分形几何学

一、什么是分形几何学
通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相 似图形和结构的几何学。
分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层 次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方 面具有统计意义上的相似性，称为自相似性。例如，一块磁 铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去， 每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次 结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。
基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把 研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的 世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图 形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则 提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结 构的新方法。
普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维 的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。但是现实生活中象弯弯曲曲的 海岸线这些对象就不能用传统欧几里德几何学的整数维描述或者说测量了。要描 述这一大类复杂无规的几何对象，就引入了分形理论，把维数视为分数维数。这 是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。
又如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上 没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相 似关系；一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质； 动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛 的全部生长信息；还有高山的表面，无论怎样放大其局部，它都 如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何 揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。
分形几何与传统几何相比有什么特点：
⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。 例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状 是极不规则的。
⑵在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。 上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部 形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是 自相似的。当然，也有一些分形几何图形，它们并 不完全是自相似的。其中一些是用来描述一般随机 现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。
第6讲 分形几何学
一、什么是分形几何学 二、谁创立了分形几何学？ 三、分形几何的产生 四、分形艺术 五、分形几何学的应用 六、数学、分形与龙
双鱼
双鱼
螃蟹
蜘蛛
蜘蛛 眼睛
我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如， 喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生 命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等， 都表现了客观世界特别丰富的现象。
Байду номын сангаас
分形几何具有五个基本特征或性质： ⑴形态的不规则性； ⑵结构的精细性 ⑶局部与整体的自相似性 ⑷维数的非整数性 ⑸生成的迭代性。
分形理论认为维数可以是分数，这类维数是物理学家在研 究混沌吸引子等理论时引入的重要概念。为了定量地描述客 观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引 入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般 拓扑集维数为整数的界限。
Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。 如果计算机的精度是不受限制的话，可以无限地放大它的边界。 图2、图3 就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。当你放大 某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。这正如 “蜿蜒曲折的一段海岸线”，无论怎样放大它的局部，它总是曲 折而不光滑，即连续不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我 们的生活中是很少见的。所以说，Mandelbrot集合是向传统几 何学的挑战。
Koch 曲线的 维数是
1.2618
4级Koch曲线 3级Koch曲线
Koch雪花
二、谁创立了分形几何学？
分形的创立也是基于一个巧合，颇似当年哥伦布发现美洲新 大陆的意外收获。分形的创立者曼得勃罗特原先是为了解决电 话电路的噪声等实际问题，结果却发现了几何学的一个新领域。 海岸线具有自相似性，曼得勃罗特就是在研究海岸线时创立了 分形几何学。几何对象的一个局部放大后与其整体相似。部分 的某种形式与整体相似的形状就叫做分形。
分形几何图形
自然界中有许多分形的例子，如雪花、植物的枝条分叉、海岸线 等。在数学中，历史上也构造了许多分形模型，如Koch曲线、 weierstrass函数等。它们共同的特点是①处处连续但处处不可 微，即曲线处处是不光滑的，总有无穷的细节在里面；②具有自 相似性或统计自相似性，即在不同的标度下，它们的形状是相似 的，不可区分的；③刻划它们的维数不是整数，而是分数。这是 因为，这类曲线都有无穷的细节，所以用1维的直线来测量它， 其值为无穷大，然而它们又没有填满一个有限的平面，所以其维 数又不能等于2，因此，要想得到一个有限的长度，它的测量维 数必定在1和2之间。
法国数学家曼德尔勃罗特这位计算机和数学兼通的人物，对分 形几何产生了重大的推动作用。他在1975、1977和1982年先 后用法文和英文出版了三本书，特别是《分形——形、机遇和 维数Fractals：Form，Chance and Dimension》以及《自 然界中的分形几何学“The Fractal Geometry of Nature》， 开创了新的数学分支——分形几何学。
维数和测量有着密切的关系，下面我们举例说明一下分维的概 念。
当我们画一根直线，如果我们用 0维的点来量它，其结果为无 穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它， 其结果是 0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量 它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才 会得到有限值，而这里直线的维数为 1。
1973年，曼德尔勃罗特（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲 课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形（Fractal）一词， 是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义， 分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。 Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名 字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相 似的结构（见图1）。
又如要测量“寇赫岛”曲线，其整体是一条无限长的线折叠而 成，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是 0（此曲线中不包含平面），那么只有找一个与“寇赫岛”曲 线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于 1、小于 2，那么只能是小数了，所以存在分维。经过计算 “寇赫岛”曲线的维数是1.2618……。