多， 漂亮的分形图形使人们真正从直观上认识了 Fractal。
分形初步认识分形和制作简单的分形形
分形初步认识分形和制作简单的分形形分形：初步认识分形和制作简单的分形形分形（fractal）是指一种具有自相似性质的几何图形或数学模型。
在这些图形或模型中，无论放大多少次，都能够看到与整体形状相似的部分。
分形的研究起源于上世纪60年代，由波尔兹曼首次提出，并由Mandelbrot在上世纪70年代进一步发展和推广。
分形在数学、物理、生物、艺术等领域都有广泛的应用。
一、分形的基本概念和特征分形的核心特征包括自相似性、无穷细节和分形维度。
自相似性指的是一个物体的一部分与整体之间存在相似的结构，而无穷细节则是指分形的结构可以不断被放大，仍然能够展示出更多的细节。
分形维度是描述分形形状复杂程度的重要参数，它可以是非整数维度。
二、常见的分形图形和模型1. 科赫曲线（Kochcurve）：科赫曲线是一种无限细分的闭合曲线，它由无数个相似的小线段组成，每个小线段都与整体曲线形状相似。
制作科赫曲线的方法很简单，首先取一条线段，然后将线段等分为三段，再在中间段上构建一个等边三角形，最后去掉中间那段线段，将剩余的线段作为新的整体，重复以上操作。
2. 曼德勃罗集合（Mandelbrot Set）：曼德勃罗集合是由复变函数产生的一类分形，它可以在复平面上绘制出具有自相似性的图形。
曼德勃罗集合的生成过程非常复杂，一般需要通过计算机程序来绘制。
三、制作简单的分形形状1. 制作分形树：分形树是一种常见的分形图形，它模拟了自然界中的树木形状。
制作分形树的方法很简单，首先绘制一条竖直线段作为树干，然后在树干的两侧分别绘制两条较短的线段，形成树干的两个分支。
再对每个分支递归地应用相同的绘制规则，直到达到预设的层数。
2. 制作谢尔宾斯基三角形（Sierpinski Triangle）：谢尔宾斯基三角形是一种经典的分形形状，它由无数个自相似的小三角形组成。
制作谢尔宾斯基三角形的方法很简单，首先绘制一个大三角形，然后将它分割为四个相似的小三角形，接着去掉中间那个小三角形，再对每个剩余的小三角形递归地应用相同的操作，直到达到预设的层数。
分形
历史背景
在传统的几何学中，人们研究一个几何对象，总是习惯于在欧几里得空间（Rn,Euclidean)对其研究和度量， 其中字母n表示空间的维数，通常为整数，如n分别为1、2、3时，对应的空间为线性空间、平面空间、立体空间， 在相应的空间中，我们可以测得几何对象的长度、面积、体积等。但是大约在1个世纪前，在数学领域，相继出现 了一些被称为数学怪物（mathematical monsters)的东西，在传统的Euclid领域，人们无法用几何语言去表述 其整体或局部性质，其中，比较著名的
种类
逃逸时间系统：复迭代的收敛限界。例如：Mandelbrot集合、Julia集合、Burning Ship分形 迭代函数系统：这些形状一般可以用简单的几何“替换”来实现。例如：康托集合、Koch雪花、谢尔宾斯基 三角形、Peano曲线等等。 吸引子：点在迭代的作用下得到的结构。一般可以用微分方程确立。例如：Lorenz吸引子。
分形是一个数学术语，也是一套以分形特征为研究主题的数学理论。分形理论既是非线性科学的前沿和重要 分支，又是一门新兴的横断学科，是研究一类现象特征的新的数学分科，相对于其几何形态，它与微分方程与动 力系统理论的更为显著。分形的自相似特征可以是统计自相似，构成分形也不限于几何形式，时间过程也可以， 故而与鞅论关系密切。
感谢观看
分形几何是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界普遍存在，因此分形几何 学又被称为描述大自然的几何学。分形几何学建立以后，很快就引起了各个学科领域的。不仅在理论上，而且在 实用上分形几何都具有重要价值。
简介
“谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识。”——物 理学家惠勒
分形一般有以下特质：
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D
Df ： 显然，D 即为相应图形的维数。对上式取对 数，并将 D 记为 D f log log K L (4-1-2)
可以见到，对于正规的几何图形，(4-1-2)式的分子刚好可以为分母所整除， D f 为整数，这就是我们所熟悉的欧几里德维数。但对于不规则的几何图形， (4-1-2) 式不总是可以整除的，于是在一般情况下，一个几何图形的维数是个分数， 简称 为分维。这就是说，规则几何图形是一般几何图形的特殊情况，与此相对应 f 常称为豪斯道夫维数。 的分数维概念， 的整 数维数也只是一种特例。这就是 1919 年由法国数学家豪斯道夫(Hausdorff) 我们还可以从另外角度来讨论图形维数的定义。例如，一个具有单位面积的 引进 正方形，现在把它等分成九个小正方形，即九个小正方形相加等于原来的面积， D 而这时小正方形的边长缩小为原来长度的 1/3 倍。上述关系为： 9×(1/3)2＝1 (4-1-3)
2. 规则分形
现在来看一些比较特殊的几何图形，它们是在曼德布罗特提出分形理论之前， 由许多数学家构造出来的一批具有自相似的几何图形，如康托尔(Cantor)点集， 科赫(Koch)曲线，谢尔宾斯基(Serpinski)地毯等。这些数学家当时是从纯数学兴 趣来构造这些图形，并称之为“病态图形”。现在采用分形理论去研究它们时， 可以看到这些图形与正规几何图形之间存在着直接的联系。
图 4-1 布朗微粒运动的径迹
基于测量对象体形上的自相似性与标度不变性，曼德布罗特提出了分形理论。 首先，他在 1973 年在法兰商学院讲学期间提出了分形的几何学的基本思想，接 着在 1977 年他出版了第一本著作：《分形对象：形、机遇与维数》，而在 1982 年出版了第二本著作：《自然界的形几何学》，从而奠定了这门新科学的基础。 分形的英文词是“fractal”，是曼德布罗特创造的，用以表征某些不规则的几何形 体。他给出的分形定义为： A fractal is a shape made of parts simslar to the whole in some way”，即“分形是其组成部分以某种方式与整体相似的图形”，或者说， 分形是指一类体形复杂的体系，其局部与整体具有相似性。与人们熟悉的整规体 形的整数维不同，分形体的维数不一定是整数，它可取连续变化的各种数值，称 之为分形维数，或简称分维。根据分形体的不同特征，有多种分形维数的定义， 而且由不同分形维数定义计算出的维数也有一些差别。 目前，分形的研究现已大大地超出了数学、物理学的范畴，它不仅广泛用于 处理自然科学中相关问题，象雷电、相变、聚合物生长等等，而且在扩展到生态、 生命、经济、人文的许多领域。在地震、气象的预报预测、石油的多次开采等应 用领域，甚至在股票涨落分析等方面，分形也都得到了广泛的应用。由此可见， 分形为人们处理复杂对象提供了一个强有力的工具。尤其值得一提的是虽然从表 面上看来，分形似乎和前面讨论过的非线性动力学无多大关系，但是深入研究发 现，分形与系统的混沌运动是密切相关的，它是非线性科学中的另一个重要分支。
D
s
log N log(1 / )
例如，我们考虑一个边长为 2l 的正方体，并将它四等分，得到四个边长皆为 l 的小正方形。对原正方形来说，小正方形是其局部，各小正方形彼此相同。经 过平移或旋转操作，彼此可以重复。各小正方形的边长与原正方形边长之比为 l / 2l ＝1/2，即局部与整体的相似比为 。用 (4-1-4)式表达： D 2 log N log 4 s log(1 / ) log 2 对于一个更复杂的 D Ds 几何对象，我们只 虽然从不同的角度去定 f 以计算其相似维数。然而 要知道其局部与整 义的，但从计算结果看，两者是相等的。 相似维数 与豪斯道夫维数 体的相似比 ，就可
画出的另外一幅微粒的轨迹图。但将这两图进行比较一下可以发现，两幅图虽不 尽相同，它们具有同等的复杂程度，前者可以看成为后者在尺度上的适当放大。 实际上，这种两图之间在不同尺度上的相似性在还可以进一步扩展。例如，如果 充许，我们可将记录微粒坐标的时间间隔延长到每隔数小时一次，或者缩短到每 4 隔数毫秒一次。因此，记录的时间间隔跨度可以扩展到了10 3 ~10 秒。而实验结
D 相等。 Ds 可见相似维数 与豪斯道 f 同样的方法可以计算康托尔四分点集的维数： 夫维数 D f log K log 2 log L log 4 0.5
按照上面的操作方法，若把一线段进行 n 段等分，舍去中间的 n－2 段，保 留两侧的两段，即构成 n 分点集，相应的维数为： D
f
果告诉我们，虽然记录时间间隔相差很大，但它们仍都具有相同的复杂性，因此， 布朗微粒轨迹图存在自相似性。 再如，人们在考察海岸线时发现，不管是漫步在海岸边看到的厘米量级的海 岸线长度，还是从人造卫星上观察到的数千米跨度，海岸线的弯曲的复杂程度也 可能是相同的。这种用不同尺度去测量都有相似的结果说明，这些测量对象没有 特征尺寸，或者说它们具有尺度（标度）不变性。
第一节 豪斯道夫维数与规则分形
1. 豪斯道夫维数与相似维数
为了研究分形，首先来看一下数学家们是如何定义几何图形的维数的。我们 考虑几个最简单的几何图形。取一个长度为 l 的线段，把它放大 2 倍，则放大以 后的长度 2l。一个边长为 l 的正方形，面积为 l2，现在将每边长放大 2 倍，则放 大后的面积为 4 l2。一个边长为 l 的立方体，体积为 l3，现在将每边长放大 2 倍， 则放大后的体积为 8 l3，如图 4-2 所示。于是，边长放大 2 倍前后的关系可以整 理如下：
可见对于康托尔点集的 0＜ D f ＜1，说明它是介于点与线段之间的几何图形。 s (4-1-4)来计算时，则把康托尔点集的初始元线段长度作为 如用相似维数 D 式 1，生成元 E 为两个 1/3 的线段，于是局部与整体的相似比β ＝1/3，N＝2： 1 D
s
log N log 2 0.6309 log(1 / ) log 3
显然式(4-1-3)中的指数 2 即为正方形的维数。实际上，式(4-1-3)表示了一种局部 与整体的相似关系。因此，根据相似关系我们也可以来定义一个几何对象的维数。 s 根据相似关系定义的维数称为相似维数 D 。我们假定某个几何体由 N 个局部所
Ds 组成，每个局部 以相似比β 与整 体相似，则此客 (4-1-4) 体的相似维数 为：
log K log 2 log L logn
当 n→∞时， D f →0。表 4-1 给出了一些 n 与
表 4-1 n 与 f 的对应数据
D 的对应数据。 f
D
n Df
3 0.6309
3.5 0.5533
4 0.5000
4.5 0.4600
2.2 科赫曲线
科赫曲线是一种具有相似结构的弯弯曲曲的线段。它的构造过程如下：取一 L 条长度为 的直线段，与构造三分康托尔点集那样先将它三等分，然后保留两
s 2，说明它是一种介于线段与面之间的 可见对于三次科赫曲线，其维数 1＜ D ＜
几何图形。
图 4-4 Koch 曲线
类似于科赫曲线的操作方法可以构造出一种所谓科赫雪花。以一个三角形作 为源多边形，即初始元，将三角形的每一边做三等分，舍去中间的 1/3，然后按
1/ 3n
的区段组成。当
n 时， E 的长度 l为 n
1 liml lim 2 30
n n n
n
即随着线段分为无穷多段，不仅每段长度为零，其总长度也为零，因此构成了由 无穷个点组成的点集。因为在组成中每次将线段一分为三，所以称康托尔三分集。 依照康托尔点集的生成法则，我们可以生成四分、五分…等多种康托尔点集。例 如在四分康托尔点集中，先将一线段四等分，再舍去中间两段，保留两侧的两段， 以后再对保留的线段进行同样的操作。
图 4-3 康托尔三分点集
现在计算康托尔三分点集的豪斯道夫维数。我们设想，每次三等分后的一小 段，将此放大三倍，再把中间的 1/3 段舍去，得到两个 1/3 段，在豪斯道夫维数 公式(5-1-2)中，L＝3，K＝2，因此有： D f log K log 2 log L log 3 0.6309 (4-1-5)
E2 E 1/3 以后得到的，它包含[0,1/3]和[2/3,1]两个区段。 是分别舍去 的两个区中 1 E 的中间 1/3 后得到的， 包含 [0,1/9]，[2/9,1/3]，[2/3,7/9]，[8/9,1]四个区段。按 2
n En 此规则继续操作下去，则生成元 ，将由 2 个长度各为 1 0
2.1 康托尔点集
先介绍康托尔点集。取一线段[0,1]称为初始元，将其三等分，即各段的长度 为原线段的 1/3。取走中间一段，保留两侧的两段。将留下的两段再三等分，并
再取走它们的中间一段，保留两侧的其余两段。照此继续的分割、取走下去，留 下的线段愈来愈多，而其长度则愈来愈短，最终就分割成长度为无限短的无穷多 个点，这些保留下来的分布开的点组成所谓三分康托尔点集。康托尔点集的所有 点处于非均匀分布状态，具有自相似性，如图 4-3 所示。 E E 0 图中 E 是康托尔点集的初始元线段 [0,1]。 是生成元，它是由 舍去中间
第四章 分 形
引言
公元前 300 年，欧几里德在总结人们生产实践的基础上建立了几何学原理。 于是几何学成了处理各种图形对象最常用的方法，对于其它对象如物理问题，当 化解为图形时也常用到几何学原理。为了测量一条线段的长度，一个四边形的面 积…；计算一块立方体木材的密度，一块带电圆球体的电势，…，人们通常不言 明地假定：线段是笔直的，四边形是规则的，木材的密度是均匀的，而带电圆球 体的表面是光滑的。在这些假设下就可以用一个整数去表征一个图形的维数，即 大家熟悉的所谓三维空间、二维平面和一维线段等概念，在理论物理研究中甚至 还会用到 n 维的假想空间，这里都利用了欧几里德几何学原理。伽利略曾经说过， 自然界的语言是数学，其书写的符号是三角形、圆和其它图形。其实大自然是异 常复杂、丰富多彩的，那些简单、正规的理想对象只是少数。例如，那块木材内 部可能疏密不均，甚至存在空洞，如已被白蚁咬的千窗百孔；那个带电球体表面 可能凹凸不平，如此等等。分形理论的创始人、美国科学家曼德布罗特(Mandelprot) 曾说过：“浮云不呈球形，山峰不呈锥体，海岸线不是圆圈，树干不是光溜溜的， 闪电永不会沿直线行进”，说的就是人们一般不应以简单的、理想的体系去对待 实际体系。 另一方面应该注意到，许多形状不规则的物体，可能存在不同尺度上的相似 性，称为自相似性。例如，皮兰（Perrin）于 1908 年用显微镜测量了布朗运动的 轨迹，虽然实际的布朗微粒的轨迹是弯弯曲曲的曲线，但是他每隔 30 秒记录一 次某个微粒的位置，再将相继得到的两点位置连成直线，得到如图 4-1 所示的一 幅由长长短短的直线段连接成的轨迹图。他又将测量时间间隔缩短为每隔 3 秒，
Df ： 显然，D 即为相应图形的维数。对上式取对 数，并将 D 记为 D f log log K L (4-1-2)
可以见到，对于正规的几何图形，(4-1-2)式的分子刚好可以为分母所整除， D f 为整数，这就是我们所熟悉的欧几里德维数。但对于不规则的几何图形， (4-1-2) 式不总是可以整除的，于是在一般情况下，一个几何图形的维数是个分数， 简称 为分维。这就是说，规则几何图形是一般几何图形的特殊情况，与此相对应 f 常称为豪斯道夫维数。 的分数维概念， 的整 数维数也只是一种特例。这就是 1919 年由法国数学家豪斯道夫(Hausdorff) 我们还可以从另外角度来讨论图形维数的定义。例如，一个具有单位面积的 引进 正方形，现在把它等分成九个小正方形，即九个小正方形相加等于原来的面积， D 而这时小正方形的边长缩小为原来长度的 1/3 倍。上述关系为： 9×(1/3)2＝1 (4-1-3)
2. 规则分形
现在来看一些比较特殊的几何图形，它们是在曼德布罗特提出分形理论之前， 由许多数学家构造出来的一批具有自相似的几何图形，如康托尔(Cantor)点集， 科赫(Koch)曲线，谢尔宾斯基(Serpinski)地毯等。这些数学家当时是从纯数学兴 趣来构造这些图形，并称之为“病态图形”。现在采用分形理论去研究它们时， 可以看到这些图形与正规几何图形之间存在着直接的联系。
图 4-1 布朗微粒运动的径迹
基于测量对象体形上的自相似性与标度不变性，曼德布罗特提出了分形理论。 首先，他在 1973 年在法兰商学院讲学期间提出了分形的几何学的基本思想，接 着在 1977 年他出版了第一本著作：《分形对象：形、机遇与维数》，而在 1982 年出版了第二本著作：《自然界的形几何学》，从而奠定了这门新科学的基础。 分形的英文词是“fractal”，是曼德布罗特创造的，用以表征某些不规则的几何形 体。他给出的分形定义为： A fractal is a shape made of parts simslar to the whole in some way”，即“分形是其组成部分以某种方式与整体相似的图形”，或者说， 分形是指一类体形复杂的体系，其局部与整体具有相似性。与人们熟悉的整规体 形的整数维不同，分形体的维数不一定是整数，它可取连续变化的各种数值，称 之为分形维数，或简称分维。根据分形体的不同特征，有多种分形维数的定义， 而且由不同分形维数定义计算出的维数也有一些差别。 目前，分形的研究现已大大地超出了数学、物理学的范畴，它不仅广泛用于 处理自然科学中相关问题，象雷电、相变、聚合物生长等等，而且在扩展到生态、 生命、经济、人文的许多领域。在地震、气象的预报预测、石油的多次开采等应 用领域，甚至在股票涨落分析等方面，分形也都得到了广泛的应用。由此可见， 分形为人们处理复杂对象提供了一个强有力的工具。尤其值得一提的是虽然从表 面上看来，分形似乎和前面讨论过的非线性动力学无多大关系，但是深入研究发 现，分形与系统的混沌运动是密切相关的，它是非线性科学中的另一个重要分支。
D
s
log N log(1 / )
例如，我们考虑一个边长为 2l 的正方体，并将它四等分，得到四个边长皆为 l 的小正方形。对原正方形来说，小正方形是其局部，各小正方形彼此相同。经 过平移或旋转操作，彼此可以重复。各小正方形的边长与原正方形边长之比为 l / 2l ＝1/2，即局部与整体的相似比为 。用 (4-1-4)式表达： D 2 log N log 4 s log(1 / ) log 2 对于一个更复杂的 D Ds 几何对象，我们只 虽然从不同的角度去定 f 以计算其相似维数。然而 要知道其局部与整 义的，但从计算结果看，两者是相等的。 相似维数 与豪斯道夫维数 体的相似比 ，就可
画出的另外一幅微粒的轨迹图。但将这两图进行比较一下可以发现，两幅图虽不 尽相同，它们具有同等的复杂程度，前者可以看成为后者在尺度上的适当放大。 实际上，这种两图之间在不同尺度上的相似性在还可以进一步扩展。例如，如果 充许，我们可将记录微粒坐标的时间间隔延长到每隔数小时一次，或者缩短到每 4 隔数毫秒一次。因此，记录的时间间隔跨度可以扩展到了10 3 ~10 秒。而实验结
D 相等。 Ds 可见相似维数 与豪斯道 f 同样的方法可以计算康托尔四分点集的维数： 夫维数 D f log K log 2 log L log 4 0.5
按照上面的操作方法，若把一线段进行 n 段等分，舍去中间的 n－2 段，保 留两侧的两段，即构成 n 分点集，相应的维数为： D
f
果告诉我们，虽然记录时间间隔相差很大，但它们仍都具有相同的复杂性，因此， 布朗微粒轨迹图存在自相似性。 再如，人们在考察海岸线时发现，不管是漫步在海岸边看到的厘米量级的海 岸线长度，还是从人造卫星上观察到的数千米跨度，海岸线的弯曲的复杂程度也 可能是相同的。这种用不同尺度去测量都有相似的结果说明，这些测量对象没有 特征尺寸，或者说它们具有尺度（标度）不变性。
第一节 豪斯道夫维数与规则分形
1. 豪斯道夫维数与相似维数
为了研究分形，首先来看一下数学家们是如何定义几何图形的维数的。我们 考虑几个最简单的几何图形。取一个长度为 l 的线段，把它放大 2 倍，则放大以 后的长度 2l。一个边长为 l 的正方形，面积为 l2，现在将每边长放大 2 倍，则放 大后的面积为 4 l2。一个边长为 l 的立方体，体积为 l3，现在将每边长放大 2 倍， 则放大后的体积为 8 l3，如图 4-2 所示。于是，边长放大 2 倍前后的关系可以整 理如下：
可见对于康托尔点集的 0＜ D f ＜1，说明它是介于点与线段之间的几何图形。 s (4-1-4)来计算时，则把康托尔点集的初始元线段长度作为 如用相似维数 D 式 1，生成元 E 为两个 1/3 的线段，于是局部与整体的相似比β ＝1/3，N＝2： 1 D
s
log N log 2 0.6309 log(1 / ) log 3
显然式(4-1-3)中的指数 2 即为正方形的维数。实际上，式(4-1-3)表示了一种局部 与整体的相似关系。因此，根据相似关系我们也可以来定义一个几何对象的维数。 s 根据相似关系定义的维数称为相似维数 D 。我们假定某个几何体由 N 个局部所
Ds 组成，每个局部 以相似比β 与整 体相似，则此客 (4-1-4) 体的相似维数 为：
log K log 2 log L logn
当 n→∞时， D f →0。表 4-1 给出了一些 n 与
表 4-1 n 与 f 的对应数据
D 的对应数据。 f
D
n Df
3 0.6309
3.5 0.5533
4 0.5000
4.5 0.4600
2.2 科赫曲线
科赫曲线是一种具有相似结构的弯弯曲曲的线段。它的构造过程如下：取一 L 条长度为 的直线段，与构造三分康托尔点集那样先将它三等分，然后保留两
s 2，说明它是一种介于线段与面之间的 可见对于三次科赫曲线，其维数 1＜ D ＜
几何图形。
图 4-4 Koch 曲线
类似于科赫曲线的操作方法可以构造出一种所谓科赫雪花。以一个三角形作 为源多边形，即初始元，将三角形的每一边做三等分，舍去中间的 1/3，然后按
1/ 3n
的区段组成。当
n 时， E 的长度 l为 n
1 liml lim 2 30
n n n
n
即随着线段分为无穷多段，不仅每段长度为零，其总长度也为零，因此构成了由 无穷个点组成的点集。因为在组成中每次将线段一分为三，所以称康托尔三分集。 依照康托尔点集的生成法则，我们可以生成四分、五分…等多种康托尔点集。例 如在四分康托尔点集中，先将一线段四等分，再舍去中间两段，保留两侧的两段， 以后再对保留的线段进行同样的操作。
图 4-3 康托尔三分点集
现在计算康托尔三分点集的豪斯道夫维数。我们设想，每次三等分后的一小 段，将此放大三倍，再把中间的 1/3 段舍去，得到两个 1/3 段，在豪斯道夫维数 公式(5-1-2)中，L＝3，K＝2，因此有： D f log K log 2 log L log 3 0.6309 (4-1-5)
E2 E 1/3 以后得到的，它包含[0,1/3]和[2/3,1]两个区段。 是分别舍去 的两个区中 1 E 的中间 1/3 后得到的， 包含 [0,1/9]，[2/9,1/3]，[2/3,7/9]，[8/9,1]四个区段。按 2
n En 此规则继续操作下去，则生成元 ，将由 2 个长度各为 1 0
2.1 康托尔点集
先介绍康托尔点集。取一线段[0,1]称为初始元，将其三等分，即各段的长度 为原线段的 1/3。取走中间一段，保留两侧的两段。将留下的两段再三等分，并
再取走它们的中间一段，保留两侧的其余两段。照此继续的分割、取走下去，留 下的线段愈来愈多，而其长度则愈来愈短，最终就分割成长度为无限短的无穷多 个点，这些保留下来的分布开的点组成所谓三分康托尔点集。康托尔点集的所有 点处于非均匀分布状态，具有自相似性，如图 4-3 所示。 E E 0 图中 E 是康托尔点集的初始元线段 [0,1]。 是生成元，它是由 舍去中间
第四章 分 形
引言
公元前 300 年，欧几里德在总结人们生产实践的基础上建立了几何学原理。 于是几何学成了处理各种图形对象最常用的方法，对于其它对象如物理问题，当 化解为图形时也常用到几何学原理。为了测量一条线段的长度，一个四边形的面 积…；计算一块立方体木材的密度，一块带电圆球体的电势，…，人们通常不言 明地假定：线段是笔直的，四边形是规则的，木材的密度是均匀的，而带电圆球 体的表面是光滑的。在这些假设下就可以用一个整数去表征一个图形的维数，即 大家熟悉的所谓三维空间、二维平面和一维线段等概念，在理论物理研究中甚至 还会用到 n 维的假想空间，这里都利用了欧几里德几何学原理。伽利略曾经说过， 自然界的语言是数学，其书写的符号是三角形、圆和其它图形。其实大自然是异 常复杂、丰富多彩的，那些简单、正规的理想对象只是少数。例如，那块木材内 部可能疏密不均，甚至存在空洞，如已被白蚁咬的千窗百孔；那个带电球体表面 可能凹凸不平，如此等等。分形理论的创始人、美国科学家曼德布罗特(Mandelprot) 曾说过：“浮云不呈球形，山峰不呈锥体，海岸线不是圆圈，树干不是光溜溜的， 闪电永不会沿直线行进”，说的就是人们一般不应以简单的、理想的体系去对待 实际体系。 另一方面应该注意到，许多形状不规则的物体，可能存在不同尺度上的相似 性，称为自相似性。例如，皮兰（Perrin）于 1908 年用显微镜测量了布朗运动的 轨迹，虽然实际的布朗微粒的轨迹是弯弯曲曲的曲线，但是他每隔 30 秒记录一 次某个微粒的位置，再将相继得到的两点位置连成直线，得到如图 4-1 所示的一 幅由长长短短的直线段连接成的轨迹图。他又将测量时间间隔缩短为每隔 3 秒，